BAB 1 SISTEM BILANGAN REAL

1
BAB 1
SISTEM BILANGAN REAL

JENIS-JENIS BILANGAN:
BIL. ASLI : 1, 2, 3, 4, 5, …
BIL. CACAH : 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
BIL. BULAT :

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

BIL. PECAHAN : ½, ¾, -5/6, 8/7, …
BIL. RASIONAL : Bilangan yg dapat dinyatakan dlm bentuk m/n , dimana m, n merupakan
bilangan-bilangan bulat dan n 0.
( Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang)
BIL.IRASIONAL : Bilangan yg tidak dapat dinyatakan dlm bentuk m/n , dimana m, n merupakan
bilangan-bilangan bulat.
( Bilangan yg tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang)
CONTOH :

2,

3,

7 ,...

BILANGAN REAL : BIL. RASIONAL DIGABUNG DGN BIL. IRASIONAL.
SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL:
1. HUKUM KOMUTATIF: X + Y = Y + X dan XY = YX
2. HUKUM ASOSIATIF : X + ( Y + Z ) = (X + Y) + Z dan X(YZ) = (XY)Z
3. HUKUM DISTRIBUTIF : X(Y+Z) = XY + XZ
4. KETRANSITIFAN : X < Y dan Y < Z maka X < Z
5. PENAMBAHAN : Jika X < Y maka X + Z < Y + Z

 XZ < YZ
Bila Z Negatif , X < Y  XZ > YZ
X bilangan positif  X > 0 , X Bil. Negatif  X < 0
X Bil. Tidak negatif  X  0 , X Bil. Tidak positif 

6. PERKALIAN : Bila Z positif , X < Y

7.

X 0

8. Jika X > 0 , Y > 0 maka XY > 0 , Jika X < 0 , Y < 0 maka XY > 0
Jika X > 0, Y < 0 maka XY < 0
9. Jika X < Y maka Y – X > 0 ( positif)
PERTAKSAMAAN
Bentuk umum :

P ( x )  Q ( x), tan da  dapat diganti dengan tan da , , 
Contoh:

a.

x 2  x  2 0

b.

x 2  2 x 15

c.

( x  1) 1

( x  2) x

Solusi pertaksamaan adalah semua nilai-nilai x yang memenuhi pertaksamaannya.
Solusi pertaksamaan, dapat dinyatakan dalam cara:
Cara Himpunan :
1.  x  R a  x  b

2.  x  R a x  b

3.  x  R a  x b

4.  x  R a x b

5.  x  R x a

6.  x  R x  a

7.  x  R x  b

8.  x  R x b

9. x  R

2
Cara Selang:

1. a, b 

2. a, b 

3. a, b

4. a, b

5.  , a 

7.(b,)

6.( , a )
8.[b,]

9.( ,)

NILAI MUTLAK
Definisi:
Nilai mutlak dari bilangan real x ditulis

dan didefinisikan sebagai:

x

 x, jika x 0
x 
  x, jika x  0

 ( x  a ), jika x a

x  a 
  ( x  a ), jika x  a
Secara geometris nilai mutlak bilangan real x adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan.
-2

0

Contoh :

2
=2

2

dan

 2

=2

Sifat-sifat nilai mutlak:
1. Untuk setiap x bilanga real berlaku:
a.

x

b.

x

c.

x

0

=  x
2

x2

=

= x2

2. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku
x  y  x y  x 2  y 2
x. y  x

y

x
x

, y 0
y
y
x y  y x
xy  x  y

3. Jika a 0 , maka:
2
2
a. x a   a  x a  x a
2
2
b. x a  x a atau x  a  x a

2
2
2
2
4. x  y  x  y  x  y 0  ( x  y )( x  y ) 0

Pertaksamaan Dengan Nilai Mutlak
Himpunan jawab pertaksamaan dengan nilai mutlak:
Langkah-langkah:
1.

Ubah bentuk pertaksamaan yang diketahui ke dalam bentuk

pertaksamaan tanpa nilai mutlak dengan menggunakan sifat-sifat nilai mutlak yang
ada.

2.

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan tanpa nilai mutlak yang diperoleh dengan
cara biasa.

SOAL
Tentukan penyelesaian pertaksamaan dengan nilai mutlak berikut:

3
a.

x 2  x  1 1

b.

x 2  x 2

c.

2x  3  x  3

d.

x
x 2

x 1
x 1

e.

2 x  x  1 2

f.

x 2 

2 x  1 5

SISTEM KOORDINAT DAN GRAFIK PERSAMAAN
Persamaan garis yg melalui satu titik (x1,y1 ) dgn gradien m adalah : y – y1 = m (x – x1)
y
y

B (x2 , y2)

y1

0

A (x1 , y1)

x1

x2

x

Persamaan garis yg melalui dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) adalah

y  y1 y2  y1

x  x1 x2  x1
Jarak titik A(x1, y1) dan titik B(x2, y2) adalah

d ( A; B )  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
Jarak titik A(x1, y1) ke garis g : ax + by + c = 0, adalah

d ( A; g ) 

ax1  by1  c
a2  b2

Titik tengah garis AB, dimana titik A(x1, y1) dan titik B(x2, y2) :

x x y y 
Titik D  1 2 , 1 2 
2 
 2

Hubungan antara dua garis :
Misalkan Garis g1 : y1 = m1x + b1, dengan m1 = grdien g1
Garis g2 : y2 = m2x + b2, dengan m2 = grdien g2
Maka:
1. g1 sejajar dgn g2 jika m1 = m2,
2. g1 berimpit dgn g2 jika m1 = m2 dan b1 = b2
3. g1 berpotongan dgn g2 jika m1

 m2

4. g1 tegak lurus dgn g2 jika m1 . m2 = -1
Jika g1 dan g2 berpotongan maka titik potongnya, yaitu (x,y) yang tercapai pada saat : y1 = y2
Soal:
1. Diketahui titik A(-2, 3), B(3,-4) dan C(2,5)
Tentukanlah:
a.
b.
c.
d.

Persamaan garis g yang melalui titik A dan titik B
Persamaan garis h yang melalui titik C dan sejajar garis g
Persamaan garis f yang melalui titik tengah BC, dan tegak lurus garis h
Titik potong garis f dengan garis h

4
e. Jarak titik A ke titik B
f. Jarak titik C ke garis AB
g. Luas segitiga ABC tersebut
2. Gambarkanlah grafik fungsi-fungsi berikut:
a. 2x + 3y = 6

c. 2y – 5x – 10 = 0

b. y = 4 – 8x

b. 4x = 3y - 1

Fungsi kuadrat: f(x) = ax2 + bx + c, a

0

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi parabola yg berbentuk:
y = f(x) = ax2 + bx + c , a

0



Titik potong sumbu y berarti x = 0 maka y = c ,titiknya (0,c)



Titik potong sumbu x berarti y = 0 maka

x1, 2 

 b D
,
2a

dim ana

D b 2  4ac

Ada tiga kemungkinan:


Jika D > 0 maka nilai x1

x , jadi ada dua titik potong terhadap sumbu x, yaitu (x ,0)
2

1

dan (x2,0)


Jika D = 0 maka nilai x1 = x2, jadi ada satu titik potong thp sumbu x, yaitu (x,0)



Jika D < 0 maka tidak ada titik potong terhadap sumbu x
Titik puncak



P(

 b  D
,
)
2a 4a

Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas

Jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi parabola yg berbentuk:
x = f(y) = ay2 + by + c , a


0

Titik potong sumbu x berarti y = 0 maka x = c ,
titiknya (c,0)



Titik potong sumbu y berarti x = 0 maka

y1, 2 

 b D
,
2a

dim ana

D b 2  4ac

Ada tiga kemungkinan:

 y , jadi ada dua titik (0,y ) dan (0,y )



Jika D > 0 maka nilai y1



Jika D = 0 maka nilai y1 = y2, jadi ada satu titik (0,y)



Jika D < 0 maka tidak ada titik potong thp sb y

2

Titik puncak


1

P(

 D  b
,
)
4a 2a

2

5
Jika a > 0 maka parabola terbuka ke kanan

Jika a < 0 maka parabola terbuka ke kiri

Soal:
Untuk fungsi-fungsi kuadrat berikut
a. y = f(x) = x2 – x – 6

b. y = f(x) = -x2 + 4x – 4

c. y = f(x) = x2 + 5

d. x = f(y) = y2 – y – 6

e. x = f(y) = -y2 + 4y – 4

f. x = f(y) = y2 + 5