LAPORAN ANALISIS DINAMIK MODEL PREDATOR

LAPORAN
ANALISIS DINAMIK MODEL PREDATOR-PREY
DENGAN KOMPETITOR TERHADAP PREDATOR
DAN HARVESTING TERHADAP PREY
diajukan untuk memenuhi salah satu Mata Kuliah Pemodelan Matematika yang diampu oleh
Dani Suandi, M.Si

disusun oleh:
Dian Tresnawati

(1147010020)

Nanda Priatna

(1147010048)

Novia Masriani

(1147010055)

Widi Widayanti

(1147010070)

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SUNAN GUNUNG DJATI
BANDUNG
2015/2016

I.

PENDAHULUAN
Ekologi adalah ilmu yang mempelajari interaksi antara organisme dengan lingkungannya. Dalam

ekologi, makhluk hidup dipelajari sebagai kesatuan atau sistem dengan lingkungannya. Pembahasan ekologi
tidak lepas dari pembahasan ekosistem dengan berbagai komponen penyusunnya, yaitu faktor abiotik dan
biotik. Faktor abiotik antara lain suhu, air, kelembaban, cahaya, dan topografi. Sedangkan faktor biotik
adalah makhluk hidup yang terdiri dari manusia, hewan, tumbuhan, dan mikroba.
Ekologi juga berhubungan erat dengan tingkatan-tingkatan organisasi makhluk hidup, yaitu populasi,
komunitas, dan ekosistem yang saling memengaruhi dan merupakan suatu sistem yang menunjukkan

kesatuan. Ekologi mempelajari bagaimana makhluk hidup dapat mempertahankan kehidupannya dengan
mengadakan hubungan antar makhluk hidup dan dengan benda tak hidup di dalam tempat hidupnya atau
lingkungannya. Hubungan antara makhluk hidup yang terjadi di alam bermacam-macam. Salah satunya
adalah predasi dan kompetisi.
Predasi adalah interaksi antara organisme predator dengan preynya. Dapat

didefinisikan bahwa

hubungan antara predator dan prey adalah positif (+) dan negatif (-). Predator akan mendapatkan keuntungan
(+), sementara prey akan mendapat kerugian (-) dari proses predasi tersebut. Contohnya interaksi antara
seekor harimau dengan seekor kijang.
Sedangkan kompetisi adalah interaksi antara dua individu (dapat berbeda atau dalam satu spesies)
berupa persaingan. Interaksi ini dapat terjadi karena terdapat kepentingan yang sama antar individu yang
bersaing (kompetitor). Misalnya persaingan mendapat makan, persaingan mendapatkan daerah/wilayah
kekuasaan, berebut wilayah mencari makan (Feeding ground), berebut tempat tinggal, berebut pasangan.
Dapat didefinisikan bahwa kompetisi merupakan hubungan yang bersifat negatif (-) diantara kedua belah
pihak yang berkompetisi.
Prey (mangsa) adalah semua organisme yang diserang, dimakan, atau kalah. Prey juga bisa
didefinisikan sebagai spesies yang dimakan oleh predator. Sedangkan predator (pemangsa) adalah semua
organisme yang menyerang, memakan, atau menang. Atau bisa juga didefinisikan sebagai spesies yang

memangsa prey. Contohnya pada sistem kutu ahpid dan kumbang koksi, maka kutu ahpid adalah mangsa,
sementara kumbang koksi adalah pemangsa. Namun jika pada suatu kondisi, kumbang koksi tersebut
bertemu dengan kumbang koksi lain yang lebih kuat, maka statusnya berubah menjadi mangsa, dan spesies
yang lebih kuat tadi menjadi pemangsa. Ada juga yang disebut pesaing atau kompetitor yaitu spesies yang
berkompetisi dengan predator.
Pada artikel ini dilakukan analisis dinamik model predator-prey dengan harvesting terhadap prey dan
kompetitor terhadap predator sebagai spesies ketiga. Adapun asumsi-asumsi yang digunakan diantaranya:
1) Prey berkurang karena dimakan oleh predator dan adanya harvesting* pada prey.
pemanenan yang dilakukan terhadap suatu spesies.

2) Predator memiliki kompetitor.

*Harvesting adalah

3) Predator & kompetitor bersaing bukan untuk memperebutkan prey, sehingga kompetitor tidak
berinteraksi langsung dengan prey.
4) Tidak diceritakan lebih lanjut makanan dari kompetitor, karena cakupannya akan bertambah luas.
5) Terjadinya kompetisi internal pada masing-masing spesies (prey, predator, dan kompetitor)

II.

KONSTRUKSI MODEL

 Populasi Prey

a. Pertumbuhan alami prey
Populasi prey sebelum adanya interaksi dengan spesies lain, maka populasi prey tumbuh secara cepat
tak terbatas. Laju pertumbuhan populasi sebanding dengan populasinya. Artinya, ketika jumlah
populasi semakin bertambah banyak maka laju pertumbuhan prey pun akan meningkat.
Akibatnya :
=
Dengan

: Tingkat pertumbuhan alami prey.

b. Dengan adanya kompetisi internal antar sesamanya
Dengan adanya kompetisi internal antar sesamanya, maka populasinya akan berkurang. Laju
pertumbuhan populasi prey sebanding dengan kompetisi internal antar sesamanya. Interaksi antara
sesama prey yang saling berkompetisi merupakan hubungan yang bersifat negatif, sehingga semakin
banyak prey yang saling berkompetisi maka semakin besar pula laju pertumbuhan prey ke arah

negatif (peluruhan menuju kepunahan).
Akibatnya :
=
Dengan

: Tingkat pengurangan prey akibat kompetisi internal dengan sesamanya.

c. Dengan adanya predator
Dengan adanya predator, maka populasi prey akan berkurang karena adanya interaksi dengan
predator, yakni prey dimakan predator. Laju pertumbuhan populasi prey sebanding dengan interaksi
antara keduanya. Interaksi yang terjadi antara prey dan predator bersifat negatif bagi prey, sehingga
semakin banyak prey yang berinteraksi dengan predator maka semakin besar pula laju pertumbuhan
prey ke arah negatif (peluruhan menuju kepunahan).
Akibatnya :
=
Dengan

: Tingkat pengurangan prey akibat dimangsa predator.

d. Dengan adanya harvesting

Dengan adanya harvesting, maka populasi prey akan berkurang. Laju pertumbuhan populasi prey
sebanding dengan harvesting pada prey. Harvesting terhadap prey menyebabkan kerugian pada prey
(negatif), sehingga semakin besar jumlah harvesting pada prey maka semakin besar pula laju
pertumbuhan prey ke arah negatif (peluruhan menuju kepunahan).
Akibatnya :
=
Dengan

: Koefisien tertangkapnya prey
: Energi yang digunakan untuk memanen prey, dengan (

)>0

Dengan pernyataan – pernyataan tersebut, maka secara bentuk model dan persamaan matematis laju
pertumbuhan populasi prey dapat dinyatakan sebagai berikut :
Persamaan laju populasi prey dapat ditulis sebagai berikut :
=
Atau
=

)

Hal ini menyatakan bahwa walaupun laju pertumbuhan populasi prey meningkat, akan tetapi
dihambat oleh persaingan antar sesamanya, interaksi dengan predatornya, dan juga dengan adanya
harvesting pada prey.
 Populasi Predator
a. Pertumbuhan alami predator
Populasi predator sebelum adanya interaksi dengan spesies lain, maka populasi predator tumbuh
secara cepat tak terbatas. Laju pertumbuhan populasi sebanding dengan populasinya. Artinya, ketika
jumlah populasi semakin bertambah banyak maka laju pertumbuhan predator pun akan meningkat.
Akibatnya :
=
Dengan

: Tingkat pertumbuhan alami predator

b. Dengan adanya kompetisi internal antar sesamanya
Dengan adanya kompetisi internal antar sesamnaya, maka populasinya akan berkurang. Laju
pertumbuhan populasi predator sebanding dengan kompetisi internal antar sesamanya. Interaksi
antara sesama predator yang saling berkompetisi merupakan hubungan yang bersifat negatif, sehingga

semakin banyak predator yang saling berkompetisi maka semakin besar pula laju pertumbuhan
predator ke arah negatif (peluruhan menuju kepunahan).

Akibatnya :
=
Dengan

: Tingkat pengurangan predator akibat kompetisi internal dengan sesamanya

c. Dengan adanya prey
Dengan adanya prey, maka populasi predator akan meningkat. Laju pertumbuhan populasi predator
sebanding dengan interaksi antara keduanya. Interaksi yang terjadi antara prey dan predator bersifat
positif bagi predator, sehingga semakin banyak predator yang berinteraksi dengan prey maka semakin
besar pula laju pertumbuhan predator ke arah positif (meningkat).
Akibatnya :
=
Dengan

: Tingkat bertambahnya predator karena memangsa prey

d. Dengan adanya kompetitor
Dengan adanya kompetitor, maka populasi predator akan berkurang karena adanya interaksi antara
predator dengan kompetitor. Laju peluruhan menuju kepunahan populasi predator sebanding dengan
populasinya. Interaksi antara predator dan competitor yang saling berkompetisi merupakan hubungan
yang bersifat negatif terhadap predator, sehingga semakin banyak predator yang berkompetisi dengan
kompetitor maka semakin besar pula laju pertumbuhan predator ke arah negatif (peluruhan menuju
kepunahan).
Akibatnya :
=
Dengan

: Tingkat pengurangan predator karena berkompetisi dengan
kompetitor

Dari pernyataan–pernyataan tersebut, maka secara bentuk model dan persamaan matematis laju
pertumbuhan populasi predator dapat dinyatakan sebagai berikut :
Persamaan laju populasi predator dapat ditulis sebagai berikut :
=
atau
=

)

Hal ini menyatakan bahwa laju pertumbuhan populasi predator meningkat jika memakan prey, akan
tetapi dihambat oleh persaingan antar sesamnya dan interaksi dengan kompetitornya.

 Populasi Kompetitor
a. Pertumbuhan alami kompetitor
Populasi kompetitor sebelum adanya interaksi dengan spesies lain, maka populasi kompetitor tumbuh
secara cepat tak terbatas. Laju pertumbuhan populasi sebanding dengan populasinya. Artinya, ketika
jumlah populasi semakin bertambah banyak maka laju pertumbuhan kompetitor pun akan meningkat.
Akibatnya :
=
Dengan

: Tingkat pertumbuhan alami kompetitor

b. Dengan adanya kompetisi internal antar sesamanya
Dengan adanya kompetisi internal antar sesamanya, maka populasinya akan berkurang. Laju
pertumbuhan populasi kompetitor sebanding dengan kompetisi internal antar sesamanya. Interaksi

antara sesama kompetitor yang saling berkompetisi merupakan hubungan yang bersifat negatif,
sehingga semakin banyak kompetitor yang saling berkompetisi maka semakin besar pula laju
pertumbuhan kompetitor ke arah negatif (peluruhan menuju kepunahan).
Akibatnya :
=
Dengan

: Tingkat pengurangan kompetitor akibat kompetisi internal dengan
sesamanya

c. Dengan adanya predator
Dengan adanya predator, maka kompetisi kompetitor akan berkurang karena adanya interaksi antara
kompetitor dengan predator. Laju pertumbuhan populasi kompetitor sebanding dengan populasinya.
Interaksi antara predator dan competitor yang saling berkompetisi merupakan hubungan yang bersifat
negatif terhadap kompetitor, sehingga semakin banyak kompetitor yang berkompetisi dengan predator
maka semakin besar pula laju pertumbuhan kompetitor ke arah negatif (peluruhan menuju
kepunahan).
Akibatnya :
=
Dengan

: Tingkat pengurangan kompetitor karena berkompetisi dengan
predator

Dari pernyataan – pernyataan tersebut, maka secara bentuk model dan persamaan matematis laju
pertumbuhan populasi kompetitor dapat dinyatakan sebagai berikut :

Persamaan laju populasi kompetitor dapat ditulis sebagai berikut :
=
atau
=
Hal ini menyatakan bahwa laju pertumbuhan populasinya dihambat oleh persaingan antar
sesamanya dan interaksi dengan predatornya.

Oleh karena prey, predator, dan kompetitor hidup dalam habitat yang sama, maka persamaan model
matematis dari masalah predator-prey dengan kompetitor terhadap predator dan harvesting terhadap prey,
yaitu:

()
{
III. TITIK KESETIMBANGAN
Titik setimbang sistem persamaan (1) terjadi ketika
()
sehingga:
(1)
(2)
(3)

() Akan terpenuhi jika dan hanya jika, berlaku persamaan berikut :
1. Untuk x = y = z = 0
Tinjau persamaan (1), (2), dan (3), ketika nilai kita mensubstitusikan nilai x = y = z = 0, maka ()
terpenuhi.
Sehingga diperoleh E1 = (x, y, z) = (0, 0, 0)
Atau
(a1 – a11x – a12y – qE) = 0

(a2 – a22y + a21x – a23z) = 0
(a3 – a33z – a32y) = 0

(i)
(ii)
(iii)

2. Untuk y = z = 0
Tinjau persamaan (i):
a1 – a11x – a12y – qE

=

0

a1 – a11x – a12(0) – qE

=

0

a1 – a11x – 0 – qE

=

0

a1 – qE

=

a11x

x

=

–

Sehingga diperoleh E2 = (x, y, z) = (

–

, 0, 0)

3. Untuk x = z = 0
Tinjau persamaan (ii):
a2 – a22y + a21x – a23z = 0
a2 – a22y + a21(0) – a23(0) = 0
a2 – a22y + 0 – 0 = 0
a2 = a22y
y =
Sehingga diperoleh E2 = (x, y, z) = (0,

,0 )

4. Untuk x = y = 0
Tinjau persamaan (iii):
a3 – a33z – a32y

= 0

a3 – a33z – a32(0)

= 0

a3 – a33z – 0

= 0

a3
z

= a33z
=

Sehingga diperoleh E4 = (x, y, z) = (0, 0,

5. Untuk z = 0
Tinjau persamaan (i):
a1 – a11x – a12y – qE =
a1 – a12y – qE =

0
a11x

)

x =

–

–

………….… (#)

Tinjau persamaan (ii):
a2 – a22y + a21x – a23z = 0
a2 – a22y + a21x – 0 = 0
a2 – a22y + a21(

–

–

) = 0

a2a11 - a11a22y + a1a21 - a12a21y - a21qE = 0
-

y(a11a22 + a12a21 ) + a2a11 + a1a21 - a21qE = 0
y =

Substitusi nilai y ke persamaan (#):
–
x =

–
)

x =

x =
x =
x =
x =
x =
Sehingga diperoleh E5 = (x, y, z) = (

6. Untuk y = 0
Tinjau persamaan (i):
a1 – a11x – a12y – qE =

0

a1 – a11x – a12(0) – qE =

0

a1 – a11x – 0 – qE =

0

, 0)

a1 – qE =

a11x
–

x =

Tinjau persamaan (ii):
a3 – a33z – a32y = 0
a3 – a33z – a32 (0) = 0
a3 – a33z – 0 = 0
a3 = a33z
z =
Sehingga diperoleh E6 = (

–

)

7. Untuk x = 0
Tinjau persamaan (ii):
a2 – a22y + a21(0) – a23z =

0

a2 – a22y +0 – a23z =

0

a23z =
z =

a2 – a22y
–

…..………..(##)

Subtitusi (##) ke persamaan (iii):
a3 – a33z – a32y =
–
(
=

0

a3a23 – a2a33 + a22a33y – a23a32y =

0

a3a23 – a2a33 + y (a22a33 – a23a32) =

0

a3a23 – a33(a2-a22y) – a23a32y =

y (a22a33 – a23a32) =
y

Subtitusi nilai y ke persamaan (##):
z =

=

0
0 . a23

a2 a33 – a3a23

z =

z =

(

z =
z =
z =
Sehingga diperoleh E7 = (x, y, z) = (0,

)

,

8. Untuk x, y, z ≠ 0
Tinjau persaamaan (i):
(a1 – qE ) – a11x – a12y = 0
(a1 – qE) – a21y = a11x
……………….(*)

x =

Substitusi (*) ke persamaan (ii):
=

0

a2a11 + a21 (a1-qE) – a12a21y – a11a22y – a11a23z =

0

(a2a11 + a1a21 – a21qE) – (a12a21 + a11a22)y – a11a23z =

0 ………………..(**)

Eliminasi (**) dengan (iii)
(a2a11 + a1a21 – a21qE) – (a12a21 + a11a22)y – a11a23z = 0
a3 –

a32 y –

× a33

a33z = 0 _ × a11a23

a33 (a2a11 + a1a21 – a21qE) – a33 (a12a21 + a11a22)y – a33a11a23z = 0
a3 a11a23 –

a11a23 a32y – a11a23a33z = 0 _

a33 (a2a11 + a1a21 – a21qE) – a3 a11a23 – a33 (a12a21 + a11a22)y + a11a23 a32y = 0
a2a11a33+a1a21a33–a21a33qE–a3a11a23–(a12a21a33+a11a22a33–a11a23a32)y = 0
a2a11 a33+ a1a21 a33 – a21 a33qE – a3 a11a23 = (a12a21 a33 + a11a22 a33 – a11a23 a32)y
–

–

= y

= y

Subtitusi nilai y ke persamaan (iii)
a3 – a33z – a32y
–

–

=

0

=

0

=
=
=
=
(

(

Substitusi nilai y ke persamaan (*)
x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

(
–
(

Sehingga diperoleh : E8 = (x, y, z) = (N1, N2, N3)

=

z

=

z

dengan N1 =
N2 =
)

N3 =

IV. ANALISIS EKSISTENSI
Suatu persamaan dikatakan eksis jika dan hanya jika nilai dari x, y, dan z berlaku pada sistem
persamaan berikut.

{

1. Titik Kesetimbangan Pertama (

)

E1 = (x, y, z) = (0, 0, 0)
Syarat keberadaan : Tidak ada

2. Titik Kesetimbangan Kedua (
E2 = (x, y, z) = (

–

)

, 0, 0)

Syarat keberadaan : Tidak ada
* catatan : telah didefinisikan sebelumnya bahwa a – qE > 0
1

3. Titik Kesetimbangan Ketiga (
E3 = (x, y, z) = (0,

)

,0 )

Syarat keberadaan : Tidak ada

4. Titik Kesetimbangan Keempat (
E4 = (x, y, z)= (0, 0,

)

)

Syarat keberadaan : Tidak ada

5. Titik Kesetimbangan Kelima (
E5 = (x, y, z) = (

)
, 0)

Syarat keberadaan :

.

Analisis:




maka populasi x = 0, sedangkan untuk titik kesetimbangan kelima ini

Ketika

diasumsikan bahwa populasi y itu ada, sehingga
maka populasi x < 0, sedangkan populasi suatu spesies tidak mungkin

Ketika
bernilai negatif.

6. Titik Kesetimbangan Keenam (
E6 = (

–

)

)

Syarat keberadaan : Tidak ada

7. Titik Kesetimbangan Ketujuh (

)
,

E7 = (x, y, z) = (0,

)

Syarat keberadaan : (i)
(ii)
(iii)
Analisis:


Untuk syarat keberadaan (i):
a) Ketika

maka populasi y = 0, sedangkan untuk titik kesetimbangan ketujuh ini

didefinisikan bahwa populasi y itu ada, sehingga
b) Ketika


maka y < 0, sedangkan populasi suatu spesies tidak mungkin bernilai

negatif.
Untuk syarat keberadaan (ii):
a) Ketika

maka z = 0, sedangkan untuk titik kesetimbangan ketujuh ini didefinisikan

bahwa populasi y itu ada, sehingga
b) Ketika


maka z < 0, sedangkan populasi suatu spesies tidak mungkin bernilai

negatif.
Untuk syarat keberadaan (iii):
a) Ketika

maka y atau z akan menuju tak hingga,

sedangkan untuk titik

kesetimbangan ketujuh ini didefinisikan bahwa populasi y dan z itu ada dan tidak menuju tak
hingga. Jika populasi suatu spesies menuju tak hingga, maka tidak akan terjadinya suatu
kesetimbangan.

maka y < 0 dan z < 0, sedangkan populasi suatu spesies tidak mungkin

b) Ketika
bernilai negatif.

8. Titik Kesetimbangan Kedelapan (

)

E8 = (x, y, z) = (N1, N2, N3)
dengan
N1 =
N2 =
(

N3 =

)

Syarat Keberadaan:
(i)
(ii)
(

(iii)
(iv)
Analisis:


Untuk syarat keberadaan (i):
maka populasi x = 0, sedangkan

a) Ketika

untuk titik kesetimbangan kedelapan ini didefinisikan bahwa populasi x itu ada, sehingga

maka x < 0, sedangkan populasi

b) Ketika


suatu spesies tidak mungkin bernilai negatif.
Untuk syarat keberadaan (ii):
maka y = 0,

a) Ketika

sedangkan untuk titik

kesetimbangan kedelapan ini didefinisikan bahwa populasi y itu ada, sehingga

maka y < 0, sedangkan populasi suatu

b) Ketika


spesies tidak mungkin bernilai negatif.
Untuk syarat keberadaan (iii):
(

a) Ketika

maka z = 0, sedangkan untuk

titik kesetimbangan kedelapan ini didefinisikan bahwa populasi z itu ada, sehingga
(

(

b) Ketika


maka z < 0, sedangkan populasi

suatu spesies tidak mungkin bernilai negatif.
Untuk syarat keberadaan (iv):
maka x, y, dan z akan menuju tak hingga,

a) Ketika

sedangkan untuk titik kesetimbangan kedelapan ini didefinisikan bahwa populasi x, y, dan z itu
ada dan tidak menuju tak hingga. Jika populasi suatu spesies menuju tak hingga, maka tidak akan
terjadinya suatu kesetimbangan.
maka x < 0, y < 0 dan z < 0, sedangkan populasi

b) Ketika
suatu spesies tidak mungkin bernilai negatif.

V.

ANALISIS KESTABILAN
Sistem persamaan () merupakan sistem nonlinear. Menurut Boyce dan DiPrima, kestabilan lokal titik

kesetimbangan dari sistem nonlinear ditentukan dengan terlebih dahulu melakukan linearisasi di sekitar titik
kesetimbangan. Linearisasi tersebut menghasilkan matriks Jacobi. Nilai eigen dari matriks Jacobi pada
masing-masing titik kesetimbangan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan | J - λI | = 0. Selanjutnya
kestabilan titik kesetimbangan dapat ditentukan dengan melihat nilai eigen tersebut. Titik kesetimbangan
dikatakan stabil jika bagian riil dari ketiga nilai eigen bernilai negatif.
1. Titik Kesetimbangan Pertama (

)

E1 = (x, y, z) = (0, 0, 0)
Matriks Jacobiannya:
]

[

Nilai eigennya: (

,

,

)

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa semua nilai eigennya bernilai positif, sehingga titik kesetimbangan pertama (

) bersifat tidak stabil.

2. Titik Kesetimbangan Kedua (
E2 = (x, y, z) = (

–

)

, 0, 0)

Matriks Jacobiannya:

[

]

Nilai eigennya: (

,

,

)

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa nilai-nilai eigennya ada yang bernilai positif dan ada juga yang
bernilai negatif, sehingga titik kesetimbangan kedua (

3. Titik Kesetimbangan Ketiga (

) bersifat tidak stabil.

)

,0 )

E3 = (x, y, z) = (0,

Matriks Jacobiannya:

[

,

Nilai eigennya: (

]

)

,

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik
kesetimbangan ketiga (
i.

) bersifat stabil, yakni stabil asimtotik dengan syarat kestabilannya adalah

<

ii.

<

4. Titik Kesetimbangan Keempat (
E4 = (x, y, z)= (0, 0,

)

)

Matriks Jacobiannya:

[

]

Nilai eigennya: (

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa nilai-nilai eigennya ada yang bernilai positif dan ada juga yang
bernilai negatif, sehingga titik kesetimbangan keempat (

5. Titik Kesetimbangan Kelima (
E5 = (x, y, z) = (

) bersifat tidak stabil.

)
, 0)

Matriks Jacobiannya:
[

Dengan

 m1 =
 m2 =
 m3 = 0
 m4 =
 m5 =
 m6 =
 m7 = 0
 m8 = 0
 m9 =

Nilai eigennya:





]

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik
kesetimbangan kelima (

) bersifat stabil, yakni stabil asimtotik dengan syarat kestabilannya adalah

<

6. Titik Kesetimbangan Keenam (
E6 = (

–

)

)

Matriks Jacobiannya:

[

]

Nilai eigennya: (-

,

)

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik
kesetimbangan keenam (

) bersifat stabil, yakni stabil asimtotik dengan syarat kestabilannya adalah

<

7. Titik Kesetimbangan Ketujuh (

)
,

E7 = (x, y, z) = (0,

)

Matriks Jacobiannya:

[

]

Nilai eigennya:






(
(

⁄
⁄

Dari nilai eigen diatas, diperoleh bahwa semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik
kesetimbangan ketujuh (

) bersifat stabil, yakni stabil asimtotik dengan syarat kestabilannya adalah

<

8. Titik Kesetimbangan Kedelapan (

)

E8 = (x, y, z) = (N1, N2, N3)
dengan
N1 =
N2 =
(

N3 =

)

Matriks Jacobiannya:
[

Dengan

]

 m1 =
(
 m2 =

 m3 = 0
 m4 =
 m5 =

 m6 =
 m7 = 0

 m8 =
 m9 =

Nilai eigennya:
tidak dapat dituliskan, karena panjang keluarannya hampir melebihi 1000000 [mengunakan maple]

Dari jurnal mengatakan bahwa diperoleh semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik
kesetimbangan kedelapan (

) bersifat stabil, yakni stabil asimtotik dengan syarat kestabilannya adalah

(i)
(ii)
(

(iii)
(iv)

Dari hasil analisis tersebut diketahui bahwa titik E1, E2, dan E4 bersifat tidak stabil, sedangkan titik E3, E5,
E6, E7, dan E8 bersifat stabil asimtotik dengan syarat-syarat tertentu.

VI. SIMULASI NUMERIK
Untuk mengilustrasikan hasil analisis model yang diberikan, dilakukan simulasi numerik dengan
menggunakan nilai parameter seperti yang diberikan pada tabel berikut.
Simulasi

Parameter
a1

a2

a3

a11

a22

a33

a12

a21

a23

a32

qE

1

2

3

4

0.1

0.2

0.3

0.12

0.13

0.14

0.15

0.15

2

2

6

4

0.2

0.2

0.3

0.12

0.13

0.14

0.15

0.3

3

5

1

1

0.1

0.1

0.3

0.2

0.3

0.1

0.5

2.3

4

1

3

4

0.1

0.2

0.3

0.12

0.13

0.14

0.15

0.7

5

5

2

6

0.1

0.5

0.3

0.12

0.1

0.5

0.15

2.7

Hasil simulasi ditunjukkan oleh Gambar 1 sampai dengan Gambar 5.

VII. INTERPRETASI HASIL
Berdasarkan hasil dari simulasi numerik, nilai parameter yang digunakan pada simulasi 1 menyebabkan
syarat keberadaan dari semua titik kesetimbangan terpenuhi, sehingga semua titik kesetimbangan ada.
Namun syarat kestabilan dari E2, E5, E6, dan E7 tidak terpenuhi. Titik E8 (3.65, 12.37, 7.15) bersifat stabil
asimtotik karena syarat kestabilannya terpenuhi. Hal ini ditunjukkan oleh potret fase solusi pada Gambar 1
hanya menuju ke titik E8. Pada kasus ini, populasi prey, predator, dan competitor akan hidup berdampingan
dalam batasan nilai tertentu.
Potret fase solusi pada Gambar 2 dengan menggunakan beberapa nilai awal menuju ke titik E2 (0, 30,
0). Hal ini terjadi karena nilai parameter yang digunakan pada simulasi 2 mengakibatkan syarat kestabilan
dari E2 terpenuhi. Selain itu, syarat keberadaan titik E5, E7, dan E8 tidak terpenuhi, sehingga titik-titik

tersebut tidak ada. Hasil dari simulasi 2 menandakan bahwa hanya populasi predator yang bertahan hidup,
sedangkan populasi prey dan competitor akan punah.
Hasil dari simulasi 3 dengan menggunakan nilai parameter yang diberikan menunjukkan bahwa syarat
kestabilan titik E5 (1, 13, 0) terpenuhi. Selain itu, hanya titik E1 sampai E6 yang ada karena syarat keberadaan
titik E7 dan E8 tidak terpenuhi. Pada kasus ini, populasi prey dan predator akan hidup berdampingan dalam
batasan nilai tertentu, sedangkan populasi competitor akan punah.
Pada simulasi 4, nilai parameter yang digunakan menyebabkan syarat keberadaan titik E 7 terpenuhi.
Namun, syarat keberadaan titik E5 dan E8 tidak terpenuhi. Hal ini ditunjukkan oleh potret fase pada Gambar 4
menuju ke titik E7 (0, 8.72, 8.97). Hasil simulasi 4 menandakan bahwa populasi prey akan punah, sedangkan
populasi predator dan competitor dapat bertahan hidup.
Berdasarkan Gambar 5 dapat diketahui bahwa titik E6 (23, 0, 20) stabil, ditunjukkan melalui potret fase
solusi dari beberapa nilai awal hanya menuju ke titik E6. Hal ini karena nilai parameter pada simulasi 5
menyebabkan syarat kestabilan titik E6 terpenuhi. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa dalam waktu
berhingga populasi prey dan competitor akan hidup berdampingan dalam batasan nilai tertentu, sedangkan
populasi predator akan punah.
VIII. KESIMPULAN
Model predator-prey dengan competitor terhadap predator dan harvesting terhadap prey merupakan
system autonomous nonlinear dengan tiga persamaan dan sebelas parameter. Pada model tiga spesies ini
terdapat delapan titik kesetimbangan, yaitu satu titik kesetimbangan trivial, enam titik kesetimbangan batas,
dan satu titik kesetimbangan interior yang menunjukkan ketiga spesies hidup berdampingan. Titik
kesetimbangan E1, E3, dan E4 tidak stabil sedangkan E2, E5, E6, E7, dan E8 bersifat stabil asimtotik jika
memenuhi syarat kestabilan dari masing-masing titik kesetimbangan tersebut. Simulasi numeric yang
dilakukan menunjukkan hasil yang sesuai dengan hasil analisis.

IX. DAFTAR PUSTAKA
Andayani, P . 2012 . Analisis Dinamik Model Predator-Prey dengan Omnivora . Skripsi. Universitas
Brawijaya, Malang, Indonesia
Boyce, W.E. dan DiPrima, R.C. 2008 . Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems,
Ninth Edition. John Willey & Sons Inc. New York.

Rao, A. V. P. Narayan, K.L. dan Bathul, S. 2012 . A Three Species Ecoogical Model with A Prey, Predator
and Competitor to Predator and Optimal Harvesting of The Prey. Buletin of Society for Mathematical

Service & Standarts, I (1), hal. 49-62.
Anonim. Predator-Prey dengan Kompetitor terhadap Predator dan Harvesting terhadap Prey.
Tersedia: http:// Mangsadanpemangsa.blogspot.com [online] [2 Maret 2016]

Lampiran
Nama

Kehadiran Nilai

Dian Tresnawati

90 %

96

Nanda Priatna

95 %

96

Novia Masriani

100 %

96

Widi Widayanti

100 %

97

Kesulitan yang dihadapi:
Selama proses dalam penyusunan laporan ini, kami banyak menemukan kesulitan. Namun, sejauh ini, dengan
melakukan diskusi bersama tiap minggunya, masalah-masalah yang timbul dapat terselesaikan. kecuali salah
satu masalah ini, yaitu kami sulit menemukan nilai eigen titik kesetimbangan ke delapan (E8), karena
beberapa faktor yaitu
1. Nilai x, y, dan z pada E8 cukup panjang, sehingga dengan penghitungan manual sangatlah merepotkan.
2. Karena perhitungan manual sangat merepotkan, akhirnya kami menggunakan maple. Namun dengan
maple pun kami tidak menemukan hasilnya juga.
3. Akhirnya kami harus menggunakan polynomial characteristic untuk mendapatkan nilai eigennya dengan
menggunakan Routh Hurwitz Criteria. Kami sudah mengubah persamaan nilai eigennya kedalam bentuk
polynomial characteristic, namun kami tidak tahu harus dibagaimanakan lagi.