PENGE NALAN GEOM ETRI TERURUT
BAB 3
PENGENALAN GEOMETRI TERURUT
Lobachevsky
Lahir
di
Nizhny Novgorad, Rusia.
orangtuanya bernama Ivan
Maksimovich Lobachevsky
dan
Praskovia
Alexan
drovina Lobachevsky.
Pada tahun 1800 ayahnya
meninggal
dan
ibunya
pindah ke Kazan.
Di Kazan, Nikola Ivanovich Lobachevsky mengikuti Kazan
Gymnasium pada tahun 1802. dan lulus tahun 1807.
Manfaat utama teori yang ditemukan Lobachevsky adalah
perkembangan geometri Non-Euclide yang tidak berbeda
dari Janos Bulyai. Sebelumnya para matematikawan
mencoba membuat kesimpulan 5 postulat euclide dari
aksioma-aksioma lain.kelima postulat euclide adalah postulat
kesejajaran euclide biasanya diganti dengan postulat John
Playfair yang mengatakan bahwa “ diberikan sebuah garis
dan sebuah titik di luar garis, hanya ada satu garis yang
sejajar dengan garis tersebut yang melalui sebuah titik
diluar garis tersebut”. geometri Lobachevsky menerima
semua postulat geometri euclidedengan membuang postulat
kesejajarannya. Lobachevsky mengganti postulat kesejajaran
euclide dengan suatu postulat bahwa ada lebih dari satu
garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui
suatu titik diluar garis tersebut.geometri lobachevsky
memandang bahwa setiap segitiga jumlah besar sudutnya
kurang dari 180 derajat. perkembangan geometri non-euclide
Lobachevsky disebut geometri hiperbolik.
Pada Geometri Terurut ditentukan titik-titik A,
B, C..... sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan
60 / Geometri Terurut
relasi keantaraan
sebagai relasi yang tidak
didefinisikan. Relasi ini dinyatakan dengan [A B C],
yang berarti B terletak antara A dan C. Jika B tidak
terletak antara A dan C, maka dikatakan “tidak
[ABC]”.
Aksioma-aksioma pada Geometri Terurut:
Aksioma 3.1
Ada paling sedikit dua titik
Aksioma 3.2
Jika A dan B dua titik berlainan, maka ada satu
titik C yang memenuhi [A B C].
Aksioma 3.3
Jika [A B C], maka A dan C berlainan A C
Aksioma 3.4.
Jika [A B C], maka [C B A] tetapi tidak [B C A]
Dari aksioma-aksioma di atas diturunkan teoremateorema seperti berikut.
Teorema 3.1
Jika [A B C], maka tidak [C A B]
Bukti:
Menurut Aksioma 3.4
Jika [C A B], maka tidak [A B C]
Ini ekuivalen dengan jika [A B C], maka tidak [CAB]
Teorema 3.2
Jika [A B C], maka A, B dan C berlainan atau A B C
Bukti:
Andaikan B = C, maka [A B B]
Jika [A B B] maka [B B A] (aksioma 3.4)
Jika [A B B] maka tidak [B B A] (aksioma 3.4).
Kontradiksi
Jadi BC
Andaikan A = B, maka [A A C]
Jika [A A C], maka [C A A] (menurut Aksioma 3. 4)
Geometri Terurut /
61
Jika [A A C], maka tidak [C A A] (menurut Teorema
3.1) terdapat kontradiksi, jadi A B.
Aksioma 3.3 didapat A C
Terbukti, bahwa A B C
Definisi 3.1
Jika A dan B dua titik berlainan, maka segmen AB
atau ruas garis AB ialah himpunan titik P yang
memenuhi [A P B]. Dikatakan titik P terletak pada
segmen AB.
Teorema 3.3
Titik A maupun titik B tidak terletak pada segmen AB
Bukti :
Andaikan A atau B terletak pada segmen AB maka
terdapat [AAB] atau [A B B]. Ini bertentangan
dengan Teorema 3.2. Jadi A maupun B tidak
terletak pada segmen AB.
Teorema 3.4
Segmen AB = segmen BA
Bukti
Segmen AB = himpunan titik P sedemikian hingga
[APB] (definisi)
= himpunan titik P sedemikian hingga
[BPA] (aksioma 3.4)
= segmen BA (definisi)
Definisi 3.2
Interval AB ialah segmen AB ditambah ujungujungnya yaitu A dan B.
Jadi AB = A + AB + B
Sinar A/B (dari A menjauhi B) ialah himpunan
titik-titik P yang memenuhi [P A B].
62 / Geometri Terurut
Garis AB ialah interval
AB ditambah sinar-sinar
A/B dan B/A. Jadi garis AB = A/B +
Akibat :
AB + B/A
Interval AB = interval BA
Garis AB = garis BA,
Bukti
Interval
AB = segmen AB ditambah A dan B
= segmen AB ditambah B dan A
= segmen BA ditambah B dan A
= interval BA
Aksioma 3.5
Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB,
maka A pada garis CD.
Teorema 3.5
Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB, maka
garis AB = garis CD.
Bukti :
Jika A, B, C dan D tidak semuanya berlainan, maka
dapat dimisalkan B = D dan akan dibuktikan,
bahwa garis AB = garis BC.
Untuk membuktikan, bahwa garis AB = garis BC,
kita tunjukkan, bahwa setiap titik pada garis BC
adalah juga titik pada garis AB dan sebaliknya.
i) C pada garis AB (premis)
Misalkan X pada garis AB. maka menurut
Aksioma 3.5, B pada garis CX
B pada garis CX
C pada garis CX (C ujung CX)
Maka menurut aksioma 3.5, X pada garis BC.
Jadi, jika X pada garis AB, maka X pada garis BC.
Geometri Terurut /
63
Kesimpulan garis AB himpunan bagian dari garis
BC
ii) Misalkan Y pada garis BC,
C pada AB (premis)
B pada AB (B ujung AB)
maka menurut Aksioma 3.5, A pada garis BC.
Y pada garis BC
A pada garis BC
menurut Aksioma 3.5, maka B pada garis AY
B pada garis AY
A pada garis AY (A ujung AY)
Jadi menurut Aksioma 3.5, Y pada garis AB.
Jika Y pada garis BC, maka Y pada garis AB.
Kesimpulan garis BC himpunan bagian dari garis
AB
Dari i) dan ii) terbukti bahwa garis AB = garis BC.
Jika D B, maka dengan jalan yang sama dapat
dibuktikan, bahwa garis BC sama dengan garis CD,
sehingga garis AB = garis BC = garis CD. Jadi jika
A, B, C dan D semua berlainan garis AB = garis CD.
Akibat 1:
Dua titik berlainan terletak tepat pada
satu garis. Dua garis berlainan (jika ada)
mempunyai paling banyak 1 titik persekutuan.
Titik persekutuan ini disebut titik potong
kedua garis itu.
Akibat 2:
Tiga titik berlainan A, B dan C pada
suatu garis memenuhi tepat hanya salah satu
dari relasi-relasi [A B C], [B C A], atau [C A B].
Aksioma 3.6
64 / Geometri Terurut
Jika AB suatu garis, ada suatu titik C tidak pada
garis ini.
Teorema 3.6
Jika C tidak pada garis AB, maka A tidak pada BC, juga
B tidak pada AC. Garis-garis BC, CA dan AB berlainan.
Bukti :
Andaikan A pada garis BC
B pada garis BC (B ujung BC)
Jadi C pada garis AB, kontradiksi dengan C tidak
pada garis AB.
Kesimpulan A tidak pada garis BC
Dengan cara yang sama untuk yang lain.
Definisi 3.3
1. Titik-titik yang terletak pada garis yang sama
disebut “Collinear” (kolinier atau segaris).
2. Tiga titik noncollinear A, B, C menentukan
suatu segitiga ABC yang memuat tiga titik ini,
yang disebut titik-titik sudut, dan tiga segmen
AB, BC, CA yang disebut sisi-sisi.
Aksioma 3.7
Jika A B C suatu segitiga, [B C D] dan [C E A], maka
pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [A
F B].
Teorema 3.7
Antara dua titik berlainan ada suatu titik lain.
Bukti :
Misalkan A dan B kedua titik itu seperti pada
gambar berikut.
Geometri Terurut /
65
D
C
E
A
F
B
Menurut Aksioma 3.6 ada suatu titik E
tidak pada AB.
Menurut Aksioma 3.2 ada suatu titik C
memenuhi [A E C].
Mengingat Teorema 3.5 maka garis AC
sama dengan garis AE, B tidak terletak
pada garis ini, maka ABC suatu segitiga.
Menurut Aksioma 3.2 ada suatu titik D
yang memenuhi [B C D].
Menurut Aksioma 3.7 ada titik F antara A
dan B. terbukti.
Contoh 3.1
Didefinisikan, bahwa suatu segmen ialah himpunan
titik-titik. Apakah himpunan ini dapat berupa
himpunan kosong?
Jawab:
Jika A dan B dua titik berlainan, maka segmen AB
ialah himpunan titik P yang memenuhi [A P B].
Dikatakan titik P terletak pada segmen AB.
Menurut Teorema 3.7 yang mengatakan, bahwa
antara dua titik berlainan ada suatu titik lain, maka
himpunan titik P tersebut tidak mungkin berupa
himpunan kosong.
66 / Geometri Terurut
Teorema 3.8
Jika ABC suatu segitiga dan [B C D] dan [C E A], maka
pada garis DE ada suatu titik F yang memenuhi [A F B
] dan [D E F].
Bukti :
Karena F terletak pada garis DE, maka ada 5
kemungkinan:
a) F = D; b. F = E;
c) [E F D];
d. [F D E]’ e) [D E F]
Kemungkinan:
a) Jika F = D, maka [B C D] dan [A D B], jadi A, B
dan C collinear. Kontradiksi dengan ABC suatu
segitiga.
Jadi F D.
b) Jika F = E, maka [C E A] dan [A E B], jadi A, B
dan C collinear. Kontradiksi dengan ABC suatu
segitiga. Jadi F E
c) Jika [E F D], maka perhatikan gambar berikut.
Dalam segitiga D C E dengan [C E A] dan [E F D]
Menurut Aksioma 3.2 pada A F ada X yang
memenuhi [D X C].
Karena AF dan CD tidak mungkin
berpotongan lebih dari satu kali, maka X =
B, sehingga terdapat [D B C].
Kontradiksi dengan ketentuan [B C D]. Jadi
Geometri Terurut /
67
tidak mungkin [E F D]
d) Jika [F D E], maka gambarnya adalah sebagai
berikut.
Dalam segitiga AFE dengan [A F B], maka
menurut Aksioma 3.7 pada garis BD ada suatu
titik X sedemikian, sehingga [A X E].
Karena BD dan AE tidak berpotongan di lebih
dari satu titik, maka X = C, sehingga terdapat [A
C E]. Ini bertentangan dengan ketentuan [A E
C].
Jadi tidak mungkin [F D E].
Jadi kemungkinan hanya [D E F].
Contoh 1.2
Tunjukkan bahwa suatu garis mempunyai titik yang
tidak terhingga banyaknya.
Jawab:
Menurut definisi garis AB ialah interval AB
ditambah sinar-sinar A/B dan B/A. Jadi garis
AB = A/B + AB + B/A.
Garis AB ialah himpunan titik P yang
memenuhi [P A B] digabung dengan himpunan
titik P yang memenuhi [A P B] dan digabung
lagi dengan himpunan titik P yang memenuhi
[A B P] dan ditambah titik-titik A dan B.
68 / Geometri Terurut
Sehingga banyaknya titik pada garis AB tidak
terhingga (Aksioma 3.2 dan Teorema 3.8).
Teorema 3.9
Suatu garis tidak mungkin memotong ketiga sisi suatu
segitiga (sisi berupa segmen)
Teorema 3.10
Jika [A B C] dan [B C D], maka [A B D]
●
D
●
C
●
B
●
A
Teorema 3.11
Jika [A B C] dan [A B D] serta C D, maka:
1) [B C D] atau [B D C], dan
2) [A C D] atau [A D C] lihat gambar a), b)
Teorema 3.12
Jika [A B D] dan [A C D] dan B C, maka [A B C]
atau [A C B] lihat gambar c), d)
Teorema 3.13
Jika [A B C] dan [A C D], maka [B C D] dan [A B D]
lihat gambar e)
a)
b)
c)
●
A
●
B
●
C
●
D
●
A
●
B
●
D
●
C
●
C
●
B
●
A
d)
●
A
●
C
●
D
●
●
D
B
Geometri Terurut /
69
●
B
●
A
e)
●
D
●
C
Definisi 3.3
Jika [A B C] dan [A C D], kita tulis [A B C D]
Urutan 4 titik ini mempunyai sifat, jika [A B C D],
maka [D C B A]. Urutan titik-titik ini dapat diperluas
sebagai berikut. Seperti telah kita ketahui sebarang titik
O pada segmen AB membagi segmen itu dalam dua
segmen, AO dan OB.
●
B
●
0
●
A
Sebarang titk O pada sinar dari A membagi sinar
dalam suatu segmen dan suatu sinar, A O dan O/A.
●
0
●
A
Sebarang titik pada garis membagi garis dalam
dua sinar berlawanan, jika [A O B], maka sinar-sinar
itu ialah O/A dan O/B, sinar O/A yang memuat titik
B, kadang-kadang lebih mudah disebut sinar OB.
●
A
●
0
●
B
Untuk n > 1, maka n titik berlainan membagi
garisnya dalam 2 sinar dan n-1 segmen. Titik titiknya
dapat T1, T2, ….Tn sedemikian hingga kedua sinar itu
T1/Tn dan Tn/T1,
70 / Geometri Terurut
●
T1
●
T2
●
T3
●
●
Tn
sedang n – 1 segmen itu T1T2, T2T3,…..
Tn-1Tn,
masing-masing tidak memuat titik itu. Kita katakan,
bahwa titik-titik itu dalam urutan T1T2…. Tn dan ditulis
[T1T2, T2T3, ….., Tn]. Syarat perlu dan cukup untuk ini
ialah : [T1T2T3], [T2 T3 T4], [T3 T4 T5], ….. [Tn-2 Tn-1 Tn].
Marilah kita perhatikan kembali Aksioma 3.8.
Perkembangan logika yang terbaik dari suatu subjek
menggunakan himpunan aksioma yang paling
sederhana atau yang paling lemah. Pasch memberikan
pernyataan yang lebih kuat tentang Aksioma 3.7 Ia
menyatakan :
Jika sebuah garis dalam bidang suatu segitiga memotong
satu sisi, maka ia juga akan memotong sisi yang lain
(atau melalui suatu titik sudut).
Aksioma 3.7 yang kita pakai yaitu suatu
aksioma dari Peano, lebih baik, karena
a. kata bidang tidak dipakai sama sekali
b. garis DE memasuki segitiga ABC dengan cara
yang khusus, yaitu sebelum memotong CA ia
berasal dari titik D pada C/B
Aksioma ini cukup kuat dan dari ini dapat
diturunkan Teorema 3.14. Jika Teorema 3.14 ini
diambil sebagai aksioma, maka dari ini tidak dapat
diturunkan Aksioma 3.7 sebagai Teorema.
Teorema 3.14
Jika ABC suatu segitiga dan [A F B] dan [B C D] maka
pada garis DF, ada suatu titik E yang memenuhi [C E
A].
Geometri Terurut /
71
Bukti :
Diambil G pada B/F dan dipandang BOF dengan
[F B G] dan [B C D]. Maka menurut aksioma VII
pada garis GC ada titik H sedemikian, sehingga [D
H F]. Menurut Teorema 3.8 [G C H].
D
K
H
C
E
G
A
F
B
Menurut Teorema 3.10, karena [A F H] dan [F B G],
maka [A F G]. Di pandang AFD dengan [A F G]
dan [D H F]. Maka menurut Aksioma 3.7 pada garis
GH ada suatu titik K sedemikian, sehingga [D K A],
dan menurut Teorema 3.8 [G H K]. Karena [G C H]
dan [G H K], maka [C H K]. Jadi ada segitiga ACK
dengan [A K D] dan [K H C], maka menurut
Aksioma 3.7 pada garis DH (atau garis DF) ada
suatu titik E yang memenuhi [C E A] terbukti.
Contoh 3.3
Buktikan.bahwa jika ABC suatu segitiga dan [B L C],
[C M A] dan [A N B], maka ada suatu titik E yang
memenuhi [A E L] dan [M E N].
C
L
M
E D
Terurut
72 / Geometri
A
N
B
Diketahui segitiga ABC, [B L C], [C M A] dan [A N B]
Dibuktikan : ada titik E yang memenuhi [A E L] dan
[M E N].
Bukti :
Dipandang segitiga C N B dengan [B N A] (karena
[A N B] dan [B L C]. Menurut Teorema 3.14 pada
garis A L ada titik D yang memenuhi [C D N].
Dipandang segitiga C M N dengan [C D N] dan [C
M A]. Maka menurut Teorema 3.14 pada garis AD
ada titik E yang memenuhi [M E N]. Karena [A D
L], maka garis AD sama dengan garis AL. Jadi ada
titik E yang memenuhi [M E N] dan [A E L]
Terbukti.
Contoh 3.4
Jika ABC suatu segitiga, maka ketiga sinar B/C, A/C,
A/B mempunyai transversal (yaitu suatu garis yang
memotong ketiganya). Buktikan!
Diketahui segitiga ABC
Dibuktikan : B/C, A/C, A/B mempunyai transversal
Bukti :
Ambillah titik B’ pada B/C dan titik A’ pada A/B dan
dipandang segitiga BA’B’. Dipenuhi [B’BC] dan
[BAA’].
A’
A
B
D
B’
Geometri Terurut /
73
Maka menurut Aksioma 3.7 pada garis CA ada
suatu titik D yang memenuhi [A’ D B’] dan
menurut Teorema 3.8 [C A D]. Jadi garis A’B’
merupakan transversal dari B/C, A/C dan A/B
Terbukti.
Contoh 1.5
Jika ABC suatu segitiga, maka B/C, C/A dan A/B
tidak mempunyai transversal.
Diketahui segitiga ABC
Buktikan ; B/A, C/A, A/B tidak mempunyai
transversal.
Bukti :
Ambillah B’ pada B/C dan A’ pada A/B.
A’
B
A
B’
Telah terbukti (pada soal 4) bahwa A’B’ memotong
A/C jadi tidak mungkin A’B’ memotong C/A.
Maka B/C, C/A dan A/B tidak mempunyai
transversal. Terbukti.
Definisi 3.4
1. Jika A, B, C tiga titik noncolinier, bidang ABC
adalah himpunan semua titik yang colinier
dengan pasangan titik-titik pada satu atau dua
sisi dari segitiga ABC.
2. Suatu segmen, interval, garis atau sinar
dikatakan terletak dalam bidang, jika semua
74 / Geometri Terurut
titiknya terletak dalam bidang itu.
Aksioma
3.1
sampai
3.7
dapat
digunakan
membuktikan letak dalam bidang. Aksioma lainnya
yang dapat digunakan adaladh aksioma yang
dikemukakan Hilbert, yaitu:
1. Sekarang tiga titik noncolinier dalam bidang
menentukan dengan lengkap bidang tersebut.
2. Jika dua titik berlainan pada suatu garis m
terletak pada bidang , maka setiap titik dari m
terletak dalam bidang .
Definisi 3.5
Suatu sudut terdiri dari suatu titik O dan dua sinar
yang noncoliner yang titik pangkalnya O. Titik O
disebut titik sudut dan sinar-sinar itu adalah sisi-sisi
sudut.
Aksioma 3.8 (Dalam ruang dimensi dua)
Semua titik ada dalam satu bidang
Aksioma 3.9
Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis
dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian
hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan
yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya,
maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak
antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik
himpunan lainnya.
LATIHAN 3.
1. Jika [A B D] dan [A C D] dan B C, buktikan [A
B C]. atau [A C B].
Geometri Terurut /
75
2. Buktikan Teorema 3.9
3. Buktikan Teorema 3.10
4. Buktikan Teorema 3.11
76 / Geometri Terurut
PENGENALAN GEOMETRI TERURUT
Lobachevsky
Lahir
di
Nizhny Novgorad, Rusia.
orangtuanya bernama Ivan
Maksimovich Lobachevsky
dan
Praskovia
Alexan
drovina Lobachevsky.
Pada tahun 1800 ayahnya
meninggal
dan
ibunya
pindah ke Kazan.
Di Kazan, Nikola Ivanovich Lobachevsky mengikuti Kazan
Gymnasium pada tahun 1802. dan lulus tahun 1807.
Manfaat utama teori yang ditemukan Lobachevsky adalah
perkembangan geometri Non-Euclide yang tidak berbeda
dari Janos Bulyai. Sebelumnya para matematikawan
mencoba membuat kesimpulan 5 postulat euclide dari
aksioma-aksioma lain.kelima postulat euclide adalah postulat
kesejajaran euclide biasanya diganti dengan postulat John
Playfair yang mengatakan bahwa “ diberikan sebuah garis
dan sebuah titik di luar garis, hanya ada satu garis yang
sejajar dengan garis tersebut yang melalui sebuah titik
diluar garis tersebut”. geometri Lobachevsky menerima
semua postulat geometri euclidedengan membuang postulat
kesejajarannya. Lobachevsky mengganti postulat kesejajaran
euclide dengan suatu postulat bahwa ada lebih dari satu
garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui
suatu titik diluar garis tersebut.geometri lobachevsky
memandang bahwa setiap segitiga jumlah besar sudutnya
kurang dari 180 derajat. perkembangan geometri non-euclide
Lobachevsky disebut geometri hiperbolik.
Pada Geometri Terurut ditentukan titik-titik A,
B, C..... sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan
60 / Geometri Terurut
relasi keantaraan
sebagai relasi yang tidak
didefinisikan. Relasi ini dinyatakan dengan [A B C],
yang berarti B terletak antara A dan C. Jika B tidak
terletak antara A dan C, maka dikatakan “tidak
[ABC]”.
Aksioma-aksioma pada Geometri Terurut:
Aksioma 3.1
Ada paling sedikit dua titik
Aksioma 3.2
Jika A dan B dua titik berlainan, maka ada satu
titik C yang memenuhi [A B C].
Aksioma 3.3
Jika [A B C], maka A dan C berlainan A C
Aksioma 3.4.
Jika [A B C], maka [C B A] tetapi tidak [B C A]
Dari aksioma-aksioma di atas diturunkan teoremateorema seperti berikut.
Teorema 3.1
Jika [A B C], maka tidak [C A B]
Bukti:
Menurut Aksioma 3.4
Jika [C A B], maka tidak [A B C]
Ini ekuivalen dengan jika [A B C], maka tidak [CAB]
Teorema 3.2
Jika [A B C], maka A, B dan C berlainan atau A B C
Bukti:
Andaikan B = C, maka [A B B]
Jika [A B B] maka [B B A] (aksioma 3.4)
Jika [A B B] maka tidak [B B A] (aksioma 3.4).
Kontradiksi
Jadi BC
Andaikan A = B, maka [A A C]
Jika [A A C], maka [C A A] (menurut Aksioma 3. 4)
Geometri Terurut /
61
Jika [A A C], maka tidak [C A A] (menurut Teorema
3.1) terdapat kontradiksi, jadi A B.
Aksioma 3.3 didapat A C
Terbukti, bahwa A B C
Definisi 3.1
Jika A dan B dua titik berlainan, maka segmen AB
atau ruas garis AB ialah himpunan titik P yang
memenuhi [A P B]. Dikatakan titik P terletak pada
segmen AB.
Teorema 3.3
Titik A maupun titik B tidak terletak pada segmen AB
Bukti :
Andaikan A atau B terletak pada segmen AB maka
terdapat [AAB] atau [A B B]. Ini bertentangan
dengan Teorema 3.2. Jadi A maupun B tidak
terletak pada segmen AB.
Teorema 3.4
Segmen AB = segmen BA
Bukti
Segmen AB = himpunan titik P sedemikian hingga
[APB] (definisi)
= himpunan titik P sedemikian hingga
[BPA] (aksioma 3.4)
= segmen BA (definisi)
Definisi 3.2
Interval AB ialah segmen AB ditambah ujungujungnya yaitu A dan B.
Jadi AB = A + AB + B
Sinar A/B (dari A menjauhi B) ialah himpunan
titik-titik P yang memenuhi [P A B].
62 / Geometri Terurut
Garis AB ialah interval
AB ditambah sinar-sinar
A/B dan B/A. Jadi garis AB = A/B +
Akibat :
AB + B/A
Interval AB = interval BA
Garis AB = garis BA,
Bukti
Interval
AB = segmen AB ditambah A dan B
= segmen AB ditambah B dan A
= segmen BA ditambah B dan A
= interval BA
Aksioma 3.5
Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB,
maka A pada garis CD.
Teorema 3.5
Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB, maka
garis AB = garis CD.
Bukti :
Jika A, B, C dan D tidak semuanya berlainan, maka
dapat dimisalkan B = D dan akan dibuktikan,
bahwa garis AB = garis BC.
Untuk membuktikan, bahwa garis AB = garis BC,
kita tunjukkan, bahwa setiap titik pada garis BC
adalah juga titik pada garis AB dan sebaliknya.
i) C pada garis AB (premis)
Misalkan X pada garis AB. maka menurut
Aksioma 3.5, B pada garis CX
B pada garis CX
C pada garis CX (C ujung CX)
Maka menurut aksioma 3.5, X pada garis BC.
Jadi, jika X pada garis AB, maka X pada garis BC.
Geometri Terurut /
63
Kesimpulan garis AB himpunan bagian dari garis
BC
ii) Misalkan Y pada garis BC,
C pada AB (premis)
B pada AB (B ujung AB)
maka menurut Aksioma 3.5, A pada garis BC.
Y pada garis BC
A pada garis BC
menurut Aksioma 3.5, maka B pada garis AY
B pada garis AY
A pada garis AY (A ujung AY)
Jadi menurut Aksioma 3.5, Y pada garis AB.
Jika Y pada garis BC, maka Y pada garis AB.
Kesimpulan garis BC himpunan bagian dari garis
AB
Dari i) dan ii) terbukti bahwa garis AB = garis BC.
Jika D B, maka dengan jalan yang sama dapat
dibuktikan, bahwa garis BC sama dengan garis CD,
sehingga garis AB = garis BC = garis CD. Jadi jika
A, B, C dan D semua berlainan garis AB = garis CD.
Akibat 1:
Dua titik berlainan terletak tepat pada
satu garis. Dua garis berlainan (jika ada)
mempunyai paling banyak 1 titik persekutuan.
Titik persekutuan ini disebut titik potong
kedua garis itu.
Akibat 2:
Tiga titik berlainan A, B dan C pada
suatu garis memenuhi tepat hanya salah satu
dari relasi-relasi [A B C], [B C A], atau [C A B].
Aksioma 3.6
64 / Geometri Terurut
Jika AB suatu garis, ada suatu titik C tidak pada
garis ini.
Teorema 3.6
Jika C tidak pada garis AB, maka A tidak pada BC, juga
B tidak pada AC. Garis-garis BC, CA dan AB berlainan.
Bukti :
Andaikan A pada garis BC
B pada garis BC (B ujung BC)
Jadi C pada garis AB, kontradiksi dengan C tidak
pada garis AB.
Kesimpulan A tidak pada garis BC
Dengan cara yang sama untuk yang lain.
Definisi 3.3
1. Titik-titik yang terletak pada garis yang sama
disebut “Collinear” (kolinier atau segaris).
2. Tiga titik noncollinear A, B, C menentukan
suatu segitiga ABC yang memuat tiga titik ini,
yang disebut titik-titik sudut, dan tiga segmen
AB, BC, CA yang disebut sisi-sisi.
Aksioma 3.7
Jika A B C suatu segitiga, [B C D] dan [C E A], maka
pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [A
F B].
Teorema 3.7
Antara dua titik berlainan ada suatu titik lain.
Bukti :
Misalkan A dan B kedua titik itu seperti pada
gambar berikut.
Geometri Terurut /
65
D
C
E
A
F
B
Menurut Aksioma 3.6 ada suatu titik E
tidak pada AB.
Menurut Aksioma 3.2 ada suatu titik C
memenuhi [A E C].
Mengingat Teorema 3.5 maka garis AC
sama dengan garis AE, B tidak terletak
pada garis ini, maka ABC suatu segitiga.
Menurut Aksioma 3.2 ada suatu titik D
yang memenuhi [B C D].
Menurut Aksioma 3.7 ada titik F antara A
dan B. terbukti.
Contoh 3.1
Didefinisikan, bahwa suatu segmen ialah himpunan
titik-titik. Apakah himpunan ini dapat berupa
himpunan kosong?
Jawab:
Jika A dan B dua titik berlainan, maka segmen AB
ialah himpunan titik P yang memenuhi [A P B].
Dikatakan titik P terletak pada segmen AB.
Menurut Teorema 3.7 yang mengatakan, bahwa
antara dua titik berlainan ada suatu titik lain, maka
himpunan titik P tersebut tidak mungkin berupa
himpunan kosong.
66 / Geometri Terurut
Teorema 3.8
Jika ABC suatu segitiga dan [B C D] dan [C E A], maka
pada garis DE ada suatu titik F yang memenuhi [A F B
] dan [D E F].
Bukti :
Karena F terletak pada garis DE, maka ada 5
kemungkinan:
a) F = D; b. F = E;
c) [E F D];
d. [F D E]’ e) [D E F]
Kemungkinan:
a) Jika F = D, maka [B C D] dan [A D B], jadi A, B
dan C collinear. Kontradiksi dengan ABC suatu
segitiga.
Jadi F D.
b) Jika F = E, maka [C E A] dan [A E B], jadi A, B
dan C collinear. Kontradiksi dengan ABC suatu
segitiga. Jadi F E
c) Jika [E F D], maka perhatikan gambar berikut.
Dalam segitiga D C E dengan [C E A] dan [E F D]
Menurut Aksioma 3.2 pada A F ada X yang
memenuhi [D X C].
Karena AF dan CD tidak mungkin
berpotongan lebih dari satu kali, maka X =
B, sehingga terdapat [D B C].
Kontradiksi dengan ketentuan [B C D]. Jadi
Geometri Terurut /
67
tidak mungkin [E F D]
d) Jika [F D E], maka gambarnya adalah sebagai
berikut.
Dalam segitiga AFE dengan [A F B], maka
menurut Aksioma 3.7 pada garis BD ada suatu
titik X sedemikian, sehingga [A X E].
Karena BD dan AE tidak berpotongan di lebih
dari satu titik, maka X = C, sehingga terdapat [A
C E]. Ini bertentangan dengan ketentuan [A E
C].
Jadi tidak mungkin [F D E].
Jadi kemungkinan hanya [D E F].
Contoh 1.2
Tunjukkan bahwa suatu garis mempunyai titik yang
tidak terhingga banyaknya.
Jawab:
Menurut definisi garis AB ialah interval AB
ditambah sinar-sinar A/B dan B/A. Jadi garis
AB = A/B + AB + B/A.
Garis AB ialah himpunan titik P yang
memenuhi [P A B] digabung dengan himpunan
titik P yang memenuhi [A P B] dan digabung
lagi dengan himpunan titik P yang memenuhi
[A B P] dan ditambah titik-titik A dan B.
68 / Geometri Terurut
Sehingga banyaknya titik pada garis AB tidak
terhingga (Aksioma 3.2 dan Teorema 3.8).
Teorema 3.9
Suatu garis tidak mungkin memotong ketiga sisi suatu
segitiga (sisi berupa segmen)
Teorema 3.10
Jika [A B C] dan [B C D], maka [A B D]
●
D
●
C
●
B
●
A
Teorema 3.11
Jika [A B C] dan [A B D] serta C D, maka:
1) [B C D] atau [B D C], dan
2) [A C D] atau [A D C] lihat gambar a), b)
Teorema 3.12
Jika [A B D] dan [A C D] dan B C, maka [A B C]
atau [A C B] lihat gambar c), d)
Teorema 3.13
Jika [A B C] dan [A C D], maka [B C D] dan [A B D]
lihat gambar e)
a)
b)
c)
●
A
●
B
●
C
●
D
●
A
●
B
●
D
●
C
●
C
●
B
●
A
d)
●
A
●
C
●
D
●
●
D
B
Geometri Terurut /
69
●
B
●
A
e)
●
D
●
C
Definisi 3.3
Jika [A B C] dan [A C D], kita tulis [A B C D]
Urutan 4 titik ini mempunyai sifat, jika [A B C D],
maka [D C B A]. Urutan titik-titik ini dapat diperluas
sebagai berikut. Seperti telah kita ketahui sebarang titik
O pada segmen AB membagi segmen itu dalam dua
segmen, AO dan OB.
●
B
●
0
●
A
Sebarang titk O pada sinar dari A membagi sinar
dalam suatu segmen dan suatu sinar, A O dan O/A.
●
0
●
A
Sebarang titik pada garis membagi garis dalam
dua sinar berlawanan, jika [A O B], maka sinar-sinar
itu ialah O/A dan O/B, sinar O/A yang memuat titik
B, kadang-kadang lebih mudah disebut sinar OB.
●
A
●
0
●
B
Untuk n > 1, maka n titik berlainan membagi
garisnya dalam 2 sinar dan n-1 segmen. Titik titiknya
dapat T1, T2, ….Tn sedemikian hingga kedua sinar itu
T1/Tn dan Tn/T1,
70 / Geometri Terurut
●
T1
●
T2
●
T3
●
●
Tn
sedang n – 1 segmen itu T1T2, T2T3,…..
Tn-1Tn,
masing-masing tidak memuat titik itu. Kita katakan,
bahwa titik-titik itu dalam urutan T1T2…. Tn dan ditulis
[T1T2, T2T3, ….., Tn]. Syarat perlu dan cukup untuk ini
ialah : [T1T2T3], [T2 T3 T4], [T3 T4 T5], ….. [Tn-2 Tn-1 Tn].
Marilah kita perhatikan kembali Aksioma 3.8.
Perkembangan logika yang terbaik dari suatu subjek
menggunakan himpunan aksioma yang paling
sederhana atau yang paling lemah. Pasch memberikan
pernyataan yang lebih kuat tentang Aksioma 3.7 Ia
menyatakan :
Jika sebuah garis dalam bidang suatu segitiga memotong
satu sisi, maka ia juga akan memotong sisi yang lain
(atau melalui suatu titik sudut).
Aksioma 3.7 yang kita pakai yaitu suatu
aksioma dari Peano, lebih baik, karena
a. kata bidang tidak dipakai sama sekali
b. garis DE memasuki segitiga ABC dengan cara
yang khusus, yaitu sebelum memotong CA ia
berasal dari titik D pada C/B
Aksioma ini cukup kuat dan dari ini dapat
diturunkan Teorema 3.14. Jika Teorema 3.14 ini
diambil sebagai aksioma, maka dari ini tidak dapat
diturunkan Aksioma 3.7 sebagai Teorema.
Teorema 3.14
Jika ABC suatu segitiga dan [A F B] dan [B C D] maka
pada garis DF, ada suatu titik E yang memenuhi [C E
A].
Geometri Terurut /
71
Bukti :
Diambil G pada B/F dan dipandang BOF dengan
[F B G] dan [B C D]. Maka menurut aksioma VII
pada garis GC ada titik H sedemikian, sehingga [D
H F]. Menurut Teorema 3.8 [G C H].
D
K
H
C
E
G
A
F
B
Menurut Teorema 3.10, karena [A F H] dan [F B G],
maka [A F G]. Di pandang AFD dengan [A F G]
dan [D H F]. Maka menurut Aksioma 3.7 pada garis
GH ada suatu titik K sedemikian, sehingga [D K A],
dan menurut Teorema 3.8 [G H K]. Karena [G C H]
dan [G H K], maka [C H K]. Jadi ada segitiga ACK
dengan [A K D] dan [K H C], maka menurut
Aksioma 3.7 pada garis DH (atau garis DF) ada
suatu titik E yang memenuhi [C E A] terbukti.
Contoh 3.3
Buktikan.bahwa jika ABC suatu segitiga dan [B L C],
[C M A] dan [A N B], maka ada suatu titik E yang
memenuhi [A E L] dan [M E N].
C
L
M
E D
Terurut
72 / Geometri
A
N
B
Diketahui segitiga ABC, [B L C], [C M A] dan [A N B]
Dibuktikan : ada titik E yang memenuhi [A E L] dan
[M E N].
Bukti :
Dipandang segitiga C N B dengan [B N A] (karena
[A N B] dan [B L C]. Menurut Teorema 3.14 pada
garis A L ada titik D yang memenuhi [C D N].
Dipandang segitiga C M N dengan [C D N] dan [C
M A]. Maka menurut Teorema 3.14 pada garis AD
ada titik E yang memenuhi [M E N]. Karena [A D
L], maka garis AD sama dengan garis AL. Jadi ada
titik E yang memenuhi [M E N] dan [A E L]
Terbukti.
Contoh 3.4
Jika ABC suatu segitiga, maka ketiga sinar B/C, A/C,
A/B mempunyai transversal (yaitu suatu garis yang
memotong ketiganya). Buktikan!
Diketahui segitiga ABC
Dibuktikan : B/C, A/C, A/B mempunyai transversal
Bukti :
Ambillah titik B’ pada B/C dan titik A’ pada A/B dan
dipandang segitiga BA’B’. Dipenuhi [B’BC] dan
[BAA’].
A’
A
B
D
B’
Geometri Terurut /
73
Maka menurut Aksioma 3.7 pada garis CA ada
suatu titik D yang memenuhi [A’ D B’] dan
menurut Teorema 3.8 [C A D]. Jadi garis A’B’
merupakan transversal dari B/C, A/C dan A/B
Terbukti.
Contoh 1.5
Jika ABC suatu segitiga, maka B/C, C/A dan A/B
tidak mempunyai transversal.
Diketahui segitiga ABC
Buktikan ; B/A, C/A, A/B tidak mempunyai
transversal.
Bukti :
Ambillah B’ pada B/C dan A’ pada A/B.
A’
B
A
B’
Telah terbukti (pada soal 4) bahwa A’B’ memotong
A/C jadi tidak mungkin A’B’ memotong C/A.
Maka B/C, C/A dan A/B tidak mempunyai
transversal. Terbukti.
Definisi 3.4
1. Jika A, B, C tiga titik noncolinier, bidang ABC
adalah himpunan semua titik yang colinier
dengan pasangan titik-titik pada satu atau dua
sisi dari segitiga ABC.
2. Suatu segmen, interval, garis atau sinar
dikatakan terletak dalam bidang, jika semua
74 / Geometri Terurut
titiknya terletak dalam bidang itu.
Aksioma
3.1
sampai
3.7
dapat
digunakan
membuktikan letak dalam bidang. Aksioma lainnya
yang dapat digunakan adaladh aksioma yang
dikemukakan Hilbert, yaitu:
1. Sekarang tiga titik noncolinier dalam bidang
menentukan dengan lengkap bidang tersebut.
2. Jika dua titik berlainan pada suatu garis m
terletak pada bidang , maka setiap titik dari m
terletak dalam bidang .
Definisi 3.5
Suatu sudut terdiri dari suatu titik O dan dua sinar
yang noncoliner yang titik pangkalnya O. Titik O
disebut titik sudut dan sinar-sinar itu adalah sisi-sisi
sudut.
Aksioma 3.8 (Dalam ruang dimensi dua)
Semua titik ada dalam satu bidang
Aksioma 3.9
Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis
dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian
hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan
yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya,
maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak
antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik
himpunan lainnya.
LATIHAN 3.
1. Jika [A B D] dan [A C D] dan B C, buktikan [A
B C]. atau [A C B].
Geometri Terurut /
75
2. Buktikan Teorema 3.9
3. Buktikan Teorema 3.10
4. Buktikan Teorema 3.11
76 / Geometri Terurut