Penggunaan garis selidik untuk nilai opt
Nama
Nim
Fakultas
Program Studi
Kelompok
:
:
:
:
:
EMANUELI MENDROFA
082117036
FPMIPA
PENDIDIKAN MATEMATIKA
C
INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
(IKIP) GUNUNGSITOLI
emanmendrofa.blogspot.com
1
PENGGUNAAN GARIS SELIDIK
UNTUK NILAI OPTIMUM
Salah satu alternatif untuk menentukan nilai optimum dari suatu fungsi tujuan atau
fungsi objektif � , = =
+
adalah dengan menggunakan metode garis selidik.
Secara umum, garis selidik dinyatakan dalam bentuk
+
= � dengan > , >
, dan � � �. Garis selidik
+
= � adalah suatu garis yang berfungsi untuk menyelidiki
dan menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi tujuan � , =
+
pada daerah
penyelesaiannya.
Secara umum, langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan
menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut :
1) Tentukan persamaan garis selidik
+
= � � � � . Ambil nilai � tertentu,
misalnya untuk � = � diperoleh garis
+
=� .
2) Gambarlah garis-garis yang sejajar dengan garis
+
= � pada koordinat
Cartesius dengan memperhatikan ketentuan-ketentuan sebagai berikut :
a. Jika garis
+
= � merupakan garis yang sejajar dengan garis
+
=�
dan terletak paling jauh dari titik pangkal serta memotong tepat satu titik daerah
himpunan penyelesaian di bagian paling atas atau paling kanan, maka titik
tersebut merupakan titik yang menjadikan bentuk objektif
+
maksimum.
Nilai maksimum bentuk objektif itu sama dengan
+
=� .
b. Jika garis
+
= � merupakan garis yang sejajar dengan garis
+
=�
dan terletak paling dekat dari titik pangkal serta memotong tepat satu titik daerah
himpunan penyelesaian di bagian paling bawah atau paling kiri, maka titik tersebut
merupakan titik yang menjadikan bentuk objektif
+
minimum. Nilai
minimum bentuk objektif itu sama dengan
+
=� .
Untuk mempermudah memahami metode garis selidik, perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan gambar tersebut, titik A merupakan titik yang meminimumkan fungsi
tujuan (objektif) dan titik D merupakan titik yang memaksimumkan tujuan.
Contoh
1) Sebuah rombongan anggota OSIS yang terdiri dari 40 orang ingin mengadakan
studi banding ke sekolah di luar kota. Untuk itu mereka harus menyewa
penginapan. Penginapan itu mempunyai dua tipe kamar, yaitu tipe A dan tipe B.
tipe A dapat ditempati 2 orang dan tipe B dapat ditempati 5 orang. Pemilik
penginapan menghendaki rombongan menyewa kamar paling sedikit 14 kamar.
Harga per kamar tipe A adalah Rp 25.000,00 dan harga per kamar tipe B adalah Rp
40.000,00. Berapa banyaknya kamar harus disewa agar semua anggota rombongan
dapat ditampung dan dengan biaya semurah-murahnya?
Penyelesaian:
Misalkan: Banyaknya kamar tipe A yang disewa adalah x kamar dan
Banyaknya kamar tipe B yang disewa adalah y kamar.
emanmendrofa.blogspot.com
2
Berdasarkan persoalan program linear tersebut di atas, diperoleh model
matematika sebagai berikut.
Minimumkan fungsi tujuan:
= .
+ .
dengan syarat-syarat:
+
+
,
Titik potong kedua garis:
+
=
+ =
+
=
+
= 8
=
= dan =
Garis tujuannya adalah
.
+
.
= � atau
+ 8 = �.
Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear di atas adalah daerah di
atas garis
+ = , garis
+
= , dan sumbu X serta di sebelah
kanan sumbu Y. kemudian dibuat garis-garis selidik
+ 8 = �, dengan � suatu
bilangan real. Garis tersebut sejajar dengan garis
+ 8 = . Garis selidik
paling kiri atau paling bawah yang memotong daerah penyelesaian adalah garis
+ 8 = 8 . Garis selidik tersebut memotong daerah penyelesaian di titik
�
, . Ini berarti nilai =
dan = merupakan penyelesaian dari model
matematika di atas.
Jadi, banyaknya kamar tipe A yang disewa adalah 10 kamar dan tipe B yang
disewa adalah 4 kamar, dengan biaya sewa adalah Rp 410.000,00.
2) Seorang pedagang menjual dua jenis cokelat yaitu cokelat A dan cokelat B. Cokelat
A harganya Rp 600,00 per bungkus dan dijual dengan laba Rp 80,00 per bungkus.
Sedangkan cokelat B harganya Rp 1.000,00 per bungkus dan dijual dengan laba Rp
125,00 per bungkus. Modal yang dimiliki pedagang adalah Rp 300.000,00 dan
kotak tempat menjual cokelat mampu memuat 350 bungkus. Tentukan banyaknya
cokelat A dan cokelat B yang harus dijual pedagang agar pedagang tersebut dapat
memperoleh laba yang maksimum.
Penyelesaian:
Misalkan banyaknya cokelat A ada x bungkus dan cokelat B ada y bungkus. Model
matematika dari permasalahan tersebut adalah sebagai berikut.
emanmendrofa.blogspot.com
3
Fungsi tujuan:
Kendala:
=8
+
+ .
+
.
Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut sebagai berikut.
Titik potong kedua garis:
+ =
+ .
=
.
|x1000|
|x1|
=
ke persamaan + =
+ =
+ =
=
−
=
Jadi, koordinat titik potongnya adalah �
,
Substitusi nilai
.
+ .
+ .
, diperoleh
=
=
=
=
.
.
.
Garis tujuan dari masalah program linear tersebut adalah 8 +
Bentuk umum garis selidiknya adalah 8 +
= .
atau
+
.
= �.
=
Oleh karena yang dicari adalah nilai maksimum maka geser garis selidik ke kanan
atau ke atas seperti pada gambar berikut.
Garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik
terjauh dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut di titik
�
,
.
Dengan demikian, nilai fungsi tujuan = 8 +
dicapai di titik �
,
.
emanmendrofa.blogspot.com
4
=�
,
=8 +
�
,
=8 +
=8
+
= .
+ 8.
= 8.
Jadi, banyaknya cokelat A yang harus dijual pedagang adalah 125 bungkus dan
cokelat B adalah 225 bungkus, dengan laba maksimum Rp 38.125,00.
emanmendrofa.blogspot.com
5
Nim
Fakultas
Program Studi
Kelompok
:
:
:
:
:
EMANUELI MENDROFA
082117036
FPMIPA
PENDIDIKAN MATEMATIKA
C
INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
(IKIP) GUNUNGSITOLI
emanmendrofa.blogspot.com
1
PENGGUNAAN GARIS SELIDIK
UNTUK NILAI OPTIMUM
Salah satu alternatif untuk menentukan nilai optimum dari suatu fungsi tujuan atau
fungsi objektif � , = =
+
adalah dengan menggunakan metode garis selidik.
Secara umum, garis selidik dinyatakan dalam bentuk
+
= � dengan > , >
, dan � � �. Garis selidik
+
= � adalah suatu garis yang berfungsi untuk menyelidiki
dan menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi tujuan � , =
+
pada daerah
penyelesaiannya.
Secara umum, langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan
menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut :
1) Tentukan persamaan garis selidik
+
= � � � � . Ambil nilai � tertentu,
misalnya untuk � = � diperoleh garis
+
=� .
2) Gambarlah garis-garis yang sejajar dengan garis
+
= � pada koordinat
Cartesius dengan memperhatikan ketentuan-ketentuan sebagai berikut :
a. Jika garis
+
= � merupakan garis yang sejajar dengan garis
+
=�
dan terletak paling jauh dari titik pangkal serta memotong tepat satu titik daerah
himpunan penyelesaian di bagian paling atas atau paling kanan, maka titik
tersebut merupakan titik yang menjadikan bentuk objektif
+
maksimum.
Nilai maksimum bentuk objektif itu sama dengan
+
=� .
b. Jika garis
+
= � merupakan garis yang sejajar dengan garis
+
=�
dan terletak paling dekat dari titik pangkal serta memotong tepat satu titik daerah
himpunan penyelesaian di bagian paling bawah atau paling kiri, maka titik tersebut
merupakan titik yang menjadikan bentuk objektif
+
minimum. Nilai
minimum bentuk objektif itu sama dengan
+
=� .
Untuk mempermudah memahami metode garis selidik, perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan gambar tersebut, titik A merupakan titik yang meminimumkan fungsi
tujuan (objektif) dan titik D merupakan titik yang memaksimumkan tujuan.
Contoh
1) Sebuah rombongan anggota OSIS yang terdiri dari 40 orang ingin mengadakan
studi banding ke sekolah di luar kota. Untuk itu mereka harus menyewa
penginapan. Penginapan itu mempunyai dua tipe kamar, yaitu tipe A dan tipe B.
tipe A dapat ditempati 2 orang dan tipe B dapat ditempati 5 orang. Pemilik
penginapan menghendaki rombongan menyewa kamar paling sedikit 14 kamar.
Harga per kamar tipe A adalah Rp 25.000,00 dan harga per kamar tipe B adalah Rp
40.000,00. Berapa banyaknya kamar harus disewa agar semua anggota rombongan
dapat ditampung dan dengan biaya semurah-murahnya?
Penyelesaian:
Misalkan: Banyaknya kamar tipe A yang disewa adalah x kamar dan
Banyaknya kamar tipe B yang disewa adalah y kamar.
emanmendrofa.blogspot.com
2
Berdasarkan persoalan program linear tersebut di atas, diperoleh model
matematika sebagai berikut.
Minimumkan fungsi tujuan:
= .
+ .
dengan syarat-syarat:
+
+
,
Titik potong kedua garis:
+
=
+ =
+
=
+
= 8
=
= dan =
Garis tujuannya adalah
.
+
.
= � atau
+ 8 = �.
Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear di atas adalah daerah di
atas garis
+ = , garis
+
= , dan sumbu X serta di sebelah
kanan sumbu Y. kemudian dibuat garis-garis selidik
+ 8 = �, dengan � suatu
bilangan real. Garis tersebut sejajar dengan garis
+ 8 = . Garis selidik
paling kiri atau paling bawah yang memotong daerah penyelesaian adalah garis
+ 8 = 8 . Garis selidik tersebut memotong daerah penyelesaian di titik
�
, . Ini berarti nilai =
dan = merupakan penyelesaian dari model
matematika di atas.
Jadi, banyaknya kamar tipe A yang disewa adalah 10 kamar dan tipe B yang
disewa adalah 4 kamar, dengan biaya sewa adalah Rp 410.000,00.
2) Seorang pedagang menjual dua jenis cokelat yaitu cokelat A dan cokelat B. Cokelat
A harganya Rp 600,00 per bungkus dan dijual dengan laba Rp 80,00 per bungkus.
Sedangkan cokelat B harganya Rp 1.000,00 per bungkus dan dijual dengan laba Rp
125,00 per bungkus. Modal yang dimiliki pedagang adalah Rp 300.000,00 dan
kotak tempat menjual cokelat mampu memuat 350 bungkus. Tentukan banyaknya
cokelat A dan cokelat B yang harus dijual pedagang agar pedagang tersebut dapat
memperoleh laba yang maksimum.
Penyelesaian:
Misalkan banyaknya cokelat A ada x bungkus dan cokelat B ada y bungkus. Model
matematika dari permasalahan tersebut adalah sebagai berikut.
emanmendrofa.blogspot.com
3
Fungsi tujuan:
Kendala:
=8
+
+ .
+
.
Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut sebagai berikut.
Titik potong kedua garis:
+ =
+ .
=
.
|x1000|
|x1|
=
ke persamaan + =
+ =
+ =
=
−
=
Jadi, koordinat titik potongnya adalah �
,
Substitusi nilai
.
+ .
+ .
, diperoleh
=
=
=
=
.
.
.
Garis tujuan dari masalah program linear tersebut adalah 8 +
Bentuk umum garis selidiknya adalah 8 +
= .
atau
+
.
= �.
=
Oleh karena yang dicari adalah nilai maksimum maka geser garis selidik ke kanan
atau ke atas seperti pada gambar berikut.
Garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik
terjauh dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear tersebut di titik
�
,
.
Dengan demikian, nilai fungsi tujuan = 8 +
dicapai di titik �
,
.
emanmendrofa.blogspot.com
4
=�
,
=8 +
�
,
=8 +
=8
+
= .
+ 8.
= 8.
Jadi, banyaknya cokelat A yang harus dijual pedagang adalah 125 bungkus dan
cokelat B adalah 225 bungkus, dengan laba maksimum Rp 38.125,00.
emanmendrofa.blogspot.com
5