Bagian I - Catatan Kuliah-Isi.pdf
Pengertian
Dalam Ilmu Mekanika Teknik terdapat 2 sub bidang ilmu, yaitu Statika dan Dinamika. Kedua sub bidang ilmu mekanika ini menerangkan tentang gaya dan pergerakan. Dalam DINAMIKA diterangkan semua yang bergerak, sedang dalam STATIKA, pergerakan atau V ditentukan =
0. Pergerakan akan sama dengan nol, apabila semua gaya yang membebani suatu benda saling menghilangkan, atau semua gaya SEIMBANG
Maka, ilmu STATIKA disebut juga Ilmu KESEIMBANGAN GAYA atau Ilmu KESEIMBANGAN. Kondisi pembebanan dengan muatan luar – yaitu beban yang bekerja di luar benda – akan menimbulkan perlawanan dari benda ybs. terhadap gaya luar tersebut. Perlawanan terhadap gaya luar disebut TEGANGAN. Hal ini akan dipelajari dalam bab ILMU INERSIA dan KETAHANAN. Dalam bab ini dibicarakan juga tentang PERUBAHAN BENTUK.
Perubahan bentuk di atas dapat berbentuk perubahan panjang (memanjang atau memendek), perputaran, pelengkungan. Terdapat syarat dalam perubahan bentuk :
sekecil mungkin sedemikian hingga tidak membahayakan penggunaan suatu
konstruksi bangunan. sesudah beban dilepaskan dari benda tadi, maka benda itu harus dapat kembali pada
bentuknya yang semula. Benda seperti ini disebut dalam keadaan ELASTIS, bukan
PLASTIS. n a m
la a H
Metoda penyelesaian persoalan dalam ilmu Statika : menggunakan metode GRAFIS (dengan cara menggambar)
menggunakan cara ANALITIS (melalui perhitungan) Dalam Ilmu Statika dimensi benda menjadi perhatian. Benda dapat berada dalam suatu
BIDANG atau dalam RUANG.
Konstruksi dalam BIDANG
KONSTRUKSI BATANG (beam) Luas penampang melintang batang dapat
tetap/tidak tetap sepanjang batang Perbandingan tinggi penampang melintang batang (h) dan panjang batang (l) umumnya kecil.
Gambar 1. Model Konstruksi Batang (Beam)
KONSTRUKSI RANGKA BATANG (Truss) Konstruksi ini terdiri dari batang tarik dan batang tekan.
Batang-batang tersebut dihubungkan dengan titik simpul.
Titik simpul secara teoritis adalah suatu engsel (sehingga penentuan ukuran batang menjadi lebih sederhana).
Gambar 2. Model Konstruksi Rangka Batang (Truss)
KONSTRUKSI PORTAL (Frame) Konstruksi terdiri dari batang-batang
yang dihubungkan secara kaku pada titik simpul.
Batang-batang menerima GAYA TARIK,
TEKAN, dan beban MOMEN LENTUR. m a la
H Gambar 3. Model Konstruksi Portal
(Frame)
Konstruksi dalam RUANG
• Konstruksi CANGKANG (shell) • Konstruksi rangka batang dalam ruang (Space truss) • Konstruksi portal dalam ruang (Space frame)
Kuliah ini tidak akan membahas tentang konstruksi dalam ruang,
Syarat Konstruksi Batang dan Rangka Batang Dalam Statika
Syarat yang harus dipenuhi oleh konstruksi batang dan rangka batang dalam konteks Statika ini adalah :
Semua gaya yang bekerja pada suatu konstruksi batang atau rangka batang sistem statisnya harus menjadi sama. Perubahan bentuk elastis pada suatu konstruksi batang atau rangka batang harus cukup kecil. Ketentuan ini mengizinkan kita menentukan garis pengaruh oleh beban masing-masing pada konstruksi yang kaku dan kemudian disuperposisikan nilai masing-masing.
Beban Pada Konstruksi Batang dan Rangka Batang
Berikut adalah penjelasan mengenai perbedaan beban berdasarkan keberlangsungannya pada suatu konstruksi :
• BEBAN TETAP yang selalu ada, yaitu : Berat atau bobot sendiri
Beban yang tetap, seperti konstruksi lantai, beban mesin yang dipasang tetap Beban tanah pada turap penahan tanah Tekanan air untuk konstruksi yang berada dalam air
• BEBAN BERGERAK atau BERUBAH yang tidak selalu ada atau berubah-ubah, yaitu : Beban lalu lintas pada konstruksi jembatan : kereta api, mobil, truk, dsb.
Beban berguna pada konstruksi bangunan Gaya-gaya rem pada lalulintas Tekanan angin
Pengaruh gempa
Semua beban bergerak lainnya sebagaimana diatur dalam Peraturan Muatan
Indonesia a la
Beban lain selain Beban Tetap dan Beban Bergerak, diantaranya adalah : Perubahan bentuk oleh perubahan suhu
Perubahan sifat benda oleh pengaruh besaran beban, seperti pengaruh gempa yang
menimbulkan liquefaction pada tanah pendukung Perubahan bentuk elemen konstruksi karena lama/durasi dari beban bekerja pada
elemen yang bersangkutan
Tumpuan pada Konstruksi Batang dan Rangka Batang
• Tumpuan SENDI menerima gaya tumpuan yang sembarang
reaksi atau gaya tumpuan yang sembarang pada umumnya dibagi menjadi reaksi HORIZONTAL (Rh) dan reaksi VERTIKAL (Rv)
Pada perhitungan ada DUA NILAI yang tidak diketahui
Gambar 4 Model Tumpuan Sendi
• Tumpuan ROL menerima gaya tumpuan pada arah tegak lurus landasan
saja (Rv). Tidak dapat menahan gaya sejajar landasan atau momen Pada perhitungan ada SATU nilai yang tidak diketahui
Gambar 5. Model Tumpuan Rol • JEPIT menerima gaya tumpuan sembarang dan momen
reaksi pada tumpuan dibagi pada umumnya dalam reaksi horizontal (Rh) dan Vertikal (Rv) dan suatu momen (M)
pada perhitungan ada TIGA NILAI yang tidak
diketahui a n
m a la
H Gambar 6. Model Tumpuan Jepit
Gaya Apa itu gaya ?
Gaya tidak bisa dirasakan, tetapi dapat dilihat akibatnya. Jika suatu suatu benda tidak ditahan/diikat menerima gaya, maka gaya itu dapat
menggeser benda dimaksud. Dalam hal ini gaya bekerja tidak seimbang. Pergeseran dapat berada dalam arah lurus atau merupakan perputaran. Suatu gaya pada tangkai pengungkit dengan jarak tegak lurus pada titik perputaran akan
mengakibatkan suatu MOMEN.
Batasan Gaya
Suatu gaya dapat ditentukan dengan UKURAN, ARAH, dan TEMPATnya.
Ukuran (besaran) dan arah gaya
Suatu gaya P ditentukan oleh garis kerja dan oleh ukuran/besarannya Garis kerja dapat ditentukan oleh 2 dari 4 nilai berikut :
ordinat absis arah sudut perpotongan antara garis kerja dan sumbu – x jarak dari titik kutub o
Ukuran dari gaya ditentukan dalam t (ton) atau kg (kilogram)
Gambar 7. Sketsa Gaya P Dalam Sistem Koordinat Cartesian
Kita memerlukan tiga nilai untuk menentukan suatu gaya dalam suatu bidang. Titik tangkap gaya tidak perlu ditentukan, karena pada soal tentang keseimbangan benda,
yang penting garis kerjanya saja. Maka, kita dapat mengubah suatu gaya dalam arah a n m
garis kerja tanpa mengubah akibatnya. a la H
Ketiga nilai yang diberikan untuk menentukan suatu gaya yang dimaksud di atas adalah :
2 nilai berasal dari geometri, yaitu nilai yang diperlukan untuk PENENTUAN GARIS KERJA, dan
satu nilai berasal dari statika, yaitu UKURAN gaya. Sebuah gaya P dapat diidentifikasi dengan komponen horizontal Px
komponen vertikal Py momen M dari gaya P terhadap titik kutub o
Komponen P dalam arah horizontal dan
vertikal :
P X = P. cos α P Y = P. sin α M =P.r
Atas dasar hukum Phytagoras gaya P dapat
Gambar 8. Sketsa Gaya P yang diuraikan dalam komponen sb-x dan sb-y
2 2 ditentukan dengan rumus P = √ (P
X +P Y )
Hubungan antara nilai geometri dan nilai statika : sin α = P Y /P = r/a
cos α = P X /P = r/b tg α = P Y /P X = b/a r = M/P = (P X .b)/P = (P Y .a)/P
Gambar 9. Sketsa Gaya P dalam
hubungan nilai geometrid dan nilai statika Gaya-gaya dengan titik tangkap bersama
Secara grafis :
Dua gaya P 1 dan P 2 dengan titik tangkap bersama (titik potong pada garis kerja) bisa disusun dengan jajaran
genjang dua gaya itu dan sebagai resultante R ialah am
diagonal pada jajaran genjang itu.
la a H
Gambar 10. Sketsa dua buah gaya P
dengan titik tangkap bersama Cara jajaran genjang dapat disederhanakan dengan dengan titik tangkap bersama Cara jajaran genjang dapat disederhanakan dengan
gaya P 1 dan ujung akhirnya sama dengan ujung akhir P 2 .
Gambar 11. Sketsa Resultante P 1 dan P 2 dengan menggambarkan separuh jajaran genjang kedua gaya
Penjumlahan dan pengurangan
Pada 2 gaya dengan garis kerja sama, maka resultante gaya diperoleh melalui penjumlahan (untuk arah yang sama) dan pengurangan (untuk arah yang berlawanan)
Gambar 12. Sketsa Resultante P 1 dan P 2 dengan garis kerja yang sama
Penguraian Gaya
Resultante R dapat diuraikan menjadi beberapa gaya yang garis kerjanya sudah
Hal tersebut dilakukan dengan cara memotongkan garis dengan arah P 1 dan arah P 2 tepat di titik awal dan titik akhir resultante gaya R. Kedua garis dengan masing-
diketahui.
masing P 1 dan arah P 2 yang
Gambar 13. Sketsa Resultante R diuraikan menjadi gaya P 1 dan P berpotongan
a 2 n akan menghasilkan besaran gaya P m
1 dan P 2 itu sendiri. la a H
Menurut rumus sebelumnya kita dapat membagi P 1 dan P 2 menjadi komponen P X dan P Y . Dengan menjumlahkan komponen-komponennya yang menjadi komponen Rx dan Ry dari
resultante-nya • R x =P x1 +P x2
• R y =P y1 +P y2
2 • R =√ (R 2 x +R y ) • tg α = R y /R x
Gambar 14. Sketsa hubungan Resultante R serta komponennya
dengan gaya P 1 dan P 2 serta komponennya
Suatu resultante gaya R dapat dibagi menjadi dua gaya P 1 dan P 2 dengan garis kerjanya sudah diketahui . Menurut rumus-rumus sebelumnya
Maka, R X dan R Y ditentukan dengan :
• R X =P 1 cos α 1 +P 2 . cos α 2 • R Y =P 1 sin α 1 +P 2 . sin α 2
Gambar 15. Sketsa hubungan Resultante R serta
8 n komponennya dengan arah gaya P 1 dan P 2 a
m la a
Contoh dengan beberapa gaya
Susunan dari dua gaya dapat menghasilkan resultante kedua gaya dalam bentuk jajaran genjang. Tahapan penyelesaian secara grafis ini cukup panjang, sebagaimana terlihat pada gambar di samping :
Gambar 16. Sketsa Resultante R atas
gaya P 1 ,P 2 ,P 3 ,P
4 ,P 5
Melalui POLIGON GAYA dalam metoda grafis ini resultante gaya dapat diketahui seluruhnya secara langsung.
Gambar 17. Sketsa mencari Resultante R atas
gaya P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 4 ,P 5 dengan POLIGON GAYA
Jika persoalan di atas di selesaikan secara analitis, maka semua gaya P i diuraikan pada komponen-komponennya :
P Xi =P i . cos α i , dan P Yi =P i . sin α i menjumlahkan semua komponen P Xi dan P Yi dengan
memperhatikan tanda (+, -). Hasil menjadi R X dan R Y
sbb.: R X = ∑ i=n i=1 P Xi , dan R i=n
Y = i=1 ∑ P Yi Komponen R X dan R Y menentukan R dengan formula :
R = √ (R X +R Y ) dan tg α R =R Y /R X n 9
a Catatan :
Gambar 18. Sketsa bantuan m
a untuk mencari Resultante R atas la akan ada beberapa kemungkinan hasil perhitungan tg α H
R, yaitu :
gaya P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 4 secara
R Y /R X ; -R Y /-R X ;R Y /-R X ; atau -R Y /R X .
analitis, melalui besaran nilai P i dan arah α i .
Poligon batang tarik
Pengertian : Poligon Batang Tarik merupakan metode grafis untuk menyusun titik gaya dengan titik
tangkap di luar kertas menggambar atau tidak ada titik tangkapnya karena gaya-gaya sejajar.
Penyelesaian : gambar gaya-gaya menjadi suatu garis lurus uraikan gaya P 1 menjadi 2 gaya pertolongan sembarang a dan b yang bersama-sama
mengganti secara statika gaya P 1
Titik potong pada gaya a dan b ditentukan sebagai titik kutub o Kemudian gaya P 2 diuraikan kedalam 2 gaya pertolongan c dan d dengan ketentuan bahwa gaya c mempunyai ukuran seperti gaya b dan arahnya sama, walaupun jurusannya terbalik. Maka, gaya d sudah dapat ditentukan
resultante R sekarang menjadi resultante baik gaya P 1 dan P 2 maupun gaya pertolongan
a, b, c, dan d. Oleh karena gaya pertolongan b dan c saling menghilangkan, maka resultante R adalah resultante gaya pertolongan a dan d Atas dasar pengetahuan ini garis kerja resultante R dapat ditentukan pada titik tangkap garis kerja gaya pertolongan a dan d.
Gambar 19. Sketsa gaya dan garis bantuan untuk mencari
Resultante R atas gaya P 1 dan P 2 yang sejajar
Gambar 20. Sketsa situasi gaya mendapatkan posisi a la Resultante R diantara gaya P 1 dan P 2 yang sejajar H
Metode poligon batang tarik boleh juga digunakan jika akan mencari resultante R dari beberapa gaya sebagaimana terlihat pada gambar.
Penyelesaian : Sama dengan cara yang digunakan untuk dua gaya sebelumnya.
Gaya pertolongan dipilih sedemikian hingga didapatkan dua gaya yang saling menghapuskan. Dengan demikian resultante R menjadi resultante dari gaya pertolongan pertama dan terakhir.
Gambar 21. Sketsa gaya dan garis bantuan untuk Gambar 22. Sketsa situasi gaya mendapatkan mencari Resultante R atas gaya P 1 ,P 2 ,P 3 dan P 4 posisi Resultante R diantara P 1 ,P 2 ,P 3 dan P 4
yang sejajar yang sejajar
Soal Latihan
Diketahui : R X = 5 ton α = 30º
Arah P 1 (α 1 ) = 45º Arah P 2 (α 2 ) = 15º
seperti terlihat pada gambar di samping Pertanyaan :
Berapa besar gaya P 1 dan P 2 dengan garis
kerjanya sudah diketahui seperti pada
gambar ? n a m
la a H
Penyelesaian : Cara 1, P 1 dicari lebih dulu :
X 1 2 5,00 = P
1 0,71 + P 2 0,97 … (1)
R Y =P 1 sin 45 o +P 2 sin 15 o
2,89 = P 1 0,71 + P 2 0,26 – … (2)
2,11 = P 2 0,71 5,00 = P 1 0,71 + P 2 0,97 |x 0,26
2,89 = P 1 0,71 + P 2 0,26 |x 0,97
P 2 = 2,11/0,71 = 2,97 ton
1,30 = P 1 0,18 + P 2 0,25 …(1) Dari pers. (1) : 2,80 = P 1 0,69 + P 2 0,25 - …(2) 5,00 = P 1 0,71 + P 2 0,97
-1,50 = -P 1 0,51
5,00 = P 1 0,71 + 2,97 0,97
P 1 = -1,50/-0,51 = 2,94 ton
P 1 = (5,00-2,97.0,97)/0,71
P 1 = 2,98 ton
Dari pers. (1) :
1,30 = 2,94. 0,18 + P 2 0,25 Perbedaan hasil terjadi karena
P 2 = (1,30-2,94.0,18)/0,25 pembulatan angka, dengan perbandingan
P 2 = 3,08 ton
sebagai berikut :
Perbandingan Cara 1 Cara 2 Δ___ Cara 2, P 2 dicari lebih dulu :
2,94 t 2,98 t 0,04 t
R X =P 1 cos α 1 +P 2 cos α 2 2 P
3,08 t 2,97 t 0,11 t
Analisis secara grafis :
a la H
Momen satu gaya
Jika suatu benda dengan titik berat D menerima gaya yang garis kerjanya mempunyai jarak a tegak lurus terhadap titik berat D, maka hasil gaya kali jarak antara garis kerja dan kutub D kita tentukan sebagai momen satu gaya terhadap titik kutub D, sebesar M = P.a
Dimensi momen biasa dinyatakan dalam ton.meter, ton.cm, kg.meter, dan sebagainya.
Suatu momen adalah positif jikalau momen itu berputar searah jarum jam.
Jikalau garis kerja gaya P kena titik kutub D, jarak a menjadi nol dan oleh karena itu momen juga menjadi nol.
Momen kumpulan gaya
Misal diketahui kumpulan gaya P 1 s/d P 4 dan sebuah titik sembarang D. Untuk mencari momen kumpulan gaya pada suatu titik dilakukan prosedur berikut :
1. Kumpulan gaya P 1 s/d P 4 diganti dengan resultante R.
2. Selanjutnya dapat ditentukan M P =M R = R.a.
3. Tarik garis sejajar resultante R melalui titik kutub D. (terdapat dua Δ sebangun)
4. a:y=H:R
5. M = R.a
6. R.a = H.y
7. Menentukan momen dari kumpulan gaya sebagai hasil kali jarak titik kutub O dan resultante R dengan simbol
H pada gambar gaya dan panjangngya garis sejajar resultante R yang melalui titik kutub D pada gambar situasi yang terbatas oleh garis kerja gaya pertolongan pertama I dan terakhir V dengan simbol y.
8. Ukuran H ditentukan dalam skala gambar gaya (t, kg), ukuran y ditentukan dalam skala gambar situasi (m, cm).
a la H
Gaya ganda
Dua gaya P 1 dan P 2 dengan ukuran yang sama dan garis kerjanya sejajar tetapi arahnya berlawanan, mempunyai resultante R = 0 yang berada pada tempat tak terbatas.
Gaya ganda dapat mengakibatkan putaran dengan ukuran sebagai hasil kali P 1 atau P 2 dan jaraknya e. Besaran momen putaran akibat gaya ganda : M=P 1 .e=P 2 .e
Pindahan sejajar dari satu gaya
Pada titik tangkap A bekerja suatu gaya P. Jikalau pada titik tangkap B dipasang dua gaya P' dan P" yang berlawanan sama besar dan sejajar dengan garis kerja gaya P, maka kita tidak mengubah apapun karena resultantenya nol.
Karena P’ dan P” sama arahnya, maka P" dapat digantikan oleh gaya P. Selanjutnya gaya ganda P dan P‘ akan membentuk suatu putaran dengan besar M = P’ . e = P . e Kesimpulan : Suatu gaya P dapat dipindahkan kepada suatu titik tangkap sembarang dengan mengganti
gaya P oleh gaya P" yang searah dan sama besar dan momen M = P.e.
1 n am la a
Bagian II
Keseimbangan
Diagram Benda Bebas
Diagram benda bebas adalah sebuah sketsa yang menunjukkan sebuah benda dan gaya yang bekerja padanya. Diagram benda bebas mengIsolasi benda yang menjadi perhatian. Diagram benda bebas diperlukan untuk setiap masalah statika yang sedang diselesaikan. Pertama kali yang harus dilakukan untuk menyelesaikan persoalan statika adalah menggambar Diagram Benda Bebas. Contoh sederhana untuk menjelaskan hal tersebut adalah :
Sebuah benda pada bidang miring Diagram Benda Bebas untuk Tumpuan
Berat pada sebuah rantai atau tali Diagram Benda Bebas untuk Tumpuan
a la
Tumpuan dan Gaya Reaksi
Sendi (pin)
Rol (roller)
Jepit (fixed)
Contoh Diagram Benda Bebas yang Kompleks
Keseimbangan menurut Hukum Newton
Hukum Pertama : Sebuah partikel terus bergerak pada garis lurus atau tetap
m a la
diam jika tidak ada gaya tak seimbang pada partikel
tersebut. Hukum pertama Newton ini mendefinisikan keseimbangan statis.
Pada keadaan diam, tidak ada gaya tak seimbang atau jumlah momen adalah nol ( ∑M = 0) dan jumlah gaya adalah nol ( ∑F = 0)
Hukum Kedua : Akselerasi/percepatan partikel adalah proporsional
terhadap besar gaya yang bekerja padanya.
Menyatakan bahwa F ∝ a (baca : Gaya F proporsional terhadap akselerasi a)
Hukum Ketiga : Untuk setiap aksi akan ada reaksi yang sama besar dan
berlawanan arah.
Mendefinisikan interaksi antara benda dan lingkungan di luar benda, yaitu reaksi.
Penggunaan Konsep Keseimbangan
Untuk menentukan besaran gaya reaksi yang diberikan oleh tumpuan struktur, berikut adalah beberapa hal yang harus dilakukan :
Gambar sebuah diagram benda bebas (freebody) untuk memisahkan struktur dari lingkungannya dan gantikan semua tumpuan dengan gaya- gaya reaksi.
Pastikan bahwa reaksi adalah statis tertentu (statically determinant ) dan
struktur stabil. Susun persamaan keseimbangan dan pecahkan persamaan tersebut.
Reaksi Statis Tertentu
Pada struktur 2 (dua) dimensi, kita memiliki 3 persamaan keseimbangan (pada
3 dimensi, 6 persamaan keseimbangan). Oleh karena itu, reaksi statis tertentu pada 2 (dua) dimensi berarti ada 3 gaya yang tidak diketahui dan 3 persamaan keseimbangan.
Jika terdapat lebih dari 3 reaksi (atau lebih dari 6 pada sistem 3 dimensi), maka
kita memiliki satu set reaksi statis tak tentu. Sebaliknya jika terdapat kurang
dari 3 reaksi (atau kurang dari 6 pada sistem 3 dimensi), maka kita memiliki
satu struktur yang tak stabil. m
a la H
Bagian III
Penggunaan Syarat-Syarat Keseimbangan Pada Perhitungan Konstruksi Batang dan Rangka Batang
(sebagai aplikasi pemahaman tentang gaya)
Perhitungan Reaksi Tumpuan
Pada tumpuan suatu konstruksi batang atau rangka batang akan timbul REAKSI TUMPUAN yang diakibatkan oleh beban pada konstruksi itu. Reaksi tumpuan HARUS SEIMBANG dengan beban konstruksi. Perhitungan reaksi tumpuan dapat dilakukan dengan menggunakan 3 syarat keseimbangan (pada sistem statis tertentu), yaitu :
a. Jumlah gaya dalam arah horizontal adalah nol atau ∑F X = 0;
b. Jumlah gaya dalam arah vertikal adalah nol atau ∑F Y = 0 ; dan
c. Jumlah momen adalah nol atau ∑M = 0.
Beberapa kasus sederhana (Kasus # 1).
Diketahui suatu benda yang dibebani oleh gaya P (atau resultante R suatu kumpulan gaya) diatas 3 batang pendel.
Ditanyakan “Berapa besar reaksi tumpuan sedemikian hingga konstruksi seimbang ?”
Penyelesaian :
Karena kita mengetahui 3 garis kerja pada
tumpuan-tumpuan (garis kerja itu tidak m
a boleh bertemu pada satu titik tangkap), kita la H
hanya
besarannya. (Pembagian satu gaya R pada tiga garis
harus
mencari mencari
(Kasus # 2).
Suatu benda yang dibebani oleh gaya P atau resultante R suatu kumpulan gaya, bertumpu pada dengan tumpuan sendi dan pada B dengan tumpuan rol seperti pada gambar.
Ditanya : reaksi tumpuan A dan B sehingga konstruksi seimbang ?
Penyelesaian secara grafis : Tiga gaya R A , R B , dan P hanya bisa seimbang jikalau mereka mempunyai satu titik tangkap
bersama. Karena P dan R B dengan garis kerjanya yang tertentu sudah mempunyai satu titik tangkap bersama, garis kerja R A dapat dicari. Besaran R A dan R B dapat ditentukan pada gambar gaya.
Penyelesaian secara analitis : Jika kasus 2 diselesaikan dengan cara analitis, maka kita dapat
menggunakan persamaan keseimbangan ∑X = 0 ; ∑Y = 0 ; dan ∑M = 0.
Dari gambar di samping kita dapat dengan mudah menentukan R B
dengan persamaan momen yang menggunakan titik A sebagai titik
kutub. Lebih dahulu temukan jarak tegak lurus titik kutub A dengan
garis kerja gaya P dan garis kerja reaksi tumpuan R B , yaitu u dan a. m la a
Perhatikan pula perjanjian tanda untuk momen yang dihasilkan H (positif adalah putaran searah jarum jam). Maka, ∑M
A = 0 adalah ∑M A = + P.u
‒R .
B .a ⇒ R B =
Arah dan besar R A dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan ∑X = 0 ; dan ∑Y = 0.
(Kasus # 3).
Pada balok tunggal seperti terlihat pada gambar disamping, tentukan reaksi tumpuan
A dan B. Penyelesaian : ∑M A =0
0 ∑M
A = + P sin 45 . 3,00 ‒R B . 6,00 R B = (+ 5 sin 45 0 . 3,00) / 6,00 = 1,77 t
∑X = 0 0 ⇒+R A,H + P cos 45 =0
0 +R 0 A,H + 5 cos 45 =0 ⇒+R A,H = - 5 cos 45 = - 3,54 t ∑Y = 0 0 ⇒+R
A,V - P sin 45 +R B =0
0 +R 0 A,V - 5 sin 45 + 1,77= 0 ⇒+R A,V = + 5 sin 45 - 1,77 = 1,77 t
(Kasus # 4).
Pada konstruksi batang terjepit (konsole) seperti terlihat pada gambar di bawah, tentukan reaksi tumpuan A.
Penyelesaian :
Reaksi pada tumpuan A, R A harus mempunyai garis kerja yang sama dengan gaya P dengan arah yang berlawanan. Akan tetapi, reaksi A ini harus bekerja pada titik berat konstruksi konsole. Maka, R A dengan
komponen 2 nya R
dan R A,V yang sudah diketahui ini harus digeser pada titik A dengan tambahan momen M = - R A,V .e
A,H
2 n am la a
Contoh-contoh Soal : Soal 1.
Diketahui :
Konstruksi balok di atas 2 tumpuan dengan pembebanan sebagaimana terlihat pada gambar
Ditanyakan :
Reaksi perletakan di masing-masing
tumpuan.
Jawab : ∑M A = 0. -V B .5 + 2ton.4,5m + 1,5ton.m = 0
V B = (9 + 1,5)ton.m/5m = 2,1ton
∑V= 0.
+V B +V A – 2 ton = 0
V A = 2 ton– V A = (2– 2,1)ton = –0,1ton
Pada balok tunggal seperti terlihat pada gambar di bawah, tentukan reaksi tumpuan A dan B secara grafis dan analitis
Solusi : Menentukan reaksi tumpuan A dan B secara grafis.
1. Cari resultante gaya-gaya P (R P )
2. Diperoleh gaya resultante R P panjang 3,4 cm ≈ 3,4 t
3. Untuk mencapai keseimbangan, maka garis kerja resultante R P harus berpotongan dengan garis kerja reaksi di A dan B.
2 n am la a
4. Mencari keseimbangan gaya yang bekerja pada konstruksi, harus terjadi poligon tertutup antara R P dan reaksi di A dan B.
5. Uraikan R A menjadi komponen vertikal dan
Menentukan reaksi tumpuan A dan B secara analitis
PERSAMAAN KESEIMBANGAN :
∑F X = 0; ∑F Y = 0; ∑M = 0
Penyelesaian :
1. ∑F X =0 Asumsi : arah ke kanan positif, maka R A,H + Pcos 30° = 0 Sehingga, R = - Pcos 30° = -2,5 .0,866
A,H
R A,H = -2,165 t
am la a
2. ∑M A =0 Asumsi : berlawanan arah jarum jam negatif
3. ∑F Y =0
Asumsi : arah ke atas positif, maka 2,5 . 0,5 . 3,50 + 1,5 . 6,0 – R
P 1 sin30° . 3,50 + P 2 . 6,0 – R B . 7,0 = 0
R A,V + 1,91 – 2,5. 0,5 – 1,5 = 0 R = (4,375 +9)/7,0
4,375 + 9,00 – R B . 7, 0 = 0
A,V = – 1,91 + 1,25 + 1,5
R B = 1,91 t
R A,V = 0,84 t
PERBANDINGAN Hasil perhitungan
KESIMPULAN :
Grafis Analitis Hasil perhitungan grafis dan analitis R A,V = 0,6 t 0,84 t
menunjukkan hasil yang hampir sama. R A,H = 2,3 t 2,165 t
Perbedaan terjadi karena kekurang- R B = 2,0 t 1,91 t
tepatan pengukuran panjang garis berskala.
Soal 3.
Pada balok di atas batang pendel, tentukan reaksi batang 1, 2, dan 3 secara grafis dan
analitis
Solusi : Menentukan reaksi batang 1, 2, dan 3 secara grafis.
1. Cari resultante gaya-gaya P (R P )
2. Diperoleh gaya resultante R P panjang 3,6 cm ≈ 3,6 t
3. Untuk mencapai keseimbangan, maka garis kerja resultante R P harus ber-
potongan dengan garis kerja ketiga
gaya batang. Arah garis kerja gaya ketiga batang sudah jelas, resultante gaya batang
1 dan gaya batang 2 berpotongan di satu titik (E). Arah garis kerja gaya batang 3 m la
adalah vertikal. a H
4. Untuk mudahnya, maka potongkan garis kerja R P dan garis kerja gaya batang 3. Titik perpotongan kedua garis kerja ini adalah titik D. Hubungkan Titik D dan E, garis hubung ini adalah garis kerja resultan R S1,2 karena titik E adalah
perpotongan garis kerja S 1 dan garis
kerja S 2
5. Dari poligon gaya atas resultante gaya-gaya P, resultante gaya batang 1 dan 2 serta gaya batang 3 diperoleh : R S1,2 = 2,4 cm ≈ 2,4 ton
S 3 = 2,2 cm ≈ 2,2ton (tekan, karena menuju titik ujung batang)
6. Dari poligon gaya resultante gaya batang 1 dan 2 serta gaya batang 1 dan gaya batang 2, diperoleh :
S 1 = 2,8 cm ≈ 2,8 t (tekan, karena menuju titik ujung batang) S 2 = 1,3 cm ≈ 1,3 t (tarik, karena menjauhi titik ujung batang)
Menentukan reaksi batang 1, 2, dan 3 secara analitis.
Penyelesaian :
1. ∑M E =0 Asumsi : berlawanan arah jarum jam negatif –P 1 sin45° . 1,50 + P 1 cos45° . 3,00 + P 2 . 2,25 – S 3
S 3 = 2,01 t
la a H
2. ∑M A =0
–S 1,x + S 2,x +P 1 cos45° = 0
Asumsi : berlawanan arah jarum jam – 1/√5. S 1 + 1/√5. – 1,27 + 2,5 . 0,707 = 0 negatif
S 1 = (1/√5 . – 1,27 + 2,5 . 0,707) /1 . √5
–S 2,y .3,00 + P 2 . 3,75 – S 3 . 4,50= 0
S 1 = 2,68 t
Hasil perhitungan
S 2, = – 1,27 t
Grafis Analitis S 1 = 2,8 t 2,68 t
3. ∑F X =0
S 2 = -1,3 t -1,27 t
Asumsi : ke kanan positif
S 3 = 2,2 t 2,01 t
Soal 4.
Pada balok di atas batang pendel, tentukan reaksi batang 1, 2, dan 3 secara grafis dan analitis
Solusi :
3. ∑V = 0
Penyelesaian Cara Analitis
Asumsi : ke atas positif
1. ∑M B =0
S 1 + S 2, sin α+S 3 – 1,5 = 0
Asumsi : berlawanan arah jarum jam S 1 + ( -9,014) . 3/√13 + 2 . S 1 – 1,5 = 0 negatif
3S 1 + ( -9,014) . 3/√13 – 1,5 = 0 S 1 . 4,0 – S 3 . 2,0 = 0
S 1 = 3,0 t (tekan)
S 3 =2.S 1 S 3 = 6,0 t (tekan)
PERBANDINGAN :
2. ∑H = 0
Hasil perhitungan
P 2 + S 2 . cos α=0
Grafis Analitis
5 +S 2, . 2/√13 = 0 S 1 = 3,0 t (tekan) 3,0 t (tekan) a n m
S 2, = – 5.√13/2 ton S 2 = 9,8 t (tarik) 9, 014 t (tarik) a la S 2, = – 9,014 t (tarik)
S 3 = 6,9 t (tekan) 6,0 t (tekan) H
Penyelesaian Cara Grafis
1. Cari resultante gaya-gaya P (R P )
2. Diperoleh gaya resultante R P panjang 5,3 cm ≈ 5,3 t
3. Arah garis kerja gaya ketiga batang sudah jelas, resultante gaya batang 1 dan gaya batang 2 berpotongan di satu titik (E). Arah garis kerja gaya batang 3 adalah vertikal.
4. Potongkan garis kerja R P dan garis kerja gaya batang 3. Titik perpotongan kedua garis kerja ini adalah titik D. Hubungkan Titik D dan E, garis hubung ini adalah garis kerja
resultan R S1,2 karena titik E adalah perpotongan garis kerja S 1 dan garis kerja S 2
5. Resultante gaya batang 1 dan 2 serta gaya batang 3 diperoleh : R S1,2 = 5,3 cm ≈ 5,3 ton
S 3 = 6,9 cm ≈ 6,9 ton (tekan)
Dari poligon gaya resultante gaya batang 1 dan 2 serta gaya batang 1 dan gaya batang 2, a n
6. m diperoleh :
a la H
S 1 = 3,0 cm ≈ 3,0 t (tekan) S 2 = 9,8 cm ≈ 9,8 t (tarik)
Pembebanan Terdistribusi
Beban Terdistribusi pada Balok
Beban terdistribusi digambarkan dengan memplot beban setiap satuan panjang, q (N/m, t/m, kg/m, kips/feet, dll). Besarnya beban total adalah sama dengan luas area di bawah kurva beban.
Sebuah beban terdistribusi dapat digantikan dengan beban terpusat yang besarnya sama dengan luas area di bawah kurva beban yang garis kerjanya akan melalui titik berat area tersebut.
Model pembebanan terdistribusi pada balok dapat digambarkan sebagai berikut :
dQ = q(x).dx Q L
R =∫ L dQ = 0 ∫ q(x).dx
∫ x.q(x).dA ∫ x.dA
∫ q(x)dA ∫ dA
Beban Terdistribusi Merata sepanjang Balok
dQ = q(x).dx = q.dx
R = 0 ∫ q.dx = q . x] 0
Q R = q.L
∫ x.dA ( 1
A 2 L.)(qL)
∫ (qL) dA
la a H
Beban Terdistribusi Segitiga sepanjang Balok
dQ = q(x).dx = q.dx
Q ½L
½L
R1 = 0 ∫ q.(2x/L)dx = (2q/L).( 0 ∫ x.dx )
= (2q/L).( 0 ½x 2 ] ½L ) = (2q/L).( 1 / 0 2 8 .L )
=(qL/ 4 ) Q R2 = ½L ∫ L q.(2[L-x]/L)dx = (2q/L).( L ½L ∫ [L-x].dx
2 = (2q/L).[L.x – ½x L ]
½L
= (2q/L).( 1 / 2 .L 2 – 3 / 2 8 .L )
= (qL/ 4 )
Q Rtotal =Q R1 +Q R2 =(qL/ 4 ) + (qL/ 4 )
Q Rtotal = (qL/ 2 )
∫ x.dA
( 3 . 2 L.). Q R1 + ( 2 + 1 3 . 1 2 )L.Q R2 x =
A x 1 .Q R1 + x 2 .Q R2
dA Q R1 + Q
( ∫ 1 R2 2 qL)
Beban Terdistribusi Parabola sepanjang Balok
dQ = q(x).dx = (q/ n
(n+1) ) . (q/ L ).x ] 0
1 / =( ).(q/ n
L ) .L n+1
(n+1)
Q R = (q/ (n+1) ).L
() L n .x .dx
∫ n x.dA ∫ x.
∫ dA q n
A ∫ L n .x .dx
() L n .x .dx 1 n + 2 L
a x = L = L = (n + 2) x 0 x = (n + 2) L H
la
(n + 1)
(n + 1)
qn
n .x .dx
Beban Terdistribusi Parabola sepanjang Balok
dQ = q(x).dx = (q/ 1/m
) . (q/ 1/m ).x 1/m+1 (m+1) L L ] 0
(m+1) ).(q/ L ) .L Q =( m R / (m+1) ) q.L
=( 1/m+1 /
1/m
∫ x.dA ∫ x. 1 .x .dx
∫ 1 dA q m
A ∫ . 1 x .dx
1 + 1 m 1 ∫ x m dx
x = L 0 (m + L 1) x = (2m + 1) L
1 m ∫ .x .dx
Beban Terdistribusi ¼ Lingkaran sepanjang Balok
Ingat persamaan lingkaran berikut :
y 2 +x 2 =R 2 y = √(R 2 –x 2 )
2 A= 2
0 ∫ y.dx = 0 ∫ √(R –x ) . dx
Analog/sama dengan hal di atas, maka diturunkan rumusan berikut : Karena sin = x / r , maka x = r sin ; dan dx = r cos d Sehingga,
q(x) = q.cos dQ = q(x).dx = (q.cos ). (r cos d )
Q r R = 0 ∫ dQ = 0 ∫ √ (q.cos ). (r cos d ) ∫ = 0 ½ √(q.cos ).(r. cos .d )
0 ∫ = qr.cos .d = qr. 0 ∫ (cos2 _+1)/2_.d
= ½qr. 0 ∫ ½ (cos2 +1).{½d(2 )} m
a la = ¼qr. 0 ∫ (cos2 +1).{d(2 )}= ¼qr. (sin2 +2 )] 0 H
= ¼qr {sin +2.½ ) – (sin 0+2.0)} Q = ¼ qr R
Letak titik tangkap Q R : Karena sin = x /
r , maka x = r sin ; dan dx = r cos d Sehingga, x = 0 0 sin = /
q(x) = q.cos
∫ x.dA x.q(x).dx ( r. ∫ α ∫ sin )( .q. cos α )( . r. cos α.dα )
∫ dA
A ∫ q ( x)dx
∫ q ( cos α )( r. cos α.dα )
qr ∫ ( sin α ) ( cos α ) d α
∫ cos α ( − d cos α )
qr ( cos α ) d
cos α d α + d α
{ cos () − cos () }
− π cos −
( sin α + α )
{ ( sin π + π )( − sin + ) }
Contoh Soal 1
Diketahui : Konstruksi dengan pembebanannya seperti
tergambar.
q 1 = 2ton/m; q 2 = 1ton/m; q 3 = 4ton/m; P = 2ton
Ditanyakan : • Besarnya reaksi perletakan • Besarnya reaksi sendi B, D, E
3 n am la a
Jawab : ΣM A =0 + ↻
ΣH = 0 +→
(½.q 1 .5).⁵⁄₃ – (q 2 .√34).cos
H A + (½.q 1 .5) +P– (q 2 .√34).cos =0
(q 2 .√34).sin .4,5 + (½. .q 3 .3).6 – P .1,5
H A = – (5) –2+(5)
–V C .3,0 = 0
H A = –2,0 ton
V C = {²⁵⁄₃–²⁵⁄₂+3.4,5+36 –3,0}/3,0
V C = 39,79 ton
ΣV = 0 +↑
V A +V C – (q 2 .√34).sin –(½. .q 3 .3)=0
V A = – 39,79+3,0+6
V A = –17,95 ton
Freebody Balok ABDF :
ΣM B =0 + ↻ –V A .3 – V D .3+ (½. .q 3 .3).3 = 0 – 17,95.3 – V D .3+ (½. .q 3 .3).3 = 0
V D = 0,89 ton
ΣV = 0 +↑
V B +V D –V A – (½. .q 3 .3)= 0
V B +0,89 – 17,95 – (½. .q 3 .3)= 0
V B = 35,90 ton
ΣH = 0 +→ –H A +H B –H D =0 –2,0 +H B –H D =0
H B =H D +2,0 ………….. (pers. 1)
Freebody Balok ED : ΣM E =0 + ↻
V D .3 + (q 2 .√34).cos .2,5 + (q 2 .√34). sin .1,5–H D .5=0
0,89.3+12,5+4,5–H D .5=0
H D = 3,93 ton
Dari persamaan 1 ….)
ΣV = 0 +↑
la a H
H B =H D +2,0 = 3,93 +2,0
V E –V D –(q 2 .√34).sin = 0
H B = 5,93 ton
V E –0,89 – 3,0= 0 → V E = 3,89 ton
ΣH = 0 +→
ΣH=–H E –H B +P+ (½.q 1 .5)
H E +H D –
(q 2 .√34).cos = 0
=0 ….ok!
H E +3,93–5_= 0
H E = 1,07 ton
ΣV ? 0 + ↑
Freebody Balok
KONTROL !! =0 ….ok!
ΣH ? 0 +→
Contoh Soal 2
Diketahui konstruksi dan pembebanannya sebagaimana digambarkan di atas.
Pertanyaan : Cari reaksi batang pendel 1, 2, dan 3 dengan cara grafis dan analitis
3 n am la a
Jawab : Perhatikan freebody balok seperti yang ditandai di bawah ini
Beri nama titik-titik tumpu balok sebagaimana pada gambar, yaitu titik A, B, dan C Batang-batang 1,2, dan 3 yang terpotong digambarkan memunculkan reaksi pada
batang yang merupakan gaya batang S 1 ,S 2 , dan S 3 . Fokuskan perhatian pada free-body balok di bawah ini.
Karena, batang 1, 2, dan 3 merupakan batang pendel, maka garis kerja gaya batang S1, S2, dan S3 bekerja pada sumbu batang.
1. Cara GRAFIS Pertama, cari resultante gaya dari beban yang bekerja dengan cara poligon batang tarik. Kedua, cari posisi garis kerja R pada gambar situasi freebody konstruksi dan pembebanannya :
Gambar garis kerja gaya bantu a, b, c, d, e pada gambar situasi.
Garis kerja resultant beban R, ditemukan melalui perpotongan garis kerja gaya bantu a dan e m dan sejajar dengan garis kerja yang diperoleh pada gambar gaya
a la H
Gambar gaya
Gambar situasi
Untuk membuat free-body seimbang , maksimal ada 3 gaya menuju satu titik tangkap. Dalam hal ini ada 3 reaksi batang dan 1 resultan R dan garis kerja reaksi S1 dan S3 sejajar, maka strateginya adalah :
• Garis kerja S3 dipotongkan dengan garis kerja R,
bertitiktangkap di U. • Garis kerja S1 dipotongkan dengan garis kerja S2 ,
bertitiktangkap di V. • Maka, garis kerja resultane S1 dan S2 yang salah
satu titik tangkapnya adalah V harus mempunyai titik tangkap lain di U. Sehingga, garis kerja resultan S1 dan S2 = garis hubung UV.
Gambar situasi • Gambarkan
R yang sudah tertentu besarnya membentuk
poligon tertutup dengan S3 dan resultant S1 dan S2.
• Resultant S1 dan S2
kemudian
diuraikan
Gambar gaya
3 n am
menjadi gaya S1 dan S2.
la Keterangan :
Gaya batang menuju titik tumpu adalah gaya tekan, dan gaya batang menjauhi titik tumpu = gaya tarik.
Dengan skala yang ditetapkan, maka diperoleh : S 1 ≈ 10 ton (tekan), S 2 ≈ 2,7 ton (tarik), dan S 3 ≈ 5 ton (tekan),
2. Cara ANALITIS
Penyelesaian dengan persamaan keseimbangan : Σ H = 0, Σ V = 0, atau Σ M = 0
ΣH = 0 = S 2 .cos β + P.cos α = 0
⇒ = − P.cos α = − 2.0,866 = − 1,732 = −
S 2 2,254ton
cos β
S 2 berlawanan arah dengan yang dimisalkan atau mempunyai arah menjauhi titik tumpu (B), maka S 2 merupakan gaya tarik dan batang 2 adalah batang tarik.
S 2 telah diperoleh, lanjutkan dengan S 1 atau S 3
ΣM A = 0 = − S
2 .sinβ ) .5 - S 3 .11 + 2 .q 1 .5.2,5 + ( P 2 .sinα ) .8 + q 2 .3.9,5 = 0
⇒ S = ( 2 .sinβ ) . − 2 .3.5.2,5 − (
2.sin30 ) . − 1.3.9,5
⇒ S 3 = + 5,314ton
S 3 sesuai arah yang dimisalkan atau mempunyai arah menuju titik tumpu (C), maka S 3 merupakan gaya tekan dan batang 3 adalah batang tekan.
S 2 dan S
3 telah diperoleh, lanjutkan dengan S 1 3
a n ΣV = 0 = S 1 + S 2 .sinβ + S 3 − P − 1 1 2 .q 1 .5 − P 2 .sinα − q 2 .3 m
2 1 1 S 2 . 2,5 2,5 + 3 2 − S 3 + 1 + 2 .3.5 + 2.0,5 + 1.3 ⇒ S 1 = + . ton a H S 1 sesuai dengan arah yang dimisalkan, atau mempunyai arah menuju titik tumpu (A), maka S 1
la ⇒ S = −
merupakan gaya tekan dan batang 1 adalah batang tekan
Bagian IV
Konstruksi Batang dan Diagram Gaya Dalam
Pengetahuan Dasar
Konstruksi batang adalah suatu konstruksi yang terdiri atas satu atau lebih batang yang dapat menerima gaya normal, gaya lintang, dan momen lentur.
Konstruksi rangka batang terdiri dari suatu sistem yang hanya dapat menerima gaya normal (tekan atau tarik).
Pada konstruksi batang semua garis sumbu dan garis kerja oleh beban berada dalam satu bidang (terjadinya momen torsi diabaikan).
Batang/balok adalah suatu bagian bangunan yang biasanya menerima beban pada garis sumbunya dan mengalami lendutan oleh momen lentur.
Balok biasanya terletak horizontal, walaupun sering juga didapati balok tunggal yang miring (misalnya tangga), berdiri secara vertikal (dengan tekanan angin sebagai beban) dan yang berbentuk portal atau busur.
Pada umumnya panjang batang > tinggi dan lebar balok ( l > 4b dan l > 4h ) Untuk menentukan reaksi tumpuan pada konstruksi batang, maka dapat digunakan 3 syarat
keseimbangan Suatu konstruksi batang dikatakan statis tertentu, jika tidak ada lebih dari 3 nilai reaksi
tumpuan yang tidak diketahui. Jika suatu konstruksi batang mempunyai lebih dari 3 nilai reaksi tumpuan maka sistem
tersebut menjadi statis tidak tertentu. Menurut banyaknya dan bentuk tumpuan , maka konstruksi batang dapat dibagi menjadi :
1. Balok Tunggal (dengan satu tumpuan sendi dan satu tumpuan rol, statis tertentu)
2. Konsole (konstruksi batang yang terjepit di satu ujungnya dan bebas pada ujung lainnya, statis tertentu)
3. Balok Terjepit (salah satu ujungnya terjepit sedang ujung lainnya dapat saja tumpuan rol atau tumpuan jepit, statis tidak tertentu).
4. Balok terusan (satu batang ditumpu oleh tiga atau lebih tumpuan, statis tidak
tertentu) a n m
5. Balok Rusuk Gerber (hanya jika dipasang engsel dalam jumlah yang sama dengan
a la banyaknya tumpuan dalam, statis tertentu) H
Contoh Konstruksi BATANG
Diagram Gaya
Diagram gaya terdiri dari : Diagram gaya normal Diagram gaya geser/lintang
Diagram momen lentur Kegunaan dari diagram gaya tersebut adalah untuk melihat pengaruh gaya-gaya dalam
terhadap batang yang dikenai beban, sehingga dapat diperkirakan letak dan besar beban maksimum dari masing-masing jenis gaya dalam tersebut di atas. Pada keseimbangan, harus diperhatikan bahwa konstruksi seluruhnya harus seimbang.
Perhatikan sebuah benda, yang dibebani oleh gaya P 1 , P 2 , dan P 3 yang bertumpu pada tumpuan A dan B dalam keseimbangan dan dibagi oleh garis s-s menjadi 2 bagian, yaitu bagian I dan II.
3 n am la a
Jika ditinjau bagian I, maka bagian ini akan seimbang jika kita memasang suatu gaya atau resultante R i dari semua gaya luar bagian II (beban dan tumpuan).
Jika kita perhatikan bagian II, kita akan mendapat resultante R i juga oleh bagian I karena syarat keseimbangan benda.
Pada umumnya reaksi R i kita tentukan pada titik berat potongan s-s yang sembarang. Nilai R i dapat ditentukan secara analitis, sebagai berikut :
Bagian R i yang vertikal (ordinat) sebelah kiri atau sebelah kanan dari suatu potongan s-s yang sembarang kita tentukan sebagai gaya lintang (Q)
Bagian R i yang horizontal (absis) sebelah kiri atau sebelah kanan dari suatu potongan s-s yang sembarang ditentukan sebagai gaya normal (N)
Momen lentur (M) menjadi jumlah semua momen yang timbul sebelah kiri atau
sebelah kanan dari suatu potongan s-s yang sembarang terhadap titik berat dan benda atau konstruksi pada potongan s-s itu.
Perjanjian tanda
Reaksi tumpuan menjadi positif (+) jika tumpuan itu ditekan, dan negatif (-) sebaliknya
a la H
Gaya lintang L menjadi positif (+) jika arah potensi pergerakan gesekan searah jarum jam , dan negatif (-) sebaliknya.
Gaya normal N menjadi positif (+) sebagai gaya tarik dan menjadi negatif (-) sebaliknya.
Momen lentur (M) menjadi positif (+) jikalau ada gaya tarik pada sisi bawah dan menjadi negatif (-) sebaliknya, atau momen lentur (M) menjadi positif (+) jika momen itu sebelah kiri dari suatu potongan akan memutar dalam arah jarum jam, dan menjadi negatif (-) sebaliknya.
la a H
Contoh Kasus 1 (BALOK TUNGGAL : dengan satu gaya)
Pada balok tunggal dengan satu gaya, kita asumsikan bahwa batang tersebut tidak mempunyai berat sendiri.
Balok tunggal dengan satu gaya P sembarang yang bekerja pada titik tangkap 1 menurut gambar di samping kita dapat mencari reaksi tumpuan sebagai berikut :
∑M B =0=R A .l–P.b
∑M A =0=R B .l–P.a
R A =P.b/l
R B =P.a/l
Sebagai contoh, dapat digambarkan diagram gaya lintang/geser pada setiap irisan pada balok tunggal dimaksud sesuai prosedur berikut :
Pertama, perhatikan letak irisan pada balok tunggal terhadap titik 1. Jika letak irisan dari titik acuan dinyatakan dengan x, maka akan terdapat kondisi-kondisi tertentu yang perlu dipertimbangkan. Pada contoh di sini kondisi dimaksud adalah :
1. Kondisi 1 adalah irisan-irisan balok di sebelah kiri titik 1 atau irisan-irisan dengan nilai x : antara 0 sampai dengan a (secara matematis dinyatakan 0 ≤ x ≤ a)
2. Kondisi 2 adalah irisan-irisan balok di sebelah kanan titik 1 atau irisan-irisan dengan nilai x : antara a sampai dengan l (secara matematis dinyatakan a ≤ x ≤ l)
Dari gambar di atas dapat ditemukan nilai gaya dalam lintang, L pada kondisi 1 dan pada kondisi 2, dan kemudian digambarkan dalam diagram di samping
a la H
Contoh kasus 2
Diketahui : Konstruksi balok tunggal dengan beban P di tengah bentang.
• Pertanyaan 1: Reaksi perletakan di A dan B ? Jawab :
P. − R B .l =
P. − R B − R A =
• Pertanyaan 2 : Gambar diagram gaya dalam sepanjang balok ! Jawab : Tujuan : mencari persamaan bidang gaya dalam pada balok sepanjang bentangnya, dengan
cara di bawah ini.
1. Tetapkan titik ujung batang yang dapat ditetapkan sebagai acuan (A atau B).
2. Tetapkan jarak bebas potongan balok terhadap titik acuan (misal x) sejajar sumbu balok.
3. Tinjauan jarak x akan dipengaruhi oleh perbedaan kondisi perubahan beban atau perubahan bentuk yang ada sebanjang balok.
4. Pada setiap potongan dalam jarak x dari titik acuan hitung reaksi gaya dalam yang muncul sebagai reaksi yang membuat freebody terpotong dalam keadaan seimbang.
4 a n m la a H
5. Tinjau kondisi 1 : 0 < x < l/2
6. Tinjau kondisi 2 : l/2 < x < l
R .x − P. x − l − M = 0
M x = P .x − Px + P. l
7. Gambar persamaan di atas pada sumbu sejajar balok.
a la H
Contoh Kasus 3
Pertanyaan : Cari reaksi perletakan di A
Gambarkan diagram gaya dalam L, N, M sepanjang batang
Solusi :
A. Reaksi Perletakan :
∑M A = 0 = P.sin α. 1 – M A ∑H = 0 = P.cos α + R A,H ∑V = 0 = P.sin α – R A,v = 4. 1 – M A =0
B. Diagram Gaya Dalam
Kondisi 1, kaji irisan pada titik di 0 ≦x≦1m;
Q x =R = 4 ton A, V N x =-R = - 3 ton A, H
M x =M A =4–4x
Kondisi 2, kaji irisan pada titik di 1 ≦x≦ 3 m;
Q x =R
‒ 4 = 0 ton A, V 3
N x =-R –3 A, H = 0 ton 3
M x =M A - 4. (x-1) = 4 – 4x + 4(x-1) =0 tm am la a
Penggambaran diagram gaya dalam :
Contoh Kasus 4
Balok Tunggal dengan Beban Merata Diketahui q = 2,5 ton/m dan l = 4 m
A. Reaksi Perletakan :
∑H=0
Substitusi R B ke pers 1) A,H R =0
R A = 10 – 5 = 5 t 4
∑M A =0
q.l –R A – R B =0
– R B . l + q . l. l/2 = 0 2,5 . 4 – R A – R B =0 m la a
– R B. 4 + 2,5 . 4. 4/2 = 0
A – R 10 – R B =0 …1) H
B. Gambar Diagram Gaya Dalam :
Mencari diagram gaya dalam : Sepanjang panjang batang kondisi pembebanan sama. Maka, untuk x = 0
sampai l= 4m berlaku : Q x =R A, – q . x = 5 – 2,5 . x N x = 0t
M x =R . x – q .x. (x/2) = 5 . x – 1,25. x 2 A,
Contoh Kasus 5
Cari reaksi perletakan di A, B, dan C Gambarkan diagram gaya dalam L, N, M sepanjang batang
a la H
A. Reaksi Perletakan : Perhatikan konstruksi penumpang S 2 C:
∑M S2 = 0 → P.1 – V C .2 = 0
∑V= 0 → V
S2 + V C ‒P=0 = 45 →H C =V C = ³⁄₂ ton
Perhatikan konstruksi penumpang S 1 S 2 :
V B = ³⁄₂ + ³⁄₂ = 3 ton Perhatikan konstruksi utama AS 1 :
M A = – ³⁄₂. 3 + (1.3).(½.3)
A = ³⁄₂ ton V A = ³⁄₂ ton H M A = 0 tm
B. Persamaan Bidang Gaya Dalam
Balok S 1 A: kaji irisan pada titik di 0 ≦x 1 ≦3m N x = ‒H S1 = ‒³⁄₂ ton Q x = q.x 1 ‒V S1 = (x 1 ‒³⁄₂) ton
1 x = 0m
Q x = ‒³⁄₂ ton
1 x = 3m
Q x = ³⁄₂ ton
M x =V S1 .x 1 ‒ q.½.(x 1 )² = [³⁄₂. x 1 ‒½.(x 1 )²] tm
M extreem terjadi pada dM x /dx = 0
dM x /dx = x 1 ‒³⁄₂ = 0.
x 1 = ³⁄₂m M extr pada (x 1 = ³⁄₂m) = [³⁄₂. ³⁄₂ ‒½.(³⁄₂)²]
= [½.(³⁄₂)²] = ⁹⁄₈ tm
Gambar diagram gaya dalam irisan pada titik-titik sepanjang AS 1
Balok S 1 B: kaji irisan pada titik di 0 ≦x 2 ≦2m
N x = ‒H S1 = ‒³⁄₂ ton Q x = ‒V S1 = ‒³⁄₂ ton
M x = ‒V S1 .x 2 =( ‒³⁄₂. x 2 ) tm
x 2 = 0m M x = 0 tm x 2 = 2m
M x = ‒3 tm
a la
Gambar diagram gaya dalam irisan pada titik-titik sepanjang AS 1 B
Balok S 2 B: kaji irisan pada titik di 0 ≦x 3 ≦2m
N x = ‒H S2 = ‒³⁄₂ ton Q x =V S2 = ³⁄₂ ton
M x = ‒V S2 .x 3 =( ‒³⁄₂. x 3 ) tm
x 3 = 0m M x = 0 tm x 3 = 2m
M x = ‒3 tm
Gambar diagram gaya dalam irisan pada titik-titik sepanjang AS 1 BS 2
a la H
Balok S 2 C: kaji irisan pada titik di 0 ≦x 4 ≦1m
N x = ‒H S2 = ‒³⁄₂ ton Q x =V S2 = ³⁄₂ ton
M x =V S2 .x 4 = (³⁄₂. x 4 ) tm
x 3 = 0m M x = 0 tm x 3 = 1m
M x = ³⁄₂ tm
Gambar diagram gaya dalam irisan pada titik-titik sepanjang AS 1 BS 2 -titik tangkap P
Balok S 2 C: kaji irisan pada titik 1 ≦x 4 ≦2m
N x = ‒H S2 = ‒³⁄₂ ton Q x =V S2 ‒ P= ³⁄₂‒ 3 = ‒³⁄₂ton M x =V S2 .x 4 ‒ P(x 4 ‒1) = (³⁄₂. x 4 ) ‒ 3(x 4 ‒1) ‒ ³⁄₂. x =( 4 )+3 x 4 = 1m
M x = ³⁄₂ tm x 3 = 2m
M x = 0 tm
am
a la H
Gambar diagram gaya dalam irisan pada titik-titik sepanjang balok secara keseluruhan (bentang AS 1 BS 2 -titik tangkap P-C)
5 n am la a
Bagian V
Konstruksi Rangka Batang
Apa itu Rangka Batang ?
Suatu tipe struktur utama yang terdiri dari elemen-elemen lurus. Konstruksi rangka batang dibentuk oleh elemen-elemen struktural yang dipersatukan pada ujung-ujung elemen tersebut dengan sendi. Titik kumpul yang dibaut atau dilas diasumsikan digabungkan secara sendi. Gaya yang bekerja pada ujung elemen dikurangi hingga menjadi gaya tunggal tanpa momen. Terdapat 2 jenis gaya yang dipertimbangkan, yaitu :
• Jika gaya yang bekerja cenderung meregangkan elemen rangka, maka elemen berada dalam kondisi tarik.
• Jika gaya yang bekerja pada elemen cenderung menekan batang, maka elemen rangka tersebut berada dalam kondisi tertekan.
Struktur seperti ini biasanya digunakan dalam bentuk bentang yang panjang untuk mengurangi berat sendiri struktur. Umumnya elemen struktur langsing dan tidak mampu menerima beban lateral yang besar. Beban pada struktur rangka batang harus diaplikasikan pada titik kumpul. Contoh konstruksi rangka batang dapat kita lihat pada jembatan dengan bentangan panjang, kuda-kuda atap, struktur ruang, dan lain sebagainya.
5 a n m a la H
Beberapa jenis konstruksi rangka batang antara lain dapat dilihat di bawah ini.
Terminologi Rangka Batang
Terminologi rangka batang paralel seperti terlihat pada gambar, antara lain yaitu :
Bentang (Span) Tinggi (Depth atau Rise) Panel (Panel) Titik Kumpul/Simpul (Joint,
Panel Point, Node) Batang Atas (Top Chord) Batang Bawah (Bottom Chord)
Batang Diagonal (Diagonal)
Batang Vertikal (Vertikal)
m a la
Rangka Batang Sederhana
H Rangka batang yang kaku tidak akan runtuh jika dibebani. Rangka batang sederhana
dibangun dengan menambahkan dua elemen batang secara beruntun dan satu titik kumpul dibangun dengan menambahkan dua elemen batang secara beruntun dan satu titik kumpul
Titik Kumpul dan Pembebanan pada Rangka Batang
Diasumsikan bahwa elemen rangka batang dihubungkan oleh sendi tanpa geser pada ujung- ujungnya. Sementara, beban diberikan hanya pada titik kumpul. Atau, semua gaya luar diupayakan bertitik tangkap di titik kumpul yang merupakan titik pertemuan dari batang- batang penyusun rangka batang tersebut.
Berikut adalah gambaran titik kumpul (joint) pada struktur rangka batang.
Hubungan pada titik kumpul seringkali menggunakan baut, paku, atau dilas. Pelat Gusset berfungsi mengikat elemen-elemen struktur menjadi satu. Bagaimanapun, elemen-elemen struktur tersebut dirancang untuk menahan beban aksial sehingga pengasumsian bahwa titikkumpul berlaku sebagai sendi adalah aproksimasi yang baik.
Rangka atap yang digambarkan di samping ini dibentuk dari bidang dua dimensi rangka yang
dihubungkan oleh rangkaian gording (purlin). a n m
Contoh pemodelan struktur rangka batang dan pembebanannya dapat dilihat sebagaimana a la H
gambar berikut :
Struktur Rangka Batang dengan konstruksi konsole tanpa beban dan dengan beban terpusat pada joint kanan atas
Beban Ekivalen
Apa Beban Ekivalen ? Jika terdapat beban yang TIDAK bekerja PADA TITIK KUMPUL konstruksi rangka batang,
maka kita harus menggantikan terlebih dahulu beban-beban tersebut dengan suatu BEBAN EKIVALEN yang bekerja pada titik kumpul (joint).
Batang yang menerima beban TIDAK PADA TITIK KUMPUL kita pisahkan untuk sementara terlebih dahulu dari konstruksi keseluruhan. Kemudian kita analisis batang di atas seperti balok di atas dua tumpuan sedemikian hingga reaksi pada tumpuan bisa diperoleh. Reaksi perletakan/tumpuan yang diperoleh tersebut kemudian dibalikkan arahnya dan berubah menjadi gaya luar pada titik kumpul yang bersesuaian.
Gaya luar ini merupakan BEBAN EKIVALEN yang bekerja pada titik kumpul, karena memberiikan pengaruh yang ekivalen dengan beban semula.
a la H
Statika Rangka Batang
Untuk memenuhi kondisi stabil rangka dengan menggunakan sambungan sendi pada setiap titik kumpulnya, maka elemen-elemen tersebut harus seluruhnya merupakan komposisi dari bentuk sebuah segitiga.
Dalam terminologi matematika, maka kondisi yang perlu dipenuhi untuk kestabilan adalah m ≥ 2 j – r. Dimana m adalah jumlah keseluruhan elemen rangka; j
adalah jumlah keseluruhan titik kumpul; r adalah jumlah reaksi. Jika m = 2j − 3, rangka dikatakan statis tertentu (statically determinate), karena (m+3) gaya-gaya elemen internal dan reaksi perletakan dapat ditentukan oleh 2j persamaan keseimbangan, setelah kita mengetahui beban luar dan geometri rangka tersebut.
Metoda Perhitungan Gaya Batang pada Rangka Batang
Terdapat beberapa metoda yang dapat digunakan, yaitu : – Metoda Irisan/Method of Section – Cara CREMONA – Cara MAXWELL