PROGRAM STUDI MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA
TE Sl S
RUANG NORM-2 KLASIK: SIFAT DAN
INTERPRETASI GEOMETRISNYA
tvTMI1
,jf.J. )-J
Oleh:
AHMAD IN
NRP. 1204 201 012
A~IYT
r-r
~{,
PEitPUSTAitAA!C
l T S
Terhna Oari
PROGRAM STUDI MAGISTER
JURUSAN MATEMATIKA
.FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALA
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NO PEMBER
SURABAYA
2006
RUANG NORM-2 KLASIK: SIFAT DAN
INTERPRETASI GEOMETRISNYA
Tesis disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar
Magister Sains (M.Si)
di
lnstitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Oleh:
AHMAD IN
NRP. 1204 201 012
Tanggal Ujian: 5 Juli 2006
Periode Wisuda : September 2006
Disetujui oleh Tim Penguji Tesis:
~
(Pembimbing I)
(Pembimbing II)
(Penguji)
S~
4. Drs.
M.Si.
NIP. 131 835 488
(Penguji)
TESIS INI KUPERSEMBAHKAN
BUAT IBUKU KHIPTAMIN DAN AYAHKU MAHMUD YANG
TERCINTA DAN TERSAYANG.
SERTA
KAKAK, ADIK DAN KEMENAKANKU YANG TERCINTA DAN
TERSAYANG.
HAl ORANG-ORANG YANG BERIMAN, JJKA KAMU MENOLONG
AGAMA
ALLAH,
NISCAYA
DIA
AKAN
MENOLONGMU
DAN
MENEGUHKAN KEDUDUKANMU. (Q.S. MUHAMMAD AYAT 7).
ALLAH AKAN MENINGGIKAN ORANG-ORANG YANG BERIMAN
DIANTARAMU
DAN
ORANG-ORANG
YANG
DffiERI
ILMU
PENGETAHUAN BEBERAPA DERAJAT. (Q.S. AL MUJAAf()ILAH AYAT
11).
MENCARI ILMU DIWAJffiKAN BAGI ORANG ISLAM LAKI-LAKI DAN
PEREMPUAN. (HADIST).
TUNTUTLAH ILMU WALAU SAMPAI KE NEGERI CHINA. (HADIST).
JLMU
YANG
TIDAK
BERBUAH. (HADIST).
DIAMALKAN
BAGAIKAN
POHON
TIDAK
ABS
RUANG NORM-2 KLASIK: SIFAT DAN INTERPRETASI
GEOMETRISNYA
Oleh
Pembimbing I
Pembimbing II
: Ahmadin
: Dr. Ema Apriliani, M.Si.
: Dr. Eridani, M.Si.
ABSTRAK
Dalam [5] telah didefinisikan norm-2 ldasik, yaitu untuk setiap x, y
mang hasil kali dalam, berlaku:
maka dapat didefinisikan (v,!~.l)
llx, Yll = ~lxi
2
1YI
2
-
(
x, y)
2
)~
•
E
V, V
Dari definisi di atas,
sebagai ruang norm-2. Norm-2 memiliki sifat-sifat
yang sangat menarik [4,5] dan dapat dipandang sebagai perumuman sekaligus
3
2
perluasan dari konsep luasjajaran genjang pada R atau R .
Pada tesis ini diselidiki/dikaji ruang nonn-2 klasik: sifat dan interpretasi
geometrisnya. Penyelidikan dilakukan dengan jalan menuliskan sifat-sifat norm-2
kiasik ,bukti serta interpretasi geometrisnya dan kekonvergenannya . Selanjutnya
akan dibuktikan bahwa ruang norm-2 berdimensi hingga merupakan ruang norm dan
dicari perbandingan antara norm pada norm-2 dengan norm sebelumnya.
Dari penyelidikan/pengkajian diperoleh sifat dan interpretasi geometris dari
norm-2 klasik pada R2 atau R3 dan kekonvergenannya. Selanjutnya terbukti bahwa
mang nonn-2 berdimensi hingga merupakan ruang nonn dan nonnnya lebih kecil
dari norm sebelumnya.
ABSTRAC
Classical Space Norm-2: The Nature and
Interpretation of Its Geometry
By
: Ahmadin
Counselor I
: Dr. Erna Apriliani , M.Si
Counselor 11
: Dr. Eridani , M.Si
Abstract
ln [5], it is defined classical norm-2, which is for each x, y
result, there is a formulation of jjx, Yl...,l =
~jxJ ~ JJyll
2
- (
x, y)
2
~
.
€
V, V is the space
From this definition, it
can define that (v, jj.,.JJ)is space norm-2 . Norm-2 has an interesting natures [4,5],
2
and it can viewed as generality and wideness of parallelogram concept for R or
RJ_
This thesis i:westigated the geometry nature and its interpretation of the
classical space norm-2. The investigation performed by \vriting the nature of
classical norm-2, proves and interprets its geometry and convergence. Then, it
will prove that space norm-2 has a dimension so that it is a space norm, and then
find the comparison between norms on norm-2 and pre\ious norm.
From investigation, it is obtains the geometry nature and interpretation of
classical norm-2 for R2 or R 3 and its convergence. It is prove that the space norm2 has a dimension so that it is a space norm and its norm is smaller than previous
one.
Keyword: classical space norm-2, space result-2, space result, space norm,
parallelogram
KATA PENGANT
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah S WT yang telah memberikan rahmat, tauflk, dan
hidayah-Nya kepada penulis, sehingga tesis yang berjudul: Ruang Nonn-2 Klasik:
Sifat Dan lnterpretasi Geometrisnya dapat terselesaikan. Sholawat dan salam penulis
sampaikan kepada Rosulullah SAW yang telah membawa dan menyebarluaskan
agama Islam.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1.
Dr. Erna Apriliani, M.Si, selaku pembirnbing I dan Koordinator Program Studi
S2 Matematika ITS yang telah meluangkan banyak waktu untuk memberikan
bimbingan dan pengarahan.
'
Dr. Eridani, M.Si , selaku pembimbing
rr yang telah meluangkan banyak waktu
untuk memberikan bimbingan dan pengarahan.
3.
Drs. Chairul Imron , Mikom, selaku dosen wali yang telah memberikan
bimbingan dan motivasi.
4.
Ibunda Kiptamin dan ayahnda Mahmud yang telah membekaliku sesuatu yang
sangat berharga dan selalu men do' akan untuk kesuksesan dan kebahagiaanku.
5.
Mak Podi, Saudara-saudaraku terutama Cak Ud dan Mbak Sus yang telah
memberikan bantuan, baik moril maupun materiil.
6.
Kepala Sekolah SMA dan SMP Ta' miriyah Surabaya serta semua dewan guru,
karyawan yang telah memberikan dukungan .
7.
Teman-lemanku S2 \la1ema1ika ITS khususnya angkatan 2004 baik reguler
maupun dikmenjur yan g Ielah membcrikan bantuan dan semangat.
8.
Semua pihak yang Iel ah rn embantu 1ersek saikannya tesis ini.
Ill
Penulis menyadari bahwa"Tidak ada gading yang retak", begitu juga dalam
penyusunan tesis ini masih banyak kekurangannya, oleh karena itu kritik dan saran
kami harapkan untuk kesempumaan penulisan selanjutnya. Harapan kami semoga
tesis ini bermanfaat bagi pembaca.
Surabaya, Juli 2006
Penulis,
Ahmad in
IV
DAFTAR
DAFTAR lSI
Hal am an
ABSTRAK ................................... ... .......................... .................... .. .... ........... . .
ABSTRACT........................... ..................................... ............................ ........ .
II
KATA PENGANTAR .......... .. .......... ....... ........................................................
m
DAFTARISI.................... .. .... ........................................ ................ .......... ..... ...
v
DAFT AR GAMBAR .............. ..... .. ........... ... .. ......... .. ...... ... .. ... ..... ... ........ .. ... ... .
VII
BAB I PENDAHULUAN ......... ...... ........ ................................... .... .. ........ ..... .
1.1
Latar Belakang ............ .... ................... ... .... ............. ................. .
1.2
Rumusan Masalah ... .. .. ... . .. .. .. .... .. .. .... .. .. .. .. .. .... ... .. .. ....... .... .......
2
1.3
Tujuan ......... ... .. ..... ........... ........ .......... ................... ........... ... .... ..
2
1.4
Manfaat.... .......... ...... ................ ... .. ... ..... ... ......... ..... ....... ... .... .. .. .
3
1.5
Metodologi ...... ... .......................... .. ....... ......... .... .. .................. .
3
BAB II TINJAUAN PUST AKA....................................................................
4
2.1
Ruang Hasil Kali Dalam dan Ruang Bemorm ...... .......... .. .......
4
2.1.1 Contoh-Contoh Ruang Hasil Kali Dalam ................. .. .............
5
2.2
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz ................................................
6
2.3
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal.. .............. .. ..................
9
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ...... .. ... .... ........ ..... .... ............ ..!..........
14
3.1
Luas Jajaran Genjangpada R2 atau R' .......... . ........... ..........
1-1
3.2
Sifat-Sifat yang Dipenuhi oleh !lx. y rjL .............. . .................... ..
19
_... . .J
II
. d an. ux
Interpretas1. Geometns
. y 1 .. ......... ........ .. .. ..... ... ....... .. ..
v
__,
.,~
3.4
Nonn-2 Sebagai Penunuman Luas Jajaran Genjang...............
25
3.5
Ketaksamaan Segitiga pada
l!x,yiiL dan l!x,yl! .........................
28
3.6
Beberapa Contoh dan Perumumannya ............ ... .. ....... ... ....... .. .
34
3.6.1 Norm-2 pada 12 .. . .... ......... . .. .. . ........ ..... ............ .......... . .... .......... .
34
3.6.2 Norm-2 pada L2 [a,b]........ ...... .. ................... .... .. ........ ....... .........
35
3.6.3 Norm-2 pada Rn .. ............................ .................................... .... ..
36
3.6.4 Norm-2 di Ruang Hasil Kali Dalam Berdimensi Hingga........ .
36
3.7
Kekonvergenan Barisan di Ruang Norm-2 ..............................
40
3.8
Ruang Norm-2 Berdimensi Hingga............. ..... .................... ....
43
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN ............... .. .............. ... .......... ... ..... ... .
46
4.1
Kesimpulan ..............................................................................
46
4.2
Saran ............... .................... .............. ..... ... .. .. ..................... .... ...
46
DAFTAR PUSTAKA .................... .. .... .. .. ...... .. ... ..... ........... ... .. .. ............ .........
47
VI
DAFTARGAMB
DAFTAR GAMBAR
Halaman
2
Gambar 1. Jajaran Genjang pada R
.. ... .. ............... . .... . . ...... . ..... . ............ ...... . .
14
Gambar 2. Jajaran Genjang pada R3
................... . . ...... . ...... ..... ....... ... .............
16
Gambar 3. Jajaran Genjang pada R
3
.... ... .................... ... . .. . .. ......... .... .............
18
Gambar 4. Jajaran Genjang Untuk
a< 1 ................ ................... ... .. ... ............
21
Gambar 5. Jajaran Genjang Untuk
a> 1 ....................................... .... ............
22
Gambar 6.
jjx,yt = 0 ...... ............... .............................................. .... .. ............
23
Gambar 7.
llx, YIIL ........... .................................................................................
23
Gambar 8.
IIY, xiiL ............................................................................................
23
Gambar 9.
l ax,yjj L = jaj l x,yiiL Untuk a< 1 ............. ............ ..... ................ ..
24
Gam bar 1O. j ax,yiiL
= jaj l x, YIIL Untuk a> 1 ............ .. ..... ......... ............ .. .. ... .
Gam bar II. l x, y + z//L ~
j x, YIIL + l x, ziiL. ................ .................. .......................
VII
24
25
BAB
PENDAHULU
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam mekanika, konsep vektor memiliki peranan yang sangat penting. Vektor
secara fisik merupakan sebuah besaran yang mempunyai arah dan besar. Hal ini
berarti vektor dikarakterisasi oleh arah dan panjang vektor yang menyatakan
besarnya. Gaya-gaya yang bekerja di alam atau pada suatu benda merupakan ilustrasi
atau contoh yang cukup jelas tentang pentingnya konsep vektor. Kemudian konsep
arah atau sudut suatu vektor diperumum dengan mendefinisikan konsep hasil kali
dalam. Sedangkan panjang vektor memicu timbulnya konsep norm suatu vektor.
Misalkan V ruang vektor atas lapangan real. Jika didefinisikan hasil kali dalam
I
I
x=0
(v, (.,.)) selanjutnya disebut ruang hasil kali dalam [8,9,10].
Misalkan V ruang vektor atas lapangan real. Suatu fungsi 11·11 : V ~
norm di V apabila untuk setiap x, y E V dan a
(N1)
jx~
(N2)
l xll = 0 ¢:> x= 0
E
R berlaku:
O
( '\3)
(N4)
(Ketaksamaan Segitiga)
4
R adalah
Pasangan
(v, 11·11) selanjutnya disebut ruanR bernorm [2,9].
Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norm vektor x dapat dinyatakan
dengan
l xlj = ~ ( x,
Bukti bahwa
llxll = ~ ( x , x )
) , untuk setiap x E V [1].
benar-benar rnendefinisikan suatu norm akan disajikan
pada subbab berikutnya karena memerlukan ketaksamaan Cauchy-Schwarz.
2.1.1 Contoh-Contoh Ruang Hasil Kali Dalam
x,y ERn' rnaka kita
definisikan
x
·y := (x,y)
5
2.
2
Misalkan
1 mempakan himpunan semua ba1isan bilangan real dengan
definisikan
/lxf = (x, x)
2
Cukup jelas bahwa 1 mempakan perluasan dari Rn.
2.2
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Teorema 2.1 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) [1 ,3,8,9] Jika x dan y sebarang
Vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam V, maka
I( x, Y)I ~ llxll I YI
(2.1)
Bukti:
Jelas bahwa untuk x = 0 atau y
M isalkan: x, y
E
V, a
E
R, x
=
:t;
0 ketaksamaan bemilai benar.
0, dan y
:t;
6
0. Jelas bahwa
0 ~ !IY- a x!l2
= (y - ax, y -ax)
= (y,y) + (y,-ax ) + (- ax, y) + (- ax,-ax )
= (y,y) - a (y, x) - a (x,y) +a 2 (y, y)
= (y,y) - a (x, y) - a (x, y) +a 2(y, y)
2
2
2
= 1/Y// - 2a(x, y) +a 1/x/1
2
Misalkan f(a)=//Y!i -2a(x,y) +a 2 !1x!l
Agar f(a) 2 0 untuk setiap a
E
2
(2.2)
R, maka haruslah
Hal ini berarti
!( x, Y)j ~
1/xll/iY/1
0
Akibat 2.2 [8] l(x.y)! = ;! xi! !!Y!i jika dan hanyajika x dan y bergantung linier.
Bukti:
Pandang persamaan (2.2) . Kita liJ1at bahwa
j( x, y)j = llxl/ /I Y/1
menyatakan bahwa
fmempunyaiakarkembara 1 = a 2,yaitu :
a=
1
- (- 2(x, y)) (x,y)
=--:;t:O
21/xf
/l xl/ 2
.
Dengan demik.ian
0 = f(a 1 )
= (y - a 1x,y-a 1x)
=
/i y- a 1 \f , atau 1/Y- a 1xl/ = 0. Hal ini
berarti
\"- a I x = 0 atau .,v = a I x
~
-
; '·: ~ bagantung linier.
7
j xjj = ~ ( x , x) memenuhi sifat-sifat berikut ini:
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa
l! xjj = ~ ( x,
Teorema 2.3 Misalkan
(i)
!l x j ~O
(ii)
!lxi! =O ~
(iii)
j ax!l = jajjjxjj
(iv)
j x + yjj ~ j xjj + IIYII
), untuk setiap x E V, maka berlaku
x =0
(Ketaksamaan Segitiga)
Bukti:
!lxjj = (x, x) ~ 0 Vx, maka jjxjj ~ 0,
2
(i)
Karena
(ii)
Jelas dari (HDl )
(iii )
) ax)) = ( ax
,a x
) ~
I
I
= (a(x,xa))2
I
=
(aa(x.x))2
( 2) ~12\ x , x 1,~ 2
=a
=jajjjxjj
(iv)
2
jjx+yl\ =(x+y,x+y)
= (x, x) +(x,y) + (y,x) + (y,y)
2
= j xjj +(x. Y) + \x,y) +j yjj
2
2
2
=llxll + 2(x,y)+II YI
2
2
~ llxll + 2ifx. y \1 + li y!!
Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, maka
8
[ x + Y[ ~ [ x[[
2
=
2
+ 2flxl[[[y[[ + [ y[[
2
~[x / + /[ Y/il
Jika kedua ruas diambil akamya, diperoleh:
0
Cukup jelas bahwa untuk V = R2 atau R 3, maka
x·y
cos e = //x////Y//
(2 .3)
dimana 8 adaJah SUdUt yang dibentuk oleh X dan y (1].
Kenyataan di atas dapat diperumum untuk sebarang x,y
E
V, dan V adalah ruang
hasil kali dalam, sehingga persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai
Kita mendefinisikan
sudut yang dibentuk oleh vektor x dan vektor y, yang
dinotasikan dengan L:(x , y) , sebagai berikut:
.
(x, y)
L:(x , y) .=arc cos [[xJ[[JyJJ
Dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz jelas bahwa definisi di atas bermakna.
2.3
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dalam [1] Jika V adalah sebarang ruang vektor berdimensi hingga dan
W = {e 1 , e 2 , • •• , e"}adalah himpunan berhingga dari vektor-vektor di dalam V, maka
W dikatakan sebuah hasis untuk V jika
( i)
W bebas tinier;
(ii)
W merentang V
9
Di dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor x dan y dinamakan ortogonal, jika
(x,y) = 0. Selanjutnya jika x ortogonal terhadap setiap vektor di dalam himpunan
W, maka dikatakan bahwa x ortogonal terhadap W [1].
Himpunan vektor-vektor {e 1 , e 2 , ... , en} di dalam ruang hasi1 kali dalam V
setiap i
:;t:
j, i = 1,2, ... ,n dan j =1,2, ... ,n. Selanjutnya jika !leJ = 1 untuk setiap i =
1,2,... n, maka {e 1 ,e 2 , •. •, en} disebut ortonormal [l].
Dalam [9] Misalkan
(xn) adalah barisan di ruang bemorm V, dan
x E V. (xn) disebut barisan yang konvergen ke
x E V , dinotasikan dengan
lim x n = X, jika n....,.oo
limjjxn - xjj = 0 .
n.....,.oo
Teorema 2.4 [7] Misalkan {e Jie::-: himpunan ortonormal di dalam mang hasil kali
dalam V, maka untuk setiap x E V , berlaku:
"'
2
L I\x,ei )I ~ lxll
2
i= l
Ketaksamaan tersebut dinamakan ketaksamaan Bessel.
Bukti:
Misalkan {eJie:-.r ortononnal.
Didefinisikan
II
Yn := I (x,eJ ei, n E N. Cukupjelas bahwa
i= l
10
0~
/ x-
Y11 //
2
= (x-yl1,x-yn )
= //x//
2
(x,y n) - (y n, x) + (y n,y n)
-
2
=
/ x// + //Y n/
2
2(x, Yn)
-
Sementara itu
2
//Yn// = \~(x,e;
/
) e;,~(xi)
n
n
)
= I I (x,e; )(x,ei )(e;,ei )
i=l j=l
2
n
= IJ(x,e;)j .
i=l
11
=I (x,e; )(x,e; )
i=l
2
11
=I
J(x,e;)/ .
i=l
2
2
n
=//x// + IJ(x,e;)j
n
2
-2IJ(x,e; )j
i=l
i=l
2
= //xf- I/(x,e;)J
i=l
n
I j(x, e; )j
i=l
2
~
/ x//
2
(2.4)
Karena (2.4) berlaku untuk setiap n EN. maka dengan mengambil n----+ oo , akan
diperoleh
II
"'
2: /(x,e; )/ ::; j x)/2
0
j; J
Teorema 2.5 [7] Misalkan {e; };e~
himpunan ortononnal didalam ruang basil kali
dalam V, maka ketiga pernyataan berikut adalah ekuivalen
(i)
(x,eJ=O 'liiEN¢::>x=0
(ii)
"" (x,e;f"';
\.,. , vXE v
x=L...
(iii)
""
\-1
2
//x/1 = I j(x,e;
j;J
t, 'lix
E
V
Kesamaan (iii) dinamakan kesamaan Parseval.
Bukti:
(i) => (ii)
Untuk setiap k
E
N. berlaku
"'
=(x,ek )- l: (x,e;)(e;,ek )
j;[
=(x,ek )- (x,ek )
=0
Menurut (i), haruslah
oc
x- l: (x,e; )e; = 0 atau
i =l
x=
L"' (x.e; )e,
j;J
(ii) =>(iii)
12
Didefinisikan
n
y n :=I (x,e; )e; 'menurut Teorema 2.4
i=l
jjx- Yn
f
= //x/1
2
n
2
-
I /(x, e; )/
i=l
Diketahui n--11-oc
limy n = X atau n---+oo
lim//x- y n II = 0
Sehingga
2
// x //
"'
2
= 0+ I /(x, e; )/
i=I
"'
=I /( x,e; )/
i=l
(i)~
(i )
Diketahui (iii). Akan ditunjukkan bahwa (x,e;) = 0 , ViE N x = 0
i=l
Sehingga (x,e; ) = 0, ViE N
""
Sebaliknya misalkan ( x, e;) = 0 , Vi E N, maka / xf = I/( x, e; )/
2
=0
i=l
2
Sehingga !Jxjj = 0 atau /! xJJ = 0 . Akibatnya x = 0.
0
Himpunan ortonormal {e; };e :-; yang memenuhi sifat dari Teorema 2.5 (i) atau
(ii)
atau (iii) dikatakan 11:1nf;kap. dan himpunan ortononnal yang lengkap disebut
basis ortonormal untuk V [ 7].
13
BAB
HASIL DAN PEMBAHAS
BAB HI
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1
Luas Jajaran Genjang pada R2 atau R 3
Jajaran genjang merupakan salah satu dari bangun datar yang berbentuk segi-4.
Secara umum bentuk jajaran genjang pada R2 atau R3 dapat diilustrasikan sebagai
berikut:
t
X
Gambar I. Jajaran Genjang pada R2
x,y ve ktor dl. R2,
d engan
I
x=(x"yl) 'y=(x2,y2), llxJJ2=(xl2+yl2)2,
I
jjyjj2 = (x 22 + y 22)2 .
Luas jajaran genjang pada Gam bar 1 adalah
I
2
Oleh karena t = (Jjyjj 2 -jjyjj 22 cos 2 e )2, maka
I
L=
~: :x ! 2 (Jjyjj 22 - jjyjj2 2cos2 e )2
Schint!t!a
14
e = /l x/1 /
t
2
= /l x//2 2(//Y//2 2 -J/Y/12 2cos 2 9)
Jika
9 = 0 atau 9 = n, maka cos 2 9 = 1,
e= ; ,
sehingga
L
0.
Jika
2
maka cos 9 = 0 , akibatnya jajaran genjang berubah menjadi persegi atau
perseg1 panJang.
Jadi haruslah 0 < e < n
2
Dari persamaan (2.3), cos 8
L
2
=I I
X 2
2
1
[11Yi/2
I
-
=/J xii/IIYI/ /
L
2
li!YI
2
1
-(x·y)
=~ l xi 2 /I Y I/ -
2
= (x·y)
2
2
l xl/ 2 Jj yj 2
2
y)
I' II 21' I'
(X •
2
dXil2 IYI2
,
maka:
J
2
I
(x · y)
2
)2 atau
Selanjutnya akan dicari luas jajaran genjang pada R 3
Misalkan OABC adalah jajaran
15
gelljang pada R3, dimanaO(O,O,O),
8
z
y
X
Gambar 2. Jajaran Genjang Pada R3
Selanjutnya akan dicari bidang datar pada R3 yang melalui jajaran genjang
terse but.
Misalkan persamaan bidang datar tersebut adalah:
ax + ~y
+ yz + I
II
e
ax
X
Gambar 5. Jajaran Genjang Untuk a> 1
Misalkan dari Gambar 3, I menyatakanjajaran genjang yang direntang oleh
x dan y, sedangkan II menyatakan jajaran genjang yang direntang oleh
(a-l)xdany.
Tampak bahwa J/ax, yJ/L = L
I+ II
I
II
II
fl 1
/lax, YII L == ~,ax
II 2 II
/1 2
II 2
I YII 2 - (ax . y)
2
r~ ~
== (a 2/J xl/22//Y/1 22 -a 2 ( x . y) 2)~
I
2
==(a )2
~lx 2
2
I
2
-IIY/1 2 - (x · Y) 2)2
== /a Jjjx, Y//L,
Dari Gam bar 4 dan Gambar 5, jelas bahwa jjax, yjjL == jajjjx, yjjL
Untuk bukti
(v) akan dibahas pada sub bab tersendiri, karena memerlukan
pengertian detenninan dan matriks semi definit positif
22
3.3
lnterpretasi Geometris dari
(i)
Karena
(ii)
Interpretasi
//x,yt
jjx, Y/L
berupa luasan, makajelas bahwa
geometris dari
//x,y//L ~
0.
/ x,yi/ L= 0 x dan y berimpit/segaris
tampak pada Gambar 6.
y
X
Gam bar 6.
(iii)
1/x,YI/L= 0.
/ x, yi/ L=1/y, xi/L
Interpretasi geometris dari
j x, Yt adalah
tampak pada Gambar 7.
X
Gambar 7.
1/x,y/IL.
Interpretasi geometris dari
1/y, xi/L adalah
X
v
Gam bar 8. ,;Y, .xll r. .
23
tampak pada Gambar 8.
adalah
Interpretasi geometris untuk
jaj I
adalah tampak pada Gambar 10.
II
e
ax
X
Gambar 10.
(V)
Interpretasi geometris dari
/l x,y + z
Gambar 11.
24
l ~. ~ l! x, Y l/ ~_ + lx, z j/ ~_ adalah tampak pada
c
B
D
0~-xA
Gambar 11 .
dim ana,
3.4
Nonn-2 Sebagai Perumuman Luas Jajaran Genjang
2
3
01eh karena R atau R merupakan salah satu contoh ruang hasil kali dalam,
maka pada sub bab ini diperumum
Bentuk umum
jj.,l pada ruang basil kali dalam secara umum.
l xjj 2 dan l xll 3 adalah l xjj, x E V , V ruang bemorm. Bentuk
basil kali dalam (dot product)
x · y dapat ditulis (x, y); x, y E V, V ruang basil kali
dalam . Selanjutnya //x
.. . y/../ L secara umum dapat ditulis i!x. y!l : x, y E V, V ruang hasil
kali dalam .
25
Jika didefinisikan
j x,y j :=~ j x Jn y 1/ 2 - ( x , y r ) ~.
untuk setiap x,yEV,
v
ruang hasil kali dalam, maka tampak bahwa 11·· 11 bersesuaian dengan 11-.l pada R2
3
atau R . Definisi tersebut merupakan perumuman dari luas jajaran genjang pada R2
atau R3.
Selanjutnya akan didefinisikan JJ.,.JJ melalui ketaksamaan Cauchy-Schwarz.
Misalkan x, y E V , ketaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa
J( x, Y)J ~ /J xJ/1/Y// berarti ( x, y) ~ /J x// //Y// , oleh karena itu /Jxii /J yjj
2
2
2
2
2
- (
Misalkan V ruang vektor atas lapangan real, dim(V) ~ 2 .
Jj.,.l!: V x V ~
R disebut norm-2
x, y)
2
~
0.
Suatu fungsi
di V apabila untuk setiap x, y E V dan
a ER
berlaku:
(i)
jjx, yj/ ~ 0
(ii)
1/x, yjj = 0 ¢:::> x dan y bergantung linier
(iii)
1/x,yll = l/y,xll
(iv)
jjx,ayiJ = Ja jiJx,yjj, a E R
(v)
jjx,y + ziJ ~ Jjx,yJJ + jjx,ziJ
Pasangan (v, jj.,.IJ) selanjutnya disebut ruang norm-2 [4].
Teorema 3.1 (5] Misalkan V ruang hasil kali dalam, dengan 2 ~ dim(V) < rn. Jika
didefinisikan JJx,yjJ := ~
J x /n Y / 2
- (x,y/
,. yang bersifat:
26
J, maka Jj.,.jj mendefinisikan
nonn-2 di
/i x , y / ~0
(i)
(ii) //x, Yll =0~ xdan ybergantung linier
(iii)
1/x,Yl=/I Y,xl/
(iv)
1/x, ayll =lall/x,Yll, a E R
(v)
/l x, y+ z//~ / x, Y/+ / x,z//
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa / .,.// memenuhi sifat:
(i) Dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, berlaku:
~
(ii)
IJx,y
J =o~Jxr
~Jix
~
/ x,y// ~
0
/ Y / 2 - (x,y/ f =O
f/ IY / /
2
2
- (x,y) =o
(x, Y) =llxJn/YI/2
I( x,Y)I=//x/II YI
~
2
Dari Akibat 2.2
/ x,Y/1=0~ I( x,Y)/ =/l xiiiiYJJ
~
{x,y}
bergantung linier.
27
1/x,y// = ijjx/nyf -(x.y) )~
2
(iii)
= ijjyf//x//2- (y. x)z
f
=//y,x//
(iv) //x, ay// = ~/xf
//ay/1
=~/xza2Y
2
z
- (
= (az~/x2
x, ay)
2
f
-az(x,y)2f
az//Yf- az(x,y)z )p
= (a2
)~/xfY
2
-(x,y)2
f
=/a/1/x,y/1
Untuk bukti (v) ditulis pada sub bab berikutnya, karena memerlukan pengertian
determinan dan matriks semi definit positif.
Untuk selanjutnya nonn-2 yang didefinisikan melalui hasil kali dalam disebut norm2 klasik.
3.5
Ketaksamaan Segitiga pada
j . ,l dan jj.,.jj
Pada sub bab ini akan dibuktikan Ketaksamaan Segitiga pada
//.,l dan jj.,.jj.
/jx, Y + z// ~ 1/x, Yli + //x, z//
Karena
jj.,.jj bentuk umum dari j.,/~
, maka yang dibul'1ikan hanya
Sebelum membuktikan Ketaksamaan Segitiga pada
jj.,.jj.
jj.,.jj, maka perlu
didefinisikan beberapa hal sebagai berikut.
Misalkan V ruang vektor atas lapangan real, dim(V) ~ 2 . Suatu fungsi
(.1... ) : Vx V x V ~
R dinamakan hosil koli dalwn-:: di V.jika memenuhi :
28
0
(11)
(xly,y) 2:0, Vx,yEVdan
( x I y, y) = 0 ~
x dan y bergantung linier
(12)
(xly,y) = (y l x,x), Vx,yEV
(13)
(xI y,z) =(xI z,y), Vx,y, z E V
(14)
(xI y,az) = a(x I y,z), Vx,y,z E V dan a E R
Pasangan (v, (.l.,.)) selanjutnya disebut ruang hasil kali da/am-2 [6] .
Penjelasan di bawah ini menyatakan bahwa norm-2 berhubungan dengan
detenninan suatu matriks tertentu.
Dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz [6],
(x,x )(y,y) - (x,y) (y,x) 2:0
(3.4)
Persamaan (3.4) dapat menyatakan determinan dari matriks yang merupakan matriks
semi definit positif, yaitu
(x, x) (x,y)
(y.x) (y. y )
Tcorcma 3.2
2:0
[6] Misalkan
(3.5)
(v, (.l .,.)) ruang basil kali dalam-2 , dengan
2 :S dim( V) < oo ,j ika didefinisikan (x I y,z) :=
29
(X, X) (X, z)I
,1
, maka berlaku
(y,x ) (Y.Zjl
(i)
(x l y, y) 20, 'v'x, yEVdan
( x I y, y) = 0 x dan y bergantung Iinier
(ii)
(x l y,y) = (y l x, x) , 'v'x, yEV
(iii)
(xly,z) = (xlz,y) , 'v'x,y,zEV
(iv)
(xI y,az) = a (x I y,z) , \t x,y,z E V dan a E R
Bukti:
(i) Akan ditunjukkan bahwa
(x I y, y) 2 0 dan (x I y, y) = 0 x dan y bergantung linier.
. (x,x ) (x, y)
'
( X I y Y) = '
'
(y,x ) (y, y)
dari persamaan (3.5), jelas bahwa
2:0
1
\x
(x, x) (x,y)
,
=0
j y, y \ =0
'
(y, x) (y, y)
(x,x )(y,y) - (x,y) (y,x ) = 0
(x,y) (y,x) = (x, x)(y,y)
2
2
(x,y) = jjxjj 11YII
2
I( x, Y)I=llxi!IIY/1
Dari Akibat 2.2, diperoleh,
I( )I
( x I Y. Y) = 0 x, Y = /Jx jjjjyjj
x dan y bergantung linier
30
..
(11).
(iii).
.
. l(x,x) (x,y)
(xly,y) =l
'
(y,x) (y, y)
/(y,y) (y,x)
= j(x,y) (x,x)
=(ylx,x)
(xI y,z) =
(x x) (x z)
'
' '
(y,x) (y,z)
= l(x,x) (x,y)
1\ Z, X) ( Z, y J
=(xI z,y)
(iv).
. (x,x) (x,az)
(x ly,az) = '
(y, x) (y, az)
= (x,x ) (y,az)- (x,az) (y,x)
=a (x,x) (y,z)-a (x,z) (y,x)
=a((x,x; (y,z)- (x,z) (y,x))
l(x,x) (x,y)l
=a )(z,x; (z,y)j
=a (x I z,y)
=(x,x)(y,z1 +z 2 ) - (x,z 1 +z 2 )(y,x)
= (x, x) ((y,z1 )+(y,z2 ))-((x,z 1 ) +(x, z2 ) ) (y,x)
= (x, x)(y,z1 ) +(x, x)(y,z2 ) - (x,z 1 )(y, x)- (x,z 2 )(y, x)
= (x, x)(y, z1) - (x, z1 )(y, x)+ (x, x)(y, z2 ) - (x, z2 )(y, x)
(x, x) (x.z 1 ) (x.x ) (x.z J
+
(y, x) (y.z 1 ) (y. x) (y.z J
= (x / y.z 1 ) +(x i y.zJ
=
31
0
I
Nonn-2 dapatjuga didefinisikan sebagai basil kali dalam-2, yaitu / x,y// := (xIy,y)2.
I
Dengan pendefinisian l x,yll = (x 1 y,y)2, maka akan dibuktikan sifat
nonn-2 Klasik, yaitu l x, y + zll ~ / x, Yli + l x,zll .
Bukti:
= llxll (y + z,y + z)- (x,y + z)2
2
2
= //x// ((y,y) + (y,z) + (z,y) + (z,z))- ((x,y) + (x,z)Y
2
2
2
= J x/J ~ / Y I + 2(y, z) + /J ziJ )- (x,y/ - 2(x, y)(x,z)- (x,z/
2
2
2
= llxfi!YII + 2llxll (y,z) + llx/n/z// - (x,yr - 2(x,y)(x,z)- (x,z)2
2
2
2
= /Jx/nyJJ - (x,y) + 2~ / x l (y,z)- (x,y)(x,z))+ l xlnzll 2- (x,z)2
/r + 2~ / x / 2 (y,z)- (x, y)(x, z))+ /l x, zj/ 2
= J/x, Y
Oleh karena
2
llxll (y, z)- (x, y)(x, z) = (x, x)(y, z)- (x, y)(x. z)
=
(x,x) (x,z)
(y,x) (y,z)
= (x Iy , z), maka
l x,y + zll2 = llx,yll 2+ 2(x Iy, z) +ll x,zll 2
2
~ 1/x,yl/ + 2/(x Iy, z)/ +1/x. zl/
Oleh karena
'va
, ~ E R,
2
berlaku
[a pJ [ :x.y, y) (xI y, z)J[a]
', .'\ Z, y) (XI z, z)
13
32
5
dari
= [a (x I y,y) +P (x 1 z,y) a (x I y, z) +P (x 1 z,z)] [; J
2
= a ( x Iy, y) +a P (x Iz,y)+a P(x Iy, z) + P2 ( x Iz,z)
= a 2 ( x I y, y) + 2a P (x I z,y)+ P2 ( x I z,z)
2
= a ~ / x / I YI - (x,y) )+ 2aP~
/ x l (y,z)- (x,z)(y,x)~ P2 ~ / x l 2 l zll 2 - (x,z)2 )
2
2
2
2
2
2
2
= a l!xii 11YII - a (x, y) + 2aP I xf (y, z)- 2ap(x,z)(y, x)+ P2 1 xll l zll - P2 (x,z/
2
2
2
2
2
2
2
= llxll a 11YII + 2aP I xll (y,z)+P2 /xll 11zll - a 2 (x, y) - 2aP(x,z)(y, x)- P2 (x, z)2
2
2
2
2
= l xll (a 11YI/ +2ap (y,z)+P2 l zll ) - (a 2 (x,y/ +2aP(x,z)(y,x)+P2 (x,z)2 )
2
= (x,x)(a (y,y) +ap (y,z)+ Pa(z,y) + P2 (z,z))-(a(x,y) + P(x,z)) (a(x,y) +P(x,z))
= (x, x)((ay, ay) +(ay,pz)+ (Pz,ay) +(Pz, Pz))- (a(x,y) +P(x, z)) (a(y, x) + P(z, x))
= (x,x)(ay + Pz,ay + ~z ) - ((x,ay) +(x,pz)) ((ay,x) +(Pz,x))
= (x, x)(ay + Pz, ay +Pz) - (x,ay +Pz)(ay + Pz, x)
2
2
2
2
Oleh karena ketaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan deterrninan dari matriks,
maka
=
(x,x)
(x,ay + Pz)
r:l.
\
\ay +JJZ,X) (ay +Pz.ay +Pz)
I
Dari
Teorema 3.2, maka
= (x Iay +Pz, ay +Pz) ~ 0 ,
oleh karena itu
(xly,y) (xly, z)] d I h
·k
·d fi ·
· "f(6] k"b
[ (XI z, y) (XI z. z) a a a matn s semi e rut pos1t1 , a 1 atnya
(XIy' y) (XIy. z)I
II( X I z, y) {X i Z. z:. I. ~
0 . atau dengan
Dengan demikian
33
.
kata lam
2
2
/ x,y+z// :s; j x,y// +2 /(x/ y,z)[ +// x,z// 2
2
+ 2//x,yjjl/x,z// +//x,z/1 2
yjj +jjx, z// Y
:s; 1/x,y//
=
~/x,
j x,y +z// :s; / x,Y/ +j x, z//
3.6
0
Beberapa Contoh dan Perumumaonya
Pada bagian ini akan ditunjukkan beberapa contoh norm-2, perurnurnan norrn-2
11
di R dan nonn-2 di ruang hasil kali dalarn berdirnensi hingga.
Norm-2 pada f
3.6.1
Misalkan
2
/ merupakan himpw1an semua barisan bilangan real dengan ketentuan
oc
L x;
2
< 0') , maka dapat ditulis
j;J
2
// x //
= (x, x)
34
Sehingga diperoleh nonn-2 pada P:
3.6.2 Norm-2 pada
Misalkan
e (a, b]
j xjj ' ~ (llxi t )j' dt)
Misalkan
e (a, b]
merupakan
himpunan
semua
nann
< "' , maka dapat dinyatakan:
X, y E
e (a, b], dimana:
Sehingga diperoleh nonn-2 pada L2:
~ [(l:x(t) ' dt ) (f'y( t j' dt ) -(! x(t )y(t ) dt
35
rr
I
dengan
ketentuan
3.6.3 Norm-2 pada R"
x·y= (x,y)
11
=
L>;Y;
i~J
2
/l xJ/ = (x,x)
Sehingga diperoleh nonn-2 , yaitu:
3.6.4 Norm-2 di Ruang Hasil Kali dalam Berdimensi Hingga
Hasil berikut ini akan dibahas nonn-2 yang dibangun oleh basis ortogonal dan
ortononnal.
Tcorema 3.3
Misalkan V ruang basil kali dalam. dim( V)
{e ,. e 2 , .. . , e"} basis ortogonal dari V, maka untuk setiap x.y
36
E
=
n <
ry; .
V, berlaku :
Misalkan
Bukti:
Diketahui : / x, y/1 = ~
/ x 1/ 2 1/Y/1
2
2
x, y)
- (
f
n
n
i=l
i=l
Misalkan x,y E V , maka dapat ditulis x = Ia;e; dan y = L~;e
Karena ortogonal, maka:
n
\
(x,e2 ) = ( f;a;e; ,e2/
=a2 (e2 ,e2 )
= a2 1/e2 1/2 a2 = ( x , e~
l/e2 /
,
'
x. e
)
I
=a n I en I ·a=
-' -"
'
n
,:
J
I!
e"
37
.
Secara umum:
Dengan cara yang sama diperoleh:
~A
Y = L,Piei ~Pi=
(y, e; )
.
-, 1 = 1,2, ... ,n.
jje;jj 2
i=I
Selanjutnya dicari nilai dari :
l/xjj2 = (x, x)
= ( ~ae i=l
~
=
I
~ae j=l
I'LJ
J J
)
z: \·, ei;\2
n
lx
i=I j eijj
IIYII
2
= (y,y)
~ ( t.~·
· t.~j·
)
=IIPiPj (ei,ej )
i=l j=I
2
2
= IP; Jjei jj
i=l
38
1"
"
\
(x, y) = ( Iaiei , LP iei)
\ •=I
J=l
= IIaipi(ei, ei)
i=l j=l
=
Iai~ i=l
=I
2
//e i/1
( x , ei )( ~ , e J
i=l
//ei //
Seh.ingga diperoleh norm-2 untuk ruang hasil kali dalam dengan basis ortogonal:
0
Untuk V ruang hasil kali dalam dengan basis ortonormal diperoleh bentuk norm-2
berikut.
Misalkan V ruang hasil kali dalam, dim(V) = n < oo. Misalkan
Akibat 3.4·
{e 1, e 2 , ... , e"} basis ortonormal dari V, maka untuk setiap x, y
E
V, berlaku:
I
J x,yJJ = ( (t. (x,e;)') (t.(y,e, )') -(t.(x,e,)(y,e, ))']'
Akibat 3.5·
Misalkan V ruang hasil kali dalam, dim(V) = n < oo . Misalkan
{e 1 , e 2 , . .. ,e"} basis ortononnal dari V. Jika x, y E V , maka:
x = I a ie i dan y =
1=-l
' v"= ( (
I~
i= l
ie i
untuk I = 1, 2, ... , n. Dengan demikian :
t,a,') (t. ~.') -(t, a. ~ ,
39
n
I
Untuk bukti diturunkan langsung dari teorema 3.3* dengan lied!= I .
Tampak bahwa nonn-2 pada ruang basil kali dalam berdimensi hingga yang
dibangun oleh basis ortogonal dan ortononnal ternyata rumus nonn-2nya bersesuaian
dengan rumus norm-2 pada Rn.
Kekonvergenan Barisan di Ruang Norm-2
3.7
Pada bagian ini akan ditunjukkan kekonvergenan barisan di ruang nonn-2 .
Misalkan (v, jj.,.jj) ruang nonn-2, dim(V) = d, dimana 2 ~ d < oo. Suatu barisan
(x") di V dikatakan konvergen ke x E V jika Iiml!xn - x, yjj= 0, Vy E V .
n-+oo
Dalam hal ini n-+
limo: xn :=X dan Xdisebut limit dari barisan (xn)
0
Teorema 3.6 [4] Misalkan {e, , e 2 , ... ,ed}basis sebarang dari V. Barisan (xn) di V
dengan 2 ~ d < oo
dikatakan konvergen ke x E V jika dan hanya jika
lim l xn -x,ei /j =O, Vi= l, 2, .. .,d.
n-+ ::JC
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa n->oc
Iim jjxn- x,ei // = 0, Vi= 1,2, ..., d.
Diketahui lim xn :=X¢::> lim/lxn- x,yll = 0, Vy E v
n~
n-+
~
Sesuai dengan definisi kekonvergenan dalam nonn-2 :
Untuk y = e, ~
lim /! x" - x.e ,/1 = 0
n-+ x
Untuk y = eJ =>lim , xnn-u:
\: .Cd :
=0
40
Sehingga lim jjx.,- x,e;jj = 0, Vi= 1, 2, ... ,d.
11-+
RUANG NORM-2 KLASIK: SIFAT DAN
INTERPRETASI GEOMETRISNYA
tvTMI1
,jf.J. )-J
Oleh:
AHMAD IN
NRP. 1204 201 012
A~IYT
r-r
~{,
PEitPUSTAitAA!C
l T S
Terhna Oari
PROGRAM STUDI MAGISTER
JURUSAN MATEMATIKA
.FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALA
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NO PEMBER
SURABAYA
2006
RUANG NORM-2 KLASIK: SIFAT DAN
INTERPRETASI GEOMETRISNYA
Tesis disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar
Magister Sains (M.Si)
di
lnstitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Oleh:
AHMAD IN
NRP. 1204 201 012
Tanggal Ujian: 5 Juli 2006
Periode Wisuda : September 2006
Disetujui oleh Tim Penguji Tesis:
~
(Pembimbing I)
(Pembimbing II)
(Penguji)
S~
4. Drs.
M.Si.
NIP. 131 835 488
(Penguji)
TESIS INI KUPERSEMBAHKAN
BUAT IBUKU KHIPTAMIN DAN AYAHKU MAHMUD YANG
TERCINTA DAN TERSAYANG.
SERTA
KAKAK, ADIK DAN KEMENAKANKU YANG TERCINTA DAN
TERSAYANG.
HAl ORANG-ORANG YANG BERIMAN, JJKA KAMU MENOLONG
AGAMA
ALLAH,
NISCAYA
DIA
AKAN
MENOLONGMU
DAN
MENEGUHKAN KEDUDUKANMU. (Q.S. MUHAMMAD AYAT 7).
ALLAH AKAN MENINGGIKAN ORANG-ORANG YANG BERIMAN
DIANTARAMU
DAN
ORANG-ORANG
YANG
DffiERI
ILMU
PENGETAHUAN BEBERAPA DERAJAT. (Q.S. AL MUJAAf()ILAH AYAT
11).
MENCARI ILMU DIWAJffiKAN BAGI ORANG ISLAM LAKI-LAKI DAN
PEREMPUAN. (HADIST).
TUNTUTLAH ILMU WALAU SAMPAI KE NEGERI CHINA. (HADIST).
JLMU
YANG
TIDAK
BERBUAH. (HADIST).
DIAMALKAN
BAGAIKAN
POHON
TIDAK
ABS
RUANG NORM-2 KLASIK: SIFAT DAN INTERPRETASI
GEOMETRISNYA
Oleh
Pembimbing I
Pembimbing II
: Ahmadin
: Dr. Ema Apriliani, M.Si.
: Dr. Eridani, M.Si.
ABSTRAK
Dalam [5] telah didefinisikan norm-2 ldasik, yaitu untuk setiap x, y
mang hasil kali dalam, berlaku:
maka dapat didefinisikan (v,!~.l)
llx, Yll = ~lxi
2
1YI
2
-
(
x, y)
2
)~
•
E
V, V
Dari definisi di atas,
sebagai ruang norm-2. Norm-2 memiliki sifat-sifat
yang sangat menarik [4,5] dan dapat dipandang sebagai perumuman sekaligus
3
2
perluasan dari konsep luasjajaran genjang pada R atau R .
Pada tesis ini diselidiki/dikaji ruang nonn-2 klasik: sifat dan interpretasi
geometrisnya. Penyelidikan dilakukan dengan jalan menuliskan sifat-sifat norm-2
kiasik ,bukti serta interpretasi geometrisnya dan kekonvergenannya . Selanjutnya
akan dibuktikan bahwa ruang norm-2 berdimensi hingga merupakan ruang norm dan
dicari perbandingan antara norm pada norm-2 dengan norm sebelumnya.
Dari penyelidikan/pengkajian diperoleh sifat dan interpretasi geometris dari
norm-2 klasik pada R2 atau R3 dan kekonvergenannya. Selanjutnya terbukti bahwa
mang nonn-2 berdimensi hingga merupakan ruang nonn dan nonnnya lebih kecil
dari norm sebelumnya.
ABSTRAC
Classical Space Norm-2: The Nature and
Interpretation of Its Geometry
By
: Ahmadin
Counselor I
: Dr. Erna Apriliani , M.Si
Counselor 11
: Dr. Eridani , M.Si
Abstract
ln [5], it is defined classical norm-2, which is for each x, y
result, there is a formulation of jjx, Yl...,l =
~jxJ ~ JJyll
2
- (
x, y)
2
~
.
€
V, V is the space
From this definition, it
can define that (v, jj.,.JJ)is space norm-2 . Norm-2 has an interesting natures [4,5],
2
and it can viewed as generality and wideness of parallelogram concept for R or
RJ_
This thesis i:westigated the geometry nature and its interpretation of the
classical space norm-2. The investigation performed by \vriting the nature of
classical norm-2, proves and interprets its geometry and convergence. Then, it
will prove that space norm-2 has a dimension so that it is a space norm, and then
find the comparison between norms on norm-2 and pre\ious norm.
From investigation, it is obtains the geometry nature and interpretation of
classical norm-2 for R2 or R 3 and its convergence. It is prove that the space norm2 has a dimension so that it is a space norm and its norm is smaller than previous
one.
Keyword: classical space norm-2, space result-2, space result, space norm,
parallelogram
KATA PENGANT
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah S WT yang telah memberikan rahmat, tauflk, dan
hidayah-Nya kepada penulis, sehingga tesis yang berjudul: Ruang Nonn-2 Klasik:
Sifat Dan lnterpretasi Geometrisnya dapat terselesaikan. Sholawat dan salam penulis
sampaikan kepada Rosulullah SAW yang telah membawa dan menyebarluaskan
agama Islam.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1.
Dr. Erna Apriliani, M.Si, selaku pembirnbing I dan Koordinator Program Studi
S2 Matematika ITS yang telah meluangkan banyak waktu untuk memberikan
bimbingan dan pengarahan.
'
Dr. Eridani, M.Si , selaku pembimbing
rr yang telah meluangkan banyak waktu
untuk memberikan bimbingan dan pengarahan.
3.
Drs. Chairul Imron , Mikom, selaku dosen wali yang telah memberikan
bimbingan dan motivasi.
4.
Ibunda Kiptamin dan ayahnda Mahmud yang telah membekaliku sesuatu yang
sangat berharga dan selalu men do' akan untuk kesuksesan dan kebahagiaanku.
5.
Mak Podi, Saudara-saudaraku terutama Cak Ud dan Mbak Sus yang telah
memberikan bantuan, baik moril maupun materiil.
6.
Kepala Sekolah SMA dan SMP Ta' miriyah Surabaya serta semua dewan guru,
karyawan yang telah memberikan dukungan .
7.
Teman-lemanku S2 \la1ema1ika ITS khususnya angkatan 2004 baik reguler
maupun dikmenjur yan g Ielah membcrikan bantuan dan semangat.
8.
Semua pihak yang Iel ah rn embantu 1ersek saikannya tesis ini.
Ill
Penulis menyadari bahwa"Tidak ada gading yang retak", begitu juga dalam
penyusunan tesis ini masih banyak kekurangannya, oleh karena itu kritik dan saran
kami harapkan untuk kesempumaan penulisan selanjutnya. Harapan kami semoga
tesis ini bermanfaat bagi pembaca.
Surabaya, Juli 2006
Penulis,
Ahmad in
IV
DAFTAR
DAFTAR lSI
Hal am an
ABSTRAK ................................... ... .......................... .................... .. .... ........... . .
ABSTRACT........................... ..................................... ............................ ........ .
II
KATA PENGANTAR .......... .. .......... ....... ........................................................
m
DAFTARISI.................... .. .... ........................................ ................ .......... ..... ...
v
DAFT AR GAMBAR .............. ..... .. ........... ... .. ......... .. ...... ... .. ... ..... ... ........ .. ... ... .
VII
BAB I PENDAHULUAN ......... ...... ........ ................................... .... .. ........ ..... .
1.1
Latar Belakang ............ .... ................... ... .... ............. ................. .
1.2
Rumusan Masalah ... .. .. ... . .. .. .. .... .. .. .... .. .. .. .. .. .... ... .. .. ....... .... .......
2
1.3
Tujuan ......... ... .. ..... ........... ........ .......... ................... ........... ... .... ..
2
1.4
Manfaat.... .......... ...... ................ ... .. ... ..... ... ......... ..... ....... ... .... .. .. .
3
1.5
Metodologi ...... ... .......................... .. ....... ......... .... .. .................. .
3
BAB II TINJAUAN PUST AKA....................................................................
4
2.1
Ruang Hasil Kali Dalam dan Ruang Bemorm ...... .......... .. .......
4
2.1.1 Contoh-Contoh Ruang Hasil Kali Dalam ................. .. .............
5
2.2
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz ................................................
6
2.3
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal.. .............. .. ..................
9
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ...... .. ... .... ........ ..... .... ............ ..!..........
14
3.1
Luas Jajaran Genjangpada R2 atau R' .......... . ........... ..........
1-1
3.2
Sifat-Sifat yang Dipenuhi oleh !lx. y rjL .............. . .................... ..
19
_... . .J
II
. d an. ux
Interpretas1. Geometns
. y 1 .. ......... ........ .. .. ..... ... ....... .. ..
v
__,
.,~
3.4
Nonn-2 Sebagai Penunuman Luas Jajaran Genjang...............
25
3.5
Ketaksamaan Segitiga pada
l!x,yiiL dan l!x,yl! .........................
28
3.6
Beberapa Contoh dan Perumumannya ............ ... .. ....... ... ....... .. .
34
3.6.1 Norm-2 pada 12 .. . .... ......... . .. .. . ........ ..... ............ .......... . .... .......... .
34
3.6.2 Norm-2 pada L2 [a,b]........ ...... .. ................... .... .. ........ ....... .........
35
3.6.3 Norm-2 pada Rn .. ............................ .................................... .... ..
36
3.6.4 Norm-2 di Ruang Hasil Kali Dalam Berdimensi Hingga........ .
36
3.7
Kekonvergenan Barisan di Ruang Norm-2 ..............................
40
3.8
Ruang Norm-2 Berdimensi Hingga............. ..... .................... ....
43
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN ............... .. .............. ... .......... ... ..... ... .
46
4.1
Kesimpulan ..............................................................................
46
4.2
Saran ............... .................... .............. ..... ... .. .. ..................... .... ...
46
DAFTAR PUSTAKA .................... .. .... .. .. ...... .. ... ..... ........... ... .. .. ............ .........
47
VI
DAFTARGAMB
DAFTAR GAMBAR
Halaman
2
Gambar 1. Jajaran Genjang pada R
.. ... .. ............... . .... . . ...... . ..... . ............ ...... . .
14
Gambar 2. Jajaran Genjang pada R3
................... . . ...... . ...... ..... ....... ... .............
16
Gambar 3. Jajaran Genjang pada R
3
.... ... .................... ... . .. . .. ......... .... .............
18
Gambar 4. Jajaran Genjang Untuk
a< 1 ................ ................... ... .. ... ............
21
Gambar 5. Jajaran Genjang Untuk
a> 1 ....................................... .... ............
22
Gambar 6.
jjx,yt = 0 ...... ............... .............................................. .... .. ............
23
Gambar 7.
llx, YIIL ........... .................................................................................
23
Gambar 8.
IIY, xiiL ............................................................................................
23
Gambar 9.
l ax,yjj L = jaj l x,yiiL Untuk a< 1 ............. ............ ..... ................ ..
24
Gam bar 1O. j ax,yiiL
= jaj l x, YIIL Untuk a> 1 ............ .. ..... ......... ............ .. .. ... .
Gam bar II. l x, y + z//L ~
j x, YIIL + l x, ziiL. ................ .................. .......................
VII
24
25
BAB
PENDAHULU
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam mekanika, konsep vektor memiliki peranan yang sangat penting. Vektor
secara fisik merupakan sebuah besaran yang mempunyai arah dan besar. Hal ini
berarti vektor dikarakterisasi oleh arah dan panjang vektor yang menyatakan
besarnya. Gaya-gaya yang bekerja di alam atau pada suatu benda merupakan ilustrasi
atau contoh yang cukup jelas tentang pentingnya konsep vektor. Kemudian konsep
arah atau sudut suatu vektor diperumum dengan mendefinisikan konsep hasil kali
dalam. Sedangkan panjang vektor memicu timbulnya konsep norm suatu vektor.
Misalkan V ruang vektor atas lapangan real. Jika didefinisikan hasil kali dalam
I
I
x=0
(v, (.,.)) selanjutnya disebut ruang hasil kali dalam [8,9,10].
Misalkan V ruang vektor atas lapangan real. Suatu fungsi 11·11 : V ~
norm di V apabila untuk setiap x, y E V dan a
(N1)
jx~
(N2)
l xll = 0 ¢:> x= 0
E
R berlaku:
O
( '\3)
(N4)
(Ketaksamaan Segitiga)
4
R adalah
Pasangan
(v, 11·11) selanjutnya disebut ruanR bernorm [2,9].
Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norm vektor x dapat dinyatakan
dengan
l xlj = ~ ( x,
Bukti bahwa
llxll = ~ ( x , x )
) , untuk setiap x E V [1].
benar-benar rnendefinisikan suatu norm akan disajikan
pada subbab berikutnya karena memerlukan ketaksamaan Cauchy-Schwarz.
2.1.1 Contoh-Contoh Ruang Hasil Kali Dalam
x,y ERn' rnaka kita
definisikan
x
·y := (x,y)
5
2.
2
Misalkan
1 mempakan himpunan semua ba1isan bilangan real dengan
definisikan
/lxf = (x, x)
2
Cukup jelas bahwa 1 mempakan perluasan dari Rn.
2.2
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Teorema 2.1 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) [1 ,3,8,9] Jika x dan y sebarang
Vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam V, maka
I( x, Y)I ~ llxll I YI
(2.1)
Bukti:
Jelas bahwa untuk x = 0 atau y
M isalkan: x, y
E
V, a
E
R, x
=
:t;
0 ketaksamaan bemilai benar.
0, dan y
:t;
6
0. Jelas bahwa
0 ~ !IY- a x!l2
= (y - ax, y -ax)
= (y,y) + (y,-ax ) + (- ax, y) + (- ax,-ax )
= (y,y) - a (y, x) - a (x,y) +a 2 (y, y)
= (y,y) - a (x, y) - a (x, y) +a 2(y, y)
2
2
2
= 1/Y// - 2a(x, y) +a 1/x/1
2
Misalkan f(a)=//Y!i -2a(x,y) +a 2 !1x!l
Agar f(a) 2 0 untuk setiap a
E
2
(2.2)
R, maka haruslah
Hal ini berarti
!( x, Y)j ~
1/xll/iY/1
0
Akibat 2.2 [8] l(x.y)! = ;! xi! !!Y!i jika dan hanyajika x dan y bergantung linier.
Bukti:
Pandang persamaan (2.2) . Kita liJ1at bahwa
j( x, y)j = llxl/ /I Y/1
menyatakan bahwa
fmempunyaiakarkembara 1 = a 2,yaitu :
a=
1
- (- 2(x, y)) (x,y)
=--:;t:O
21/xf
/l xl/ 2
.
Dengan demik.ian
0 = f(a 1 )
= (y - a 1x,y-a 1x)
=
/i y- a 1 \f , atau 1/Y- a 1xl/ = 0. Hal ini
berarti
\"- a I x = 0 atau .,v = a I x
~
-
; '·: ~ bagantung linier.
7
j xjj = ~ ( x , x) memenuhi sifat-sifat berikut ini:
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa
l! xjj = ~ ( x,
Teorema 2.3 Misalkan
(i)
!l x j ~O
(ii)
!lxi! =O ~
(iii)
j ax!l = jajjjxjj
(iv)
j x + yjj ~ j xjj + IIYII
), untuk setiap x E V, maka berlaku
x =0
(Ketaksamaan Segitiga)
Bukti:
!lxjj = (x, x) ~ 0 Vx, maka jjxjj ~ 0,
2
(i)
Karena
(ii)
Jelas dari (HDl )
(iii )
) ax)) = ( ax
,a x
) ~
I
I
= (a(x,xa))2
I
=
(aa(x.x))2
( 2) ~12\ x , x 1,~ 2
=a
=jajjjxjj
(iv)
2
jjx+yl\ =(x+y,x+y)
= (x, x) +(x,y) + (y,x) + (y,y)
2
= j xjj +(x. Y) + \x,y) +j yjj
2
2
2
=llxll + 2(x,y)+II YI
2
2
~ llxll + 2ifx. y \1 + li y!!
Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, maka
8
[ x + Y[ ~ [ x[[
2
=
2
+ 2flxl[[[y[[ + [ y[[
2
~[x / + /[ Y/il
Jika kedua ruas diambil akamya, diperoleh:
0
Cukup jelas bahwa untuk V = R2 atau R 3, maka
x·y
cos e = //x////Y//
(2 .3)
dimana 8 adaJah SUdUt yang dibentuk oleh X dan y (1].
Kenyataan di atas dapat diperumum untuk sebarang x,y
E
V, dan V adalah ruang
hasil kali dalam, sehingga persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai
Kita mendefinisikan
sudut yang dibentuk oleh vektor x dan vektor y, yang
dinotasikan dengan L:(x , y) , sebagai berikut:
.
(x, y)
L:(x , y) .=arc cos [[xJ[[JyJJ
Dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz jelas bahwa definisi di atas bermakna.
2.3
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal
Dalam [1] Jika V adalah sebarang ruang vektor berdimensi hingga dan
W = {e 1 , e 2 , • •• , e"}adalah himpunan berhingga dari vektor-vektor di dalam V, maka
W dikatakan sebuah hasis untuk V jika
( i)
W bebas tinier;
(ii)
W merentang V
9
Di dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor x dan y dinamakan ortogonal, jika
(x,y) = 0. Selanjutnya jika x ortogonal terhadap setiap vektor di dalam himpunan
W, maka dikatakan bahwa x ortogonal terhadap W [1].
Himpunan vektor-vektor {e 1 , e 2 , ... , en} di dalam ruang hasi1 kali dalam V
setiap i
:;t:
j, i = 1,2, ... ,n dan j =1,2, ... ,n. Selanjutnya jika !leJ = 1 untuk setiap i =
1,2,... n, maka {e 1 ,e 2 , •. •, en} disebut ortonormal [l].
Dalam [9] Misalkan
(xn) adalah barisan di ruang bemorm V, dan
x E V. (xn) disebut barisan yang konvergen ke
x E V , dinotasikan dengan
lim x n = X, jika n....,.oo
limjjxn - xjj = 0 .
n.....,.oo
Teorema 2.4 [7] Misalkan {e Jie::-: himpunan ortonormal di dalam mang hasil kali
dalam V, maka untuk setiap x E V , berlaku:
"'
2
L I\x,ei )I ~ lxll
2
i= l
Ketaksamaan tersebut dinamakan ketaksamaan Bessel.
Bukti:
Misalkan {eJie:-.r ortononnal.
Didefinisikan
II
Yn := I (x,eJ ei, n E N. Cukupjelas bahwa
i= l
10
0~
/ x-
Y11 //
2
= (x-yl1,x-yn )
= //x//
2
(x,y n) - (y n, x) + (y n,y n)
-
2
=
/ x// + //Y n/
2
2(x, Yn)
-
Sementara itu
2
//Yn// = \~(x,e;
/
) e;,~(xi)
n
n
)
= I I (x,e; )(x,ei )(e;,ei )
i=l j=l
2
n
= IJ(x,e;)j .
i=l
11
=I (x,e; )(x,e; )
i=l
2
11
=I
J(x,e;)/ .
i=l
2
2
n
=//x// + IJ(x,e;)j
n
2
-2IJ(x,e; )j
i=l
i=l
2
= //xf- I/(x,e;)J
i=l
n
I j(x, e; )j
i=l
2
~
/ x//
2
(2.4)
Karena (2.4) berlaku untuk setiap n EN. maka dengan mengambil n----+ oo , akan
diperoleh
II
"'
2: /(x,e; )/ ::; j x)/2
0
j; J
Teorema 2.5 [7] Misalkan {e; };e~
himpunan ortononnal didalam ruang basil kali
dalam V, maka ketiga pernyataan berikut adalah ekuivalen
(i)
(x,eJ=O 'liiEN¢::>x=0
(ii)
"" (x,e;f"';
\.,. , vXE v
x=L...
(iii)
""
\-1
2
//x/1 = I j(x,e;
j;J
t, 'lix
E
V
Kesamaan (iii) dinamakan kesamaan Parseval.
Bukti:
(i) => (ii)
Untuk setiap k
E
N. berlaku
"'
=(x,ek )- l: (x,e;)(e;,ek )
j;[
=(x,ek )- (x,ek )
=0
Menurut (i), haruslah
oc
x- l: (x,e; )e; = 0 atau
i =l
x=
L"' (x.e; )e,
j;J
(ii) =>(iii)
12
Didefinisikan
n
y n :=I (x,e; )e; 'menurut Teorema 2.4
i=l
jjx- Yn
f
= //x/1
2
n
2
-
I /(x, e; )/
i=l
Diketahui n--11-oc
limy n = X atau n---+oo
lim//x- y n II = 0
Sehingga
2
// x //
"'
2
= 0+ I /(x, e; )/
i=I
"'
=I /( x,e; )/
i=l
(i)~
(i )
Diketahui (iii). Akan ditunjukkan bahwa (x,e;) = 0 , ViE N x = 0
i=l
Sehingga (x,e; ) = 0, ViE N
""
Sebaliknya misalkan ( x, e;) = 0 , Vi E N, maka / xf = I/( x, e; )/
2
=0
i=l
2
Sehingga !Jxjj = 0 atau /! xJJ = 0 . Akibatnya x = 0.
0
Himpunan ortonormal {e; };e :-; yang memenuhi sifat dari Teorema 2.5 (i) atau
(ii)
atau (iii) dikatakan 11:1nf;kap. dan himpunan ortononnal yang lengkap disebut
basis ortonormal untuk V [ 7].
13
BAB
HASIL DAN PEMBAHAS
BAB HI
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1
Luas Jajaran Genjang pada R2 atau R 3
Jajaran genjang merupakan salah satu dari bangun datar yang berbentuk segi-4.
Secara umum bentuk jajaran genjang pada R2 atau R3 dapat diilustrasikan sebagai
berikut:
t
X
Gambar I. Jajaran Genjang pada R2
x,y ve ktor dl. R2,
d engan
I
x=(x"yl) 'y=(x2,y2), llxJJ2=(xl2+yl2)2,
I
jjyjj2 = (x 22 + y 22)2 .
Luas jajaran genjang pada Gam bar 1 adalah
I
2
Oleh karena t = (Jjyjj 2 -jjyjj 22 cos 2 e )2, maka
I
L=
~: :x ! 2 (Jjyjj 22 - jjyjj2 2cos2 e )2
Schint!t!a
14
e = /l x/1 /
t
2
= /l x//2 2(//Y//2 2 -J/Y/12 2cos 2 9)
Jika
9 = 0 atau 9 = n, maka cos 2 9 = 1,
e= ; ,
sehingga
L
0.
Jika
2
maka cos 9 = 0 , akibatnya jajaran genjang berubah menjadi persegi atau
perseg1 panJang.
Jadi haruslah 0 < e < n
2
Dari persamaan (2.3), cos 8
L
2
=I I
X 2
2
1
[11Yi/2
I
-
=/J xii/IIYI/ /
L
2
li!YI
2
1
-(x·y)
=~ l xi 2 /I Y I/ -
2
= (x·y)
2
2
l xl/ 2 Jj yj 2
2
y)
I' II 21' I'
(X •
2
dXil2 IYI2
,
maka:
J
2
I
(x · y)
2
)2 atau
Selanjutnya akan dicari luas jajaran genjang pada R 3
Misalkan OABC adalah jajaran
15
gelljang pada R3, dimanaO(O,O,O),
8
z
y
X
Gambar 2. Jajaran Genjang Pada R3
Selanjutnya akan dicari bidang datar pada R3 yang melalui jajaran genjang
terse but.
Misalkan persamaan bidang datar tersebut adalah:
ax + ~y
+ yz + I
II
e
ax
X
Gambar 5. Jajaran Genjang Untuk a> 1
Misalkan dari Gambar 3, I menyatakanjajaran genjang yang direntang oleh
x dan y, sedangkan II menyatakan jajaran genjang yang direntang oleh
(a-l)xdany.
Tampak bahwa J/ax, yJ/L = L
I+ II
I
II
II
fl 1
/lax, YII L == ~,ax
II 2 II
/1 2
II 2
I YII 2 - (ax . y)
2
r~ ~
== (a 2/J xl/22//Y/1 22 -a 2 ( x . y) 2)~
I
2
==(a )2
~lx 2
2
I
2
-IIY/1 2 - (x · Y) 2)2
== /a Jjjx, Y//L,
Dari Gam bar 4 dan Gambar 5, jelas bahwa jjax, yjjL == jajjjx, yjjL
Untuk bukti
(v) akan dibahas pada sub bab tersendiri, karena memerlukan
pengertian detenninan dan matriks semi definit positif
22
3.3
lnterpretasi Geometris dari
(i)
Karena
(ii)
Interpretasi
//x,yt
jjx, Y/L
berupa luasan, makajelas bahwa
geometris dari
//x,y//L ~
0.
/ x,yi/ L= 0 x dan y berimpit/segaris
tampak pada Gambar 6.
y
X
Gam bar 6.
(iii)
1/x,YI/L= 0.
/ x, yi/ L=1/y, xi/L
Interpretasi geometris dari
j x, Yt adalah
tampak pada Gambar 7.
X
Gambar 7.
1/x,y/IL.
Interpretasi geometris dari
1/y, xi/L adalah
X
v
Gam bar 8. ,;Y, .xll r. .
23
tampak pada Gambar 8.
adalah
Interpretasi geometris untuk
jaj I
adalah tampak pada Gambar 10.
II
e
ax
X
Gambar 10.
(V)
Interpretasi geometris dari
/l x,y + z
Gambar 11.
24
l ~. ~ l! x, Y l/ ~_ + lx, z j/ ~_ adalah tampak pada
c
B
D
0~-xA
Gambar 11 .
dim ana,
3.4
Nonn-2 Sebagai Perumuman Luas Jajaran Genjang
2
3
01eh karena R atau R merupakan salah satu contoh ruang hasil kali dalam,
maka pada sub bab ini diperumum
Bentuk umum
jj.,l pada ruang basil kali dalam secara umum.
l xjj 2 dan l xll 3 adalah l xjj, x E V , V ruang bemorm. Bentuk
basil kali dalam (dot product)
x · y dapat ditulis (x, y); x, y E V, V ruang basil kali
dalam . Selanjutnya //x
.. . y/../ L secara umum dapat ditulis i!x. y!l : x, y E V, V ruang hasil
kali dalam .
25
Jika didefinisikan
j x,y j :=~ j x Jn y 1/ 2 - ( x , y r ) ~.
untuk setiap x,yEV,
v
ruang hasil kali dalam, maka tampak bahwa 11·· 11 bersesuaian dengan 11-.l pada R2
3
atau R . Definisi tersebut merupakan perumuman dari luas jajaran genjang pada R2
atau R3.
Selanjutnya akan didefinisikan JJ.,.JJ melalui ketaksamaan Cauchy-Schwarz.
Misalkan x, y E V , ketaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa
J( x, Y)J ~ /J xJ/1/Y// berarti ( x, y) ~ /J x// //Y// , oleh karena itu /Jxii /J yjj
2
2
2
2
2
- (
Misalkan V ruang vektor atas lapangan real, dim(V) ~ 2 .
Jj.,.l!: V x V ~
R disebut norm-2
x, y)
2
~
0.
Suatu fungsi
di V apabila untuk setiap x, y E V dan
a ER
berlaku:
(i)
jjx, yj/ ~ 0
(ii)
1/x, yjj = 0 ¢:::> x dan y bergantung linier
(iii)
1/x,yll = l/y,xll
(iv)
jjx,ayiJ = Ja jiJx,yjj, a E R
(v)
jjx,y + ziJ ~ Jjx,yJJ + jjx,ziJ
Pasangan (v, jj.,.IJ) selanjutnya disebut ruang norm-2 [4].
Teorema 3.1 (5] Misalkan V ruang hasil kali dalam, dengan 2 ~ dim(V) < rn. Jika
didefinisikan JJx,yjJ := ~
J x /n Y / 2
- (x,y/
,. yang bersifat:
26
J, maka Jj.,.jj mendefinisikan
nonn-2 di
/i x , y / ~0
(i)
(ii) //x, Yll =0~ xdan ybergantung linier
(iii)
1/x,Yl=/I Y,xl/
(iv)
1/x, ayll =lall/x,Yll, a E R
(v)
/l x, y+ z//~ / x, Y/+ / x,z//
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa / .,.// memenuhi sifat:
(i) Dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, berlaku:
~
(ii)
IJx,y
J =o~Jxr
~Jix
~
/ x,y// ~
0
/ Y / 2 - (x,y/ f =O
f/ IY / /
2
2
- (x,y) =o
(x, Y) =llxJn/YI/2
I( x,Y)I=//x/II YI
~
2
Dari Akibat 2.2
/ x,Y/1=0~ I( x,Y)/ =/l xiiiiYJJ
~
{x,y}
bergantung linier.
27
1/x,y// = ijjx/nyf -(x.y) )~
2
(iii)
= ijjyf//x//2- (y. x)z
f
=//y,x//
(iv) //x, ay// = ~/xf
//ay/1
=~/xza2Y
2
z
- (
= (az~/x2
x, ay)
2
f
-az(x,y)2f
az//Yf- az(x,y)z )p
= (a2
)~/xfY
2
-(x,y)2
f
=/a/1/x,y/1
Untuk bukti (v) ditulis pada sub bab berikutnya, karena memerlukan pengertian
determinan dan matriks semi definit positif.
Untuk selanjutnya nonn-2 yang didefinisikan melalui hasil kali dalam disebut norm2 klasik.
3.5
Ketaksamaan Segitiga pada
j . ,l dan jj.,.jj
Pada sub bab ini akan dibuktikan Ketaksamaan Segitiga pada
//.,l dan jj.,.jj.
/jx, Y + z// ~ 1/x, Yli + //x, z//
Karena
jj.,.jj bentuk umum dari j.,/~
, maka yang dibul'1ikan hanya
Sebelum membuktikan Ketaksamaan Segitiga pada
jj.,.jj.
jj.,.jj, maka perlu
didefinisikan beberapa hal sebagai berikut.
Misalkan V ruang vektor atas lapangan real, dim(V) ~ 2 . Suatu fungsi
(.1... ) : Vx V x V ~
R dinamakan hosil koli dalwn-:: di V.jika memenuhi :
28
0
(11)
(xly,y) 2:0, Vx,yEVdan
( x I y, y) = 0 ~
x dan y bergantung linier
(12)
(xly,y) = (y l x,x), Vx,yEV
(13)
(xI y,z) =(xI z,y), Vx,y, z E V
(14)
(xI y,az) = a(x I y,z), Vx,y,z E V dan a E R
Pasangan (v, (.l.,.)) selanjutnya disebut ruang hasil kali da/am-2 [6] .
Penjelasan di bawah ini menyatakan bahwa norm-2 berhubungan dengan
detenninan suatu matriks tertentu.
Dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz [6],
(x,x )(y,y) - (x,y) (y,x) 2:0
(3.4)
Persamaan (3.4) dapat menyatakan determinan dari matriks yang merupakan matriks
semi definit positif, yaitu
(x, x) (x,y)
(y.x) (y. y )
Tcorcma 3.2
2:0
[6] Misalkan
(3.5)
(v, (.l .,.)) ruang basil kali dalam-2 , dengan
2 :S dim( V) < oo ,j ika didefinisikan (x I y,z) :=
29
(X, X) (X, z)I
,1
, maka berlaku
(y,x ) (Y.Zjl
(i)
(x l y, y) 20, 'v'x, yEVdan
( x I y, y) = 0 x dan y bergantung Iinier
(ii)
(x l y,y) = (y l x, x) , 'v'x, yEV
(iii)
(xly,z) = (xlz,y) , 'v'x,y,zEV
(iv)
(xI y,az) = a (x I y,z) , \t x,y,z E V dan a E R
Bukti:
(i) Akan ditunjukkan bahwa
(x I y, y) 2 0 dan (x I y, y) = 0 x dan y bergantung linier.
. (x,x ) (x, y)
'
( X I y Y) = '
'
(y,x ) (y, y)
dari persamaan (3.5), jelas bahwa
2:0
1
\x
(x, x) (x,y)
,
=0
j y, y \ =0
'
(y, x) (y, y)
(x,x )(y,y) - (x,y) (y,x ) = 0
(x,y) (y,x) = (x, x)(y,y)
2
2
(x,y) = jjxjj 11YII
2
I( x, Y)I=llxi!IIY/1
Dari Akibat 2.2, diperoleh,
I( )I
( x I Y. Y) = 0 x, Y = /Jx jjjjyjj
x dan y bergantung linier
30
..
(11).
(iii).
.
. l(x,x) (x,y)
(xly,y) =l
'
(y,x) (y, y)
/(y,y) (y,x)
= j(x,y) (x,x)
=(ylx,x)
(xI y,z) =
(x x) (x z)
'
' '
(y,x) (y,z)
= l(x,x) (x,y)
1\ Z, X) ( Z, y J
=(xI z,y)
(iv).
. (x,x) (x,az)
(x ly,az) = '
(y, x) (y, az)
= (x,x ) (y,az)- (x,az) (y,x)
=a (x,x) (y,z)-a (x,z) (y,x)
=a((x,x; (y,z)- (x,z) (y,x))
l(x,x) (x,y)l
=a )(z,x; (z,y)j
=a (x I z,y)
=(x,x)(y,z1 +z 2 ) - (x,z 1 +z 2 )(y,x)
= (x, x) ((y,z1 )+(y,z2 ))-((x,z 1 ) +(x, z2 ) ) (y,x)
= (x, x)(y,z1 ) +(x, x)(y,z2 ) - (x,z 1 )(y, x)- (x,z 2 )(y, x)
= (x, x)(y, z1) - (x, z1 )(y, x)+ (x, x)(y, z2 ) - (x, z2 )(y, x)
(x, x) (x.z 1 ) (x.x ) (x.z J
+
(y, x) (y.z 1 ) (y. x) (y.z J
= (x / y.z 1 ) +(x i y.zJ
=
31
0
I
Nonn-2 dapatjuga didefinisikan sebagai basil kali dalam-2, yaitu / x,y// := (xIy,y)2.
I
Dengan pendefinisian l x,yll = (x 1 y,y)2, maka akan dibuktikan sifat
nonn-2 Klasik, yaitu l x, y + zll ~ / x, Yli + l x,zll .
Bukti:
= llxll (y + z,y + z)- (x,y + z)2
2
2
= //x// ((y,y) + (y,z) + (z,y) + (z,z))- ((x,y) + (x,z)Y
2
2
2
= J x/J ~ / Y I + 2(y, z) + /J ziJ )- (x,y/ - 2(x, y)(x,z)- (x,z/
2
2
2
= llxfi!YII + 2llxll (y,z) + llx/n/z// - (x,yr - 2(x,y)(x,z)- (x,z)2
2
2
2
= /Jx/nyJJ - (x,y) + 2~ / x l (y,z)- (x,y)(x,z))+ l xlnzll 2- (x,z)2
/r + 2~ / x / 2 (y,z)- (x, y)(x, z))+ /l x, zj/ 2
= J/x, Y
Oleh karena
2
llxll (y, z)- (x, y)(x, z) = (x, x)(y, z)- (x, y)(x. z)
=
(x,x) (x,z)
(y,x) (y,z)
= (x Iy , z), maka
l x,y + zll2 = llx,yll 2+ 2(x Iy, z) +ll x,zll 2
2
~ 1/x,yl/ + 2/(x Iy, z)/ +1/x. zl/
Oleh karena
'va
, ~ E R,
2
berlaku
[a pJ [ :x.y, y) (xI y, z)J[a]
', .'\ Z, y) (XI z, z)
13
32
5
dari
= [a (x I y,y) +P (x 1 z,y) a (x I y, z) +P (x 1 z,z)] [; J
2
= a ( x Iy, y) +a P (x Iz,y)+a P(x Iy, z) + P2 ( x Iz,z)
= a 2 ( x I y, y) + 2a P (x I z,y)+ P2 ( x I z,z)
2
= a ~ / x / I YI - (x,y) )+ 2aP~
/ x l (y,z)- (x,z)(y,x)~ P2 ~ / x l 2 l zll 2 - (x,z)2 )
2
2
2
2
2
2
2
= a l!xii 11YII - a (x, y) + 2aP I xf (y, z)- 2ap(x,z)(y, x)+ P2 1 xll l zll - P2 (x,z/
2
2
2
2
2
2
2
= llxll a 11YII + 2aP I xll (y,z)+P2 /xll 11zll - a 2 (x, y) - 2aP(x,z)(y, x)- P2 (x, z)2
2
2
2
2
= l xll (a 11YI/ +2ap (y,z)+P2 l zll ) - (a 2 (x,y/ +2aP(x,z)(y,x)+P2 (x,z)2 )
2
= (x,x)(a (y,y) +ap (y,z)+ Pa(z,y) + P2 (z,z))-(a(x,y) + P(x,z)) (a(x,y) +P(x,z))
= (x, x)((ay, ay) +(ay,pz)+ (Pz,ay) +(Pz, Pz))- (a(x,y) +P(x, z)) (a(y, x) + P(z, x))
= (x,x)(ay + Pz,ay + ~z ) - ((x,ay) +(x,pz)) ((ay,x) +(Pz,x))
= (x, x)(ay + Pz, ay +Pz) - (x,ay +Pz)(ay + Pz, x)
2
2
2
2
Oleh karena ketaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan deterrninan dari matriks,
maka
=
(x,x)
(x,ay + Pz)
r:l.
\
\ay +JJZ,X) (ay +Pz.ay +Pz)
I
Dari
Teorema 3.2, maka
= (x Iay +Pz, ay +Pz) ~ 0 ,
oleh karena itu
(xly,y) (xly, z)] d I h
·k
·d fi ·
· "f(6] k"b
[ (XI z, y) (XI z. z) a a a matn s semi e rut pos1t1 , a 1 atnya
(XIy' y) (XIy. z)I
II( X I z, y) {X i Z. z:. I. ~
0 . atau dengan
Dengan demikian
33
.
kata lam
2
2
/ x,y+z// :s; j x,y// +2 /(x/ y,z)[ +// x,z// 2
2
+ 2//x,yjjl/x,z// +//x,z/1 2
yjj +jjx, z// Y
:s; 1/x,y//
=
~/x,
j x,y +z// :s; / x,Y/ +j x, z//
3.6
0
Beberapa Contoh dan Perumumaonya
Pada bagian ini akan ditunjukkan beberapa contoh norm-2, perurnurnan norrn-2
11
di R dan nonn-2 di ruang hasil kali dalarn berdirnensi hingga.
Norm-2 pada f
3.6.1
Misalkan
2
/ merupakan himpw1an semua barisan bilangan real dengan ketentuan
oc
L x;
2
< 0') , maka dapat ditulis
j;J
2
// x //
= (x, x)
34
Sehingga diperoleh nonn-2 pada P:
3.6.2 Norm-2 pada
Misalkan
e (a, b]
j xjj ' ~ (llxi t )j' dt)
Misalkan
e (a, b]
merupakan
himpunan
semua
nann
< "' , maka dapat dinyatakan:
X, y E
e (a, b], dimana:
Sehingga diperoleh nonn-2 pada L2:
~ [(l:x(t) ' dt ) (f'y( t j' dt ) -(! x(t )y(t ) dt
35
rr
I
dengan
ketentuan
3.6.3 Norm-2 pada R"
x·y= (x,y)
11
=
L>;Y;
i~J
2
/l xJ/ = (x,x)
Sehingga diperoleh nonn-2 , yaitu:
3.6.4 Norm-2 di Ruang Hasil Kali dalam Berdimensi Hingga
Hasil berikut ini akan dibahas nonn-2 yang dibangun oleh basis ortogonal dan
ortononnal.
Tcorema 3.3
Misalkan V ruang basil kali dalam. dim( V)
{e ,. e 2 , .. . , e"} basis ortogonal dari V, maka untuk setiap x.y
36
E
=
n <
ry; .
V, berlaku :
Misalkan
Bukti:
Diketahui : / x, y/1 = ~
/ x 1/ 2 1/Y/1
2
2
x, y)
- (
f
n
n
i=l
i=l
Misalkan x,y E V , maka dapat ditulis x = Ia;e; dan y = L~;e
Karena ortogonal, maka:
n
\
(x,e2 ) = ( f;a;e; ,e2/
=a2 (e2 ,e2 )
= a2 1/e2 1/2 a2 = ( x , e~
l/e2 /
,
'
x. e
)
I
=a n I en I ·a=
-' -"
'
n
,:
J
I!
e"
37
.
Secara umum:
Dengan cara yang sama diperoleh:
~A
Y = L,Piei ~Pi=
(y, e; )
.
-, 1 = 1,2, ... ,n.
jje;jj 2
i=I
Selanjutnya dicari nilai dari :
l/xjj2 = (x, x)
= ( ~ae i=l
~
=
I
~ae j=l
I'LJ
J J
)
z: \·, ei;\2
n
lx
i=I j eijj
IIYII
2
= (y,y)
~ ( t.~·
· t.~j·
)
=IIPiPj (ei,ej )
i=l j=I
2
2
= IP; Jjei jj
i=l
38
1"
"
\
(x, y) = ( Iaiei , LP iei)
\ •=I
J=l
= IIaipi(ei, ei)
i=l j=l
=
Iai~ i=l
=I
2
//e i/1
( x , ei )( ~ , e J
i=l
//ei //
Seh.ingga diperoleh norm-2 untuk ruang hasil kali dalam dengan basis ortogonal:
0
Untuk V ruang hasil kali dalam dengan basis ortonormal diperoleh bentuk norm-2
berikut.
Misalkan V ruang hasil kali dalam, dim(V) = n < oo. Misalkan
Akibat 3.4·
{e 1, e 2 , ... , e"} basis ortonormal dari V, maka untuk setiap x, y
E
V, berlaku:
I
J x,yJJ = ( (t. (x,e;)') (t.(y,e, )') -(t.(x,e,)(y,e, ))']'
Akibat 3.5·
Misalkan V ruang hasil kali dalam, dim(V) = n < oo . Misalkan
{e 1 , e 2 , . .. ,e"} basis ortononnal dari V. Jika x, y E V , maka:
x = I a ie i dan y =
1=-l
' v"= ( (
I~
i= l
ie i
untuk I = 1, 2, ... , n. Dengan demikian :
t,a,') (t. ~.') -(t, a. ~ ,
39
n
I
Untuk bukti diturunkan langsung dari teorema 3.3* dengan lied!= I .
Tampak bahwa nonn-2 pada ruang basil kali dalam berdimensi hingga yang
dibangun oleh basis ortogonal dan ortononnal ternyata rumus nonn-2nya bersesuaian
dengan rumus norm-2 pada Rn.
Kekonvergenan Barisan di Ruang Norm-2
3.7
Pada bagian ini akan ditunjukkan kekonvergenan barisan di ruang nonn-2 .
Misalkan (v, jj.,.jj) ruang nonn-2, dim(V) = d, dimana 2 ~ d < oo. Suatu barisan
(x") di V dikatakan konvergen ke x E V jika Iiml!xn - x, yjj= 0, Vy E V .
n-+oo
Dalam hal ini n-+
limo: xn :=X dan Xdisebut limit dari barisan (xn)
0
Teorema 3.6 [4] Misalkan {e, , e 2 , ... ,ed}basis sebarang dari V. Barisan (xn) di V
dengan 2 ~ d < oo
dikatakan konvergen ke x E V jika dan hanya jika
lim l xn -x,ei /j =O, Vi= l, 2, .. .,d.
n-+ ::JC
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa n->oc
Iim jjxn- x,ei // = 0, Vi= 1,2, ..., d.
Diketahui lim xn :=X¢::> lim/lxn- x,yll = 0, Vy E v
n~
n-+
~
Sesuai dengan definisi kekonvergenan dalam nonn-2 :
Untuk y = e, ~
lim /! x" - x.e ,/1 = 0
n-+ x
Untuk y = eJ =>lim , xnn-u:
\: .Cd :
=0
40
Sehingga lim jjx.,- x,e;jj = 0, Vi= 1, 2, ... ,d.
11-+