8. Soal soal Dimensi Tiga
8. SOAL-SOAL DIMENSI TIGA
UN2004
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.
Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah
A. 6 3 cm
B. 6 2 cm
C. 3 6 cm E. . 3 2 cm
D. 3 3 cm
Jawab :
H
A. 2 2 cm
B. 2 6 cm
C. 4 2 cm E. . 8 2 cm
D. 4 6 cm
F’
G
E
F
jawab :
D
H
D’
E
G
A
B
6 cm
F
D
F’
C
A
C
F
B
Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah DD’:
DH = 8 ; D’H = ½ FH = ½ . 8 2 = 4 2
( D' H ) 2 + ( DH ) 2
DD’ =
32 + 64 =
=
=4
A
Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah AF’.
AF = 6 2 ; FF’ = ½ FH = ½ . 6 2 = 3 2
96
AF’ =
6 cm
( AF ) 2 − ( FF ' ) 2
=
72 − 18 =
54
jawabannya adalah D
EBTANAS1999
2. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.
Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah….
H
G
E
F
D
C
A
= 3
6 cm
jawabannya adalah C
UAN2003
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis CF
adalah…
A. 20 cm
B. 18 cm
C. 14 cm E. .
D. 12 cm
B
6 cm
www.belajar-matematika.com - 1
8 cm
jawab:
PP’ =
P
H
G
=
E
( FP) 2 − ( FP' ) 2
20 − 2 =
18 cm
F
P’
D
C
A
B
4 cm
P
C
P’
PP’ = FP 2 - FP’ 2 = CP 2 - (4 2 - x ) 2
20 – x 2 = 36 – (32 – 8 2 x + x 2 )
20 – x 2 = 36 – 32 + 8 2 x - x 2
20 – 4 = 8 2 x
16 = 8 2 x
16
2
2
2
x=
=
=
.
=
8 2
2
2
2
PP’ 2 = FP 2 - FP’ 2
= 20 – ( 2 ) 2
20
6
Cara 2 :
misal FP’ = x, maka CP’ = 4 2 - x
F
= 20 – 2 = 18
yang ditanyakan adalah PP’ :
CF = 4
=
PP’ = 18 cm
2
( EF ) + ( EP)
2
FP =
2
hasil cara 1 = hasil cara 2
4 2 + (1 / 2. 4) 2 =
jawabannya adalah B
20
(CH ) 2 + ( HP) 2
CP =
(4 2 ) 2 + (1 / 2. 4) 2 =
=
32 + 4 = 6
C. 3 2 cm E. . 4 3 cm
D. 3 3 cm
Jawab:
CF 2 + FP 2 − CP 2
FP’ =
2CF
=
EBTANAS1992
4. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm.
Jarak titik C dengan bidang BDG adalah…
A. 2 2 cm
B. 2 3 cm
cara 1 :
=
H
32 + 20 − 36
G
E
F
8 2
16
8 2
2
=
C’
2
2
=
2
2
.
2
2
=
D
2
C
P
A
B
6 cm
www.belajar-matematika.com - 2
G
H
α
C’
P
C
A
yang dicari adalah CC’.
CP = ½ CA = ½ . 6 2 = 3
CG = 6
GP =
misal panjang rusuk adalah a,
AP
sin α =
AH
2
CP 2 + CG 2
= 18 + 36 =
54 = 3
P
AP = ½ AC = ½ a
6
AH =
GP 2 + CG 2 − CP 2
GC’ =
2GP
=
CC’ =
=
6
6
a 2 + a 2 = 2a 2 = a 2
1
a 2
1
AP
2
sin α =
=
=
AH
2
a 2
α = 30 0
6
=2
jawabannya adalah A
CG 2 − GC ' 2
36 − 24 = 12 = 2
EBTANAS 2001
6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α ,
maka sin α = ….
3 cm
jawabannya adalah B
UAN2005
5. Pada kubus ABCD.EFGH besar sudut antara garis AH
dan bidang diagonal BDHF adalah…
A. 30
0
B. 45
0
EA 2 + EH 2
=
54 + 36 − 18
6 6
72
12
12
=
=
=
.
6 6
6
6
2
C. 60
0
D. 75
0
E. 90
0
jawab:
A.
1
2
4
C.
1
3
3
B.
1
2
2
D.
1
3
2
E.
1
6
2
Jawab:
H
G
H
G
P
E
F
D
E
C
F
D
C
P
A
B
A
www.belajar-matematika.com - 3
B
4 cm
P
AH sejajar dengan BG, sehingga sudut antara diagonal
BG dan FH adalah juga sudut antara diagonal AH dan FH
( ∠ (BG,FH) = ∠ (AH,FH) )
F
α
dari gambar terlihat bahwa panjang AH = AF = FH
sehingga ∆ AFH adalah ∆ sama sisi.
∆ sama sisi. Mempunyai 3 sudut yang sama yaitu 60 0
B
sin α =
PF
PB
Jawabannya adalah C
2 =2
PF = ½ FH = ½ . 4
PB =
=
UN2007
8. Jarak bidang ACH dan EGB pada kubus
ABCD.EFGH dengan rusuk 6 3 cm adalah….
2
PF 2 + FB 2
8 + 16 =
(2 2 ) 2 +4 2 =
. A. 4 3 cm
B. 2 3 cm
24
C. 4 cm E. . 12 cm
D. 6 cm
6
=2
sin α =
=
PF
PB
2 2
2 6
Jawab:
=
2
2
=
6
6
.
6
6
=
1
12
6
H
Q
G
E
1
2
1
=
4.3 =
.3 =
.3
6
6
3
F
R
S
jawabannya adalah C
D
C
P
EBTANAS 1987
7. Besar sudut antara diagonal BG dan FH pada kubus
ABCD.EFGH adalah …..
A. 30 0
B. 45 0
C. 60 0
D. 75 0
A
B
6
3
cm
Lihat bidang BDHG :
E. 90 0
Q
jawab:
H
H
G
α
E
F
R
F
S
D
D
B
C
P
A
B
www.belajar-matematika.com - 4
Sehingga panjang SR = DF – FR – DS
yang ditanya adalah jarak SR.
= 18 – 6 – 6 = 6 cm
SR = DF – FR – DS
DF = 6
3.
3 = 18 (diagonal ruang)
UNAS2006
9. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang
rusuk AB= 6 cm, dan TA= 6 3 cm. Sudut antara TC dan
bidang ABC adalah α , maka tan α = ….
FR:
ingat titik berat ∆ = 1/3 tinggi
QR = 1/3 QB
QB =
Jawabannya adalah D
FB 2 + FQ 2
A. 3 10
FB = 6 3 = 6 3
FQ = ½ GH = ½ 6. 3 .
=
2 = 3.
2
D. 10
E. 2
T
6
6 3 cm
C
FQ 2 − QR 2
54 − 18 =
C. 3
2
jawab :
QB = 108 + 54 = 162 = 9 2
QR = 1/3 QB = 1/3. 9 2 = 3 2
FR =
B. 4
Q
A
36 = 6
P
6 cm
B
DS :
Karena limas segitiga beraturan maka:
panjang TA = TB = TC dan Bidangnya adalah segitiga
sama sisi dengan panjang AB = BC = AC.
∆ DSP sebangun dengan ∆ FQR
sehingga DS = FR = 6
Sudut TC dan bidang ABC ( ∠TC , ABC ) = ∠TCQ
y
TQ
=
Tan α =
x
QC
Kita cari dan buktikan :
PS = 1/3 PH
PH =
DH 2 + DP 2
DH = 6 3
DP = ½ DB = ½ 6.
TQ =
3.
2 = 3.
6
PH = 108 + 54 = 162 = 9 2
PS = 1/3 PH = 1/3. 9 2 = 3 2
DS =
TC = 6 3
QC:
Titik berat segitiga adalah 1/3 tinggi,
PQ = 1/3 PC, maka CQ =(1- 1/3) PC = 2/3 PC
DP 2 − PS 2
PC =
=
54 − 18 =
36 = 6 (terbukti)
TC 2 − QC 2
BC 2 − BP 2
BC = 6
BP= ½ AB = ½ . 6 = 3
www.belajar-matematika.com - 5
2
PC = 6 2 − 3 2 = 36 − 9 = 27 = 3
QC = 2/3 PC = 2/3 ,. 3 3 = 2 3
3
a
TQ =
=
TC − QC
2
a
2
α
(6 3 ) 2 − ( 2 3 ) 2
A
C
a
= 108 − 12 =
2
96 = 4 6
Aturan cosinus
TQ
QC
Tan α =
=
=
TC 2 = TA 2 + AC 2 - 2. TA. AC. cos α
4 6
2 3
2 6
3
=
.
3
3
3
=
2 18 2.3 2
=
=2
3
3
2
Jawabannya adalah E
UN2004
10. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua
rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang
ABCD adalah….
A. 15 0
B. 30 0
jawab:
2 ) 2 - 2. a. a 2 cos α
a 2 = a 2 + (a
2 6
C. 45 0
D. 60 0
a 2 = a 2 + 2 a 2 - 2. a 2 2 . cos α
a 2 = 3 a 2 - 2. a 2 2 . cos α
- 2. a 2 = - 2. a 2 2 . cos α
2. a 2 = 2. a 2 2 . cos α
2a 2
1
=
cos α =
2
2a 2
2
=
1
2
.
2
=
α = 45 0
E. 75 0
Jawabannya adalah C
T
D
C
α
A
B
Misal panjang rusuk = a , maka
TA=TB=TB=TC=AB=BC=CD=AD = a
sudut antara TA dan bidang ABCD ( ∠ (TA,ABCD) )
adalah ∠ TAC
AC = a 2 + a 2 =
TA = TC = a
2
2a 2 = a
2
T
www.belajar-matematika.com - 6
1
2
2
UN2004
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.
Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah
A. 6 3 cm
B. 6 2 cm
C. 3 6 cm E. . 3 2 cm
D. 3 3 cm
Jawab :
H
A. 2 2 cm
B. 2 6 cm
C. 4 2 cm E. . 8 2 cm
D. 4 6 cm
F’
G
E
F
jawab :
D
H
D’
E
G
A
B
6 cm
F
D
F’
C
A
C
F
B
Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah DD’:
DH = 8 ; D’H = ½ FH = ½ . 8 2 = 4 2
( D' H ) 2 + ( DH ) 2
DD’ =
32 + 64 =
=
=4
A
Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah AF’.
AF = 6 2 ; FF’ = ½ FH = ½ . 6 2 = 3 2
96
AF’ =
6 cm
( AF ) 2 − ( FF ' ) 2
=
72 − 18 =
54
jawabannya adalah D
EBTANAS1999
2. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.
Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah….
H
G
E
F
D
C
A
= 3
6 cm
jawabannya adalah C
UAN2003
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis CF
adalah…
A. 20 cm
B. 18 cm
C. 14 cm E. .
D. 12 cm
B
6 cm
www.belajar-matematika.com - 1
8 cm
jawab:
PP’ =
P
H
G
=
E
( FP) 2 − ( FP' ) 2
20 − 2 =
18 cm
F
P’
D
C
A
B
4 cm
P
C
P’
PP’ = FP 2 - FP’ 2 = CP 2 - (4 2 - x ) 2
20 – x 2 = 36 – (32 – 8 2 x + x 2 )
20 – x 2 = 36 – 32 + 8 2 x - x 2
20 – 4 = 8 2 x
16 = 8 2 x
16
2
2
2
x=
=
=
.
=
8 2
2
2
2
PP’ 2 = FP 2 - FP’ 2
= 20 – ( 2 ) 2
20
6
Cara 2 :
misal FP’ = x, maka CP’ = 4 2 - x
F
= 20 – 2 = 18
yang ditanyakan adalah PP’ :
CF = 4
=
PP’ = 18 cm
2
( EF ) + ( EP)
2
FP =
2
hasil cara 1 = hasil cara 2
4 2 + (1 / 2. 4) 2 =
jawabannya adalah B
20
(CH ) 2 + ( HP) 2
CP =
(4 2 ) 2 + (1 / 2. 4) 2 =
=
32 + 4 = 6
C. 3 2 cm E. . 4 3 cm
D. 3 3 cm
Jawab:
CF 2 + FP 2 − CP 2
FP’ =
2CF
=
EBTANAS1992
4. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm.
Jarak titik C dengan bidang BDG adalah…
A. 2 2 cm
B. 2 3 cm
cara 1 :
=
H
32 + 20 − 36
G
E
F
8 2
16
8 2
2
=
C’
2
2
=
2
2
.
2
2
=
D
2
C
P
A
B
6 cm
www.belajar-matematika.com - 2
G
H
α
C’
P
C
A
yang dicari adalah CC’.
CP = ½ CA = ½ . 6 2 = 3
CG = 6
GP =
misal panjang rusuk adalah a,
AP
sin α =
AH
2
CP 2 + CG 2
= 18 + 36 =
54 = 3
P
AP = ½ AC = ½ a
6
AH =
GP 2 + CG 2 − CP 2
GC’ =
2GP
=
CC’ =
=
6
6
a 2 + a 2 = 2a 2 = a 2
1
a 2
1
AP
2
sin α =
=
=
AH
2
a 2
α = 30 0
6
=2
jawabannya adalah A
CG 2 − GC ' 2
36 − 24 = 12 = 2
EBTANAS 2001
6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.
Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α ,
maka sin α = ….
3 cm
jawabannya adalah B
UAN2005
5. Pada kubus ABCD.EFGH besar sudut antara garis AH
dan bidang diagonal BDHF adalah…
A. 30
0
B. 45
0
EA 2 + EH 2
=
54 + 36 − 18
6 6
72
12
12
=
=
=
.
6 6
6
6
2
C. 60
0
D. 75
0
E. 90
0
jawab:
A.
1
2
4
C.
1
3
3
B.
1
2
2
D.
1
3
2
E.
1
6
2
Jawab:
H
G
H
G
P
E
F
D
E
C
F
D
C
P
A
B
A
www.belajar-matematika.com - 3
B
4 cm
P
AH sejajar dengan BG, sehingga sudut antara diagonal
BG dan FH adalah juga sudut antara diagonal AH dan FH
( ∠ (BG,FH) = ∠ (AH,FH) )
F
α
dari gambar terlihat bahwa panjang AH = AF = FH
sehingga ∆ AFH adalah ∆ sama sisi.
∆ sama sisi. Mempunyai 3 sudut yang sama yaitu 60 0
B
sin α =
PF
PB
Jawabannya adalah C
2 =2
PF = ½ FH = ½ . 4
PB =
=
UN2007
8. Jarak bidang ACH dan EGB pada kubus
ABCD.EFGH dengan rusuk 6 3 cm adalah….
2
PF 2 + FB 2
8 + 16 =
(2 2 ) 2 +4 2 =
. A. 4 3 cm
B. 2 3 cm
24
C. 4 cm E. . 12 cm
D. 6 cm
6
=2
sin α =
=
PF
PB
2 2
2 6
Jawab:
=
2
2
=
6
6
.
6
6
=
1
12
6
H
Q
G
E
1
2
1
=
4.3 =
.3 =
.3
6
6
3
F
R
S
jawabannya adalah C
D
C
P
EBTANAS 1987
7. Besar sudut antara diagonal BG dan FH pada kubus
ABCD.EFGH adalah …..
A. 30 0
B. 45 0
C. 60 0
D. 75 0
A
B
6
3
cm
Lihat bidang BDHG :
E. 90 0
Q
jawab:
H
H
G
α
E
F
R
F
S
D
D
B
C
P
A
B
www.belajar-matematika.com - 4
Sehingga panjang SR = DF – FR – DS
yang ditanya adalah jarak SR.
= 18 – 6 – 6 = 6 cm
SR = DF – FR – DS
DF = 6
3.
3 = 18 (diagonal ruang)
UNAS2006
9. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang
rusuk AB= 6 cm, dan TA= 6 3 cm. Sudut antara TC dan
bidang ABC adalah α , maka tan α = ….
FR:
ingat titik berat ∆ = 1/3 tinggi
QR = 1/3 QB
QB =
Jawabannya adalah D
FB 2 + FQ 2
A. 3 10
FB = 6 3 = 6 3
FQ = ½ GH = ½ 6. 3 .
=
2 = 3.
2
D. 10
E. 2
T
6
6 3 cm
C
FQ 2 − QR 2
54 − 18 =
C. 3
2
jawab :
QB = 108 + 54 = 162 = 9 2
QR = 1/3 QB = 1/3. 9 2 = 3 2
FR =
B. 4
Q
A
36 = 6
P
6 cm
B
DS :
Karena limas segitiga beraturan maka:
panjang TA = TB = TC dan Bidangnya adalah segitiga
sama sisi dengan panjang AB = BC = AC.
∆ DSP sebangun dengan ∆ FQR
sehingga DS = FR = 6
Sudut TC dan bidang ABC ( ∠TC , ABC ) = ∠TCQ
y
TQ
=
Tan α =
x
QC
Kita cari dan buktikan :
PS = 1/3 PH
PH =
DH 2 + DP 2
DH = 6 3
DP = ½ DB = ½ 6.
TQ =
3.
2 = 3.
6
PH = 108 + 54 = 162 = 9 2
PS = 1/3 PH = 1/3. 9 2 = 3 2
DS =
TC = 6 3
QC:
Titik berat segitiga adalah 1/3 tinggi,
PQ = 1/3 PC, maka CQ =(1- 1/3) PC = 2/3 PC
DP 2 − PS 2
PC =
=
54 − 18 =
36 = 6 (terbukti)
TC 2 − QC 2
BC 2 − BP 2
BC = 6
BP= ½ AB = ½ . 6 = 3
www.belajar-matematika.com - 5
2
PC = 6 2 − 3 2 = 36 − 9 = 27 = 3
QC = 2/3 PC = 2/3 ,. 3 3 = 2 3
3
a
TQ =
=
TC − QC
2
a
2
α
(6 3 ) 2 − ( 2 3 ) 2
A
C
a
= 108 − 12 =
2
96 = 4 6
Aturan cosinus
TQ
QC
Tan α =
=
=
TC 2 = TA 2 + AC 2 - 2. TA. AC. cos α
4 6
2 3
2 6
3
=
.
3
3
3
=
2 18 2.3 2
=
=2
3
3
2
Jawabannya adalah E
UN2004
10. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua
rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang
ABCD adalah….
A. 15 0
B. 30 0
jawab:
2 ) 2 - 2. a. a 2 cos α
a 2 = a 2 + (a
2 6
C. 45 0
D. 60 0
a 2 = a 2 + 2 a 2 - 2. a 2 2 . cos α
a 2 = 3 a 2 - 2. a 2 2 . cos α
- 2. a 2 = - 2. a 2 2 . cos α
2. a 2 = 2. a 2 2 . cos α
2a 2
1
=
cos α =
2
2a 2
2
=
1
2
.
2
=
α = 45 0
E. 75 0
Jawabannya adalah C
T
D
C
α
A
B
Misal panjang rusuk = a , maka
TA=TB=TB=TC=AB=BC=CD=AD = a
sudut antara TA dan bidang ABCD ( ∠ (TA,ABCD) )
adalah ∠ TAC
AC = a 2 + a 2 =
TA = TC = a
2
2a 2 = a
2
T
www.belajar-matematika.com - 6
1
2
2