STATISTIKA_THEORY WEEK 7 Distribusi Normal

  STATISTICS WEEK 6 Oleh : Hanung N. Prasetyo

Pengantar:

  Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi

kontinyu yang sangat penting di bidang statistika.

diantaranya distribusi normal. Distribusi ini sangat berperan

pada statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis, pada statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis,

pengujian panjang umur ( ) dan sebagainya

  Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan:

  

1. Mampu menggunakan konsep0konsep dasar teori Distribusi

Probabilitas Kontinu secara benar.

  2. Mampu melakukan operasi hitungan0hitungan yang berkaitan dengan

  3. Terampil dalam mengerjakan soal0soal tugas dan latihan.

Daftar Isi Materi:

  Distribusi Normal Distribusi Normal Baku Distribusi Normal Baku

Luas Daerah dibawah Kurva Normal

Perhatikan grafik Histogram dan Poligon berikut

  f(X) Histogram Poligon Kurva

  X

  !*+ & σ ( ! ,&

#

  ! """# $%%& ' ( )

  ! & ! & σ !*+ & σ

• .

Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang paling

penting dalam statistika. Disebut pula dengan distribusi Gauss

(Gaussian distribution). Fungsi densitas dari variabel random X dengan mean dan Fungsi densitas dari variabel random X dengan mean dan

  2

  variansi adalah: σ

  − − σ

  [ ] , −∞ < x <∞

  σ = ( )

  π σ

  _/ . _/ - _!* & _{/ ,} σ

  / _/ / _{#. #, / , .}

• Gambar 6.1 Kurva normal

  _/ % _/ . _{!* % -} & _{/ , /}

  ≠ = = σ σ _/ /

  / _{/ , . $ /}

• *

  Gambar 6.2 Kurva normal dengan simpangan baku sama

  / ^% _{!* / / , %} ^& σ = =

  σ = =

#. #, / , .

^{/ / / %} _* σ = = σ = =

Gambar 6.3 Kurva normal dengan rata0rata sama

  _/ $ _/ = σ = _{/ %} & _{!* / .} = − σ = _/ , _/ / _{# #. #, / , .}

• Gambar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda

Karakteristik Distribusi Normal

Data merupakan data kontinu (interval atau rasio)

Sebaran bersifat simetris dengan modus tunggal (unimodal) Mean=median=modus Mean=median=modus

Batas nilai memungkinkan untuk seluruh bilangan

riil tak terbatas kekiri maupun kekanan Secara umum karakteristik ditentukan oleh dua parameter yaitu mean dan standar deviasi

  Perhitungan Probabilitas pada Distribusi Normal σ

  ∫ P

  (x < X < x ) =

  1

  2

  − [ [ − σ ] ] = =

  ∫ ∫ π σ

Integral di atas tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk

memudahkan perhitungan tersedia tabel normal yang berisikan luas dibawah area kurva normal baku

  − z =

  σ Sifat Distribusi Normal Grafik simetri terhadap sumbu tegak x (=μ) Grafik selalu berada diatas sumbu X (f(X)>0) Mempunyai satu nilai Modus

Grafik mendekati sumbu X (tidak akan memotong sumbu Grafik mendekati sumbu X (tidak akan memotong sumbu

X) Luas dibawah kurva f(X) dan diatas sumbu X sama dengan satu ( )

  ∞ < < ∞ = ( )

  Kurva Normal

Kurva normal yang dibentuk oleh normal, memiliki bentuk

lonceng simetris dan lebih lanjut memiliki properti sebagai

berikut: 1.memiliki modus, median, dan mean pada satu titik

  2.kurva berbentuk simetri terhadap sumbu vertikal yang 2.kurva berbentuk simetri terhadap sumbu vertikal yang melewati 3.kurva memiliki titik belok pada x = ±σ 4.kurva normal mencapai sumbu horizontal secara asimptot

  1

. $ ,/ ,, ,. ,

  _{. /}

• _{- - /}
_{/ /} . _{& ( !* / ,} & _{!* ( / , / / / / /} / _{# #. #, / , .}

  # # #. #. #, #, / / , , . . _{) )} . _{/ / -}

• _{- /}
_/ ^. _{( !*} & _{, / !*} ^& _{( / , / /} / _{/ /} ^/ # #. #, / , . # #. #, / , . _{) )}

  / 2%

  / ^{/ / % / , /} ₍ / 2% _/ ^{/ / % / , /} ₍ / 22 . $ / , . ^{/ / / / / % /} ₃ ⁽

• 2, /$ ^{/ /,% / /,%} _{. $ / , . /} ^{/ / / / % /}

  3 ⁽ / 22

  % %, . $.$ ^{/ //% / //%}

  

Bentuk umum Kurva Distribusi

Normal

Disebut juga dengan Distribusi Gauss.

  ( ) =

     

    π σ

  σ

  σ

  f(X)

  σ !" !

  = = = =

  π σ π σ

  σ

  X

  σ

  

Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan

sbb: −  
• −  

  σ  

  (! ≤ ≤ & = !*& * =

  ∫ ∫ πσ . _{- / !* & / ,} / _{/ /} / #. #, / , . _* a b

Gambar 6.5 Luas daerah P(a<x<b)= luas daerah di arsir

  

Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata0rata

dan variansi dinyatakan sebagai: σ

  − * − ! &amp;! &amp;

  σ

• !*+ σ &amp; = −∞ &lt; &lt; ∞ πσ

  π = =

  Begitu dan diketahui, maka kurva normal dapat σ ditentukan. Misal: = σ = +

  !*+ &amp; maka ordinat dengan mudah dapat dihitung. Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral.

  Gunakan tabel distribusi normal standart (Z) yaitu distribusi normal dengan

  = σ = − *

  4 =

  Caranya menggunakan transformasi dengan rumus

  σ

  Setiap pengamatan perubah acak X dapat ditransformasikan ke perubah acak Z dengan rata0rata 0 dan variansi 1.

  − *

  4 =

  Jika X mendapat nilai padananya diberikan oleh . Jadi jika

  σ = = = = * * * * * * * *

  X bernilai dan maka perubah acak Z akan X bernilai dan maka perubah acak Z akan − −

• Bernilai dan kemudian dinyatakan sebagai:

  4 = 4 = σ σ

• 4

  −  

• − 

  

  4 −

  ( ) σ

   

  (!* ≤ ≤ = * * * &amp; =

• πσ

  ∫ ∫

  πσ

• 4

  4

  = !4 &amp; * = (!4 &lt; &lt; 4 4 &amp; ∫

  4

  _{. /} % _{/ - " % &amp; /} / !* _{/ , / /} / #. #, / , . _* X1 x2

Gambar 6.6 P(x1<x<x2) untuk kurva normal yang berbeda

  Distribusi perubah acak normal dengan rata0rata nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku / ^{. / / $} _!* ^{# / % &amp;} _/ ^{, / - / . !* / &amp;}

  →

  #. #- #, # / , ^{/ / / ,} _{#. #, / , .} ^{/ / /} ₄ Ganbar 6.7 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan

x1 x2 z1 z2

  (!* * * &amp; (!4 * 4 &amp; &lt; &lt; = &lt; &lt; (!* * * &amp;

  &lt; &lt; (!4 4 4 &amp;

  &lt; &lt; Probabilitas P(a&lt;X&lt;b) P(a&lt;X&lt;b) ditentukan oleh luas daerah dibawah kurva f(X)

  Menghitungnya luas daerah di bawah f(X) kurva f(X) dengan interval a dan b dilakukan dengan menggunakan dilakukan dengan menggunakan rumus integral.

  Akan lebih mudah dihitung jika nilai0 nilai X ditransformasikan menjadi nilai0nilai baku Z.

  # =

  X

  σ

  a b

Probabilitas P(a<X<b) (lanjutan)

  B03σ B02σ B0σ B+σ B+2σ B+3σ B

  03

  02

  01

  1

  2

  3 Dengan transformasi tersebut maka diperoleh Distribusi Normal Z yang mempunyai rata0rata B = 0 dan simpangan baku σ = 1.

  Distribusi Normal Z ini disebut dengan Distribusi Normal Standar. Probabilitas menjadi P(z1&lt;Z&lt;z2).

Probabilitas P(a<X<b) (lanjutan)

  f(X)

  X

  3

  03

  02

  01

  1

  2 z1 z2 Probabilitas P(a&lt;X&lt;b) (lanjutan)

Probabilitas P(z1&lt;Z&lt;z2) dihitung dengan memakai tabel

Distribusi Normal Standar.

  Contoh : Tentukan probabilitas dari Tentukan probabilitas dari &lt; &lt; # ≤ # ≤

  ( ( ) ) Jawab : Dari tabel diperoleh 0,4943

  Maka = 0,4943 &lt; # ≤

  ( )

  2,53 Daerah P(0&lt;Z&lt;2,53)

  ! Diketahui suatu distribusi normal dengan

  = σ

  = dan Carilah probabilitas bahawa X mendapat nilai antara 45 dan 62

  " # = = * * $

  4 $

−

  −

  4 = = 4 = = −

  5

  6 _{/ / / / . .} (! &lt; &lt; &amp; = (! − &lt; &lt; * 4 &amp; $ _{/ / . . / , / / , / -}

• _{/ / /} /
_{/ / / / / ,/ ./ / $/ // /} / _{#. #, / , .}

  (! − &lt; &lt; 4 &amp; (! &lt; &lt; &amp; * $

  

Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh:

(! &lt; &lt; $ &amp; = (! − &lt; &lt;
• 4 &amp; = (!4 &lt; &amp; (!4 − &lt; − &amp; = − = $
Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal

  z 0.00 ……… 0.04 ……..

  0.09 : :

• 0.5 0.3085

  : :

  1.2 0.8849 : :

  No B.Bawah

  1 Mean -1,645 Deviasi Baku

  Mean + 1,645 Deviasi Baku

  90%

  2 Mean -1,96 Deviasi Baku

  Mean +1,96 Deviasi Baku

  95%

  3 Mean -2,58 Deviasi Baku

  Mean +2,58 Deviasi Baku

  99%

LATIHAN

  Hitung probabilitas dari nilai Z berikut : P(Z&lt;-1,75) P(-2,75&lt;Z&lt;-1,52) P(Z&gt;-1,52) P(Z&gt;-1,52) P(Z&lt;0,97)

Bila X adalah variabel acak berdistribusi

normal dengan rata-rata 25 dan simpangan baku 10, tentukan probabilitas P(20&lt;X&lt;38)!

  Distribusi Kumulatif Perhitungan probabilitas variabel random Z yang

berdistribusi normal standar akan lebih mudah dihitung

dengan memakai fungsi distribusi kumulatif. Distribusi kumulatif dari Z adalah F(z) dimana Distribusi kumulatif dari Z adalah F(z) dimana F(z) = P(Z&lt;z) sehingga :

  

&lt; &lt; = &lt; − &lt;

% # % # % # %

( ) ( ) ( )

  = − &amp; % &amp; % ( ) ( ) Hitung probabilitas dari P(-1,43&lt;Z&lt;2,53)

  a. Dengan distribusi normal standar

  b. Dengan distribusi kumulatif Jawab:

  a. P(-1,43&lt;Z&lt;2,53)=P(0&lt;Z&lt;1,43)+P(0&lt;Z&lt;2,53) =0,4236+0,4943=0,9179

  b. P(-1,43&lt;Z&lt;2,53)=F(2,53)-F(-1,43) Dari tabel distribusi normal standar kumulatif nilai z2=2,53 ada diantara 2,50 dan 2,55 juga diantara 2,326 dan 2,576. Kita pilih yang I. Sedangkan nilai z1=-1,43 ada diantara -1,405 dan -1,476 juga diantara -1,40 dan -1,45. Kita pilih yang II.

  Jika za=2,50 dan zb=2,55 kemudian Lz2=luas daerah (besar nilai) z2, Lza dan Lzb masing-masing untuk za dan zb maka besar z2 dapat dihitung dengan rumus :

  % % '% '% = % % '% '%

  ( ) ( ) '% '%

  $ '% = =

  = Contoh (lanjutan)

  ( ) ( ) ( ) ( ) $ $ &amp; &amp; # ( )

  $ '% = = − = &lt; &lt;

  = =

  Contoh Distribusi Normal

  1. Tinggi badan mahasiswa ITB berdistribusi normal dengan = 165 cm dan σ = 10 cm.

  7 Berapa probabilitas seorang mahasiswa yang dipilih secara acak memiliki tinggi lebih dari 180 cm?

  7 Tentukan ambang di mana persentase mahasiswa yang melewati ambang batas ini tidak lebih dari 5%!

  Contoh Distribusi Normal

  

2. Sebuah pabrik lampu menghasilkan lampu dengan

usia nyala yang berdistribusi normal dengan = 2500 jam dan σ = 100 jam. Suatu batch dinyatakan sebagai baik kalau dari 5 lampu yang diuji, sebagai baik kalau dari 5 lampu yang diuji, maksimum 1lampu yang usianya kurang dari 2350

jam. Berapa probabilitas suatu batch dinyatakan

baik? Kalau terjadi kerusakan pada proses produksi sehingga -nya menjadi 2400 jam, berapa probabilitas kerusakan ini terdeteksi?

  Pendekatan Distribusi Normal Terhadap Distribusi Binomial Pada saat n sangat besar dan p tidak bernilai ekstrim mendekati 0 atau 1, perhitungan terhadap distribusi binomial dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan perhitungan distribusi normal.

  Teorema: Teorema:

Jika X adalah sebuah variabel random binomial dengan mean = np

  2 dan variansi σ = npq, maka bentuk limit pada saat n ∞ dari distribusi binomial tersebut adalah:

  − = dengan z berdistribusi normal baku n(z; 0,1) Pendekatan Dist. Normal atas Dist. Binomial (Contoh)

Probabilitas seorang pencandu narkoba terkena

virus hepatitis B dari sebuah suntikan adalah 0,6.

  

Jika di suatu kota terdapat 1000 orang pecandu, Jika di suatu kota terdapat 1000 orang pecandu,

tentukan probabilitas bahwa tidak kurang dari

100 orang pecandu tersebut mengidap virus

hepatitis B!

LATIHAN

  1. Jika diketahui variabel random X mempunyai distribusi

normal dengan rata-rata 18 dan standar deviasi 2,5

hitung nilai k sehingga P(X&lt;k)=0,2578!

  2. Sebanyak 1000 rim kertas koran dengan berat 60 gram diketahui bahwa rata-rata tiap rimnya berisi 450 lembar dengan standar deviasi 10 lembar. Jika distribusi jumlah dengan standar deviasi 10 lembar. Jika distribusi jumlah

kertas per rim tersebut berdistribusi normal, berapa

persen dari kertas rim itu yang berisi 455 lembar atau lebih?

LATIHAN (lanjutan)

  

3. Nilai ujian statistika sebagian besar mahasiswa mempunyai distribusi

normal dengan rata-rata 34 dan standar deviasi 4. Jika X menyatakan nilai-nilai mahasiswa tersebut, berapakah batas nilai Xo agar 10% dari kelompok nilai terendah berada dibawah Xo?

  4. Dari 200 mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika diperoleh nilai rata-ratanya adalah 60 dan standar deviasinya adalah 10. Bila distribusinya menyebar secara normal, berapa : distribusinya menyebar secara normal, berapa :

  a. persen yang mendapat nilai A jika nilai A&gt;=80

  b. persen yang mendapat nilai C jika nilai C terletak pada interval 56&lt;=C&lt;=68 c. persen yang mendapat nilai E jika nilai E&lt;45

LATIHAN (lanjutan)

  5. Suatu percobaan mengenai ukuran ruang memori dengan menggunakan metode Quickshort menyatakan bahwa ukuran penggunaan ruang memori berdistribusi normal dengan rata-rata 510,8 byte dan simpangan baku 40,67 byte.

  a. Berapa persen dalam percobaan tersebut ditemukan ruang memori yang melebihi 600 byte?

  b. Jika ditemukan 10 buah percobaan mempunyai ruang memori berkisar antara 500 sampai 550 byte, berapakah jumlah percobaan yang telah dilakukan oleh peneliti? c. Jika dalam percobaan tersebut ditemukan bahwa 10% hasil terendah, berapakah ukuran memori tertinggi dari kelompok hasil percobaan dengan ukuran memori terendah tersebut?