REGRESI KORELASI LINIER SEDERHANA

REGRESI & KORELASI LINIER SEDERHANA
1.

Pendahuluan

• Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911)
• Persamaan regresi :Persamaan matematik yang memungkinkan peramalan nilai suatu
peubah takbebas (dependent variable) dari nilai peubah bebas
(independent variable)
• Diagram Pencar = Scatter Diagram
Diagram yang menggambarkan nilai-nilai observasi peubah takbebas dan peubah
bebas.
Nilai peubah bebas ditulis pada sumbu X (sumbu horizontal)
Nilai peubah takbebas ditulis pada sumbu Y (sumbu vertikal)
Nilai peubah takbebas ditentukan oleh nilai peubah bebas
Anda sudah dapat menentukan mana peubah takbebas dan peubah bebas?
Contoh 1:
Umur Vs Tinggi Tanaman
Biaya Promosi Vs Volume penjualan

(X : Umur, Y : Tinggi)

(X : Biaya Promosi, Y : Vol. penjualan)

• Jenis-jenis Persamaan Regresi : a. Regresi Linier :
- Regresi Linier Sederhana
- Regresi Linier Berganda
b. Regresi Nonlinier
- Regresi Eksponensial
• Regresi Linier
- Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana

Y = a + bX
Y
X
a
b

: peubah takbebas
: peubah bebas
: konstanta
: kemiringan

- Bentuk Umum Regresi Linier Berganda

Y = a + b1X1 + b2X2 + ...+ bnXn
Y
X1
X2
Xn

: peubah takbebas
: peubah bebas ke-1
: peubah bebas ke-2
: peubah bebas ke-n

RegresiKorelasi / thomasyunigunarto / Hal 1 – dari 9

a
b1
b2
bn

: konstanta
: kemiringan ke-1
: kemiringan ke-2
: kemiringan ke-n

• Regresi Non Linier
- Bentuk umum Regresi Eksponensial

Y = abx
log Y = log a + (log b) x

2.

Regresi Linier Sederhana

• Metode Kuadrat terkecil (least square method):
menetapkan persamaan regresi linier sederhana

metode

paling populer untuk

- Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana :

Y = a + bX
Y
a

: peubah takbebas
: konstanta

X
b

: peubah bebas
: kemiringan

Nilai b dapat positif (+) dapat negartif (-)
b : positif → Y

b : negatif → Y
Y = a + bX

Y = a - bX

X

X

• Penetapan Persamaan Regresi Linier Sederhana

⎛ n ⎞⎛ n ⎞
n∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟
⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
i =1
n

b=

⎛ n ⎞
2
n∑ xi −⎜ ∑ xi ⎟
⎝ i =1 ⎠
i =1
n

2

n

n

a = y − bx

sehingga

a=

∑y

i =1

n

i

−b

n : banyak pasangan data
yi : nilai peubah takbebas Y ke-i
xi : nilai peubah bebas X ke-i
Contoh 2 :
RegresiKorelasi / thomasyunigunarto / Hal 2 – dari 9

∑x
i =1

n

i

Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan Minyak
Goreng.
x
Tahun Biaya Promosi
(Juta Rupiah)
1992
2
1993
4
1994
5
1995
7
1996
8
Σ
Σx = 26

y

Volume Penjualan
(Ratusan Juta Liter)
5
6
8
10
11
Σy = 40

xy
10
24
40
70
88
Σxy = 232

x²
4
16

25
49
64
Σx² =158

y²
25
36
64
100
121
Σy² = 346

bentuk umum persaman regresi linier sederhana : Y = a + b X
n=5
b=

n
⎛ n ⎞⎛ n ⎞
n ∑ x i yi − ⎜ ∑ x i ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟

⎝ i =1 ⎠ ⎝ i = 1 ⎠
i =1
n
⎛ n ⎞
n∑ xi2 −⎜ ∑ xi ⎟
⎝ i =1 ⎠
i =1

a=

i =1

b=

(5 × 232) − (26 × 40) 1160 − 1040 120
=
=
= 1.0526 = 1.053
790 − 676 114
(5 × 158) − (26 2 )

n

n

∑ yi

2

−b

∑x
i =1

i

n
n
26 ⎞
40 ⎛
a=
− ⎜ 1.05263...× ⎟ = 8 − (1.05263...×5.2) = 8 − 5.4736... = 2.5263....= 2.530
5⎠
5 ⎝

Y=a+bX

→

Y = 2.530 + 1.053 X

• Peramalan dengan Persamaan Regresi
Contoh 3 :
Diketahui hubungan Biaya Promosi (X dalam Juta Rupiah) dan Y (Volume penjualan dalam
Ratusan Juta liter) dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linier berikut
Y = 2.530 + 1.053 X
Perkirakan Volume penjualan jika dikeluarkan biaya promosi Rp. 10 juta ?
Jawab :

3.

Y = 2.530 + 1.053 X
X = 10

Y = 2.53 + 1.053 (10) = 2.53 + 10.53 = 13.06 (ratusan juta liter)
Volume penjualan = 13.06 x 100 000 000 liter
Korelasi Linier Sederhana

RegresiKorelasi / thomasyunigunarto / Hal 3 – dari 9

• Koefisien Korelasi (r) : ukuran hubungan linier peubah X dan Y
Nilai r berkisar antara (+1) sampai (-1)
Nilai r yang (+) ditandai oleh nilai b yang (+)
Nilai r yang (-) ditandai oleh nilai b yang (-)
Jika nilai r mendekati +1 atau r mendekati -1 maka
X dan Y memiliki korelasi linier yang tinggi
Jika nilai r = +1 atau r = -1 maka X dan Y memiliki korelasi linier sempurna
Jika nilai r = 0 maka X dan Y tidak memiliki relasi (hubungan) linier
(dalam kasus r mendekati 0, anda dapat melanjutkan analisis ke regresi eksponensial)
• Koefisien Determinasi Sampel = R = r²
Ukuran proporsi keragaman total nilai peubah Y yang dapat dijelaskan oleh nilai
peubah X melalui hubungan linier.
Penetapan & Interpretasi Koefisien Korelasi dan Koefisien Determinasi

⎛ n ⎞⎛ n ⎞
n∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟
⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠
i =1
n

r=

2
2
n
n
⎤
⎡ n
⎤⎡ n
⎛
⎞
⎛
⎞
2
2
⎢n∑ xi −⎜ ∑ xi ⎟ ⎥⎢n∑ yi −⎜ ∑ yi ⎟ ⎥
⎝ i=1 ⎠ ⎥⎦
⎝ i=1 ⎠ ⎥⎦⎢⎣ i=1
⎢⎣ i=1

R = r2
Contoh 4 :
Lihat Contoh 2, setelah mendapatkan persamaan Regresi Y = 2.530 + 1.053 X, hitung koef.
korelasi (r) dan koef determinasi (R).
Gunakan data berikut (lihat Contoh 2)
Σx = 26 Σy = 40

r=

Σxy = 232

n
⎛ n ⎞⎛ n ⎞
n∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟
⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
i =1
2
2
n
⎡ n
⎞ ⎤⎡ n 2 ⎛ n ⎞ ⎤
2 ⎛
⎢n∑ xi −⎜ ∑ xi ⎟ ⎥ ⎢n∑ yi −⎜ ∑ yi ⎟ ⎥
⎝ i =1 ⎠ ⎥⎦
⎝ i =1 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ i =1
⎢⎣ i =1

RegresiKorelasi / thomasyunigunarto / Hal 4 – dari 9

Σx² =158

Σy² = 346

r=

(5 × 232) − (26 × 40)

[(5 × 158) − (26 )] × [ (5 × 346) − (40 )]
2

2

=

=

1160 − 1040

[ 790 − 676] × [1730 − 1600]

=

120
114 × 130

120
120
=
= 0.9857...
. ...
14820 12173

Nilai r = 0.9857 menunjukkan bahwa peubah X (biaya promosi) dan Y (volume penjualan)
berkorelasi linier yang positif dan tinggi

R = r 2 = 0.9857...2 = 0.97165....= 97 %
Nilai R = 97% menunjukkan bahwa 97% proporsi keragaman nilai peubah Y (volume
penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) melalui hubungan linier.
Sisanya, yaitu 3 % dijelaskan oleh hal-hal lain.

4.

Regresi Linier Berganda

• Pembahasan akan meliputi regresi linier dengan 2 Variabel Bebas (X1 dan X2) dan 1
Variabel Tak Bebas (Y).
• Bentuk Umum : Y = a + b1 X1 + b2 X2
Y
: peubah takbebas
X1
: peubah bebas ke-1
X2
: peubah bebas ke-2

a
b1
b2

: konstanta
: kemiringan ke-1
: kemiringan ke-2

• a , b1 dan b2 didapatkan dengan menyelesaikan tiga persamaan Normal berikut:

(i)

n

n

n

i =1

i =1

i =1

n a + b1 ∑ x1i + b 2 ∑ x2i = ∑ yi
n

n

n

n

i =1

i =1

a ∑ x1i + b1 ∑ x1i + b 2 ∑ x2i x1i = ∑ x1i yi
2

(ii)

(iii)

i =1

i =1

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

a ∑ x2i + b1 ∑ x2i x1i + b 2 ∑ x2i 2 = ∑ x2i yi
n : banyak pasangan data
x1i : nilai peubah bebas X1 ke-i

Contoh 4:
RegresiKorelasi / thomasyunigunarto / Hal 5 – dari 9

yi : nilai peubah takbebas Y ke-i
x2i : nilai peubah bebas X2 ke-i

Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan dengan variabel biaya
promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan asesoris (X2 dalam
ratusan ribu rupiah/unit).

x1

x2

y

x1 x2

x1y

x2y

x1²

x2²

y²

2
3
5
6
7
8

3
4
6
8
9
10

4
5
8
10
11
12

6
12
30
48
63
80

8
15
40
60
77
96

12
20
48
80
99
120

4
9
25
36
49
64

9
16
36
64
81
100

16
25
64
100
121
144

∑x = ∑x
1

2

=

1 2

50

40

31

∑y= ∑x x

∑

=

x1y =

296

239

Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda

n=6

∑ x = 31
∑ x x =239
∑ x =187
1

∑x

1 2

∑

2

x 1 y =296

∑x

2

1

= 40

2
2

=306

∑x

(i)

∑ y = 50
∑ x y = 379
∑ y = 470
2
2

n a + b1 ∑ x1i + b 2 ∑ x2i = ∑ yi
i =1

(ii)
(iii)

i =1

i =1

n

n

n

i =1
n

i =1
n

i =1

i =1

i =1

n

a ∑ x1i + b1 ∑ x1i 2 + b 2 ∑ x2i x1i = ∑ x1i yi
n

i =1
n

a ∑ x2i + b1 ∑ x2i x1i + b 2 ∑ x2i 2 = ∑ x2i yi
i =1

i =1

Sehingga didapatkan tiga persamaan berikut:
(i)
(ii)
(iii)

6a
31 a
40 a

+
+
+

31 b1 +
187 b1 +
239 b1 +

RegresiKorelasi / thomasyunigunarto / Hal 6 – dari 9

40 b2
239 b2
306 b2

∑x
187

= a + b1 X1 + b2 X2

n

n

y=

379

Masukkan notasi-notasi ini dalam ketiga persamaan normal,
n

2

= 50
= 296
= 379

2
1

=

∑x
306

2
2

=

∑y
470

2

=

Lakukan Eliminasi, untuk menghilangkan (a)
(ii)
(i)

31 a
6a

+
+

(ii)
(i)

189 a +
189 a +
(iv)

187 b1
31 b1

+
+

239 b2
40 b2

= 296
= 50

1122 b1
961 b1

+
+

1434 b2
1240 b2

= 1776
= 1550

161b1

+

194 b2

= 226

239 b1
31 b1

+
+

306 b2
40 b2

= 379
= 50

1434 b1
1240 b1

+
+

1836 b2
1600 b2

= 2274
= 2000

194 b1

+

236 b2

= 274

×6
× 31

Lalu
(iii)
(i)

40 a
6a

+
+

(iii)
(i)

240 a +
240 a +
(v)

× 6
× 40

Selanjutnya, eliminasi (b1) dan dapatkan nilai (b2)
(v)
(iv)

194 b1
161 b1

+
+

236 b2
194 b2

= 274
= 226

(v)
(iv)

31234 b1
31234 b1

+
+

37996 b2
37636 b2

= 44114
= 43844

360 b2
b2

=
=

270
0.75

Dapatkan Nilai (b1) dan nilai (a) dengan melakukan substitusi, sehingga:
(v)

194 b1

+

236 b2

194 b1
194 b1

+
+

236 (0.75)
= 274
177
= 274
194 b1 = 97
b1 = 0.50

= 274

Perhatikan b2 = 0.75

(i)

6a

+

31 b1

+

40 b2

= 50

Perhatikan b1 = 0.50 dan b2 = 0.75
6a
6a

+
+

31(0.50)
15.5

RegresiKorelasi / thomasyunigunarto / Hal 7 – dari 9

+
+

40 (0.75)
30
6a
a

= 50
= 50
= 4.5
= 0.75

× 161
× 194

Sehingga Persamaan Regresi Berganda
a + b1 X1 + b2 X2

5.

dapat ditulis sebagai 0.75 + 0.50 X1 + 0.75 X2

Korelasi Linier berganda

• Koefisien Determinasi Sampel untuk Regresi Linier Berganda diberi notasi sebagai berikut
2
R y.12

• Sedangkan Koefisien Korelasi adalah akar positif Koefisien Determinasi atau

ry.12 =

2
Ry.12

• Rumus

R y2.12 = 1 −

JKG
( n − 1) s 2y

JKG : Jumlah Kuadrat Galat
sy² : Jumlah Kuadrat y (terkoreksi)
di mana

s y2 =

n∑ y 2 −

(

∑y

)

2

n(n − 1)

JKG = ∑ y 2 − a ∑ y − b1 ∑ x1 y − b2 ∑ x 2 y
Contoh 5:
Jika diketahui (dari Contoh 4)
n=6

∑ x = 31
∑ x x =239
∑ x =187
1

∑x

1 2

∑

1

Maka tetapkan

2
R y.12

= 40

x 1 y =296

∑x

2

2

2
2

=306

∑ y = 50
∑ x y = 379
∑ y = 470

dan jelaskan artinya nilai tersebut!

RegresiKorelasi / thomasyunigunarto / Hal 8 – dari 9

2
2

s y2 =

n∑ y 2 −

(∑ y )

2

n(n − 1)

=

6(470) − (50) 2 2820 − 2500 320
=
=
= 10.667
6(6 − 5)
30
30

JKG = ∑ y 2 − a ∑ y − b1 ∑ x1 y − b2 ∑ x 2 y = 470 - 0.75(50) - 0.5 (296) - 0.75 (379)
= 470 - 37.5 - 148 - 284.25
= 0.25

R y2.12 = 1 −

JKG
( n − 1) s 2y

= 1−

0.25
0.25
= 1−
5 × 10.667
53.333

= 1 - 0.0046875
= 0.9953125
= 99.53%
2

Nilai R y.12 = 99.53% menunjukkan bahwa 99.53% proporsi keragaman nilai peubah Y
(volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) dan X2 (biaya
aksesoris) melalui hubungan linier.
Sisanya sebesar 0.47% dijelaskan oleh hal-hal lain.
– Selesai –

RegresiKorelasi / thomasyunigunarto / Hal 9 – dari 9