Kesetimbangan model penyebaran virus influenza a H1N1 menggunakan model Susceptible Infected- Recovered (SIR)

KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN VIRUS

INFLUENZA A H1N1 MENGGUNAKAN MODEL

SUSCEPTIBLE-INFECTED-RECOVERED (SIR)

Firly Octavianti

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

i

KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN VIRUS

INFLUENZA A H1N1 MENGGUNAKAN MODEL

SUSCEPTIBLE-INFECTED-RECOVERED (SIR)

SKRIPSI

Diajukan Kepada

Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Fakultas Sains dan Teknologi

Oleh :

Firly Octavianti

109094000006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

ii

PENGESAHAN UJIAN

Skripsi berjudul “Kesetimbangan Model Penyebaran Virus Influenza A H1N1

menggunakan Model Susceptible-Infected-Recovered (SIR)” yang ditulis oleh Firly Octavianti, NIM 109094000006 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Rabu, 1 Oktober 2014. Skripsi ini telah diterima untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana strata satu (S1) Program Matematika.

iii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR- BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, Oktober 2014

Firly Octavianti 109094000006

iv

PERSEMBAHAN

Alhamdulillahirobbil

′

aalamin, dengan mengucap rasa syukur kepada Allah SWT, Skripsi

ini dipersembahkan untuk keluargaku, Papa Edi Usdianto dan Ibu Yusniati, Abang Ferdy

Ferdyansyah & Adik Fauzan Merdianto tercinta yang selalu memberikan motivasi, Bapak

dan Ibu dosen Matematika yang dengan sabar mengajar saya

"Semoga Semua Kebaikan Mereka Dibalas Dengan Beribu Kenikmatan Dari ALLAH SWT"

MOTTO

"Berdoa,tidak berputus asa & yakinlah bahwa Allah akan memberi kemudahan pada

hambanya yang berusaha "

v ABSTRAK

Influenza A H1N1 atau Swine Influenza merupakan penyakit saluran pernapasan yang disebabkan oleh virus influenza (H1N1) yang sudah menular dari manusia ke manusia dan dapat mengakibatkan kematian yang telah melanda beberapa negara dalam waktu relatif cepat. Model SIR adalah model matematika yang digunakan untuk mengetahui laju penyebaran dan laju kepunahan suatu wabah penyakit dalam populasi tertutup dan bersifat endemi. Penelitian ini mempelajari kesetimbangan model SIR dengan pengaruh vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat antivirus. Titik Kesetimbangan bebas penyakit digunakan untuk mendapatkan bilangan reproduksi RC dengan nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobian.

Hasil analisis diperoleh bahwa tingkat vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat antivirus diperlukan untuk mencegah penyebaran penyakit. Penyakit akan berangsur-angsur menghilang dari populasi untuk RC < 1.

Kata kunci : Infuenza A H1N1, Kesetimbangan model SIR, Titik Kesetimbangan, Bilangan Reproduksi, dan Stabilitas

vi ABSTRACT

Influenza A H1N1 or Swine Influenza is a respiratory disease caused by influenza virus (H1N1) that is easily transmitted from human to human and can cause death that has hit several countries in a relatively quick time. SIR model is a mathematical model used to determine the rate of spread and the rate of extinction of an outbreak of disease in the population covered and are endemic. This research studied the effect of equilibrium of SIR model with vaccination, quarantine, isolation, and antiviral drug therapy. The equilibrium point free disease used to obtain reproduction number RC with eigenvalues obtained from the Jacobian matrix. The

results of the analysis showed that the level of vaccination, quarantine, isolation, and antiviral drug therapy is necessary to prevent the spread of disease. Disease will gradually disappear from population forRC < 1.

Keywords : Influenza A H1N1, Equilibrium of SIR Model, Equilibrium Point, Reproduction Number, and Lyapunov Stability.

vii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, segala puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-Nya, hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

“Kesetimbangan Model Penyebaran Virus Influenza A H1N1 menggunakan Model

Susceptible-Infected-Recovered (SIR)”. Shalawat serta salam selalu tercurah kepada baginda Nabi Muhammad SAW, teladan dan rahmat bagi seluruh alam.

Penulis menyadari tanpa bantuan, dorongan, bimbingan dan do'a dari berbagai pihak penelitian ini tidak mungkin terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Kedua orang tua tercinta, Ibu dan Papa yang telah memberikan kasih sayang, motivasi, dan dukungan secara moril, materil, dan doa dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Dr. Agus Salim M.Si sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai penguji I, yang telah menyediakan waktunya dan memberikan kritik serta saran dalam penyelesaian skripsi ini. 3. Ibu Yanne Irene M.Si sebagai Ketua Prodi Matematika Fakultas Sains dan

Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

4. Ibu Irma Fauziah, M.Sc dan Dr. Nur Inayah, M.Si sebagai dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimbing I dan II, yang selalu menyediakan waktu disela-sela kesibukannya untuk membimbing dan arahan serta saran yang mendukung penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

5. Bapak Mahmudi, M.Si selaku dosen penguji II, yang telah menyediakan waktunya dan memberikan kritik serta saran untuk kesempurnaan penulisan skripsi ini.

viii

6. Para dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, tetapi tidak mengurang rasa hormat penulis kepada mereka.

7. Sahabat Math'09 terutama Raihanul Jannah, S. Si, Maida Vitaloka, Ningtyas Gayatri, S. Si, Iftah Afiffah yang selalu mendukung dan memotivasi, serta Syifa Ainul Yaqin yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 8. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah

memberikan semangat dan bantuan sehingga skripsi ini selesai disusun.

Akhir kata, semoga Allah SWT membalas semua kebaikan mereka dan semoga skripsi ini bermanfaat bagi pihak yang membutuhkannya.

Jakarta, Oktober 2014

ix DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

LEMBAR PENGESAHAN ... ii

PERNYATAAN ... iii

PERSEMBAHAN DAN MOTTO ... iv

ABSTRAK ... v

ABSTRACT ... vi

KATA PENGANTAR ... vii

DAFTAR ISI ... ix

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Permasalahan ... 3

1.3 Pembatasan Masalah ... 4

1.4 Tujuan Penulisan ... 4

1.5 Manfaat Penulisan ... 5

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial ... 6

2.2 Ruang Dimensin_{………. ... 9}

2.3 Titik Kesetimbangan ... 10

x

2.5 Model SIR Dasar ... 13

2.6 Bilangan Reproduksi ... 15

2.7 Stabilitas Lyapunov ... 15

BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Metode Pengolahan Data ... 17

3.1.1 Mempelajari Teori Dasar ... 17

3.1.2 Mempelajari Artiker Terkait ... 17

3.2 Metode Analisa Data ... 18

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Penentuan Asumsi dan Pemodelan SIR... 20

4.2 Menentukan Titik Kesetimbangan Pemoodelan SIR ... 26

4.3 Menentukan Stabilitas Global Model SIQs ... 44

BAB V PENUTUP 5.1 KESIMPULAN ... 52

5.2 SARAN ... 53

1 BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

InfluenzaA H1N1 atau Swine Influenza merupakan penyakit saluran pernapasan yang disebabkan oleh virus influenza (H1N1) yang sudah menular dari manusia ke manusia dan dapat mengakibatkan kematian yang telah melanda beberapa negara dalam waktu relatif cepat dan berpotensi menyebar ke Indonesia, sehingga dapat menyebabkan kepanikan di kalangan masyarakat dan sewaktu-waktu dapat menjadi wabah. Gejala-gejala secara umum penyakit ini mirip influenza dengan tanda-tanda klinis antara lain; demam >38⁰C, batuk, pilek, lesu, letih, nyeri tenggorokan, nafas cepat, sesak nafas, mual, muntah dan diare. Cara penularan melalui udara dan dapat juga melalui kontak langsung. Masa inkubasi (waktu masuknya virus ke tubuh sampai munculnya gejala klinis) adalah 3 - 5 hari. Langkah-langkah antisipasi terinfeksi virus ini dengan mewaspadai semua kasus flu, menjauhkan hewan ternak dari pemukiman penduduk, menganjurkan warga untuk selalu meningkatkan Perilaku Hidup Bersih dan Sehat (PHBS), melakukan kampanye pencegahan fluA H1N1 pada masyarakat untuk melakukan hal-hal sebagai berikut; selalu mencuci tangan sebelum dan sesudah melakukan aktifitas sehari-hari (PHBS), menutup hidung dan mulut dengan tissue atau saputangan saat batuk atau bersin, menggunakan masker, tidak

2 meludah disembarang tempat. Jika dicurigai adanya kasus flu A H1N1 laporkan ke Unit Pelayanan Kesehatan terkait [1].

Di Indonesia, swine flu sudah terdeteksi hampir 25 propinsi dengan jumlah korban terinfeksi mencapai 1.127 orang. Mudahnya penyebaran swine flu

dikarenakan kurangnya informasi kepada warga mengenai penyakit swine flu yang pada saat itu masih merupakan penyakit baru [2].

Karena virus Influenza A H1N1 dapat mematikan secara alami, maka penting menggunakan pemodelan matematika untuk mencoba menekan perkembangannya. Pemodelan matematika yang dimaksudkan adalah model Susceptible-Infected-Recovered (SIR). Model SIR pertama ini dikenalkan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Bentuk umum model SIR disajikan dalam bentuk persamaan diferensial. Pada model SIR, populasi dibagi kedalam tiga kelompok yaitu kelompok individu yang sehat namun dapat terinfeksi penyakit (Susceptible), kelompok individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuh dari penyakit (Infected), dan kelompok individu yang telah sembuh dan kebal terhadap penyakit (Recovered).

Model penyebaran yang bersifat endemi yaitu kondisi dimana penyakit menyebar pada suatu wilayah dalam kurun waktu yang lama, sehingga terjadi perubahan populasi yang disebabkan oleh kelahiran dan kematian. Penyebaran penyakit dapat ditekan dengan pemberian vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat antivirus agar dapat mencegah meluasnya penyakit. Perilaku sistem juga dapat di amati pada titik-titik dimana sistem berada pada keadaan setimbang. Titik-titik ini

3 kemudian disebut sebagai titik kesetimbangan pada sistem yang dikenal sebagai kestabilan dan merupakan informasi yang menggambarkan perilaku pada sistem.

Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu. Selanjutnya model yang diperoleh akan dicari solusinya. Pada penelitian sebelumnya, dengan judul Pengaruh Vaksinasi terhadap penyebaran penyakit dengan model endemi SIR [3], menyimpulkan bahwa model endemi SIR dengan pengaruh vaksinasi dapat menurunkan jumlah penderita pada model SIR. Berdasarkan ulasan tersebut, penulis melakukan penelitian dengan judul "KESETIMBANGAN MODEL PENYEBARAN VIRUS INFLUENZA A H1N1

MENGGUNAKAN MODEL SUSCEPTIBLE-INFECTED-RECOVERED (SIR) ”.

1.2 Permasalahan

Berdasarkan latar belakang diatas terdapat beberapa permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini, yaitu:

1. Bagaimana pengaruh bilangan reproduksi R_C terhadap penyebaran virus

Influenza A H1N1 dengan model SIR yang dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat antivirus?

2. Bagaimana cara menentukan stabilitas global pada titik kesetimbangan model SIQs?

4 1.3 Pembatasan Masalah

Sesuai dengan inti dari penelitian ini, maka penulis membatasi ruang lingkup pada penyakit Influenza A H1N1 yang bersifat endemi dengan asumsi sebagai berikut:

1. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar dan tertutup, sehingga tidak ada populasi yang masuk atau keluar dari populasi tersebut. Total populasi diasumsikan konstan.

2. Model SIR memperhatikan faktor kelahiran dan kematian dengan jumlah kelahiran dan jumlah kematian tiap satuan waktu dianggap sama yang dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina, isolasi, dan terapi obat antivirus. Tiap individu yang baru lahir diasumsikan dapat terinfeksi penyakit karena belum kebal terhadap penyakit.

3. Populasi bercampur secara homogen yang mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak dengan individu lain.

4. Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dan dapat meninggal dunia akibat penyakit.

5. Diasumsikan hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi.

1.4 Tujuan Penulisan

5 1. Mengetahui pengaruh bilangan reproduksi RC terhadap penyebaran virus

Influenza A H1N1 dengan model SIR yang dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat antivirus.

2. Mengetahui cara menentukan stabilitas global pada titik kesetimbangan model SIQs.

1.5 Manfaat Penulisan

Manfaat dari penelitian ini selain dari Tugas Akhir diharapkan juga dapat mengembangkan wawasan keilmuan mengenai model SUSCEPTIBLE-INFECTED-RECOVERED (SIR) dalam bidang kesehatan dengan menggunakan Pemodelan Matematika.

6 BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial adalah Persamaan yang melibatkan variabel-variabel takbebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebasnya. Persamaan Diferensial dibagi menjadi dua bentuk, yaitu Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Perbedaan keduanya terletak pada jumlah variabel bebasnya. PDB melibatkan satu variabel bebas sedangkan PDP melibatkan lebih dari satu variabel bebas.

Suatu PDB berorde-n dapat ditulis dalam bentuk [5] :

 



 1



t, , ', ", ,

n n

y F y y y y  (2.1)

dengan  1

, ', ", , n , n

y y y y  y fungsi yang semua nilainya ditentukan oleh waktu t. PDB orde satu dapat ditulis dalam bentuk [5] :

 

' t,

y F y (.2.2) Suatu persamaan diferensial linear berorde-n dapat ditulis dalam bentuk [5] :

 

 

_{ }

 1

_{ }

_{ }

_{ }

1 1 ' 0

n n

n n

a t y a_ t y   a t ya t y f t (2.3)

dengan barisan a t a_n

 

, _n1

 

t , ,a t a t₁

   

, ₀ dan f t

 

adalah fungsi dari t. Persamaan Diferensial Linier dapat ditulis dalam bentuk [4] :

 

 

'

7 dengan p t

 

dan g t

 

adalah fungsi dari waktu t. Untuk mendapatkan faktor integrasi, yaitu dengan cara mengalikan fungsi 

 

t dinyatakan sebagai berikut :

 

t y'

   

t p t y

   

t g t

   (2.5)

Dengan menggunakan kombinasi _

 

t y_ ' '

 

t y

 

t y' kita harus menambahkan dan mengurangi dengan '

 

t y pada persamaan (2.5) di ruas sebelah kiri dinyatakan sebagai berikut :

 

 

 

   

   

' t y ' t y t y' t p t y t g t

     (2.6)

Sekarang jika kondisi kedua pada ruas sebelah kiri adalah nol, maka persamaan (2.6) menjadi

 

t y '

   

t g t

 

  

  (2.7)

dan ruas sebelah kiri akan di integralkan. Untuk mencapai situsai ini kita harus memilih  menjadi

 

   

' t t p t 0

   (2.8)

Jika kita asumsikan  positif, maka kita dapat menuliskan persamaan (2.8) menjadi

 

 

 

' t

p t t



 

atau

 

 

ln

d

t p t

dt   (2.9)

8

 

 

ln t 



p t dtk (2.10)

Dengan memilih konstanta k menjadi nol, diperolehlah fungsi untuk , yaitu

 

t exp p t dt

 

 

_

(2.11)

dengan 

 

t exp



p t dt

 

merupakan faktor integrasi [4].

Pada persamaan (2.4) pula p t

 

dapat dinyatakan sebagai matriks A

berukuran n n dengan koefisien konstan dan g t

 

dinyatakan sebagai vektor konstan b sehingga diperoleh bentuk persamaan diferensial linear sebagai berikut:

,

dy

Ay b

dt   y

 

0 y0 (2.12)

dari persamaan (2.12), dan y adalah matriks kolom, sehingga

1 _{11 12 1 1}

21 22 2 2

2

1 2

n n

n n nn n

n

b _{a a a y}

a a a y

b

a a a y

b  



 

  

 

  

 

  

  

  

 

  

 

  

    atau

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n

b a y a y a y

b a y a y a y

b a y a y a y

 



   

   

   

9 Dari persamaan (2.12), misalkan suatu matriks A berukuran n n dan suatu vektor taknol y di n yang dinyatakan dalam bentuk :

Ayy (2.13)

Vektor y disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A, maka persamaan (2.13) dapat ditulis sebagai berikut :



AI



y0 (2.14) Dengan I adalah matriks identitas berukuran n n . Persamaan (2.14) mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika :





0

det AI  (2.15)

Persamaan (2.15) disebut persamaan karakteristik dari A [6].

2.2 Ruang Dimensi-n

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka ganda-n berurut adalah sederet n

bilangan real (a a₁, ₂,...,a_n). Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang berdimensi-n dan dinyatakan dengan n [6].

Dengan notasi pembentuk



( 1, 2,..., ) ( 1, 2,..., )



n

n n

a a a a a a

10 2.3 Titik Kesetimbangan

Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut :

 

dy

f y

dt  (2.17)

Suatu titik y y* n disebut titik kesetimbangan dari persamaan (2.17), jika f y

 

* 0 [9].

Pada titik kesetimbangan dapat ditentukan kestabilan titik kesetimbangan. Diberikan sistem persamaan diferensial sebarang

 

, n

dy

f y y

dt   (2.18)

Analisis kestabilan titik kesetimbangan dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriksA. Penentuan kestabilan titik kesetimbangan didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu i dengan i1, 2,3,...,n yang diperoleh dari





0

det AI  . Secara umum kestabilan titik kesetimbangan mempunyai tiga perilaku sebagai berikut :

1. Stabil, jika setiap nilai eigen real adalah negatif



_i 0 untuk semua i



dan setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih kecil atau sama dengan nol



R_e

 

_i 0 untuk semua i



.

11 2. Takstabil, jika ada nilai eigen real adalah positif



_i 0 untuk semua i



dan ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih besar dari nol

 



R_e _i 0 untuk semua i



.

3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sebarang adalah negatif



 _i, _j 0 untuk semua dan sebarangi j



. Titik kesetimbangan sadel ini bersifat takstabil [9].

Berikut diberikan tabel kestabilan titik kesetimbangan berdasarkan nilai eigen Tabel 2.1. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen

Nilai Eigen Nama Kestabilan

real, tidak sama, bertanda sama Simpul

stabil asimptotis: semuanya negative tidak stabil: semuanya positif

real, tidak sama, berlawan tanda Sadel tidak stabil

real, sama Simpul

stabil asimptotis: semuanya negative tidak stabil: semuanya positif

kompleks konjugate bukan

imajiner murni Spiral

stabil asimptotis: bagian real negative

tidak stabil: bagian real positif Imajiner murni Pusat Stabil

12 2.4 Sistem Linearisasi

Untuk suatu persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilan dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan persamaan diferensial taklinear sebagai berikut [9] :

 

, : n n

dy

f y f U

dt    (2.19)

Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik kesetimbangan y*, maka persamaan (2.19) dapat ditulis sebagai berikut :

 

dy

Ay y

dt   (2.20)

Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial taklinear dengan A

adalah matrik Jacobi,

 

 

*

*

|y

1 1

1

1

11 1

1

y

n

n n

n n

n nn

A Df y Df y

f f

y y

f f

y y

a a

a a



 

 

 

   

 

  

_{ } 

 _{ } 

 

 

 

 _{ }

 

 

dan 

 

y suku berorde tinggi yang bersifat

 

0

lim 0

y  y  . Selanjutnya Ay pada

13

dy Ay

dt  (2.21)

2.5 Model SIR Dasar

Model dasar SIR menurut Hethcote [8], total populasi dianggap konstan dan dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu S adalah kelompok individu yang sehat dan dapat terinfeksi, I adalah kelompok individu yang telah terinfeksi, dan R adalah kelompok individu yang telah sembuh dan kebal terhadap penyakit. Penyebaran penyakit pada model SIR dapat disajikan dalam diagram alur pada gambar 2.1

Pada gambar 2.1 menunjukkan bahwa besarnya jumlah individu pada kelompok S yang memasuki kelompok I karena telah terinfeksi penyakit melalui kontak adalah sebesar SI. Individu pada kelompok I yang telah sehat dari penyakit sebesar I akan memasuki kelompok R.

Misalkan mereka telah di asingkan dari populasinya. Persamaan yang diberikan adalah

Gambar 2.1. Diagram alur model SIR

Recovered

(R)

Infected

(I)

Susceptible

14 1. Laju penyebaran Susceptible akan menjadi Infected dalam satuan waktu,

yaitu

dS

SI

dt   (2.22)

2. Laju penyebaran Infected menjadi Recovered dalam satuan waktu, yaitu

dI

SI I

dt   (2.23)

3. Laju perubahan kesembuhan Recovered dalam satuan waktu, yaitu

dR I

dt  (2.24)

dengan

t menyatakan waktu,

 menyatakan konstanta penularan dari individu susceptible,  0,  menyatakan konstanta pemulihan,  0

Persamaan (2.22) menjelaskan bahwa individu rentan yang terinfeksi sebanding dengan jumlah kontak antara individu dari S dan I dalam satuan waktu, dengan asumsi yang hanya bergantung dari jumlah masing-masing kelompok, yaitu ada pencampuran seragam dari populasi. Persamaan (2.23) menjelaskan bahwa individu yang terinfeksi akan berkurang dan memasuki laju kesembuhan antara individu dari I dan R dalam satuan waktu. Asumsi pada persamaan (2.24) adalah tingkat dimana individu tidak dapat menularkan penyakit sebanding dengan jumlah yang terinfeksi. Ini merupakan rata-rata proses dimana individu-individu tertentu

15 dalam jangka waktu yang berbeda untuk mencapai keadaan dimana mereka tidak menularkan infeksi. Dengan persamaan total populasi adalah

 

     

N t S t I t R t (2.25) dengan N adalah total populasi.

2.6 Bilangan Reproduksi

Bilangan reproduksi (RC) adalah suatu nilai yang menyatakan rasio dari

banyaknya kasus infeksi kedua terhadap kasus infeksi pertama dalam populasi tertutup dan bebas penyakit. RC digunakan untuk membedakan antara pertumbuhan

penyakit yang sangat pesat dengan yang hampir musnah atau hilangnya penyakit dari populasi. Beberapa kondisi yang akan timbul, yaitu :

1. Jika RC < 1, maka penyakit akan menghilang.

2. Jika RC = 1, maka penyakit akan menetap.

3. Jika RC > 1, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah [11].

2.7 Stabilitas Lyapunov

Misalkan y* 0 adalah titik kesetimbangan dari persamaan (2.4) dan z

adalah sebarang solusi.

1. y t*

 

dikatakan Stabil Lyapunov, jika untuk setiap  0 terdapat

 

0

16

   

*

0 0 ,

y t z t  maka memenuhi pertidaksamaan *

   

y t z t 

untuk setiap t t t0, 0 .

2. y* dikatakan stabil asimtotik, jika y* stabil Lyapunov dan terdapat konstanta b0, sedemikian sehingga *

   

0 0 ,

y t z t b maka memenuhi

   

*

lim 0

t y t z t  [10].

Berikut diberikan fungsi Lyapunov Logaritma diperkenalkan oleh Goh untuk Sistem Voltera jika [12]





* *

1 2 *

1 , y , , y

n

i

n i i i i

i i

y

L y c y y y ln

y



 

  _   _

 



(2.25)

dengan

L menyatakan fungsi Lyapunov

i

y menyatakan variabel, untuk i1, 2,3,...,n

*

i

y menyatakan titik kesetimbangan, untuk i1, 2,3,...,n

i

17 BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Metode Pengolahan Data

Secara umum metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dengan membaca buku dan paper. Dalam penelitian ini, langkah-langkah yang telah dilakukan untuk memperoleh hasil yang diteliti. Secara detail metode pengolahan data yang dilakukan sebagai berikut:

3.1.1 Mempelajari Teori Dasar

Beberapa materi dasar yang diharus dikuasai untuk skripsi ini adalah: modul atas nilai eigen, vektor eigen, persamaan diferensial orde satu, faktor integrasi, sistem linearisasi, titik kesetimbangan, kestabilan titik kesetimbangan, bilangan reproduksi, dan fungsi lyapunov. Materi hingga faktor integrasi sudah dipelajari pada kelas persamaan diferensial biasa, untuk materi selanjutnya dipelajari mandiri dan diskusi dengan dosen pembimbing.

3.1.2 Mempelajari Artikel Terkait

Tahapan berikutnya adalah mencari dan mempelajari buku dan jurnal terkait. Jurnal utama yang akan dikaji adalah jurnal G'omez Alcaraz [7], kemudian mempelajari jurnal lain yang terkait dengan hasil penelitian mereka untuk meningkatkan pemahaman tentang model Susceptible-Infected-Recovered (SIR).

18 3.2 Metode Analisa Data

Analisa data dilakukan dengan model SIR, setelah mempelajari teori dasar, artikel terkait, dan memahami bukti model pada paper utama [7], penulis menganalisa model lebih spesifik dengan alur sebagai berikut

Gambar 3.1 Alur penelitian Model SIR dengan pengendalian Menentukan asumsi

dan Pemodelan SIR [7]

Studi Literatur

Asumsi :

1. Calon individu

Susceptible

2. Faktor kematian & kematian terkait penyakit

3. Vaksinasi 4. Karantina 5. Isolasi

6. Terapi obat antivirus Model SIR :

dS dt ,

dI dt ,

S

dQ dt ,

dR dt ,

I

dQ dt , dV

dt , dT

dt

Titik kesetimbangan 1. E1dengan solusi S=0

2. E2dengan solusi I=0

3. E3dengan solusi QS=0

4. E4dengan solusi R=0

5. E5dengan solusi QI=0

6. E6dengan solusi V=0

7. E7dengan solusi T=0

Menentukan Stabilitas global SIQs Menentukan Titik

kesetimbangan pemodelan SIR

19 Penelitian ini bersifat studi literatur, dari paper utama [7] penentuan asumsi berupa calon individu Susceptible, faktor kematian alami dan kematian terkait penyakit akibat virus swine influenzayang dipengaruhi vaksinasi, karantina, isolasi, dan pengobatan berupa terapi obat antivirus. Pemodelan SIR yang telah diperoleh selanjutnya akan ditentukan titik kesetimbangannya berdasarkan definisi pada landasan teori.

Dari titik kesetimbangan yang diperoleh akan diketahui bentuk yang bersifat bebas penyakit dan bersifat endemi. Titik kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit

swine influenza ini dapat ditentukan bilangan reproduksi RC.

Dengan memanfaatkan bilangan reproduksi RC pada model SIR dan

menggunakan fungsi Lyapunov dengan kombinasi fungsi Volterra dapat ditentukan stabilitas global pada model SIQS.

20 BAB IV PEMBAHASAN

4.1 Penentuan Asumsi dan Pemodelan SIR

Model SIR yang digunakan dalam tulisan ini diturunkan ulang dari model SIR klasik yang mengacu pada Hethcote [8] dengan memperhatikan faktor pengaruh vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat antivirus. Asumsi atau batasan yang digunakan dalam penyebaran penyakit menurut Hethcote [8] adalah

1. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar dan tertutup, sehingga tidak ada populasi yang masuk atau keluar dari populasi tersebut. Total populasi diasumsikan konstan.

2. Model SIR memperhatikan faktor kelahiran dan kematian dengan jumlah kelahiran dan jumlah kematian tiap satuan waktu dianggap sama yang dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina, isolasi, dan terapi obat antivirus. Tiap individu yang baru lahir diasumsikan dapat terinfeksi penyakit karena belum kebal terhadap penyakit.

3. Populasi bercampur secara homogen yang mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak dengan individu lain.

4. Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dan dapat meninggal dunia akibat penyakit.

21 Penyebaran swine influenza pada populasi manusia diasumsikan memiliki jumlah konstan dan dalam satu periode waktu wabah serta dibagi menjadi tiga kelompok. Pertama adalah populasi yang sehat namun rentan terhadap penyakit yang disebut susceptible (S). Kedua adalah populasi yang terinfeksi yang disebut infected

(I). Kelompok populasi ketiga adalah populasi yang telah sembuh dari penyakit swine influenza dan menjadi kebal sehingga tidak akan terinfeksi kembali swine influenza

yang disebut recovered (R). Pada saat t misalkan suatu populasi terdiri dari

susceptible (S), infected (I), dan recovered (R). Kemudian S(t) menyatakan proporsi individu rentan pada saat t, I(t) menyatakan proporsi individu terinfeksi pada saat t,

R(t) menyatakan proporsi individu sembuh pada saat t, dan N adalah total populasi. Karena total populasi konstan, sehingga S t

     

I t R t N t

 

.

Berdasarkan asumsi kedua bahwa laju kelahiran sama dengan laju kematian sehingga individu yang lahir dan mati dalam populasi mempunyai laju μ. Sehingga jumlah populasi yang mengalami kematian dalam tiap kelompok S, I, dan R masing-masing sebesar μS, μI, dan μR. Dengan demikian laju μ pada populasi adalah





S I R S I R N

      

Diagram alur penyebaran penyakit swine influenza digambarkan sebagai berikut:

22 Secara umum, model epidemiologi penyebaran penyakit swine influenza

sebagai berikut:

1. Laju penyebaran susceptible dengan pengaruh penyebaran penyakit akan menjadi infected dalam satuan waktu, yaitu



S



S S

dS

Q

dt  SI     S (4.1)

2. Laju penyebaran infected menjadi recovered dalam satuan waktu, yaitu



I



dI

SI I

dt           (4.2)

3. Laju perubahan kesembuhan recovered dalam satuan waktu, yaitu

I I

dR

I Q R

dt    (4.3)

Gambar 4.1. Diagram alur model SIR dengan pengaruh Vaksinasi, karantina, isolasi, dan terapi obat antivirus

I

S R

QI

QS T

V SI I

( + )I S

V

SQS

QS

S

SS I

T QI

R II

IQI

23 4. Laju susceptible dengan pengaruh karantina dalam satuan waktu, yaitu





S

S S S

dQ

S Q

dt     (4.4)

5. Laju infected dengan pengaruh isolasi dalam satuan waktu, yaitu





I

I I I

dQ

I Q

dt     (4.5)

6. Laju susceptible dengan pengaruh vaksinasi dalam satuan waktu, yaitu

dV

S V

dt   (4.6)

7. Laju infected dengan pengaruh obat antivirus dalam satuan waktu, yaitu

dT

I T

dt   (4.7)

8. Laju total populasi dalam satuan waktu dengan N   S I Q_S  R Q_I V T , yaitu











































 







S I

S I

S S S

I S S S

I I I I I

S I

S I

d S I Q R Q V T

dN

dt dt

dQ dQ

dS dI dR dV dT

dt dt dt dt dt dt dt

SI S Q

SI I S Q

I Q R I Q

S V I T

S I Q R Q V T I

S I Q R Q V T I

N I

    

        

     

   

       

 

 

     

     

      

       

     

   

        

        

  

 

 

 

24 dengan

S

Q menyatakan individu pada populasi susceptible yang di karantina

I

Q menyatakan individu pada populasi infected yang di isolasi

V menyatakan individu pada populasi susceptible yang di vaksinasi

T menyatakan individu pada populasi infected yang di terapi obat antivirus

 menyatakan jumlah kematian pada individu susceptible, susceptible yang di karantina, susceptible yang di vaksinasi, infected, infected yang di isolasi,

infected yang di terapi obat antivirus, dan recovered

 menyatakan jumlah calon individu susceptible

 menyatakan konstanta kematian terkait penyakit individu yang terinfeksi

 menyatakan konstanta vaksinasi pada populasi susceptible

 menyatakan konstanta pengobatan antivirus pada individu infected

S

 menyatakan konstanta karantina pada individu susceptible

I

 menyatakan konstanta untuk individu yang meninggalkan kelompok I ke kelompok isolasi

S

 menyatakan konstanta dimana kembalinya dari kelompok karantina ke kelompok

susceptible

I

25 Karena dN N I

dt     dan belum terinfeksi penyakit pada saat t0,

maka dN N dN N

dt     dt   . Misalkan p t

 

, g t

 

  dan

 

p t dt  _t

t e e

    dengan menggunakan faktor integrasi, sehingga

 

   

   

 

 







 

   



   

 







 

   



   

 





   

 

   

' ' '

' '

'

t t

t t

t

dN

t t p t N t g t

dt

t N t N t t p t N t g t

t N t t p t N t g t

t N t g t

t N t g t dt

e N e dt

e N e c

N ce

 

 



  

    

   

 

 

 



 

   

  

 

 



 



 





Dengan t0 artinya ukuran populasi N akan mendekati



/



. Sehingga solusi persamaan (4.1) sampai dengan (4.7) didefinisikan oleh





7

, , _S, , _I, , , , _S, , _I, , 0,

S I Q R Q V T S I Q R Q V T N



   

 

 

  (4.8)

26 4.2 Menentukan Titik Kesetimbangan Pemodelan SIR

Berdasarkan definisi titik kesetimbangan, dari persamaan (4.1) - (4.7) dapat ditentukan titik kesetimbangannya dengan dS 0,dI 0,dQS 0,dR 0,

dt  dt  dt  dt  0,

I

dQ

dt 

0,

dV

dt  dan 0

dT

dt  menjadi

















0 0 0 0 0 0 0

S S S

I

S S S

I I

I I I

SI S Q

SI I

S Q

I Q R

I Q S V I T                                                   (4.9)

Salah satu kemungkinan solusi untuk persamaan (4.9) adalah S=0, maka persamaan (4.9) menjadi













0 0 0 0 0 0 S S I S S I I

I I I

Q

I Q

I Q R

I Q V I T                                      





























4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16

Solusi untuk persamaan (4.11) adalah





0

0 I I I          





4.17



27





0

0 S S S Q Q     





4.18



Solusi untuk persamaan (4.15) adalah

0 0 V V    

Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.14) dan persamaan (4.16) menjadi

QI=0 dan T=0. Dan karena I=0 dan QI=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.13)

menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk 1



1 1 1 1 1 1 1



, , _S, , _I, ,

E S I Q R Q V T

dengan 1 1 1 1 1

0, 0, _S 0, 0, _I 0,

S  I  Q  R  Q  V1 0, dan T1 0.

Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan I=0, maka persamaan (4.9) menjadi :













0 0 0 0 0 0

S S S

S S S

I I I I S Q S Q Q R Q S V T                                

























4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 Solusi untuk persamaan (4.20) adalah





















0

S S S

S S S

S S S

S S S

S S S S Q S Q S Q S Q Q S                                               

 



4.26



28 Solusi untuk persamaan (4.21) adalah













0

S S S

S S S

S S S S Q Q S S Q                





4.27

Dengan mensubsitusikan persamaan (4.27) ke persamaan (4.26), sehingga













_

_







_



_















































S S S S S S S

S S S

S S

S

S

S

S S S

S S S S

S S S S S S S S S S

S S S

S S S S S S S S S S S S S S S S S                                                                                  _ _             _ _                                               













S S





SS



S          









SS



S

S               (4.28)

29



































 















4.29





S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Q Q Q Q                                                                          

Solusi untuk persamaan (4.21) dengan mensubstitusikan persamaan (4.28) adalah

0 S V V S S V          













SS S



V                 (4.30)

Solusi untuk persamaan (4.23) adalah





0

0 I I I Q Q     





4.31



Karena QI=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.22) menjadi R=0. Solusi untuk

persamaan (4.25) adalah

0 0 T T   

30 sehingga titik kesetimbangan untuk 2



2 2 2 2 2 2 2



, , S, , I, ,

E S I Q R Q V T dengan

















2 2 2 2 2

, 0, , 0, 0,

S S

S

S I

S S S

S   I Q  R Q

                       















2 1

, dan 0

S

S S

V    T

             .

Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan Q_S 0, maka persamaan (4.9) menjadi :













0 0 0 0 0 0 0 S I S I I

I I I

SI S

SI I

S

I Q R

I Q S V I T                                            





























4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39

Solusi untuk persamaan (4.35) adalah

0 0 S S S  





4.40



Karena S=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.34) dan persamaan (4.38) menjadi

I=0 dan V=0. Dan karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.37) dan persamaan (4.39) menjadi QI=0 dan T=0. Dan karena I=0 dan QI=0 dapat mengakibatkan

persamaan (4.36) menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk





3 3 3 3 3 3 3 3

, , _S, , _I, ,

E S I Q R Q V T dengan 3 3 3 3 3 3

0, 0, _S 0, 0, _I 0, 0,

S  I  Q  R  Q  V 

3

31 Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan R=0, maka persamaan (4.9) menjadi :

















0 0 0 0 0 0 0

S S S

I

S S S

I I

I I I

SI S Q

SI I S Q I Q I Q S V I T                                                





























4.41 4.42 4.43 4.44 4.45 4.46 4.47

Solusi untuk persamaan (4.42) adalah

















0 I I I I SI I SI I S S                                            





4.48



Solusi untuk persamaan (4.43) dengan mensubstitusikan persamaan (4.48) adalah









0

S S S

S S S

S S S S Q Q S S Q                









S S I S

Q  

             (4.49)

32 0 S V V S S V          



I



V   





 



   

 (4.50)

Solusi persamaan (4.41) untuk I dengan mensubstitusikan persamaan (4.48) dan persamaan (4.49) adalah





























































0 0

S S S

S S S

S S S

S S S S S S S S S S S I I I S S I S S S

SI S Q

I S Q

I I I I S Q Q I S Q I S Q S                                                                                                             _                      _{ }               



S





S



  

   

  

33







 















 

















S S S I S S

S

S S S

S I I I I I I I                                                                              _          _                



 















S S I

S I

S

I              

            _  _          

    (4.51)

Solusi persamaan (4.45) dengan mensubstitusikan persamaan (4.51) adalah













0

I I I

I I I I I I I Q Q I Q I                







 







I







I



S S S

I I

I S

Q             

                                         (4.52) Solusi persamaan (4.47) dengan mensubstitusikan persamaan (4.51) adalah

0 I T T I       



 













S S



I I

S S

T             

              _  _                      (4.53)

sehingga titik kesetimbangan untuk 4



4 4 4 4 4 4 4



, , S, , I, ,

E S I Q R Q V T dengan





4

,

I

S     



    

34



 















4

,

S S S

I S

I

I              

            _  _              









4 , S I S S

Q  

             4 0, R 







 















4 ,

S S S

I S I I I I

Q          

                                           





4 , I

V      

     



 















4

dan S S S I

S I

T          

                                         _

Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan Q_I 0, maka persamaan (4.9) menjadi :













0 0 0 0 0 0 0

S S S

I

S S S

I

SI S Q

SI I S Q I R I S V I T                                            





























4.54 4.55 4.56 4.57 4.58 4.59 4.60

Solusi untuk persamaan (4.58) adalah

0 0 I I I  





4.61



Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.57) dan persamaan (4.60) menjadi

35 Solusi untuk persamaan (4.54) dengan mensubstitusikan persamaan (4.61) adalah





















0

S S S

S S S

S S S

S S S

S S S S Q S Q S Q S Q Q S                                               

 



4.62



Solusi untuk persamaan (4.56) adalah













0

S S S

S S S

S S S S Q Q S S Q                





4.63

Dengan mensubsitusikan persamaan (4.63) ke persamaan (4.62), sehingga













_

_







_



_















































S S S S S S S

S S S

S S

S

S

S

S S S

S S S S

S S S S S S S S S S

S S S

S S S S S S S S S S S S S S S S S                                                                                  _{ }             _ _                                               













S S





SS



S

 

      

36









SS



S

S               (4.64)

sehingga solusi untuk persamaan (4.63) adalah



































 















4.65





S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Q Q Q Q                                                                          

Solusi untuk persamaan (4.59) dengan mensubstitusikan persamaan (4.64) adalah

0 S V V S S V          













SS S



V                 (4.66)

Sehingga titik kesetimbangan untuk 5



5 5 5 5 5 5 5



, , S, , I, ,

E S I Q R Q V T dengan

















5 5 5 5 5

, 0, , 0, 0,

S S

S

S I

S S S

S   I Q  R Q

                       















5 5

, dan 0

S

S S

V    T

             .

37 Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan V=0, maka persamaan (4.9) menjadi :

















0 0 0 0

0 0

0

S S S

I

S S S

I I

I I I

SI S Q

SI I

S Q

I Q R

I Q

S

I T

    

     

  

  

  



 

      

     

  

  

  



 





























4.67 4.68 4.69 4.70 4.71 4.72 4.73

Solusi untuk persamaan (4.72) adalah

0 0

S S

 





4.74



Karena S=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.68) dan persamaan (4.69) menjadi

I=0 dan QS=0. Dan karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.71) dan

persamaan (4.73) menjadi QI=0 dan T=0. Dan karena I=0 dan QI=0 dapat

mengakibatkan persamaan (4.70) menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk





6 6 6 6 6 6 6 6

, , _S, , _I, ,

E S I Q R Q V T dengan 6 6 6 6 6 6

0, 0, _S 0, 0, _I 0, 0,

S  I  Q  R  Q  V 

6

dan T 0.

Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan T=0, maka persamaan (4.9) menjadi

38

















0 0 0 0 0 0 0

S S S

I

S S S

I I

I I I

SI S Q

SI I

S Q

I Q R

I Q S V I                                                





























4.75 4.76 4.77 4.78 4.79 4.80 4.81

Solusi untuk persamaan (4.81) adalah

0 0

I I

 





4.82



Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.79) menjadi QI=0. Dan karena I=0

dan QI=0 dapat mengakibatkan persamaan (4.78) menjadi R=0.

Solusi untuk persamaan (4.76) adalah

















0 I I I I SI I SI I S S                                            





4.83



Solusi untuk persamaan (4.77) dengan mensubstitusikan persamaan (4.83) adalah









0

S S S

S S S

S S S S Q Q S S Q                









S S I S

Q  

             (4.84)

49













* * * * * * * * * * * * ' ' 1 , ,

, , 1

S

S S S

S S

S

S

S S S

S

S S

Q

S I

d Q Q Q ln d S S S ln d I I I ln

Q

S I

S I Q

dt dt dt

Q dQ S S I L I I dS dI L

S dt I

Q Q dt dt                              _{ }                     (4.98)

Substitusikan persamaan (4.90) ke persamaan (4.98), sehingga

































* * *

' , , 1

1

S S S S

I

S S

S S S

S S

S

S I Q SI S Q

S Q S Q Q L S I I                                   _         _{ }   _{ } (4.99)

Gunakan persamaan (4.90) untuk titik kesetimbangan









* * * *

* * * *

0

S S S

S S S

S I S Q

S I S Q

    

    

      

      (4.100)









* * * * 0 I I

S I I

S

     

     

     

     (4.101)









* * * * 0

S S S

S S S S Q Q S         

  (4.102)

Gunakan persamaan (4.102) ke persamaan (4.100)









* * * * * * * * * * S

S S S

S

Q

S I S Q

S

S I S Q

                            (4.103)

50 Substitusikan persamaan (4.101), (4.102) dan persamaan (4.103) pada

persamaan (4.99)





* * *





* *





*

*

' S I Q, , _S 1 S S I S Q_S SI _S QS S _{S S}

S

S Q

L _  _      _     _  

    





*



*





*





* * 1

S S S

S S S

S S

Q Q

S S S Q

Q S

I I       

          _ _  _   





* * * * * * ,

' , 1 S S

S

Q Q

S S I Q

S S

L S S

S         

  _ _                   





* * * * * * * * * * * * * * 1 1 1

S S S S

S S

S S

S S

S S S

Q Q S I S

S

S S I

Q S Q

S S S S Q

Q I I Q I S I                                  _{ }              





* * * * * * * * * ,

' , S S S

S

Q Q Q S

S I Q S S S

S S L S S             _   _                  * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S S S S S S S

S S S S

S S

S S

S S

Q S S S

S S I SI S I SI

S

Q Q

S S S S

S S S S Q

S S S

I

S Q S Q

Q Q Q Q

S S Q I Q Q S I I S Q S S Q                                                         





* * * * * * * * * *

, , 2

' S 2

S

Q S S S S

S I

L Q

S S

S S I

S S S

        _ _ _ _   _       * * * * *

2 S S

S S

S S S

Q S S Q

Q Q Q S   _   _  

51





* * * *

* *

* *

*

* *

, , 2

' S 2

S

S S

S S

S S

L

S

Q S S

S I Q S I

S S

Q S S Q

S Q

Q

Q S

    

 _  _   _ _   _

 

   





2 2

* * * *

* * *

* * * *

, ,

' S S S

S S S

S S

Q S S Q S S Q

S I Q S I Q

Q S

L

S S Q S S

    

      

 _ _ _ _ _

 _{   }

Oleh karena itu, L S I Q'



, , _S



bernilai negatif untuk setiap S I Q, , S 0 dan



, ,



' S I _S 0

L Q  jika dan hanya jika SS*, I  I* dan *

S S

Q Q . Maka P*

adalah stabilitas global asimtotik dalam ruang 3

.

52

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Pada skripsi ini, penulis mempelajari tentang model penyebaran virus

Influenza A H1N1 dengan model SIR yang dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina,

isolasi dan terapi obat antivirus. Kesimpulan yang didapatkan dalam penulisan ini

adalah

1. Pengaruh bilangan reproduksi

0

1 c

I S

R 

     



    dengan





1 S

       dan ₂ S



        _I



terhadap penyebaran virus A H1N1 dengan model SIR mengakibatkan penyakit akan menghilang atau

penyakit akan menetap. RC diperoleh pada keadaan titik kesetimbangan yang

bersifat bebas penyakit. Pada model SIR ini diperoleh tujuh titik kesetimbangan,

dengan titik kesetimbangan E2,E5, dan E7 merupakan keadaan bebas penyakit

sedangkan titik kesetimbangan E4 dan merupakan keadaan endemi.

2. Stabilitas global pada titik kesetimbangan model SIQs juga didapatkan dua titik

kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit dan bersifat endemi yang sama

dengan kesetimbangan model SIR. Dengan memanfaatkan Rc pada

kesetimbangan model SIR dan fungsi Lyapunov dengan kombinasi fungsi

53 yaitu titik kesetimbangan yang bersifat bebas penyakit dengan Rc 1 yang mengakibatkan penyebaran penyakit akan menghilang atau penyebaran penyakit

akan menetap, dan titik kesetimbangan yang bersifat endemi dengan Rc 1 yang mengakibatkan penyakit akan menjadi mewabah.

5.2 Saran

Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis menyadari banyaknya kekurangan

dalam tulisan ini. Untuk itu, penulis memberikan saran kepada pembaca untuk

melakukan kestabilan titik kesetimbangan dari model SIR dan mengembangkan

model SIR ini dengan memperhatikan pengaruh dari masa inkubasi penyakit, faktor

biaya seperti vaksinasi, karantina, terapi, maupun isolasi, dan laju kelahiran yang

54

REFERENSI

[1] Keputusan Menteri Kesehatan Republik Indonesia No 311/Menkes/SK/V/2009.

[2] Aditama, T.Y., (2010), Situasi Terkini Influenza Baru A H1N1 di Indonesia,

http://www.penyakitmenular.info/userfiles/Situasi%20terkini%20H1N1%20di %20Indonesia.pdf.

[3/4/2014 14.10 WIB]

[3] Nugroho, Susilo. Pengaruh Vaksinasi terhadap Penyebaran Penyakit dengan Model Endemi SIR. Surakarta : Universitas Sebelas Maret. 2009.

[4] Boyce, W. E. and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem. New York : John Wiley and Sons, Inc. 1986.

[5] Finizio N, Ladas G. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, Edisi ke-2. Terjemahan Dra. Widiarti Santoso. Jakarta: Erlangga. 1988.

[6] Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear, Jilid 1. Ciputat : BINARUPA AKSARA Publisher. 2008.

[7] G. G'omez Alcaraz. Modeling control strategies for influenza A H1N1 epidemics: SIR models, Revista Mexicana de F´ ısica S 58 (1) 37-43. 2012 [8] Hethcote, H. W., The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Rewiew 42,

no. 4, 599-653. 2000

[9] Tu PNV. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Germany : Spinger-verlag, Heidelberg. 1994.

[10] Wiggin, S. Introduction to Applied Non Linear Dynamical Systems and Chaos. Springer – Verlag. 2003.

[11] Giesecke J. Modern Infectious Disease Epidemiology. New York : Oxford University Press. 1994.

[12] Vergas, C. and De-Leon. Contructions of Lyapunov Functions for Classic SIS, SIR and SIRS Epidemic models with Variable Population Size. Mexico : UNAM. 2009.