MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR).
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED
(SIR)
oleh
FELIN YUNITA
M0109028
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
commit to user
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Felin Yunita. 2013. MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED
RECOVERED (SIR). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Model susceptible infected recovered (SIR) menjelaskan penyebaran penyakit dari individu susceptible menjadi infected, kemudian individu infected akan
sembuh (recovered ) dan tidak terinfeksi kembali karena memiliki kekebalan. Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung
pada variabel waktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahan banyaknya
individu susceptible, infected, dan recovered merupakan proses stokastik dalam
selang waktu dan variabel random kontinu sehingga dapat dijelaskan dengan model stokastik SIR.
Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastik SIR. Penyelesaian model stokastik SIR diperoleh dengan formula Ito dan fungsi probabilitas
variabel random dari model stokastik SIR harus memenuhi persamaan diferensial
Kolmogorov maju.
Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak β, laju
kesembuhan γ, dan individu awal yang terinfeksi I(0) yang berbeda. Hasil simulasi menunjukkan bahwa jika semakin besar nilai β maka puncak epidemi semakin
tinggi dan semakin besar nilai I(0) maka puncak epidemi juga semakin tinggi.
Akan tetapi jika semakin besar nilai γ maka puncak epidemi semakin rendah.
Kata kunci : formula Ito, model SIR, model stokastik, persamaan diferensial
Kolmogorov
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Felin Yunita, 2013. SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR)
STOCHASTIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas
Maret University.
The susceptible infected recovered (SIR) model explains the spread of a
disease from the susceptible individuals become infected individuals, then the
infected individuals will be recovered and will be not re-infected because they
have immunity. The spread of disease is considered as random events which
depend on the time variable so it is called a stochastic process. The changes of
the number of susceptible, infected, and recovered individuals are a stochastic
process with continuous time interval and random variable that can be explained
by a SIR stochastic model
The purpose of this research is to construct the SIR stochastic model. The
solution of the SIR stochastic model is obtained by the Ito formula and the
probability function of random variables from the SIR stochastic model must
satisfy the Kolmogorov forward differential equations.
The SIR stochastic model is simulated by taking the various values of the
contact rate β, the recovery rate γ, and the initial value of infected I(0). The
results of simulation show the more value of β, the higher of outbreak, and the
more value of I(0), the higher of outbreak. On the other hand the more value of
γ, the lower of outbreak.
Key words : Ito formula, Kolmogorov differential equations, SIR model, stochastic model
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Bapak dan Ibu atas doa, cinta dan pengorbanan yang diberikan
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah
melimpahkan kasih dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh
karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang
telah membantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada
1. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc sebagai Pembimbing 1 yang telah
memberikan bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi
dalam hal penurunan model stokastik SIR dan simulasi numerik,
2. Dra. Respatiwulan, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi dalam hal
penurunan model stokastik SIR dan penyelesaian model,
3. Sri Kuntari, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran dalam hal
penyelesaian model, dan
4. Silvia Kristanti, Dyah Wardiyani, dan Maftuhah Qurrotul Aini atas kerjasama dan masukan dalam hal penurunan model.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.
Surakarta, Juli 2013
Penulis
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Isi
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1
Model SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Proses Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
Model Stokastik SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.5
Persamaan Diferensial Kolmogorov Maju . . . . . . . . . .
9
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
commit to user
III METODE PENELITIAN
11
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
IV PEMBAHASAN
12
4.1
Model Stokastik SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.2
Penyelesaian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.3
Penerapan dan Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
V PENUTUP
26
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
DAFTAR PUSTAKA
28
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Gambar
2.1
Skema Model SIR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.1
Banyaknya individu infected pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40 . . . .
22
4.2
Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2, γ = 0.3, dan β =
0.55 (biru), 0.65 (merah), dan 0.75 (hijau) pada selang waktu 0 ≤
t ≤ 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2, γ = 0.2(biru),
0.3(merah), 0.4(hijau) dan β = 0.65 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40
4.4
23
24
Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2 (biru), 5 (merah), 8
(hijau), γ = 0.3, dan β = 0.65 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40 . . .
commit to user
ix
25
digilib.uns.ac.id
MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED
(SIR)
oleh
FELIN YUNITA
M0109028
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
commit to user
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Felin Yunita. 2013. MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED
RECOVERED (SIR). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Model susceptible infected recovered (SIR) menjelaskan penyebaran penyakit dari individu susceptible menjadi infected, kemudian individu infected akan
sembuh (recovered ) dan tidak terinfeksi kembali karena memiliki kekebalan. Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung
pada variabel waktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahan banyaknya
individu susceptible, infected, dan recovered merupakan proses stokastik dalam
selang waktu dan variabel random kontinu sehingga dapat dijelaskan dengan model stokastik SIR.
Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastik SIR. Penyelesaian model stokastik SIR diperoleh dengan formula Ito dan fungsi probabilitas
variabel random dari model stokastik SIR harus memenuhi persamaan diferensial
Kolmogorov maju.
Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak β, laju
kesembuhan γ, dan individu awal yang terinfeksi I(0) yang berbeda. Hasil simulasi menunjukkan bahwa jika semakin besar nilai β maka puncak epidemi semakin
tinggi dan semakin besar nilai I(0) maka puncak epidemi juga semakin tinggi.
Akan tetapi jika semakin besar nilai γ maka puncak epidemi semakin rendah.
Kata kunci : formula Ito, model SIR, model stokastik, persamaan diferensial
Kolmogorov
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Felin Yunita, 2013. SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR)
STOCHASTIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas
Maret University.
The susceptible infected recovered (SIR) model explains the spread of a
disease from the susceptible individuals become infected individuals, then the
infected individuals will be recovered and will be not re-infected because they
have immunity. The spread of disease is considered as random events which
depend on the time variable so it is called a stochastic process. The changes of
the number of susceptible, infected, and recovered individuals are a stochastic
process with continuous time interval and random variable that can be explained
by a SIR stochastic model
The purpose of this research is to construct the SIR stochastic model. The
solution of the SIR stochastic model is obtained by the Ito formula and the
probability function of random variables from the SIR stochastic model must
satisfy the Kolmogorov forward differential equations.
The SIR stochastic model is simulated by taking the various values of the
contact rate β, the recovery rate γ, and the initial value of infected I(0). The
results of simulation show the more value of β, the higher of outbreak, and the
more value of I(0), the higher of outbreak. On the other hand the more value of
γ, the lower of outbreak.
Key words : Ito formula, Kolmogorov differential equations, SIR model, stochastic model
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Bapak dan Ibu atas doa, cinta dan pengorbanan yang diberikan
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah
melimpahkan kasih dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh
karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang
telah membantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada
1. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc sebagai Pembimbing 1 yang telah
memberikan bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi
dalam hal penurunan model stokastik SIR dan simulasi numerik,
2. Dra. Respatiwulan, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi dalam hal
penurunan model stokastik SIR dan penyelesaian model,
3. Sri Kuntari, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran dalam hal
penyelesaian model, dan
4. Silvia Kristanti, Dyah Wardiyani, dan Maftuhah Qurrotul Aini atas kerjasama dan masukan dalam hal penurunan model.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.
Surakarta, Juli 2013
Penulis
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Isi
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1
Model SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Proses Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
Model Stokastik SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.5
Persamaan Diferensial Kolmogorov Maju . . . . . . . . . .
9
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
commit to user
III METODE PENELITIAN
11
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
IV PEMBAHASAN
12
4.1
Model Stokastik SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.2
Penyelesaian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.3
Penerapan dan Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
V PENUTUP
26
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
DAFTAR PUSTAKA
28
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Gambar
2.1
Skema Model SIR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.1
Banyaknya individu infected pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40 . . . .
22
4.2
Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2, γ = 0.3, dan β =
0.55 (biru), 0.65 (merah), dan 0.75 (hijau) pada selang waktu 0 ≤
t ≤ 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2, γ = 0.2(biru),
0.3(merah), 0.4(hijau) dan β = 0.65 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40
4.4
23
24
Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2 (biru), 5 (merah), 8
(hijau), γ = 0.3, dan β = 0.65 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40 . . .
commit to user
ix
25