SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 103 – 108
ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND
SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF
DISKRIT
RASITA ANAS
Program Studi Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,
Abstrak. Pada tulisan ini akan diuraikan tentang bagaimanakah solusi dari persamaan
Leontief diskrit dengan menggunakan invers Drazin dan sistem singular diskrit. Untuk C
n nsingular sistem Cx n = (I −L+C)x −d , tidak mempunyai solusi. Hal ini disebabkan
- +1
adanya kondisi awal yang tidak dapat memberikan solusi untuk sistem. Kondisi awal yang
dapat memberikan solusi untuk sistem disebut sebagai kondisi awal yang konsisten [4].
nPerlu diperhatikan bahwa solusi x untuk sistem mungkin positif atau mungkin saja
n innon positif. Solusi x dikatakan positif jika x > 0 untuk setiap i = 1, 2, · · · , n dan
in ≤ ndikatakan non positif jika x 0 untuk setiap i = 1, 2, · · · , n. Jika solusi x untuk
nsistem adalah positif maka x dikatakan solusi positif dari persamaan Leontief. Dengan
Teorema yang diberikan, diperoleh syarat cukup untuk kepositifan dari solusi persamaan
Leontief diskrit. Kata Kunci : Invers Drazin, persamaan Leontief, sistem singular diskrit
1. Pendahuluan Diberikan suatu sistem persamaan beda linier (linear difference equation) sebagai berikut: r×r r×r r Cx = (I − L + C)x − d , n ∈ Z , + n+1 n n
, x ∈ R di mana I ∈ R adalah matriks identitas, C, L ∈ R dan d n n . Sistem di atas dapat ditulis sebagai:
Cx − d , n ∈ Z n+1 = Ex + n n (1.1) r×r di mana E = (I − L + C). Notasi R menyatakan himpunan matriks-matriks r×r + riil berukuran r × r, R menyatakan himpunan matrik-matriks riil berukuran r×r r × r yang entri-entrinya non negatif, R menyatakan himpunan matrik-matriks − r×r ++ riil berukuran r × r yang entri-entrinya non positif, R menyatakan himpunan matriks-matriks riil berukuran r × r di mana entri-entrinya adalah bilangan riil r positif, R menyatakan himpunan vektor berdimensi r, Z menyatakan himpunan + bilangan bulat non negatif, dan C menyatakan himpunan bilangan kompleks.
Jika matriks L = [l ij ] memenuhi: ≤ 0 ≤ l ij 1, 1 ≤ i, j ≤ r, r l ≤
Rasita Anas Maka persamaan (1.1) disebut sebagai persamaan Leontief.
Jika C adalah matriks non singular, maka solusi dari sistem (1.1) adalah : n−1 − 1 n n−i−1
X
- x x d n = C [(I − L + C) (I − L + C) i ], (1.2) i=0 untuk suatu vektor v ∈ R.
Untuk C singular, sistem (1.1) mungkin tidak mempunyai solusi. Hal ini dise- babkan adanya kondisi awal yang tidak dapat memberikan solusi untuk sistem (1.1). Kondisi awal yang dapat memberikan solusi untuk sistem (1.1) disebut sebagai kon- disi awal yang konsisten.
Perlu diperhatikan bahwa solusi x n untuk sistem (1.1) mungkin positif atau mungkin saja non positif. Solusi x dikatakan positif jika x > 0 untuk setiap n in i = 1, 2, · · · , n dan dikatakan negatif jika x < 0 untuk setiap i = 1, 2, · · · , n. Jika in solusi x untuk sistem (1.1) adalah positif maka x dikatakan solusi positif dari n n persamaan Leontief.
2. Solusi Positif dari Persamaan Leontief Diskrit Asumsikan bahwa matriks C adalah singular dan det(λC − E) 6= 0 untuk suatu − 1
λ ∈ C , maka ada λ ∈ C sedemikian sehingga (λC − E) ada. Dengan mengalikan − 1 sistem (1.1) dengan (λC − E) , maka − − − 1 1 1 Cx Ex −
(λC − E) n+1 = (λC − E) n (λC − E) d n − 1 − Cx b Ex − b n+1 = b n d n (2.1) 1 − 1 dengan b C = (λC − E) C , b E = (λC − E) E , b d n = (λC − E) d n .
Untuk λ = 1, pada sistem Cx n+1 = (I − L + C)x n − 1 berlaku λC − (C + I − L) = (λ − 1)C + L − 1 = (L − I). Karena (I − l) ada maka − 1
(λC − (C + I − L)) ada. Selanjutnya, misalkan − 1 C b C = (λC − E) − 1 C
= (λC − (C + I − L)) − 1 C = (−I + L) − 1 C
= −(I − L) (2.2) − 1 b E E
= (λC − E) − 1 = (λC − (C + I − L)) (C + I − L) − 1
= −(I − L) (I − L + C) − 1 C = −I − (I − L) C − I.
Solusi Positif dari Persamaan Leontief Dinamis Diskrit
Solusi umum dari (2.1) diberikan oleh: n−1 D n D D D n−j−1
X − 1 C C − I C b b C − b C C C − I x n = ( b ( b )) x ( b ( b )) (I − L) d j k−1 j=0 D D i D
X − 1 C b C C C − I C − I d , n ≥
- (I − b ) ( b ( b ) ) ( b ) (I − L) n+i i=0
1 (2.3) x n pada persamaan (2.3) adalah solusi dari persamaan (2.1). Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa x n tak negatif, untuk n = 1, 2, · · · , N . Teorema berikut merupakan syarat cukup untuk kepositifan dari solusi persamaan Leontief diskrit. r×r Teorema 2.1.
[3] Misalkan terdapat matriks C, L, I ∈ R sedemikian sehingga (i) Semua elemen diagonal dari b C tidak nol dan tidak sama dengan satu. D C (ii) Semua elemen diagonal dari b adalah tidak nol. D
C C E (iii) b 0, b 0 dan b 0. d (iv) b i dan x .
Misalkan juga x n = L n (x ) + z k (n), (2.4) di mana n−1 D n D D D n−i−1
X x d b b b b
L n (x ) = ( b C E ) C b C + b C ( b C E ) i (2.5) i=0 dan k−1 D D i D
X z d b b k n+i (n) = −(I − b C b C ) ( b C b E ) E . i=0
> 0 Maka x n untuk 1 ≤ n ≤ N dan vektor x memenuhi D D i D D n−i n−i−1 n−i+1 P k−1 P n−1 d d b
C b C C b E E C E r (I − b ) ( b ) ( b )(b n+i ) + [( b ) min ] [( b ) min ] i i=0 i=0 x D n+1 n .
(d max ( b C )) (d max ( b E )) d max ( b C ) Bukti. x > 0 n jika dan hanya jika L n (x ) + z k (n) 0, yaitu n−1 D n D D D n−i−1
X b b b b C E C b C x − b A C E d − z
( b ) ( b ) i k (n). (2.6) D i=0 C C
Dari [3], diperoleh bahwa b 0 dan b 0, sehingga D D b C b C d ( b C )d ( b C )I. (2.7) max max
Selain itu karena x , maka diperoleh D D b C b C x d ( b C )d ( b C )x . (2.8) max max
C E Dari [3] diperoleh bahwa b 0 dan b 0, sehingga D n D n n b
C E C E I. Rasita Anas
Dari (2.8) dan (2.9) diperoleh D n D D n+1 n x b b
( b C E ) C b C (d ( b C )) (d ( b E )) d ( b C )x . (2.10) max max max Berdasarkan [5] diperoleh D n−i−1 b
C E 0 ( b ) D n−i−1 C E
((− b )(− b )) D n−i−1 n−i−1+1 C E r
(− b ) max (− b ) max ) D n−i−1 n−i C E r . D [(− b ) max (− b ) max ] (2.11) C
Karena − b 0, maka (2.11) menjadi D D n−i−1 D D n−i−1 C C E b r C C E b
(− b )( b ) (− b ) max ( b ) D D n−i−1 n−i max r C C E r (− b ) max [(− b ) max (− b ) max ] D n−i n−i−1 n−i+1 C E r . = [(− b ) max ] [(− b ) max ] (2.12)
Karena b d i , maka (2.12) menjadi D D n−i−1 D n−i n−i−1 n−i+1 b b b (− b C )( b C E ) d i [(− b C ) ] [(− b E ) ] r d i . (2.13) max max
Oleh karena itu n−1 n−1 D D n−i−1 D n−i n−i−1 n−i+1
X X b b b C C E d C E r d . (− b ) ( b ) i [(− b ) max ] [(− b ) max ] i (2.14) i=0 i=0 D D
Karena (− b C ) = −( b C ) dan (− b E ) = −( b E ) , maka (2.14) menjadi n−1 n−1 max min max min D D n−i−1 D n−i n−i−1 n−i+1
X X C C E b b − C E r b . (− b ) ( b ) d i [( b ) min ] [( b ) min ] d i (2.15) i=0 i=0
Dari (2.10) dan (2.15) maka disimpulkan bahwa (2.6) memenuhi D n+1 n n−1 D n−i n−i−1 n−i+1 d b
C E d C − C E r (d max ( b )) (d max ( b )) max ( b )x Σ [( b ) min ] [( b ) min ] i i=0 k−1 D D i D
X b b C b C C b C E d ,
- −(I − b ) ( b ) n+i i=0 atau dapat ditulis, D D i D D n−i n−i−1 n−i+1
P k−1 P n−1 b C b C C b E E d C E r d
(I − b ) ( b ) ( b )(b n+i ) + [( b ) min ] [( b ) min ] i i=0 i=0 x D n+1 n (d ( b C )) (d ( b E )) d ( b C ) max max max
Contoh. Misalkan diberikan suatu sistem Cx n+1 = Ex n − d n di mana,
0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 0.45 18 + 2n
L = 0.4 0.1 0.5 , C = , d n = 32 + 3n .
Solusi Positif dari Persamaan Leontief Dinamis Diskrit Akan ditentukan vektor x , sedemikian sehingga sistem tersebut adalah positif.
26861 30116 30891
− 7.7024 × 10 − 3
− 1.0270 × 10 − 2
− 1.1576 × 10 − 2
.
Selanjutnya, b d n = −(I − L) − 1 d n
=
− 53.830n − 954.90 − 60.0n − 1070.0
− 58.936n − 1098.1 .
Untuk n = 1, diperoleh x (I − b
C b C D )( b
C b E D )
E b D b d 1 + [( b C D ) min ][( b
E ) min ] r 2 b d
(d max ( b C D )) 2 (d max ( b E ))d max ( b C )
− 9.7406 × 10 − 3
Misalkan x =
26861 30116 30891
. Maka solusi untuk x n di mana n = 1, 2, 3, 4 adalah x 1 =
28187 30338
, x 2 =
29030 31245
, x 3 =
29897 32179
, x 4 =
30756 33103
− 1.0933 × 10 − 2
− 7.2889 × 10 − 3
Perhatikan bahwa, b C
− 1.0007 × 10 − 2
= −(I − L) − 1 C =
− 8.3617 −11.149 −12.543
−
9 −
12 −
13.5 −
9.5106 −12.681 −14.266 maka b
C D =
− 6.9732 × 10 − 3
− 9.2977 × 10 − 3
− 1.0460 × 10 − 2
− 7.5055 × 10 − 3
− 1.1258 × 10 − 2
− 1.0158 × 10 − 2
− 9.3617 −11.149 −12.543 − 9 − 13 −
− 9.0295 × 10 − 3
− 6.794 × 10 − 3
) D =
( b E
sehingga diperoleh
13.5 − 9.5106 −12.681 −15.266
− 7.9313 × 10 − 3
) =
) = ( b C − I
( b E
dan
− 1.1897 × 10 − 2
− 1.0575 × 10 − 2
. Rasita Anas
36861
. Maka solusi untuk x
Misalkan x = 40116 n dengan n = 1, 2, 3, 4 adalah 42891
38455 39594 40766 39189 x 41390 , x = 42615 , x = 43877 , x = 42181 . 1 2 3 4 43739 45034 46367 44574
3. Kesimpulan Solusi x n dari sistem persamaan Leontief diskrit
Cx − d , n ∈ Z n+1 = Ex n + n adalah positif jika nilai x memenuhi, D D i D D n−i n−i−1 n−i+1 P k−1 P n−1 b C b C C b E E d C E r d
(I − b ) ( b ) ( b )(b n+i ) + [( b ) min ] [( b ) min ] i i=0 i=0 x D n+1 n , (d max ( b C )) (d max ( b E )) d max ( b C ) asalkan
C (i) Semua elemen diagonal dari b tidak nol dan tidak sama dengan satu. D C (ii) Semua elemen diagonal dari b adalah tidak nol. D
C C E (iii) b 0, b 0 dan b 0. d (iv) b i dan x .
4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Muhafzan, Bapak Zulakmal, M.Si, Bapak Drs. Syafruddin M.Si dan Bapak Narwen, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.
Daftar Pustaka [1] Anton, H. dan C. Rorres. 1991. Aljabar Linier Elementer Edisi 8. Jilid 1. Er- langga. Jakarta.
[2] Campbell, S.L. 1979. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover.
New York. [3] Jodar, L dan Merello, P. 2010. Positive Solution of Discrete Dynamic Leontief
Input-Output Model with Possibly Singular Capital Matrix. Mathematical and Computer Modelling. 52 : 1081 – 1087. [4] Kaczorek, T. 1992. Linear Control Systems Volume 1. Research Studies Press LTD, England. [5] R. Bellman. 1970. Introduction to Matriks Analysis. McGraw-Hill. New York.