BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus - DALIMIN BAB II

BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus Himpunan bilangan riil (

  ℝ) dengan diberikan opersai max dan plus dengan mengikuti definisi berikut :

  Definisi II.A.1:

  Didefinisikan ≝ −∞ dan ≝ 0, dan untuk himpunan ℝ ∪ {−∞ } dinotasikan dengan , untuk setiap , didefinisikan operasi

  ℝ , ∈ ℝ ⨁ dan ⨂ dengan: dan

  ⨁ ≝ max⁡( , ) ⨂ ≝ + Untuk setiap dengan operasi

  ℝ ⨁ dan ⨂ dinamakan aljabar max-plus dan dinotasikan dengan: ( , ℝ ⨁,⊗).

  (Heidergott,2006:2) Dan untuk operasi dengan

  −∞, maka max( , −∞) = max(−∞, ) = dan + (−∞) = −∞ + = −∞ , untuk setiap , sehingga didapat:

  ∈ ℝ (2.1)

  ⨁ = ⊕ = dan ⨂ = ⨂ =

  Contoh II.A.1: 1.

  5 ⨁ 2 = max(5,2) = 5

  5

  2.

  5 ⊕ = max(5, −∞) = 5 3. 5⨂ = 5 + (−∞) = −∞ = 4. ⨁ 2 = max(0,2) = 2 5. 5⨂2 = 5 + 2 = 7 1.

   Sifat-sifat Aljabar Max-Plus

  Aljabar max-plus mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: a. Bersifat assosiatif:

  ∀ , , ∈ ℝ ∶ ⨁( ⨁ ) = ( ⨁ )⨁ , dan ∀ , , ∈ ℝ ∶ ⊗ ( ⊗ ) = ( ⊗ ) ⊗ .

  Bukti: i.

  ⨁( ⨁ ) = max( , max( , )) = max(

  , , ) = max(max(

  , ) , ) = (

  ⨁ )⨁ ii. ⊗ ( ⊗ ) = + ( + )

  =

• = (
• ) + = ( ⊗ ) ⊗ .

  Contoh II.A.2: 1.

  3⨁(7 ⨁ ) = (3 ⨁ 7)⨁

• 3⨁(7 ⨁ ) = max(3, max(7, (−∞)) = max(3,7) = 7
• (3 ⨁ 7) ⨁ = max(max(3,7) , (−∞)) = max(7, (−∞)) = 7 2.

  5 ⊗ ( ⊗ 2) = (5 ⊗ ) ⊗ 2

• 5 ⊗ ( ⊗ 2) = 5 + (−∞ + 2) = 5 + (−∞) = −∞
• (5 ⊗ ) ⊗ 2 = �5 + (−∞)� + 2 = −∞ + 2 = −∞ b.

  Bersifat komutatif: ∀ , , ∈ ℝ ∶ ⨁ = ⨁ , dan ∀ , , ∈ ℝ ∶ ⨂ = ⨂ .

  Bukti: i.

  ⨁ = max( , ) = max( , ) = ⨁ . ii.

  ⨂ = + = + = ⨂ .

  Contoh II.A.3: 1.

  −2⨁23 = 23⨁(−2)

• −2 ⨁ 23 = max(−2,23) = 23
• 23⨁(−2) = max(23,−2) = 23 2.

  4 ⨂(−9) = −9⨂4

• 4 ⨂(−9) = 4 + (−9) = 5
• −9 ⨂ −4 = −9 + 4 = 5 c.

  Mempunyai elemen identitas pada operasi pertama(⨁) (elemen nol): ∀ ∈ ℝ ∶ ⨁ = ⨁ = .

  Bukti: i.

  ⨁ = max� , (−∞)� = max(−∞, ) = ⨁ = .

  Contoh II.A.4: 1.

  7⨁ = ⨁7

• 7⨁ = max⁡(7, (−∞)) = 7
• ⨁7 = max⁡(−∞, 7) = 7 d.

  Mempunyai elemen identitas pada operasi kedua(⊗) (elemen unit): ∀ ∈ ℝ ∶ ⊗ = ⊗ = .

  Bukti: i.

  ⊗ = + 0 = 0 + = ⊗ = .

  Contoh II.A.5: 1.

  9 ⊗ = ⊗ 9

• 9 ⊗ = 9 + 0 = 9
• ⊗ 9 = 0 + 9 = 9 e.

  Bersifat distributif : Distributif kiri: ∀ , , ∈ ℝ ∶ ⨂( ⨁ ) = ( ⨂ )⨁( ⨂ ).

  Distributif kanan: ∀ , , ∈ ℝ ∶ ( ⨁ )⨂ = ( ⨂ )⨁( ⨂ ).

  Bukti: i.

  ⨂( ⨁ ) = + max( , ) = max( + , + ) = ( ⨂ )⨁( ⨂ ). ii.

  ( ⨁ )⨂ = max( , ) + = max( + , + ) = ( ⨂ )⨁( ⨂ ).

  Contoh II.A.6: 1.

  5⨂(4⨁ ) = (5 ⨂ 4)⨁(5⨂ )

• 5⨂(4⨁ ) = 5 + max(4,0) = 5 + 4 = 9
• (5 ⨂ 4)⨁(5⨂ ) = max(5 + 4,5 + 0) = max(9,5) = 9 2.

  (4⨁ )⨂3 = (4⨂3)⨁( ⨂3)

• (4⨁ ) ⨂ 3 = max�4, (−∞)� + 3 = 4 + 3 = 7
• (4 ⨂ 3)⨁( ⨂ 3) = max(4 + 3, (−∞) + 3) = max

  �7, (−∞)� = 7 f.

  Mempunyai elemen pembuat nol untuk operasi kedua(⊗): ∀ ∈ ℝ ∶ ⊗ = ⊗ = .

  Bukti: i.

  ⊗ = + (−∞) = −∞ + = ⊗ = .

  Contoh II.A.7: 1.

  5⨂ = ⨂5

• 5⨂ = 5 + (−∞) = −∞
• ⨂ 5 = −∞ + 5 = −∞ g.

  Idempoten pada operasi pertama(⨁): ∀ ∈ ℝ ∶ ⨁ = .

  Bukti: i.

  ⨁ = max( , ) = .

  Contoh II.A.8: 1.

  7 ⨁ 7 = max⁡(7,7) = 7 Dengan sifat-sifat operasi pada bilangan riil maka didefinisikan operasi pangkat pada aljabar max-plus yaitu sebagai berikut:

  Definisi II.A.2:

  Untuk setiap , maka: ∈ ℝ

  ⨂

  1. = = untuk ≝ ⨂ ⨂ ⨂ … ⨂ ����������� ������������� + + + ⋯ + × , setiap

  ∈ ℝ dengan ≠ 0,

  ⨂0 2.

  ≝ = 0, untuk = 0.

  (Heidergott,2006:2)

  Contoh II.A.9: 1.

  (ℝ ,

  × 12 = −3 = 3

  ⨂ −1

  Sebuah himpunan tak kosong ℝ dengan diberikan operasi

  ⨁ dan ⊗, maka diperoleh definisi sebagai berikut:

  Definisi II.A.3:

  ℝ sebuah semi ring, jika:

  1.

  ⨁) mempunyai sifat assosiatif dan komutatif dengan elemen nol.

  1

  2.

  (ℝ ,

  ⊗) mempunyai sifat assosiatif, distributif terhadap operasi ⨁ (distributif kanan dan distributif kiri) dan memiliki elemen unit.

  Jika ℝ terhadap operasi

  ⊗ komutatif, maka ℝ disebut semi ring yang komutatif dan jika terhadap operasi

  ⊕ adalah idempoten yaitu jika berlaku ⊕ = , ∀ ∈ ℝ

  , maka ℝ disebut semi ring idempoten.

  (Heidergott, 2006:4)

  4

  = −

  5

  = 0 4.

  ⨂6

  = 6 × 5 = 30 2.

  2

  ⨂6

  = 6 × 2 = 12 3.

  3

  ⨂0

  ⨂ 6

  ⨂ − ¹ ₄

  = 6 × 0 = 0 5.

  12

  ⨂ ¹ ₄

  =

  1

  4

  × 12 = 3 6.

  12

3. Mempunyai elemen pembuat nol pada operasi ⊗.

B. Sistem Interval pada Aljabar Max-Plus 1. Matriks dan vektor

a) Sifat-sifat operasi max (⨁) dan plus (⊗) pada matriks

  ⨁ = ⊕ 3)

  , dengan ∝ adalah skalar, maka:

  1) ⨁ = [ ⨁ ]

  = ⨁

  = max ⁡(

  , ), dengan ∈ dan ∈ .

  (2.2) 2)

  ∝ ⊗ =

  ∝⊗ = [∝⊗ ] =

  ×

  ∝ + , dengan ∈ dan ∈ .

  4) ⊗ = [ ⊗ ]

  = ⊕

  = 1 ⊗

  = max ⁡{

  (2.3)

  , dan ∝ ∈ ℝ

  , ∈ ℝ

  Aljabar max-plus ( ℝ

  ′ ≝ +∞ .

  , ⊕,⊗) adalah sebuah contoh dari semi ring yang komutatif dan idempoten. Contoh semiring yang komutatif dan idempoten yang lain yaitu: Aljabar min-plus yang didefinisikan dengan (

  ℝ ,

  ⨁′,⊗), dimana ℝ =

  ℝ ∪ { ′}, dengan ⨁

  ′

  ≝ min⁡( , ) untuk semua , ∈ ℝ

  , dan

  Matriks × pada aljabar max-plus dinotasikan dengan ℝ

  ×

  ×

  , dan untuk , ∈ ℕ. Elemen dari matriks ∈ ℝ

  ×

  pada baris i dan kolom j dilambangkan dengan dan bisa juga dengan [ ]

  , dengan ∈ dan ∈ , dengan ≝ {1,2,3, … , } dan ≝ {1,2,3, … , }.

  Apabila diketahui , ∈ ℝ

  ×

  , ∈ ℝ

• } dengan ∈ dan ∈ .

   Contoh II.B.1:

  Diberikan dua buah matriks A dan B sebagai berikut: e

  2

  4 ε dan B =

  = � �− 2 5�

  1 ε� maka nilai A

  ⨁B dapat ditemukan dengan cara mencari elemen- elemen dari ⨁ yaitu sebagai berikut:

  [ =

  ⨁ ]

  11 ⨁ − 2 = max⁡(0, −2) = 0

  [ = ⨁ ]

  12 ⨁4 = max⁡(−∞, 4) = 4

  [ = 2 ⨁ ]

  21 ⨁1 = max⁡(2,1) = 2

  dan [

  = 5 ⨁ ]

  22 ⨁ = max⁡(5, −∞) = 5

  sehingga didapat:

  4 ⨁ = � 2 5�

  B Dan nilai

  ⨁A dapat ditemukan dengan cara mencari elemen- elemen dari ⨁ yaitu sebagai berikut:

  [ =

  ⨁ ]

  11 −2⨁ = max⁡(−2,0) = 0

  [ = 4

  ⨁ ]

  12 ⨁ = max⁡(4, −∞) = 4

  [ = 1

  ⨁ ]

  21 ⨁2 = max⁡(1,2) = 2

  dan [

  = ⨁ ]

  22 ⨁ 5 = max⁡(−∞, 5) = 5

  sehingga didapat:

  4 ⨁ = � 2 5�

  Contoh II.B.2:

  Diberikan dua buah matriks A dan B sebagai berikut:

  1

  11 dan = � = �− 3 2�

  1 � maka

  ⊗ ditemukan dengan cara mencari nilai elemen-elemen ⊗ yaitu sebagai berikut:

  [ =

  ⊗ ]

  11 ⊗ (−1) ⨁ ⨂ 1 = max⁡(0 − 1, −∞ + 1)

  = −1

  [ =

  ⊗ ]

  12 ⊗ 11 ⨁ ⨂ = max⁡(0 + 11, −∞ − ∞)

  = 11 [

  = 3 ⊗ ]

  21 ⊗ (−1) ⨁ 2 ⨂ 1 = max⁡(3 − 1,2 + 1) = 3

  dan [

  = 3 ⊗ ]

  22 ⊗ 11 ⨁ 2 ⨂ = max⁡(3 + 11,2 − ∞) = 14

  sehingga didapat:

  1

  11 ⨂ = �− 3 14�

  Dan nilai ⊗ ditemukan dengan cara mencari nilai elemen- elemen

  ⊗ yaitu sebagai berikut: [

  = ⊗ ]

  11 −1 ⊗ ⨁ 11 ⨂ 3 = max⁡(−1 + 0,11 + 3)

  = 14 [ =

  ⊗ ]

  12 −1 ⊗ ⨁ 11⨂ 2 = max⁡(−1 + (−∞),11 + 2)

  = 13 [ = 1

  ⊗ ]

  21 ⊗ ⨁ ⨂ 2 = max⁡(1 + 0, −∞ + 2) = 2

  dan

  [ = 1

  ⊗ ]

  22 ⊗ ⨁ ⨂ 2 = max⁡(1 + (−∞), −∞ + 2)

  = −∞ sehingga didapat:

  14

  13 ⊗ = �

  2 −∞� untuk operasi

  ⊗ tidak bersifat komutatif karena ⊗ ≠ ⊗ .

  Definisi II.A.4:

  ( , ) adalah matriks × dengan semua elemennya , dan ( , ) adalah matriks × dengan definisi sebagai berikut:

  = [

  ( , )] ≝ � Jika = , maka ( , ) disebut sebagai matriks identitas × .

  (Heidergott,2006:6)

  ×

  terhadap operasi ℝ ⨁ mempunyai sifat assosiatif, mempunyai

  ×

  elemen nol ( terhadap operasi ( , )) dan bersifat idempoten. ℝ ⊗ mempunyai sifat assosiatif, distributif terhadap operasi

  ⨁ , mempunyai elemen unit ( , ) dan ( , ) elemen pembuat nol untuk operasi ⊗.

  ×

  Transpose dinotasikan dengan dan definisinya sama ∈ ℝ

  ×1

  dengan transpose pada matriks biasa. Elemen-elemen dari ℝ ≝ ℝ disebut sebagai vektor. Elemen ke j dari vektor dinotasikan dengan

  ℝ , yang selanjutnya ditulis dengan [ . Vektor pada dengan semua

  ] ℝ elemennya e disebut vektor unit dan dinotasikan dengan u, dengan [ = ] untuk ∈ .

  ×

  Sebuah matriks , apabila dipangkatkan dengan ∈ ℝ ∈ ℕ dapat dicari nilainya dengan mengikuti definisi sebagai berikut:

  Definisi II.A.5: × ⨂

  ( ) didefinisikan dengan: Setiap ,maka A pangkat k

  ∈ ℝ

  ⨂

  (2.4) ≝ ⨂ ⊗ … ⨂

  ���������

  ⨂0

  untuk ∈ ℕ dengan ≠ 0, dan ≝ ( , ) . (Heidergott,2006:7) 2.

   Sistem Interval pada Aljabar Max-Plus ×

  Matriks-matriks dalam aljabar max-plus ( ), vektor ∈ ℝ

  ( ), maka [ = max ∈ ℝ ⊗ ] � �. Dan untuk setiap , ∈

• ×

  dan , maka:

  ℝ , ∈ ℝ 1. untuk semua ≤ , jika ≤ ∈ , ∈ . 2. untuk semua

  ≤ , jika ≤ ∈ 3. ≤ dan ≤ , maka ⊗ ≤ ⊗ disebut sebagai monotonisitas dari operasi

  ⊗.

  Contoh II.B.2:

  3

  5

  1 Diberikan dua buah matriks yaitu , dan dua = � = � 7 5�

  9 6�

  10 buah vektor yaitu , , maka didapat: = � = �

  5� 7 � ⊗ ≤ ⊗

  3

  10

  5

  1 �

  5� ≤ � 7 5� ⊗ � 9 6� ⊗ � 7 � max

  3 ⁡(3 + (−∞), −∞ + 5)

  = =

• � �

  5� 7 5� ⊗ � max ⁡(7 + (−∞), 5 + 5) � max

  ⁡(−∞, −∞) = = ......(i)

  � �−∞ � 5 � 5� max

  ⁡(−∞, 5) � max

  10 ⁡(5 + 10,1 + 7)

  = =

• �5 1 � max 9 6� ⊗ � 7 �

  ⁡(9 + 10,6 + 7)� max

  15 ⁡(15,8)

  = ……(ii) � � max 19�

  ⁡(19,13)�

  15 Jadi, dari (i) dan (ii) didapat . �

  5� ≤ � 19�

  Definisi II.B.1:

  Sebuah matriks interval didefinisikan = � , � dengan , ∈

  ×

  , ℝ ≤ , sedangkan vektor interval = � , � dengan , , ∈

  , ℝ ≤ , dan dinotasikan dengan:

   (2.5)

  ⊗ = , Bentuk (2.5) disebut sebagai sistem interval pada aljabar max-plus.

  (Zimmermann,2005:185) Jika

  = maka sistem intervalnya disebut sistem interval dengan matriks konstan dan jika = maka disebut sistem interval dengan sisi kanan konstan.

  Definisi II.B.2:

  Peran penting dari penyelesaian ⊗ ≤ disebut solusi prinsipal. Dan didefinisikan sebagai berikut:

  ∗

  ( { }, untuk setiap , ) = min − ∈ ℕ. (2.6)

  ∈

  (Zimmerman, 2005:179)

  

×

Lemma II.B.1 Diberikan dan , maka:

  ∈ ℝ ∈ ℝ

  ∗

  ( i) , maka jika ⊗ ≤ dengan ∈ ℝ ≤ , )

  ∗

  ii) ( ⊗ , ) ≤ .

  1

  2

  1 × Lemma II.B.2 Diberikan , adalah dua matriks pada dan ,

  ℝ

  2

  adalah vektor yang bersesuaian. Maka didapat sebuah sistem pertidaksamaan pada ℝ sebagai berikut:

  1

  1

  (2.7) ⊗ ≤

  2

  2

  (2.8) ⊗ ≥

  ∗

  1

  1

  ( , mempunyai solusi jika dan hanya jika solusi prinsipal ) memenuhi (2.8).

C. Konsep Penyelesaian untuk Sistem Interval pada Aljabar Max-Plus

  Dalam menyelesaikan sebuah sistem interval maka harus dipertimbangkan dan didasarkan pada konsep penyelesaian sebuah subsistemnya. Konsep penyelesaian dari sistem interval dalam aljabar max- plus terdiri dari tiga jenis penyelesaian. Berikut ini adalah tiga jenis penyelesaian untuk sistem interval pada aljabar max-plus:

  1. Penyelesaian Kuat Sebuah sistem interval mempunyai penyelesaian kuat jika elemen dari vektor pada sistem intervalnya merupakan penyelesaian kuat. Dan jika sebuah sistem interval mempunyai penyelesaian kuat maka apabila sistem interval tersebut digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan nyata maka sudah tidak terdapat kesalahan.

  2. Penyelesaian Toleran Sebuah sistem interval mempunyai penyelesaian toleran jika elemen dari vektor pada sistem intervalnya merupakan penyelesaian toleran. Dan jika sebuah sistem interval mempunyai penyelesaian toleran maka sistem interval tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan nyata dengan kemungkinan munculnya kesalahan sangat kecil sekali atau dengan kata lain sistem intervalnya dapat digunakan sebagai penyelesaian dan dapat juga tidak digunakan untuk penyelesaian.

  3. Penyelesaian Lemah Sebuah sistem interval mempunyai penyelesaian lemah jika elemen dari vektor pada sistem intervalnya merupakan penyelesaian lemah. Dan jika sebuah sistem interval mempunyai penyelesaian lemah maka sistem interval tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan nyata dengan kemungkinan masih terdapat beberapa kesalahan. Dan disarankan untuk mengubah elemen- eleman dari vektor intervalnya.