PENGGUNAAN INTERPOLASI HERMITE KUBIK DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE DENGAN METODE ELEMEN HINGGA | Maryono | 7477 15785 1 SM

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

PENGGUNAAN INTERPOLASI HERMITE KUBIK DALAM PENYELESAIAN
PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
Dwi Maryono
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNS
ABSTRAK
Penerapan matematika dalam bidang fisika sering menghasilkan suatu masalah nilai eigen, khususnya
persamaan Sturm-Liouville. Dari persamaan ini dapat dibentuk syarat batas Dirichlet atau campuran yang
homogen. Untuk mendapatkan penyelesaian pendekatan nontrivial dapat digunakan metode elemen hingga.
Tujuan dari penulisan ini adalah menentukan penyelesaian pendekatan (nilai eigen dan fungsi eigen
pendekatan) dari persamaan Sturm-Liouville dengan metode elemen hingga khususnya, dengan interpolasi
Hermite kubik. Hasil secara numerik menunjukkan bahwa metode tersebut cukup baik untuk menyelesaikan
persamaan Sturm Liouville, di mana error yang dihasilkan sangat tergantung pada panjang elemen yang
diambil dan juga tergantung pada indeks nilai/fungsi eigennya.
Kata kunci : elemen hingga, Sturm-Liouville, Hermite kubik, nilai eigen

ABSTRACT
Eigenvalue problems especially Sturm-Liouville equations often occur in physics. Homogenous Dirichlet or
mixed boundary value problems can be constructed from these equations. The nontrivial solution from these
equations can be obtained using finite element methods. The purpose of this research is to obtain the details

of the construction of finite element method using cubic Hermite interpolation in solving Sturm-Liouville
equations. The result shows that the solutions of the finite element method using cubic Hermite interpolation
is good enough in solving Sturm Liouville equation. Based on the example, its error depends on the
element’s length and the index of the eigenvalue or eigen function.

Persamaan (1) dengan syarat batas (2a)

PENDAHULUAN
Penerapan matematika dalam bidang

dan (2b) mempunyai penyelesaian

u0

fisika sering menghasilkan suatu bentuk

(penyelesaian

khusus dari masalah syarat batas yang dikenal

mempunyai penyelesaian nontrivial jika dan

dengan masalah nilai eigen. Masalah syarat

hanya jika parameter  berharga tertentu yang

batas seperti ini pada umumnya berbentuk

disebut dengan nilai eigen. Penyelesaian u

persamaan Sturm-Liouville, seperti persamaan

yang terkait dengan eigen  disebut fungsi

berikut.

eigen. Penyelesaian (1) dapat diperoleh dengan



d 
du 
 p( x)   q( x)u  u,
dx 
dx 

trivial).

Persamaan

(1)

metode beda hingga (Gerald dan Wheatley,

0  x  L,

1994) dan metode elemen hingga (Reddy,

(1)

1984). Metode beda hingga lebih sederhana
dengan p(x), p(x)0, q(x), dan w(x)0 adalah

dibandingkan dengan metode elemen hingga

 =(0, L)

tapi fungsi eigen pendekatan yang diperoleh

fungsi yang kontinu pada domain
dan  adalah suatu parameter.

tidak berbentuk fungsi tapi hanya nilai-nilai

Dari persamaan (1) dapat dibentuk syarat
batas
1. Dirichlet : u(0)  u( L)  0,
(2a)
atau
2. Campuran:

u(0)  u' ( L)  0
(2b)
u' (0)  u( L)  0.

pendekatan dari fungsi eigen eksak di titik-titik
yang ditentukan sehingga untuk mendapatkan
nilai pendekatan di titik lain diperlukan
perhitungan lagi dari awal. Sedangkan dengan
metode elemen hingga, hasilnya berupa fungsi,
46

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

yang diperoleh dari interpolasi terhadap nilai-

positif pada ruang Hilbert H maka dapat

nilai pasangan di antara domainnya.

dibentuk fungsional kuadratik

I (v)  Av, v

Dalam metode elemen hingga, fungsi

H

2 f ,v

H

.

polinomial

dengan  ,  adalah hasil kali dalam. Jika fungsi

interpolasi, biasanya menggunakan interpolasi

u adalah penyelesaian dari (3) maka menurut

Lagrange. Hasil dari metode elemen hingga

Reddy [1986], u akan meminimumkan I(v).

dengan menggunakan interpolasi Lagrange

Menurut Strang dan Fix [1973], jika u adalah

akan menghasilkan fungsi pendekatan yang

minimum dari I(v) maka u memenuhi

pendekatan

diperoleh

dari

merupakan keluarga dari kelas himpunan

Au, v

H

C0() dengan

menggunakan
kolokasi

metode

tersebut

mengaplikasikannya

menentukan

penyelesaian

disebut

fungsi

tes.

Dengan

ruang admissibel, dinotasikan dengan HA.
Dengan demikian, formulasi variasionalnya

adalah

menjadi

interpolasi Hermite kubik. Untuk itu penulis
mencoba

v

yang lebih besar daripada H. Ruang ini disebut

keluarga dari kelas himpunan yang lebih tinggi
Interpolasi

sebagai

penyelesaian u dapat diperluas menjadi ruang

fungsi

penyelesaian pendekatan yang merupakan
C0().

disebut

menerapkan (4) terhadap (3) maka domain dari

variasional

diperlukan

(4)

(4)

formulasi variasional dari persamaan (3).

fungsi

kasus dengan orde yang lebih tinggi atau

dari

untuk setiap vH

Fungsi u dalam (4) disebut fungsi trial dan

Menurut Carey dan Oden [1983], untuk

seperti

H

Persamaan

C m ()  {u( x), x   / u, u' ,...,u ( m) kontinu pada }

dengan

 f ,v

Au, v

dalam

H

 f ,v

H

untuk setiap vHA

atau

pendekatan

B(u, v)  l (v) untuk setiap vHA

persamaan Sturm-Liouville dengan metode

(5)

dengan B: HA  HA  adalah fungsi bilinear

elemen hingga.

dan l adalah fungsional linear.
PEMBAHASAN

Pendekatan Galerkin dari persamaan (3)

Formulasi Variasional dan Pendekatan
Galerkin

diperoleh dengan membawa persamaan (5) ke
dalam subruang berdimensi hingga H h  HA

Secara umum persamaan diferensial

sehingga pendekatan Galerkin uh memenuhi

dapat dinyatakan dengan
Au = f pada 

B(u h , v)  l (v) untuk setiap v  H h  HA.

(3)

dengan A adalah operator linear atau nonlinear

Untuk masalah nilai eigen
Au = u,

dari suatu ruang hasilkali dalam U ke suatu
ruang hasilkali dalam V dan  domain dari

digunakan metode variasional

Au , v   u, v untuk setiap v HA

persamaan diferensial (Reddy, 1984). Jika A
adalah operator

(6)

linear simetris dan definit

atau dapat disajikan
47

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

B(u, v)   u, v untuk setiap v HA

Kelemahan

metode

variasional

adalah sulitnya mencari fungsi trial u dalam

(7)

persamaan (4). Penyelesaian pendekatan yang

dengan B: HA  HA  adalah fungsi bilinear

diperoleh dari interpolasi fungsi kurang efektif

dan HA adalah ruang fungsi admissibel.

jika digunakan pada interval yang besar.

Pendekatan Galerkin dari persamaan (6)

Berdasarkan hal tersebut, pendekatan Galerkin

diperoleh dengan membawa persamaan (7) ke

diharapkan berhasil dengan baik jika domain

dalam subruang berdimensi hingga H h  HA

 dibagi menjadi subdomain-subdomain yang

sehingga pendekatan Galerkin uh memenuhi

lebih kecil. Teknik seperti ini disebut dengan

B(u , v)   u , v untuk setiap vH .
h

dari

h

h

metode elemen hingga.
Secara garis besar langkah-langkah dasar

Interpolasi Hermite

metode elemen hingga menurut Reddy [1984],

Misalkan diberikan domain =[xi1,xi].
Untuk

menerapkan

interpolasi

Carey dan Oden [1983], dan Gerald dan

Hermite,

Wheatley

domain  ditransformasikan secara linear ke
domain

ˆ  [1, 1]


oleh

[1994]

untuk

menyelesaikan

masalah syarat batas pada domain   (0, L)

pemetaan

adalah sebagai berikut

=[2x(xi1+xi)] / (xixi1). Menurut Carey dan

1. Pembagian

      [0, L] ,

domain

Oden [1983], polinomial Hermite kubik

dengan  batas dari  menjadi subdomain

mempunyai bentuk

 e , e  1, 2, ..., E
2

2

j 1

j 1

Uˆ ()   uˆ j ˆ 0j ()   uˆ j ' ˆ 1j ()

elemen-elemen

dengan

a) Setiap  e tertutup dan tak kosong

ˆ 11 ( )  (  1)(  1) / 4,

b) e   j   , untuk j  e

ˆ 20 ( )  (  1)(2   ) / 4,
ˆ 21 ( )  (  1)(  1) / 4.

E

c)    e .
e 1

Dengan pemetaan  x dapat diperoleh basis-

2. Mengkonstruksikan fungsi bentuk  ie , i =

basis  0j , dan 1j pada domain  sehingga

1, 2, ..., Ne untuk tiap  e sedemikian

polinomial Hermite menjadi
U () 

sesuai

Reddy (1988) sebagai berikut.

ˆ 10 ( )  (  1)(  2) / 4,

0
 u j  j ( x) 
j 1

hingga

ketentuan yang diberikan Griffin dan

dengan fungsi-fungsi basis adalah

2

yang disebut dengan

sehingga fungsi pendekatan u h

h 2
1
 u j '  j ( x)
2 j 1

dapat

ditulis dalam bentuk
Ne

dengan h = xi xi1adalah panjang domain 

ueh ( x)   ej ej , e  1,2,..., E.
j 1

Metode Elemen Hingga

3. Menerapkan metode variasional dengan
fungsi
48

pendekatan

yang

yang

telah

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

diperoleh dari langkah 2 sehingga dapat

ruang Sobolev H1(). Carey dan Oden [1983]

diperoleh sistem persamaan linear untuk

menambahkan bahwa fungsi trial dan fungsi

masing-masing elemen.

tes harus memenuhi syarat batas essensial dari

4. Mengkombinasikan

sistem

persamaan

masalah yang diberikan, yaitu

syarat batas

linear yang diperoleh dari tiap elemen.

yang memberikan nilai-nilai turunan dengan

5. Menerapkan syarat batas yang diberikan

orde 0, 1, 2, …, m1 dengan m adalah derajat

dan

menyelesaikan sistem persamaan

dari ruang fungsi admissibel, dalam hal ini

akhirnya.

adalah ruang Sobolev. Dengan demikian,

Formulasi Variasional untuk Persamaan

berdasarkan syarat batas (2a) dan (2b) dapat

Sturm-Liouville

diperoleh

Pandang persamaan Sturm-Liouville
Au  

du 
d 
 p( x)   q( x)u  u,
dx 
dx 

L

B(u, v)  Au, v   [ p

0 x L

0

du dv
 quv]vdx
dx dx

sehingga (9) menjadi
(8)

B(u, v)   u, v untuk semua v HA.

(11)

dengan syarat batas (2a) dan (2b) dan p (x),
p(x)0, q(x)0 adalah fungsi kontinu pada

Metode Elemen Hingga untuk Persamaan

domain = (0,L).

Sturm-Liouville

Dari persamaan (8) dapat dilihat

Dalam metode elemen hingga pertama

bahwa penyelesaian u adalah di dalam ruang

dibentuk domain      dari  = (0, L)

H2().

Sobolev

Dengan

dengan  adalah batas dari . Selanjutnya

menggunakan

domain

hasilkali dalam


ketentuan sebelumnya. Untuk menerapkan

diperoleh formulasi variasional

interpolasi
(9)

Hermite

dibentuk

elemen

e  [ x1e , x2e ] . Panjang tiap elemen adalah

dengan HA adalah ruang fungsi admissible

he=x2ex1e dan berlaku x2e = x1e+1.

yang memuat u dan v. Kemudian dapat

Langkah selanjutnya adalah dikonstruksikan

diperoleh

fungsi bentuk ie , i= 1, 2, …, Ne untuk tiap-

d  du 
Au , v   [  p   qu ]vdx
dx  dx 
0
L

tiap elemen  e sehingga fungsi pendekatan uh
dapat disajikan dengan

L

du 
 du dv


 p
 quv  vdx  v( p )
dx dx
dx  0


0 
L

dibagi menjadi berhingga E

subdomain  e , e = 1, 2, …, E sesuai dengan

u, v   u ( x)v( x)dx ,

Au, v   u, v untuk semua vHA



Ne

ueh    j e j e , e  1,2,..., E.
j 1

(10)
Dari persamaan (10) dapat dilihat bahwa ruang
fungsi admissibel yang sesuai berada dalam
49

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

Dengan

menggunakan

interpolasi

e

 e4  12 . Subtitusi (15) ke dalam (14) dan

Hermite kubik dapat diperoleh penyelesaian

dipilih v  i e , i = 1, 2, 3, 4 diperoleh

pendekatan untuk tiap elemen  , yaitu
e

h 2 e 1e
e 0e
 u j  j ( x)  e  u j '  j ( x)
2 j 1
j 1

uhe ( x) 

N

j 1

j 1

dengan

(12)
dengan fungsi–fungsi bentuk pada elemen 

x 2e

kij   [ pe (i e )' ( j e )' qei e j e ]dx ,
e

e

x1e

adalah
3

x1e

 ( x)  [2( x  x ) ( x  x )] / he ,
1e
1

e 2
2

3

e
1

ri e  Q1i e ( x1e )  Q2i e ( x2e ) .

 ( )  [( x  x ) (2( x  x )  he )] / he ,
0e
2

e 2
1

3

e
2

x2e

mij   i e j e dx , dan
e

 1 ( x)  [( x  x 2e ) 2 (2( x  x1e )  he )] / he ,
0e

Untuk selanjutnya dapat disajikan

 21 ( )  [2( x  x1e ) 2 ( x  x 2e )] / he 3 .
e

sebagai persamaan matriks
(13)

e

Karena x2 = x1
e

(du/dx)2 =

e+1

e

maka u2 = u1

(du/dx)1

e+1

.

e+1

Hubungan

Ke ue =Me ue + re

dan
ini

ue=[je]. Persamaan (17) dapat disajikan
dalam bentuk Ge ue=re dengan entri-entri

sistem persamaan linear yang diperoleh dari

gije=kijemije. Untuk elemen ke-E dapat

tiap elemen.

diperoleh persamaan matriks

Jika digunakan formulasi variasional

E
 g11
 E
 g 21
g E
 31
E
 g 41

(9) dalam elemen  e maka diperoleh
x2e

e

x2
du dv
qeuv]dx    uvdx  Q1ev( x1e )  Q2ev( x2e )  0,
e [ pe
dx dx
x1e
x1

(14)

Dengan
Hermite

diperoleh

2

berlaku 3e  1e 1 dan e4  e21 . Dengan

penyelesaian

demikian dapat dinyatakan 11  U1 , 12  U 2 ,
13  U 3  12 ,

e

j 1

he 2 e 1 e
 u j '  j ( x)
2 j 1

...,
(15)

j 1

14  U 4  22 ,

3E 1  U 2 E 1  1E ,

32  U 5  13 ,

4E 1  U 2 E  2E ,

3E  U 2 E 1 ,  4E  U 2 E  2 sehingga diperoleh

4

   ej  j e ( x) ,

dengan

E  E   E 
g14
1
Q1

E  E  
g 24   2   0 

.
E  E   E 
g 34
3
Q2
 E   
E
g 44
  4   0 

polinomial

pendekatan
uhe ( x)   u ej  0j ( x) 

E
g13
E
g 23
E
g 33
E
g 43

antar elemen u2e  u1e 1 dan u'e2  u'1e 1 sehingga

x2

menggunakan

(12),

E
g12
E
g 22
E
g 32
E
g 42

Dari pembagian domain diperoleh hubungan

dengan Q1e  ( peu ' ) x e dan Q2e  ( peu ' ) e .
1

(17)

dengan Ke=[kije], Me=[mije], re=[rie], dan

digunakan dalam perakitan sistem dari seluruh

 e4 

N

e e
e
e
e
  j kij     j mij  ri  0

2

hasil perakitan semua persamaan tiap elemen
1e  u1e ,

he e
u '2 ,
2

e
1e  10 ,

 e2 

he e
u '1 ,
2

e
 e2  11

yang disajikan dalam bentuk persamaan

3e  u2e ,

e
3e   02

matriks
GU=r,

, dan
50

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

2. Syarat batas Campuran

dengan matriks G, vektor U dan r seperti

a) Penerapan

pada persamaan 18.
Selanjutnya

x2e  x1e 1 ,

karena

u(0)=0

maka

Q2e  Q1e 1  0 , e = 1, 2, ..., E

u(L)=0

dan

b) Penerapan



batas

campuran

menghasilkan

persamaan matriks (20).

sehingga

diperoleh
r  Q1 0 0 0 0 0  0 0 Q2E

syarat



u(0)=0

0.

syarat

batas

u(L)=0

dan

campuran

menghasikan

persaamaan matriks (21).
Untuk mendapatkan U  0 harus dicari 

Penerapan syarat batas (2a ) dan (2b)

sehingga det (K-M) = 0. Akar-akar dari

adalah sebagai berikut berikut

persamaan (K-M) = 0 adalah nilai-nilai eigen
1
 g11
 1
 g 21
g1
 131
 g 41
 0

G 0

 
 0

 0
 0

 0

1
1
1
0
0
g12
g13
g14
1
1
1
0
0
g 22
g 23
g 24
1
1
2
1
2
2
g 32 g 33  g11 g 34  g12
g13
g142
2
2
2
2
g 141 g 143  g 21
g 144  g 22
g 23
g 24
2
2
2
3
2
3
0
g 31
g 32
g 33
g 34
 g11
 g12
2
2
2
3
2
3
0
g 41
g 42
g 43
g 44
 g 21
 g 22





0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0




E 1
E
E 1
 g 33  g11 g 34  g12E
E 1
E
E 1
E
 g 43
g 44
 g 21
 g 22
E
E

g 31
g 32
E
E

g 41
g 42

U  U1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6  U 2 E 1 U 2 E



r  Q1 0 Q21  Q12

0
0
0
0
0
0

g13E
E
g 23
E
g 33
E
g 43

U 2 E 1 U 2  2 T , dan

0 Q22  Q13 0  Q2E 1  Q1E

0 Q2E

0 

0 
0 

0 
0 
0 ,

 
g14E 
E 
g 24

E 
g 34

E
g 44




0

T

(18)
 g 122
 1
 g 32
g1
 42
 0
 0

 

 0
 0

 0

g 123
2
g 133  g11
2
g 143  g 21
2
g 31
2
g 41


g 124
2
g 134  g12
2
g 144  g 22
2
g 32
2
g 42


0
2
g13
2
g 23
2
3
 g11
g 33
2
3
g 43  g 21


0
2
g14
2
g 24
2
3
 g12
g 34
2
3
g 44  g 22


0
0
0

0
0
0

0
0
0

0
0
0








0
0
0
0
0


E 1
E
 g11
 g 33
E 1
E
 g 21
 g 43
E

g 41

0
0
0
0
0

E 1
E
 g12
g 34
E 1
E
 g 22
g 44
E
g 42

  U 2  0 

  
  U 3  0 
  U 4  0 

  
  U 5  0 
  U   0.
6

  
    
  
E  U
g14
  2 E  1  0 
E  U
0 
g 24
2E 
  
E  U
g 44   2 E  2  0
0
0
0
0
0


(19)
1. Syarat batas Dirichlet

pendekatan dan penyelesaian U yang terkait

Penerapan syarat batas Dirichlet adalah
u(0)=0

dan

u(L)=

0

adalah dengan nilai eigen tersebut digunakan

menghasilkan

untuk memperoleh fungsi eigen pendekatan

persamaan matriks (19).

pada persamaan (15).
51

 g 122
0
0
g 123
g 124
 1
1
2
1
2
2
g13
g142
 g32 g33  g11 g34  g12
2
2
2
2
 g 142 g 143  g 21
g 144  g 22
g 23
g 24

2
2
2
2
g31
g32
g33
 g113 g34
 g123
0
2
2
2
3
2
3
0
g 41
g 42
g 43
g 44
 g 21
 g 22





 
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0

0
0
0
0
0





0
0
0

0   U2 

0

0 

  I Nomor
 01, Juli 2011
JMEE
Volume
0
0 U
3
  

0   U 4  0 

  
0   U 5  0 
0   U 6   0.

  
0     
g13E  U 2 E 1  0

  
E
  U 2 E  0 
g 23

g33E  U 2 E 1  0

0

0
0

0
0




E 1
E
E 1
 g33  g11 g34  g12E
E 1
E
E 1
E
g 44
 g 21
 g 22
 g 43
g31E
g32E


(20)
1
 g11
 1
 g 31
 g1
41












1
g13

1
g14

0
0




2
g 31
2
g 41


0
0
0

0
0
0

g 133
g 143

2
g11
2
g 21



2
g 32
2
g 42


0
2
g13
2
g 23
2
3
g 33
 g11
2
3
g 43
 g 21


0
2
g14
2
g 24
2
3
g 34
 g12
2
3
g 44
 g 22


0
0
0

0
0
0

0
0
0

g 134
g 144

2
g12
2
g 22








0
0
0
0
0


0
0
0
0
0


E 1
E
 g11
 g 33
E 1
E
 g 21
 g 43
E
g 41


  U1  0 

  
  U 3  0 
  U 4  0 

  
  U 5  0 
  U   0.
 6   
    
E  U
g14   2 E 1  0
E  U
g 24
2 E  0 
  
E  U
g 44   2 E  2  0
0
0
0
0
0


E 1
E
g 34
 g12
E 1
E
g 44
 g 22
E
g 42

(21)
Dari langkah-langkah

yang telah

Selanjutnya dapat ditentukan fungsi

diberikan di atas maka metode ini dapat

eigen pendekatan untuk tiap-tiap elemen

digunakan

seperti dalam persamaan (15). Misalkan

untuk

menyelesaikan

contoh

berikut.

ditentukan banyaknya elemen adalah 2, maka

Contoh 1:

diperoleh elemen
1  0,  / 2 dan  2   / 2,  dan h   / 2 .

Perhatikan persamaan Sturm-Liouville


d 2u
dx2

 2u  u, 0 x 

Dengan menerapkan (17) dan syarat batasnya,

(22)

diperoleh persamaan

dengan syarat batas campuran u(0) = u()=0.

 0.459-0.059
 0.067 - 0.097

- 0.174  0.044

0


Penyelesaian eksak dari persamaan (22) adalah
 i = (i  0.5)2 + 2 dan
ui ( x)  c

1 
 
Sin (i  ) x 
2 
2 

-0.174  0.044
0
0.918 - 0.119
0.067 - 0.097

0
 U 2  0
- 0.360 - 0.201  U 3  0

.
0.067 - 0.097  U 4  0
   
1.930 - 0.583  U 5  0

Untuk mendapatkan penyelesaian nontrivial,
maka

dengan c konstanta dan i = 1, 2, 3, ….
Untuk menyelesaikan

0.067 -0.097
3.861 - 1.166
0
- 0.360 - 0.201

  0.459-0.059

 0.067 - 0.097
det  
- 0.174  0.044


0


masalah (22)

dengan menggunakan elemen hingga Hermite
kubik, terlebih dahulu domain 

dicari

nilai
0.067 -0.097
3.861 - 1.166
0
- 0.360 - 0.201



yang

-0.174  0.044
0
0.918 - 0.119
0.067 - 0.097

memenuhi
0


- 0.360 - 0.201  
 0.
0.067 - 0.097  
 
1.930 - 0.583  

(23)
dibagi

Dari persamaan (23) diperoleh nilai-nilai eigen

menjadi berhingga banyak elemen, misalkan
E. Dapat ditentukan misalkan elemen ke-e

pendekatan h1 = 2.25, h2 = 4.25417, h3 =

adalah  e  h(e  1), he dengan h  he   2

8.38806, h4 = 15.8836 dan fungsi–fungsi

untuk e = 1, 2, .., E.

eigen pendekatan
52

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

2
3
 c(0.5010 x  0.0037 x  0.0182 x ),
u1h ( x)  
c(-0.0543  0.5966 x  0.0593x 2  0.0075 x 3 ),


2
3
 c(-1.615x  0.469 x  0.173x ),
u2h ( x)  
c(0.651 - 3.903x  2.590 x 2  0.417 x 3 ),


2
3
 c(3.634 x  3.850 x  0.796 x ),
u3h ( x)  
c(23.974 - 33.599 x  14.406 x 2  1.922 x 3 ),


0x


2

1


 x  ,
2

0x
2

 x  ,
2

0x
2

 x  ,
2

ui  ui

h
0

dengan ui , dan ui

h

L
2
h 2
  u i  u i dx 
0

adalah fungsi eigen eksak

dan pendekatan yang telah dinormalkan, maka
diperoleh error seperti pada Tabel 2.
Tabel 2. Error fungsi eigen pendekatan dari contoh soal


2
3
 c(-12.016 x  21.568 x  8.678 x ),
h
u4 ( x )  
c(55.5594 - 70.213x  28.115 x 2  3.594 x 3 ) ,


0x


2

yang telah dihitung dengan Mathematica untuk jumlah


 x  ,
2

elemen E = 2, 4, dan 8.

untuk c suatu konstanta.
Hasil

penghitungan

ui  ui

Fungsi

nilai

Eigen

eigen

h
0

E=2

E=4

E=8

pendekatan dengan elemen hingga Hermite

u1

2.9611×10-4

2.0733×10-5

1.3373×10-6

kubik untuk nilai E = 2, 4, dan 8 tampak pada

u2

0.0125014

1.2807×10-3

9.9900×10-5

Tabel 1. Dari Tabel 1, dapat dilihat bahwa

u3

0.0630196

6.9964×10-3

6.7065×10-4

u4

0.3646037

0.0215540

2.1762×10-3

error nilai eigen pendekatan akan semakin

u5

-

0.0436230

4.9927×10-3

u6

-

0.0955514

9.4676×10-3

(panjang elemennya semakin kecil). Akan

u7

-

0.0215540

0.0163075

tetapi, error semakin besar seiring dengan

u8

-

0.0436230

0.0323568

bagus jika jumlah elemen semakin banyak

semakin besarnya indeks nilai eigen. Hal ini
juga berlaku pada fungsi eigen pendekatan.

Dari Tabel 2, dapat dilihat bahwa
fungsi eigen pendekatan yang dihasilkan

Tabel 1. Nilai eigen pendekatan dari contoh soal yang

cukup baik. Seperti halnya pada nilai eigen

telah dihitung dengan Mathematica untuk jumlah

pendekatan, norm error ini akan semakin kecil

elemen E = 2, 4, 8, dan 16

Eigen

E=2

E=4

E=8

jika jumlah elemennya semakin bertambah,

Eksak

1

2.25

2.25

2.25

tapi error semakin besar seiring dengan

2

4.25417 4.25013 4.25

4.25

besarnya indeks dari fungsi eigennya. Hasil

3

8.38806 8.25488 8.25014 8.25

yang kurang lebih sama dapat dilihat pada

4

15.8836 14.2965 14.2516 14.25

contoh berikut.

2.25

5

-

22.5112 22.2595 22.25

6

-

33.3742 32.2873 32.25

Contoh 2:

7

-

48.287

Perhatikan persamaan Sturm-Liouville

8

-

66.2227 58.5422 58.25

44.3638 44.25



Jika error fungsi eigen dihitung dengan

d 2u
 u, 0 x  1
dx 2

(24)

dengan syarat batas Dirichlet u(0) = u(1) = 0.

menggunakan norm kuadrat rata-rata berikut,

Nilai eigen eksak dari persamaan (4.17) adalah
53

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

i = i22 dan fungsi eigen eksaknya adalah

Sebagaimana pada Contoh 1, error baik nilai

ui ( x)  c Sinix  .

eigen dan fungsi eigen pendekatan cukup baik,
di mana keduanya sangat dipengaruhi oleh

Dengan metode yang sama diperoleh hasil

panjang elemen yang digunakan dan indek

nilai eigen dan fungsi eigen pendekatan seperti

nilai atau fungsi eigen yang dihitung. Namun

pada Tabel 3 dan Tabel 4.

demikian

Tabel 3 Nilai eigen pendekatan untuk Contoh 2

karena

beberapa

keterbatasan,

menggunakan elemen hingga Hermite kubik dengan E =

pembahasan secara detail mengenai perilaku

2, 4, 8, 16

error nilai eigen dan fungsi eigen pendekatan

Eigen

E=2

E=4

E=8

1

9.87218

9.86967

9.86961

9.8696

2

40.0

39.4887

39.4787

39.4784

3

94.2509

88.9912

88.8317

88.8264

4

168.0

160.0

157.955

157.914

Eksak

akan dijadikan topik untuk penulisan makalah
berikutnya.

PENUTUP

5

-

252.19

246.933

246.74

6

-

377.004

355.965

355.306

metode elemen hingga Hermite kubik dapat

7

-

548.143

485.466

483.611

diterapkan dengan baik untuk menyelesaikan

8

-

672.0

640.0

631.655

persamaan

Dari hasil di atas disimpulkan bahwa

Sturm-Liouville

Langkah-langkah

berorde

penyelesaiannya

dua.
adalah

sebagai berikut.
1.

Membagi

domain

menjadi

elemen-

untuk

masing-

elemen
2.

Tabel 4 Error fungsi eigen pendekatan untuk

digunakan interpolasi Hermite kubik.

kubik dengan E = 2, 4, 8.
u1  u1

h

u2  u2

h

u3  u3

h

u4  u4

h

u5  u5

h

u6  u6

h

u7  u7

h

u8  u8

h

interpolasi

masing elemen, dalam penelitian ini

Contoh 2 menggunakan elemenhingga Hermite

Error

Memilih

3.

Menerapkan formulasi variasional untuk

E=2

E=4

E=8

0.0034002

0.0002961

0.0000207

0.0380198

0.0034002

0.0002961

0.1483822

0.0125014

0.0012807

0.1308460

0.0380198

0.0034002

5.

Menerapkan syarat batas.

-

0.0630196

0.0069963

6.

Menghitung nilai eigen dan fungsi eigen

-

0.1483822

0.0125014

-

0.3646037

0.0215540

tiap-tiap

0.
1308460

sehingga

diperoleh

persamaan linear untuk tiap-tiap elemen.
4.

-

elemen

Melakukan

perakitan

terhadap

persamaan linear dari tiap-tiap elemen.

dari persamaan linear akhir.

0.0323009

54

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

DAFTAR PUSTAKA
Carey, G. F., and J. T. Oden, 1983. Finite
Element: A Second Course Volume II.
New Jersey: Prentice Hall, Inc.
Gerald, C. F., and P. O. Wheatley, 1994.
Applied Numerical Analysis. AddisonWesley Publicing Company, Inc.
Griffin, T. B. and B. D. Reddy, 1988.
Variational

Principles

Convergence

of

Finite

and
Element

Aproximation of a Holonomic ElasticPlastic

Problem.

Numerische

Mathematik Volume 52: 101-117.
Springer-Verlag
Reddy, J. N., 1984. An Introduction to the
Finite Element Method. New York:
McGraw Hill, Inc.
Reddy, J. N., 1986. Applied Functional
Analysis and Variational Methods in
Engeneering.

New York: McGraw

Hill, Inc.
Strang, G., and G. Fix, 1973. An Analysis of
Finite Element Method. New Jersey:
Prentice Hall, Inc.

55