INTERPOLASI HERMITE PADA BILANGAN REAL

INTERPOLASI HERMITE PADA BILANGAN REAL MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh : Laurencia Rosarianes Yogimurti NIM : 063114008 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA

HERMITE INTERPOLATION ON REAL NUMBERS

PAPER

Presented as Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree in Mathematics

by :

Laurencia Rosarianes Yogimurti

Student Number : 063114008

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

HALAMAN PERSEMBAHAN

Jika kita mengerjakan apa yang bisa kita kerjakan,

maka Tuhan mengerjakan apa yang tidak bisa kita kerjakan.

- Majalah intisari -

In this life we cannot always do great things. But we can do small things with great love. - Mother Teresa - Karya ini ku persembahkan untuk :

Tuhan Yesus yang selalu menyertai di setiap langkah dan doaku Bapak dan ibuku tercinta yang selalu mendoakanku

Kedua adikku yang ku sayangi Dia yang selalu memberiku semangat

Sahabat – sahabatku yang selalu menemaniku

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena atas berkat dan perlindunganNya, penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Interpolasi Hermite pada Bilangan Real” sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan strata satu di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan dorongan, motivasi, saran, maupun bantuan finansial sampai terselesaikannya makalah ini, terutama kepada :

1. Lusia Krismiyati Budiasih, M.Si., selaku Kaprodi Fakultas Sains dan Teknologi dan dosen penguji, serta dosen pembimbing yang telah sabar membimbing, memberi saran dan kritik, dorongan dan motivasi selama penulisan makalah ini.

2. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen penguji, terima kasih telah meluangkan waktu untuk menguji, memberikan kritik dan saran demi kesempurnaan makalah ini.

3. Ch. Enny Murwaningtyas, M.Si., selaku dosen penguji, terima kasih telah meluangkan waktu untuk menguji, memberikan kritik dan saran demi kesempurnaan makalah ini.

4. MV. Any Herawati, M.Si., selaku dosen pembimbing akademis, terima kasih

5. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

6. Kedua orang tuaku tercinta yaitu Tarcicius Giyono dan Lucia Indri Haryati, terima kasih atas doa, dukungan, cinta, bantuan finansial dan semangat untuk pengerjaan makalah ini.

7. Kedua adikku yaitu Katarina Septi Widyaningrum dan Eufrasia Viany Prawesti, serta keluargaku yang selalu mendukungku agar tetap semangat menyelesaikan makalah.

8. Basilius Agung Wikaryanto terima kasih untuk waktu, dukungan, perhatian dan kesetiaannya menemani dan mendengarkan keluhan dalam setiap kesempatan terutama selama penyusunan makalah ini.

9. Seluruh petugas sekretariat, terima kasih atas bantuannya dalam penyempurnaan makalah ini.

10. Semua orang dan semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu di sini, baik secara langsung maupun tidak langsung telah banyak membantu terselesaikannya makalah ini.

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun.

Penulis

ABSTRAK

Makalah ini bertujuan untuk memahami bagaimana mengaproksimasikan suatu nilai dengan interpolasi Hermite dimana diketahui nilai fungsi dan turunan pertamanya, dan bagaimana menerapkan algoritma interpolasi Hermite.

Interpolasi merupakan salah satu metode dari pencocokan kurva sebagai metode pendekatan dari nilai fungsi pada interval. Interpolasi bertujuan untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diberikan dalam interval. Dalam interpolasi, data-data yang dibangun harus selalu melalui data yang diketahui. Sebagian besar interpolasi hanya membutuhkan informasi mengenai nilai fungsinya saja. Untuk mencari solusi dari suatu interpolasi, dapat dilakukan dengan metode interpolasi yang sesuai. Namun, untuk mencari solusi dari interpolasi terkadang tidak hanya membutuhkan nilai fungsinya saja,tetapi juga nilai turunannya sebagai prasyarat. Interpolasi yang seperti itu adalah interpolasi Hermite, dimana dalam interpolasi Hermite ini membutuhkan prinsip-prinsip interpolasi Newton beda-terbagi dan interpolasi Lagrange dalam mencari penyelesaiannya.

Untuk mencari suatu penyelesaian dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu metode analitik dan metode numerik. Solusi yang dihasilkan metode analitik disebut dengan solusi eksak dan solusi yang dihasilkan dengan metode numerik disebut solusi hampiran. Solusi hampiran jelas tidak sama dengan solusi eksak, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Semakin kecil error, maka ketelitian dalam metode tersebut lebih baik.

ABSTRACT

This paper aims to understand how to approximate value with Hermite interpolation given the value of the function and the first derivative and how to implement the Hermite interpolation algoritm.

Interpolation is one methods of curve-fitting an approximation method of the value of the function in an interval. Interpolation aims to approximate the value between some given points of data in an interval. In interpolation, the value of the approximation must through the given data. Most of the interpolations only need the information of function value. To find the solution of the interpolation, it can be done with the appropriate interpolation method. However, to find the solution of the interpolation sometimes the prerequisite is not only function value, but also the derivative value. The interpolation is called Hermite interpolation, where it needs the principles of Newton divide-difference interpolation and Lagrange interpolation.

To find the solution, it can be done by two methods which are analytical method and numeric method. The solution in analytic method is called exact solution and the solution in numeric method is called approximation solution. The approximation solution is not the same as exact solution, so that there is a difference in value. The difference is called error. The smaller the error, the better the accuracy of the method.

DAFTAR ISI Halaman

HALAMAN JUDUL............................................................................................. ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN............................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... v HALAMAN PERSETUJUAN AKADEMIS........................................................ vi KATA PENGANTAR .......................................................................................... vii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................... ix ABSTRAK........................................................................................................... x

ABSTRACT ........................................................................................................... xi

DAFTAR ISI......................................................................................................... xii DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv DAFTAR LAMPIRAN......................................................................................... xvi BAB I. PENDAHULUAN ....................................................................................

1 A. Latar Belakang Masalah...................................................................................

B. Perumusan Masalah..........................................................................................

4 C. Pembatasan Masalah ........................................................................................

4 D. Tujuan Penulisan ..............................................................................................

4 E. Manfaat Penulisan ............................................................................................

5 F. Metode Penulisan..............................................................................................

5 G. Sistematika Penulisan.......................................................................................

5 BAB II. TEOREMA FUNDAMENTAL, ROLLE, DAN INTERPOLASI...........

6 A. Teorema Fundamental Aljabar .........................................................................

6 B. Teorema Rolle .................................................................................................

8 C. Interpolasi ........................................................................................................

15 1. Interpolasi Linear .......................................................................................

20 2. Interpolasi Kuadratik..................................................................................

22 D. Interpolasi Newton ...........................................................................................

27 1. Interpolasi Newton Beda-Terbagi ...............................................................

27 2. Taksiran Galat Interpolasi Newton .............................................................

3. Contoh Interpolasi Newton..........................................................................

31 E. Interpolasi Lagrange........................................................................................

33 BAB III. METODE HERMITE ............................................................................

37 A. Interpolasi Hermite...........................................................................................

37 BAB IV. PENUTUP .............................................................................................

75 A. Kesimpulan ......................................................................................................

75 B. Saran .................................................................................................................

76 DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................

77 LAMPIRAN..........................................................................................................

DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1. Polinomial orde satu ..............................................................

18 Gambar 2.2. Polinomial orde dua ..............................................................

19 Gambar 2.3. Polinomial orde tiga ..............................................................

19 Gambar 2.4. Interpolasi Linear ...................................................................

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Program untuk contoh 3.1.1 pada kasus I …...…..………..

79 Lampiran 2. Program untuk contoh 3.1.1 pada kasus II …...….....……..

80 Lampiran 3. Program untuk contoh 3.1.2 ……………...……..………..

81 Lampiran 4. Program untuk contoh 3.1.3 pada kasus Interpolasi

83 Lagrange…………………………………………………… Lampiran 5. Program untuk contoh 3.1.3 pada kasus Interpolasi

84 Hermite……………………………………………………. Lampiran 6. Program untuk contoh 3.1.4 ……………...……..………..

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam disiplin

ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, dan atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Teknik Elektro, dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang rumit, sehingga adakalanya model yang rumit tersebut tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang biasa digunakan untuk mendapatkan solusi eksak atau solusi yang sebenarnya. Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar, persamaan diferensial, ataupun geometri yang biasa digunakan. Namun, metode analitik ini hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nonlinear serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik adalah suatu cara untuk menyelesaikan masalah matematik melalui pendekatan secara numerik dan hasilnya merupakan solusi pendekatan yang berupa bilangan, serta mendekati solusi yang sebenarnya. Dan biasanya metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma yang pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik juga mampu menangani sistem persamaan besar, nonlinear, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik. Serta, metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika, karena metode numerik ditemukan dengan menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.

Tentu saja ada perbedaan antara metode numerik dengan metode analitik. Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk bilangan, sedangkan dalam metode analitik menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik dan selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk bilangan. Kedua, dengan metode numerik solusi yang dihasilkan hanyalah merupakan hampiran atau pendekatan dengan solusi yang sebenarnya, sehingga solusi numerik ini disebut solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan. Sedangkan solusi yang dihasilkan dalam metode analitik adalah solusi eksak atau solusi yang sebenarnya. Solusi hampiran jelas tidak sama dengan solusi eksak, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Semakin kecil error, maka ketelitian dalam metode tersebut lebih baik.

Ada enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia nyata numerik, pemrograman, operasional, dan evaluasi. Salah satu persoalan yang penyelesaiannya lebih mudah bila diselesaikan dengan metode numerik adalah interpolasi. Interpolasi merupakan salah satu metode dari pencocokan kurva. Interpolasi adalah suatu metode untuk mengaproksimasikan nilai-nilai fungsi di suatu titik pada interval. Interpolasi bertujuan untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya dan nilai tersebut berada di dalam interval yang telah ditentukan. Dalam interpolasi data-data yang dibangun oleh titik-titiknya harus selalu melalui data yang diketahui. Bila fungsi cocokan yang digunakan berbentuk polinomial, polinomial tersebut dinamakan polinomial interpolasi. Sedangkan pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinomial disebut interpolasi polinomial atau dengan kata lain interpolasi polinomial adalah suatu metode untuk mengaproksimasikan sebuah fungsi, dimana fungsi yang digunakan adalah fungsi polinomial.

Sebagian besar interpolasi hanya membutuhkan informasi mengenai nilai fungsinya saja dan untuk mencari penyelesaian dari interpolasi tersebut dapat dilakukan dengan cara mengerjakan dengan interpolasi yang sesuai. Namun, terkadang tidak hanya nilai fungsinya yang dibutuhkan, tetapi ada juga yang membutuhkan nilai turunannya sebagai prasyarat untuk mencari penyelesaian interpolasi tersebut. Interpolasi yang seperti itu adalah interpolasi Hermite, dimana dalam interpolasi Hermite ini membutuhkan prinsip-prinsip interpolasi Newton beda-

B. PERUMUSAN MASALAH

Pokok – pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut:

1. Bagaimana mencari aproksimasi sebuah fungsi dengan interpolasi Her- mite?

2. Bagaimana algoritma interpolasi Hermite serta implementasinya menggunakan bahasa pemrograman MATLAB?

C. PEMBATASAN MASALAH

Dalam penulisan makalah ini, penulis akan membatasi beberapa hal yaitu macam-macam interpolasi yang dibahas dalam makalah ini adalah interpolasi Newton beda-terbagi dan Lagrange, sedangkan untuk interpolasi yang lain tidak akan dibahas secara detail.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami bagaimana mengaproksimasikan suatu nilai dengan interpolasi Hermite dimana diketahui beberapa titik data dan nilai turunan pertamanya sebagai prasyarat, serta bagaimana mengimplementasikan algoritma interpolasi Hermite dengan bahasa pemrograman MATLAB.

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami interpolasi Hermite untuk mencari hampiran suatu fungsi, serta dapat menyelesaikan fungsi interpolasi Hermite dengan bantuan pemrograman komputer bila diketahui beberapa titik data dan nilai turunan pertamanya yang merupakan prasyarat.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik Interpolasi Hermite ini, sehingga tidak ada hal-hal baru.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I. PENDAHULUAN, pada bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan makalah ini.

BAB II. INTERPOLASI, pada bab ini akan dibahas tentang teorema fundamental aljabar, teorema Rolle, macam-macam interpolasi, interpolasi Newton beda terbagi, interpolasi Lagrange.

BAB III. METODE HERMITE, pada bab ini akan dibahas tentang interpolasi

BAB II

TEOREMA FUNDAMENTAL, ROLLE, DAN INTERPOLASI A. TEOREMA FUNDAMENTAL ALJABAR Teorema 2.1.1 : _{2 n} 

Misalkan p x  a  a x  a x   a x , x  R , dimana a  . maka p x 

  ₁ _{2 n}   mempunyai paling banyak n akar R .

(Untuk pembuktian Teorema Fundamental Aljabar (T.2.1.1) tidak dibuktikan. Teorema Fundamental Aljabar tersebut merupakan bentuk umum yang menyatakan _{2 n}



bahwa jika p   x  a  a x  a x   a x , dimana koefisien a mungkin ₁ _{2 n k} bilangan real atau kompleks dan a , maka p x mempunyai tepat n akar _n     dalam C , dengan C adalah himpunan semua bilangan kompleks.)

Teorema 2.1.2 :

Misalkan a x R x mempunyai derajat , maka paling sedikit mempunyai

     m  satu bilangan kompleks u sedemikian sehingga a u  .

 

(Buktinya dapat dilihat di buku The Algebraic Foundations of Mathematics halaman

478).

Teorema 2.1.3 :

Setiap polinomial yang berderajat positif di C x mempunyai paling

  sedikit satu akar di C .

Bukti : _n

Misal f x  c  c x  ....  c x , c  , n  1 , dan c , c ,...., c di C .

  _{1 n n} _n _{1 n} Didefinisikan f   x  c  c x  ....  c x , dimana c adalah konjugat dari c . _{1 n i i}

Misalkan a   x  f     x  f x _{2 n} _k

a   x  a x _k  _k

 _{n n}

 c  c x  ....  c x  c  c x  ....  c x

 ^{1 n  } ₂ ^{1 n } ₂ ₂ _{2 n}

  c c  c c x  c c x  c c x  c c x  c c x   c c x ₁ ₁ ₂ ₂ ₁ ₂ _{1 n n} _{2 n}

  c c   c c  c c   x  c c  c c  c c  x   c c x ₁ _{2 n} ₁ ₂ ₂ ₁ _{1 n n}

  a  a x  a x   a x _k ₁ _{2 n} dimana a  c c . _{k i j} _{i  , j } _{i  j  k} 

Perhatikan bahwa (i) untuk  k  n

a  c c  c c  ....  c c  c c _{k k} _{1 k } _{1 k }

₁

_{1 k}

dan

a  c c  c c  ....  c c  c c _{k k} _{1 k} _{1 k}

₁

_{1 k}  

a  c c  c c  ....  c c  c c _{k k n n k n} _{1 n}

_{1 n}

_{1 k n} _{1 n k n}

       

dan a c c c c .... c c c c . _{k k  n n k  n }      _{1 n } _{1 n } _{1 k  n } _{1 n k  n} Jika dalam kedua kasus di atas (kasus (i) dan (ii)), maka a adalah jumlahan yang _k sama dengan a . Karena a = a untuk semua k , ini berarti bahwa bilangan _{k k k}

a , a ,...., a semuanya adalah bilangan real, dan oleh karena itu a   x  R x . Derajat

₁ _{2 n} ₂  

dari a   x adalah

2 n , karena a  c c  c  . Jadi, a   x mempunyai derajat _{2 n n n n}

positif, maka dengan Teorema 2.1 ada suatu bilangan kompleks u sedemikian sehingga a u . Maka . Oleh karena itu, salah satu f u , dalam

   f     u  u f    

kasus f x mempunyai akar kompleks u , atau lainnya f u  . Akan tetapi _{n n}   _{k k}  

f u  c u  c u  f u , jadi f u  ini berarti f u  . Maka f x

          _{k k} _{k  k }  

mempunyai sebuah akar kompleks dalam kasus ini. ■

B. TEOREMA ROLLE Definisi 2.2.1 (Minimum Relatif) :

Fungsi dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c apabila terdapat suatu

selang terbuka yang memuat c , dimana f terdefinisi, sehingga f c  f x untuk

    semua x dalam selang tersebut.

Definisi 2.2.2 (Maksimum Relatif) :

Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c apabila terdapat suatu selang terbuka yang memuat c , dimana f terdefinisi, sehingga f   c  f   x untuk semua x dalam selang tersebut.

Teorema 2.2.1 :

Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka I yang memuat c , kecuali pada c sendiri. Misalkan pula terdapat suatu bilangan M

 

sehingga terdapat  yang memenuhi jika < x  c < maka f   x  M . Jika lim f   x ada dan sama dengan L , maka L  M . _{x  c}

Bukti :

Andaikan bahwa M < L dan tunjukkan bahwa terdapat kontradiksi dalam pengandaian tersebut.



Jika M < L , maka terdapat suatu  sehingga M    L . Karena lim f   x  L , _{x  c}



maka terdapat suatu sehingga ₁ 

 

jika < x  c < , maka f x L < ₁

  

 

 jika < x  c < , maka L  < f x < L  _{1  }

 

Substitusi L menjadi M  , maka ini mengakibatkan bahwa terdapat suatu  ₁

  

sehingga jika < x  c < , maka  M    < f   x ₁



 jika < x  c < , maka M < f   x (2.1) ₁



Tetapi, menurut hipotesa terdapat suatu sehingga



jika < x c < , maka M (2.2)  f   x 

Oleh karena itu,terjadi kontradiksi dalam pernyataan (2.1) dan (2.2). Jadi, pengandaian salah, sehingga L  M

Teorema 2.2.2:

Misalkan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka I yang memuat c , kecuali pada c sendiri. Misalkan pula terdapat suatu bilangan M sehingga

 

terdapat  yang memenuhi jika < x  c < maka f   x  M . Jika lim f   x _{x  c} ada dan sama dengan L , maka L M .

 Bukti :

Andaikan bahwa M  L dan tunjukkan bahwa terdapat kontradiksi dalam pengandaian tersebut.



Jika M  L , maka terdapat suatu  sehingga M    L . Karena lim f   x  L , _{x c}

 

maka terdapat suatu  sehingga ₁

< x c < f x L < jika  , maka   ₁

 

  

 jika < x  c < , maka L  < f x < L  _{1  }

 

Substitusi L menjadi M  , maka ini mengakibatkan bahwa terdapat suatu  ₁

  

sehingga jika < x  c < , maka  M     f   x ₁



< x c <  jika  , maka M  f   x (2.3) ₁



Tetapi, menurut hipotesa terdapat suatu sehingga



jika < x  c < , maka f x  M (2.4)

 

Oleh karena itu,terjadi kontradiksi dalam pernyataan (2.3) dan (2.4). Jadi, pengandaian salah, sehingga L  M

Teorema 2.2.3 (Ekstrim Relatif) :

Bila ada untuk semua nilai-nilai x dalam selang terbuka , dan bila

f   x   a b f

' ' mempunyai ekstrim relatif di c , dimana a < c < b , maka f   c ada dan f   c  .

Bukti : (i). Untuk kasus mempunyai nilai minimum relatif di c . f

Bukti : _' Bila f   c ada maka _{'    } f x  f c f   c  lim . (2.5) _{x  c} x  c

Karena f mempunyai nilai minimum relatif di c , menurut Definisi 2.1.1

  terdapat  sehingga jika < x  c < maka f x  f c  .

    

Bila x mendekati c dari kanan, x  c  , dan bila < x < - c maka

f x f c       . x  c f x  f c

    Berdasarkan Teorema 2.2.2, bila limitnya ada maka lim  . _{x  c} _ x  c

(2.6)

Dengan cara yang sama, bila x mendekati c dari kiri, x c < , dan bila

 < x c < maka 

f     x  f c 
jika  < x c < maka 

x  c

sehingga berdasarkan Teorema 2.2.1 , bila limitnya ada maka

f x  f c     _{x  c} lim  . (2.7) _ _' x  c

Karena f x ada, limit-limit di ketaksamaan (2.6) dan (2.7) pasti sama dan

  _' keduanya sama dengan f c .

  _'

Jadi dari (2.6) diperoleh f   c  (2.8) _' dan dari (2.7) diperoleh f   c  (2.9) _' karena (2.7) dan (2.9) kedua-duanya berlaku maka f c

   (ii). Untuk kasus f mempunyai nilai maksimum relatif di c .

Bila f c ada maka

  _{'     } f x f c f   c  lim . (2.10) _{x c}

 x  c

Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di c , menurut Definisi 2.2

  terdapat  sehingga jika < x  c < maka f     x  f c  .



Bila x mendekati c dari kanan, x c < , dan bila  - < x - c < maka

f     x  f c .

 x  c f     x  f c Berdasarkan Teorema 2.2.1, bila limitnya ada maka lim . _{x  c} _  x  c

(2.11) Dengan cara yang sama, bila x mendekati c dari kiri, x  c  , dan bila

< x c < maka

f x  f c

   

jika < x c < maka 

x  c

sehingga berdasarkan Teorema 2.2.2 , bila limitnya ada maka

f     x  f c lim  . (2.12) _{x c} _

 _' x  c

Karena f   x ada, limit-limit di ketaksamaan (2.11) dan (2.12) pasti sama dan _' keduanya sama dengan f   c . _' Jadi dari (2.11) diperoleh f c (2.13)

  

karena (2.13) dan (2.14) kedua-duanya berlaku maka f c 

  . ■ Definisi 2.2.3 (Maksimum Mutlak) :

f c dikatakan nilai maksimum mutlak fungsi f apabila c di daerah asal f dan

  f   c  f   x untuk semua nilai x dalam daerah asal f .

Definisi 2.2.4 (Minimum Mutlak) :

f   c dikatakan nilai minimum mutlak fungsi f apabila c di daerah asal f dan

f   c  f   x untuk semua nilai x dalam daerah asal f .

Teorema 2.2.4 (Teorema Nilai Ekstrim) :

Bila fungsi f kontinu pada selang tertutup a , b maka f mempunyai nilai

  maksimum mutlak dan minimum mutlak pada a , b .  

Teorema 2.2.5 (Teorema Rolle) :

Jika kontinu pada selang tertutup a , b , terdiferensial pada selang ter-

f  

buka a , b , dan f a  f b  , maka terdapat bilangan c pada selang terbuka

      _'   a , b sedemikian sehingga f c  .

  Bukti :

Maka f   x  untuk semua x pada a , b , sehingga setiap bilangan di antara a

  dan b dapat di ambil sebagai c .

Kasus 2 : f   x  untuk suatu x pada selang terbuka   a , b .

Karena f kontinu pada selang tertutup a , b maka menurut Teorema nilai

  ekstrim, mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada , . f

  a b

Dan diketahui bahwa f a  f b  . Selanjutnya f x  untuk suatu x pada

     

selang terbuka a , b . Maka f akan mempunyai nilai maksimum mutlak yang positif

 

untuk suatu c pada   a , b atau mempunyai nilai minimum mutlak yang negatif di ₁ suatu c pada   a , b , atau dua-duanya terjadi. Jadi untuk c  atau c c  atau c ₂ ₁ ₂ kedua-duanya, terdapat ekstrim mutlak di titik dalam selang a , b . Oleh karena itu, _'   ekstrim mutlak f c juga ekstrim relatif. Karena f c ada berdasarkan hipotesis,

    _' maka menurut Teorema 2.5, f c  .

  ■

C. INTERPOLASI Interpolasi merupakan salah satu metode dari pencocokan kurva.

Interpolasi adalah suatu metode untuk mengaproksimasikan nilai-nilai fungsi di suatu titik pada interval. Interpolasi bertujuan untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya dan nilai tersebut berada di dalam interval yang selalu melalui data yang diketahui. Bila fungsi cocokan yang digunakan berbentuk polinomial, polinomial tersebut dinamakan polinomial interpolasi. Sedangkan pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinomial disebut interpolasi polinomial atau dengan kata lain interpolasi polinomial adalah suatu metode untuk mengaproksimasikan sebuah fungsi, dimana fungsi yang digunakan adalah fungsi polinomial. Bentuk umum persamaan polinomial orde n adalah _{2 n}

 p x  a  a x  a x   a x (2.15)

  ₁ _{2 n}

 dengan a , , a adalah parameter yang akan dicari berdasarkan titik data, n adalah _n derajat (orde) dari persamaan polinomial, dan x adalah variabel bebas.

Teorema 2.3.1 :

Jika diketahui fungsi f yang bernilai real dan n 

1 titik yang berbeda, maka terdapat tepat satu polinomial berderajat  n yang melalui semua titik.

Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa paling sedikit terdapat satu polinomial berderajat  n  pada n 

1 titik yang berbeda x , , x . Oleh karena itu, akan digunakan polinomial _n

bentuk Lagrange, yaitu 

p x  a L x  a L x   a L x (2.16)

       

₁ _{1 n n}

dengan _n

x  x _i L   x  , k  0  , , n (2.17) _k  _{i  k} _{i  k i} x  x

 adalah polinomial Lagrange untuk titik-titik x , , x . Fungsi L x adalah hasil kali _{n k  } dari n faktor linear, sehingga L   x adalah suatu polinomial yang tepat berderajat n . _k Oleh karena itu, persamaan (2.15) memang melukiskan suatu polinomial berderajat

 . Untuk selanjutnya n L x akan bernilai nol untuk x  dan akan bernilai satu x _{k i}   untuk x  x yang disimbolkan sebagai berikut : _k 1 , x  x

 k 

L   x  , i  , , n .

_{k i}

 , x  x _i

 Ini menunjukkan bahwa _n



p x a L x a , i , , n

       _{i k k i i} _k  

 yakni koefisien-koefisien a , , a dalam bentuk Lagrange yang tidak lain adalah _n  polinomial p   x pada titik-titik x , , x . Oleh karena itu, untuk suatu fungsi _{i n} sembarang misal f   x , _n

p   x  f     x L x (2.18) _{k k}  _k



merupakan suatu polinomial berderajat  yang menginterpolasi n f x pada

 



x , , x _n . ■

Misalnya, hanya ada satu garis lurus (polinomial orde satu) yang menghubungkan dua titik (Gambar 2.1), demikian juga tiga buah titik dapat dihubungkan oleh fungsi parabola (polinomial orde dua), sedang untuk empat titik

Gambar 2.3. Di dalam interpolasi ditentukan suatu persamaan polinomial orde n yang melalui n 

1 titik data, yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai diantara titik data tersebut.

Gambar 2.1

Gambar 2.1 merupakan salah satu contoh grafik polinomial orde satu yang dibentuk dari dua buah titik.

Gambar 2.2

Gambar 2.2 merupakan salah satu contoh grafik polinomial orde dua yang dibentuk dari tiga buah titik.

Gambar 2.3

Gambar 2.3 merupakan salah satu contoh grafik polinomial orde tiga yang dibentuk

Ada banyak metode interpolasi yang diterapkan di antaranya adalah :

1. Interpolasi Linear Bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua buah titik data dengan garis lurus, dengan diperoleh polinomial berderajat satu. Metode ini disebut dengan interpolasi linear. Misalkan diberikan dua buah titik, yaitu x , y

 

dan x , y . Polinomial yang menginterpolasikan kedua titik itu adalah persamaan

  ₁ ₁

garis lurus yang berbentuk :

p   x  a  a x ₁ ₁

(2.19)

Gambar 2.4 memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik , y dan

 x  x , y .   ₁ ₁ x , y

  ₁ ₁  x , y 

Gambar 2.4 Interpolasi Linear

Koefisien a dan a dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan ₁ mensubstitusikan  x , y  dan  x , y  ke dalam persamaan (2.19), diperoleh dua ₁ ₁ persamaan linear, yaitu

1 ¹ ¹  x a a y  .

  ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ¹ ₁ ¹ ¹ ₁ x x xy xy y x y x x x x y y x x y x y x x p

   

  ¹ ₁ x x y y y x p

        

      

       ₁ ₁ ₁ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ x x x x y y y x x x x y x y x xy xy y x y x x p



  

 

  

   

   

(2.21) Substitusikan persamaan (2.20) dan (2.21) ke dalam persamaan (2.19) untuk mendapatkan persamaan garis lurus, yaitu

Kedua persamaan ini akan diselesaikan dengan proses eliminasi, yang memberikan ₁ ₁ ₁

  

1 ¹ ¹ x x y x y x a

   

 

  

   

   

    ₁ ₁ ₁ ¹ ¹ ¹ x x x y y y x x x x x y y y x a y a

 (2.20) dan

 

x x y y a

(2.22) Persamaan (2.22) adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik, yaitu titik

 x , y  dan  x , y  . Kurva polinomial p   x ini adalah berupa garis lurus (Gambar

₁ ₁

₁

2.4).

Contoh 2.3.1 :

Perkirakan jumlah penduduk Amerika Serikat pada tahun 1968 berdasarkan data berikut : Tahun 1960 1970 Jumlah penduduk (juta) 179.3 203.2

Penyelesaian :

INTERPOLASI HERMITE PADA BILANGAN REAL