S MTK 1002444 Chapter3
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu15
BAB III
Persoalan Penugasan Multi Kriteria
A. Pengertian Penugasan
Masalah penugasan (assignment problem) adalah suatu masalah mengenai pengaturan objek untuk melaksanakan tugas, dengan tujuan meminimalkan biaya, waktu, jarak, dan sebagainya ataupun memaksimalkan keuntungan yang salah satu penyelesaiannya menggunakan metode Hungaria (Soemartojo, 1997). Masalah umum penugasan meliputi n tugas yang harus ditetapkan kepada m pekerja dimana setiap pekerja memiliki kompetensi yang berbeda dalam menyelesaik an setiap tugasnya.
B. Persoalan Penugasan Sederhana
Persoalan penugasan sederhana adalah persoalan penugasan yang hanya memiliki satu tujuan kriteria, yaitu memaksimalkan atau meminimalkan suatu sumber daya (biaya, waktu, kualitas atau jarak) yang digunanakan untuk menyelesaikan tugas. Masalah penugasan merupakan jenis khusus pemrograman linier dimana sumber-sumber dialokasikan kepada kegiatan-kegiatan atas dasar satu-satu (one-to-one basis) (Hillir,dkk,1990:242). Jadi setiap sumber atau petugas (assignee) seperti mesin atau karyawan ditugasi secara khusus kepada suatu kegiatan atau tugas. Ada suatu biaya cij yang berkaitan dengan petugas i (i = 1,2,…,m) yang melakukan tugas j (j = 1,2,…,n), sehingga tujuannya adalah untuk menentukan bagaimana semua tugas harus dilakukan untuk meminimumkan total biaya.
Jadi persoalan penugasan akan mencakup sejumlah m pekerja yang mempunyai n tugas. Dengan asumsi n = m, sehingga akan ada n! penugasan yang mungkin dalam suatu masalah karena harus berpasangan satu-satu. Apabila pekerja i(i = 1,2,…,m) ditugaskan kepada tugas j(j = 1,2,…n) maka akan muncul biaya penugasan cij, sehingga jelas bahwa tujuan dari penugasan adalah mencari
(2)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu16
penggunaan total biaya yang minimum dari semua pekerja dalam menyelesaikan semua tugas. Banyak cara menyelesaikan persoalan penugasan, salah satunya adalah dengan metode Hungaria.
C. Model Matematis Persoalan Penugasan Sederhana
Persoalan penugsan yang sederhana dengan mempertimbangkan situasi penugasan m pekerja ke n tugas. Ketika pekerja i (i = 1, 2, ..., m) ditugaskan ke tugas j ( j = 1, 2, ..., n), maka pekerja i dalam menyelesaikan tugas j memerlukan biaya cij. Sehingga tujuannya adalah menugaskan pekerja - pekerja tersebut ke tugas -tugas (satu pekerja per satu tugas) dengan biaya total terendah. Suatu masalah umum penugasan yang hanya berkaitan dengan biaya operasi dapat direpresentasikan seperti pada Tabel 3.1. Ada n tugas yang akan ditugaskan untuk m pekerja, cij adalah biaya operasi pekerja i untuk melaksanakan tugas j.
Tabel 3.1 Matriks Biaya Operasi
Pekerja Tugas
1 2 3 … j … n
1 c11 c12 c13 … c1j … c1n 2 c21 c22 c23 … c2j … c2n 3 c31 c32 c33 … c3j … c3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ci1 ci2 ci3 … cij … cin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m cm1 cm2 cm3 … cmj … cmn
(3)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu17
Bila pada suatu masalah ditemui adanya jumlah tugas dan pekerja berbeda (jumlah baris ≠ jumlah kolom), maka untuk menyamakan jumlahnya perlu ditambahkan suatu variabel semu (F.S Hillir, dkk:243) , yaitu ditambahkan suatu tugas (kolom) semu jika jumlah tugas (kolom) lebih kecil daripada jumlah pekerja (baris) dan sebaliknya ditambahkan suatu pekerja (baris) semu jika jumlah pekerja (baris) lebih kecil daripada jumlah tugas (kolom). Penambahan baris ataupun kolom semu ini merupakan langkah awal dalam pembuatan tabel matriks penugasan agar dapat diselesaikan menggunakan metode Hungaria. Dengan demikian diasumsikan bahwa jumlah pekerja sama dengan jumlah tugas (m = n).
Fungsi objektif pada persolan penugasan ini dapat ditulis sebagai berikut
∑ ∑
∑
∑
xij = {
(3.1) Dimana Z adalah jumlah optimum yang hendak dicapai.
D. Metode Hungaria
Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah penugasan adalah metode Hungaria. Metode ini di temukan oleh Horald Kuhn pada tahun 1955 dan disempurnakan oleh Jones Munkes pada tahun 1957 keduanya berkebangsaaan Hungaria. Oleh karena itu metode Hungaria biasa disebut juga algoritma Kuhn-Munkes. Metode Hungaria ini mempunyai kelebihan dalam segi kesederhaan algoritma dan dari segi kemudahan untuk dipahami. Oleh karena itu metode ini merupakan pilihan para peneliti untuk menyelesaikan masalah penugasan.
(4)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu18
Metode Hungaria adalah metode yang memodifikasi baris dan kolom dalam matriks efektifitas sampai muncul sebuah komponen nol tunggal dalam setiap baris atau kolom yang dapat dipilih sebagai alokasi penugasan (Prawisentono, 2005). Semua alokasi penugasan yang dibuat adalah alokasi yang optimal, dan saat diterapkan pada matriks efektifitas awal, maka akan memberikan hasil penugasan yang paling minimum.
Menurut Taha (1996) memaparkan syarat-syarat metode Hungaria, yaitu sebagai berikut:
1. Jumlah baris harus sama dengan jumlah kolom yang harus diselesaikan 2. Setiap sumber harus mengerjakan satu tugas
3. Jika jumlah sumber tidak sama dengan jumlah tugas atau sebaliknya, maka perlu ditambahkan variabel semu sumber atau variabel semu tugas
4. Terdapat dua permasalahan yaitu meminimuman kerugian atau memaksimumkan keuntungan
Jadi dalam penyelesaiannya, secara umum persoalan penugasan dibagi dua yaitu masalah maksimalisasi dan minimalisasi. Langkah- langkah proses penyelesaian masalah penugasan menggunakan metode Hungaria dengan matriks adalah sebagai berikut:
a. Masalah Minimalisasi
Langkah-langkah untuk masalah minimalisasi adalah sebagai berikut:
1. Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk tabell matriks penugasan
2. Menentukan nilai terkecil dari setiap baris, kemudian mengurangkan setiap nilai dalam baris tersebut dengan nilai terkecilnya
3. Periksa apakah setiap kolom telah mempunyai nilai nol. Bila sudah dilanjutkan pada langkah ke-4 , jika belum, dilakukan penentuan nilai terkecil dari setiap kolom yang belum mempunyai nilai nol, kemudian setiap nilai pada kolom tersebut dikurangkan dengan nilai terkecilnya
4. Lakukan penutupan semua nilai nol dengan menggunakan garis vertika/horizontal seminimal mungkin. Bila jumlah garis sudah sama dengan
(5)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu19
jumlah baris atau kolom, maka tabel telah optimal. Jika jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau kolom maka dilanjutkan pada langkah ke-5 5. Ditentukan nilai terkecil dari nilai-nilai yang tidak tertutup garis. Lalu semua
nilai yang tidak tertutup garis dikurangkan dengan nilai terkecil tersebut, dan nilai yang tertutup oleh dua garis ditambahkan dengan nilai terkecil tersebut 6. Kembali pada langkah ke-4
(Dodi Rahardjo, 2010:9)
Untuk dapat melihat lebih jelas dalam proses minimalisasi, diberikan sebuah contoh sebagai berikut:
Table 3.2 Contoh Matriks Masalah Minimalisasi
Pekerja Tugas
A B C D
P1 4 2 1 3
P2 7 8 9 6
P3 5 5 4 2
P4 6 3 2 4
Tentukan nilai terkecil dari setiap barisnya, lalu kurangkan setiap nilai dalam baris tersebut dengan nilai terkecilnya. Maka diperoleh:
Tabel 3.3 Hasil Perhitungan Pertama
Pekerja Tugas
A B C D
P1 3 1 0 2
P2 1 2 3 0
P3 3 3 2 0
P4 4 1 0 2
Karena pada Tabel 3.3 belum semua kolom memiliki nilai nol, maka tentukan nilai terkecil pada setiap kolomnya lalu kurangkan nilai pada kolom tersebut dengan nilai terkecilnya. Kemudian lakukan penarikan garis seminimal mungkin terhadap nilai nol. Maka diperoleh:
(6)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu20
Pekerja Tugas
A B C D
P1 2 0 0 2
P2 0 1 3 0
P3 2 2 2 0
P4 3 0 0 2
Berdasarkan Tabel 3.4 jumlah garis sudah sama dengan jumlah baris atau kolom artinya penyelesaian sudah optimal. Maka diperoleh kesimpulannya yaitu P1 mengerjakan tugas B, P2 mengerjakan tugas A, P3 mengerjakan tugas D dan P4 mengerjakan tugas C. Dengan nilai optimalnya adalah Z = 2 + 7 + 2 + 2 = 13
b. Masalah Maksimalisai
Langkah-langkah untuk maksimalisasi adalah sebagai berikut:
1. Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk tabel matriks penugasan
2. Ditentukan nilai terbesar dari setiap baris, kemudian nilai terbesar tersebut dikurangkan dengan setiap nilai dalam barisnya
3. Diperiksa apakah setiap kolo telah mempunyai nilai nol. Bila sudah dilanjutkan pada langkah ke-4, jika belum, dilakukan penentuan nilai terkecil dari setiap kolom yang belum mempunyai nilai nol, kemudian setiap nilai pada kolom tersebut dikurangkan dengan nilai terkecilnya
4. Dilakukan penutupan semua nilai nol dengan menggunakan garis vertikal/ horizontal seminimal mungkin. Bila jumlah garis sudah sama dengan jumlah garis atau kolom, maka tabel telah optimal.jika jumlah garis belum sama dengan jumlah garis atau kolom, maka dlanjutkan pada langkah ke-5.
5. Ditentukan nilai terkecil dari nilai-nilai yang tidak tertutup garis. Lalu semua nilai yang tidak tertutup garis dikurangkan dengan nilai terkecil tersebut, dan nilai yang tertutup oleh dua garis ditambahkan dengan nilai terkecil tersebut. 6. Kembali pada langkah ke-4.
(7)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu21
Untuk dapat lebih jelas dalam memahami proses maksimalisasi, diberikan sebuah contoh sebagai berikut:
Tabel 3.5 Contoh Matriks Masalah Maksimalisasi
Pekerja Tugas
A B C D
P1 2 2 3 5
P2 4 4 9 7
P3 6 1 7 8
P4 5 3 9 8
Tentukan nilai terkecil dari setiap barisnya, lalu kurangkan setiap nilai dalam baris tersebut dengan nilai terkecilnya. Maka diperoleh:
Tabel 3.6 Hasil Perhitungan Pertama
Pekerja Tugas
A B C D
P1 3 3 2 0
P2 5 5 0 2
P3 2 7 1 0
P4 4 6 0 1
Karena pada Tabel 3.6 belum semua kolom memiliki nilai nol, maka tentukan nilai terkecil pada setiap kolomnya lalu kurangkan nilai pada kolom tersebut dengan nilai terkecilnya. Kemudian lakukan penarikan garis seminimal mungkin terhadap nilai nol. Maka diperoleh:
Tabel 3.7 Hasil Perhitungan Kedua
Pekerja Tugas
A B C D
P1 1 0 2 0
P2 3 2 0 2
P3 0 4 1 0
(8)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu22
Terlihat pada Tabel 3.7 jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau kolom, maka perlu dilakukan perbaikan. Sehingga diperoleh:
Tabel 3.8 Hasil Perbaikan
Pekerja Tugas
A B C D
P1 1 0 3 0
P2 2 1 0 2
P3 0 4 2 0
P4 1 2 0 0
Berdasarkan Tabel 3.8 jumlah garis sudah sama dengan jumlah baris atau kolom artinya penyelesaian sudah optimal. Maka diperoleh kesimpulannya yaitu P1 mengerjakan tugas B, P2 mengerjakan tugas C, P3 mengerjakan tugas A dan P4 mengerjakan tugas D. Dengan nilai optimalnya adalah Z = 2 + 9 + 6 + 8 = 25
E. Persoalan Penugasan Multi Kriteria
Banyak penelitian telah dikembangkan untuk memecahkan masalah penugasan. Sebagian besar metode yang dikembangkan untuk masalah penugasan hanya mempertimbangkan situasi satu tujuan, seperti masalah meminimumkan biaya penugasan, meminimumkan waktu penyelesaian masalah. Meminimumkan biaya dalam masalah penugasan terfokus pada bagaimana memberikan tugas kepada pekerja sehingga total biaya operasi dapat diminimalkan, begitu juga dalam meminimumkan waktu penyelesaian hanya terfokus pada bagaimana memberikan tugas kepada pekerja sehingga total waktu operasi dapat diminimalkan. Dalam pembahasan penugasan multi kriteria ini akan digunakan lebih dari satu kriteria atau faktor yang digunakan sekaligus untuk menentukan satu pekerja tepat bersesuaian dengan satu tugas.
Persoalan penugasan multi kriteria adalah persoalan penugasan yang melibatkan lebih dari satu kriteria, baik berupa kuantitatif maupun kualitatif. Sehingga tujuan yang hendak dicapai adalah untuk menetapkan masing- masing
(9)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu23
pekerja yang tepat terhadap satu tugas sehingga dapat meminimumkan atau memaksimalkan penyelesaian setiap tugas dengan beberapa kriteria yang ada (Chiao-Pin Bao,dkk, 2007).
1. Mengoptimalkan dua kriteria
Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini hanya mempertimbangkan dua kriteria, katakanlah biaya operasi dan waktu yang diperlukan yaitu bagaimana menetapkan tugas agar biaya dan total waktu operasi dapat minimum secara bersamaan. Tabel matriks dengan dua kriteria ditunjukkan pada tabel dibawah ini:
Tabel 3.9 Matriks Biaya dan Waktu Operasi
Pekerja Tugas
1 2 3 … j … n
1 c11 t11
c12 t12
c13
t13 …
c1j
t1j …
c1n t1n 2 c21
t21
c22 t22
c23
t23 …
c2j
t2j …
c2n t2n 3 c31
t31
c32 t32
c33
t33 …
c3j
t3j …
c3n t3n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ci1
ti1
ci2 ti2
ci3
ti3 …
cij
tij …
cin tin
(10)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu24
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. . m cm1
tm1
cm2 tm2
cm3
tm3 …
cmj
tmj …
cmn tmn
Karena proses penyelesaian mempertimbangkan dua kriteria , maka secara matematis bobot dari masing- masing tujuan harus ditetapkan terlebih dahulu, agar dapat mengetahui kriteria mana yang lebih penting daripada kriteria yang lain atau tingkat kepentingan dari masing-masing kriteria
Maka fungsi tujuannya adalah
Minimumkan C,T = ∑ ∑ + ∑ ∑ (3.2)
Dimana C adalah total biaya operasi dari pekerja, T adalah total waktu operasi dari pekerja. Sedangkan α adalah besar bobot yang dimiliki setiap kriteria, dengan ∑ . cij dan tij adalah biaya dan waktu operasi pekerja yang telah dinormalisasikan. Data biaya dan waktu yang dinormalkan yaitu menyetarakan semua data dengan cara membagi data biaya dan waktu dengan data maksimum dari masing- masing biaya dan waktu. Selanjutnya digunakan metode Hungaria untuk mengoptimalkan biaya dan waktu secara bersamaan. Untuk lebih jelasnya, diberikan sebuah contoh masalah minimalisasi dengan menggunakan kriteria biaya (ribuan) dan waktu (hari) sebagai berikut:
Tabel 3.10 Contoh Matriks Dua Kriteria
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 8 9 7 6
3 4 3 2
(11)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu25
3 4 2 3
T3 9 8 6 7
3 3 2 2
T4 7 6 7 9
3 2 2 3
Data pada Tabel 3.10 harus dinormalisasikan dahulu, sebelum dikerjakan dengan metode Hungaria. Maka diperoleh:
Tabel 3.11 Data Normalisasi Dua Kriteria
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0.889 1 0.778 0.667
0.75 1 0.75 0.5
T2 0.889 0.889 0.556 1
0.75 1 0.5 0.75
T3 1 0.889 0.667 0.778
0.75 0.75 0.5 0.5
T4 0.778 0.667 0.778 1
0.75 0.5 0.5 0.75
Misalkan untuk kedua bobot diketahui α1= biaya= 0,5 dan α2 = waktu= 0,5 dengan menggunakan fungsi (3.2) maka diperoleh:
Tabel 3.12 Jumlah Data Penormalan Biaya dan Waktu
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0.8194 1 0.7638 0.5833
T2 0.8194 0.9444 0.5277 0.8750
T3 0.8750 0.8194 0.5833 0.6388
(12)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu26
Selanjutnya digunakan metode Hungaria. Tentukan nilai terkecil dari setiap barisnya, lalu kurangkan setiap nilai dalam baris tersebut dengan nilai terkecilnya. Maka diperoleh:
Tabel 3.13 Hasil Perhitungan Pertama
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0.2361 0.4167 0.1806 0
T2 0.2916 0.4166 0 0.3472
T3 0.2917 0.2361 0 0.0556
T4 0.1806 0 0.0556 0.291667
Karena pada Tabel 3.13 belum semua kolom memiliki nilai nol, maka tentukan nilai terkecil pada setiap kolomnya lalu kurangkan nilai pada kolom tersebut dengan nilai terkecilnya. Kemudian lakukan penarikan garis seminimal mungkin terhadap nilai nol. Maka diperoleh:
Tabel 3.14 Hasil Perhitungan Kedua
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0,0555 0,4167 0,1805 0 T2 0,1111 0,4166 0 0,3472 T3 0,1111 0,2361 0 0,0556 T4 0 0 0,0556 0,2916
(13)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu27
Terlihat pada Tabel 3.14 jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau kolom, maka perlu dilakukan perbaikan. Sehingga diperoleh:
Tabel 3.15 Hasil Perbaikan Pertama
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0 0,3612 0,1805 0 T2 0,0556 0,3611 0 0,3472 T3 0,0556 0,1806 0 0,0556 T4 0 0 0,1111 0,3471
Karena pada Tabel 3.15 jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau kolom, maka perlu dilakukan perbaikan lagi. Sehingga diperoleh:
Tabel 3.16 Hasil Perbaikan Kedua
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0 0,3612 0,2361 0 T2 0 0,3055 0 0,2916
T3 0 0,1250 0 0
T4 0 0 0,1667 0,3471
Berdasarkan Tabel 3.16 jumlah garis sudah sama dengan jumlah baris atau kolom artinya penyelesaian sudah optimal. Maka diperoleh kesimpulannya yaitu T1 memilih barang B4, T2 memilih barang B1, T3 memilih barang B3 dan T4 memilih barang B2. Dengan jumlah biaya sebesar 6 + 8 + 6 + 6 = 26 (ribuan) dan dengan jumlah waktu selama 2 + 3 + 2 + 2 = 9 (hari)
(14)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu28
Masalah penugasan dengan tiga kriteria yaitu pengoptimalan biaya, waktu dan kualitas dimana semua tujuan harus diminimumkan. Sebelumnya harus disumsikan bobot dari biaya, waktu dan kualitas, yaitu α1, α2, α3 dengan α1 + α2 + α3 = 1,sehingga gabungan fungsi tujuannya adalah
Minimumkan C,T,Q = ∑ ∑ + ∑ ∑ + ∑ ∑ (3.3) Dimana C,T,Q adalah biaya operasi dari pekerja, waktu operasi dari pekerja dan kualitas barang yang dihasilkan. Sedangkan α1, α2, α3 adalah bobot dari biaya, waktu dan kualitas.
Tabel 3.17 Matriks Biaya, Waktu dan Kualitas
kerja Tugas
q 2 3 … j … n
1 c11,t11,q11 c12,t12,q12 c13,t13,q13 … c1j,t1j,q1j … c1n,t1n,q1n 2 c21,t21,q21 c22,t22,q22 c23,t23,q23 … c2j,t2j,q2j … c2n,t2n,q2n 3 c31,t31,q21 c32,t32,q32 c33,t33,q33 … c3j,t3j,q3j … c3n,t3n,q3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ci1,ti1,qi1 ci2,ti2,qm2 ci3,ti3,qi3 … cij,tij,qij … cin,tin,qin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m cm1,tm1,qm1 cm2,tm2,qm
2
cm3,tm3,qm
3 …
cmj,tmj,qm
j …
cmn,tmn,qm n
(1)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu23
pekerja yang tepat terhadap satu tugas sehingga dapat meminimumkan atau memaksimalkan penyelesaian setiap tugas dengan beberapa kriteria yang ada (Chiao-Pin Bao,dkk, 2007).
1. Mengoptimalkan dua kriteria
Jika proses penyelesaian masalah penugasan ini hanya mempertimbangkan dua kriteria, katakanlah biaya operasi dan waktu yang diperlukan yaitu bagaimana menetapkan tugas agar biaya dan total waktu operasi dapat minimum secara bersamaan. Tabel matriks dengan dua kriteria ditunjukkan pada tabel dibawah ini:
Tabel 3.9 Matriks Biaya dan Waktu Operasi
Pekerja Tugas
1 2 3 … j … n
1 c11 t11
c12 t12
c13 t13
… c1j
t1j
… c1n
t1n 2 c21
t21 c22
t22
c23 t23
… c2j
t2j
… c2n
t2n 3 c31
t31 c32
t32
c33 t33
… c3j
t3j
… c3n
t3n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ci1
ti1
ci2 ti2
ci3 ti3
… cij
tij
… cin
tin
(2)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu24
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. . m cm1
tm1
cm2 tm2
cm3 tm3
… cmj
tmj
… cmn
tmn
Karena proses penyelesaian mempertimbangkan dua kriteria , maka secara matematis bobot dari masing- masing tujuan harus ditetapkan terlebih dahulu, agar dapat mengetahui kriteria mana yang lebih penting daripada kriteria yang lain atau tingkat kepentingan dari masing-masing kriteria
Maka fungsi tujuannya adalah
Minimumkan C,T = ∑ ∑ + ∑ ∑ (3.2)
Dimana C adalah total biaya operasi dari pekerja, T adalah total waktu operasi dari pekerja. Sedangkan α adalah besar bobot yang dimiliki setiap kriteria, dengan ∑ . cij dan tij adalah biaya dan waktu operasi pekerja yang telah dinormalisasikan. Data biaya dan waktu yang dinormalkan yaitu menyetarakan semua data dengan cara membagi data biaya dan waktu dengan data maksimum dari masing- masing biaya dan waktu. Selanjutnya digunakan metode Hungaria untuk mengoptimalkan biaya dan waktu secara bersamaan. Untuk lebih jelasnya, diberikan sebuah contoh masalah minimalisasi dengan menggunakan kriteria biaya (ribuan) dan waktu (hari) sebagai berikut:
Tabel 3.10 Contoh Matriks Dua Kriteria
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 8 9 7 6
3 4 3 2
(3)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu25
3 4 2 3
T3 9 8 6 7
3 3 2 2
T4 7 6 7 9
3 2 2 3
Data pada Tabel 3.10 harus dinormalisasikan dahulu, sebelum dikerjakan dengan metode Hungaria. Maka diperoleh:
Tabel 3.11 Data Normalisasi Dua Kriteria
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0.889 1 0.778 0.667
0.75 1 0.75 0.5
T2 0.889 0.889 0.556 1
0.75 1 0.5 0.75
T3 1 0.889 0.667 0.778
0.75 0.75 0.5 0.5
T4 0.778 0.667 0.778 1
0.75 0.5 0.5 0.75
Misalkan untuk kedua bobot diketahui α1= biaya= 0,5 dan α2 = waktu= 0,5
dengan menggunakan fungsi (3.2) maka diperoleh:
Tabel 3.12 Jumlah Data Penormalan Biaya dan Waktu
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0.8194 1 0.7638 0.5833
T2 0.8194 0.9444 0.5277 0.8750
T3 0.8750 0.8194 0.5833 0.6388
(4)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu26
Selanjutnya digunakan metode Hungaria. Tentukan nilai terkecil dari setiap barisnya, lalu kurangkan setiap nilai dalam baris tersebut dengan nilai terkecilnya. Maka diperoleh:
Tabel 3.13 Hasil Perhitungan Pertama
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0.2361 0.4167 0.1806 0
T2 0.2916 0.4166 0 0.3472
T3 0.2917 0.2361 0 0.0556
T4 0.1806 0 0.0556 0.291667
Karena pada Tabel 3.13 belum semua kolom memiliki nilai nol, maka tentukan nilai terkecil pada setiap kolomnya lalu kurangkan nilai pada kolom tersebut dengan nilai terkecilnya. Kemudian lakukan penarikan garis seminimal mungkin terhadap nilai nol. Maka diperoleh:
Tabel 3.14 Hasil Perhitungan Kedua
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0,0555 0,4167 0,1805 0
T2 0,1111 0,4166 0 0,3472
T3 0,1111 0,2361 0 0,0556
(5)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu27
Terlihat pada Tabel 3.14 jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau kolom, maka perlu dilakukan perbaikan. Sehingga diperoleh:
Tabel 3.15 Hasil Perbaikan Pertama
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0 0,3612 0,1805 0
T2 0,0556 0,3611 0 0,3472
T3 0,0556 0,1806 0 0,0556
T4 0 0 0,1111 0,3471
Karena pada Tabel 3.15 jumlah garis belum sama dengan jumlah baris atau kolom, maka perlu dilakukan perbaikan lagi. Sehingga diperoleh:
Tabel 3.16 Hasil Perbaikan Kedua
Tempat Barang
B1 B2 B3 B4
T1 0 0,3612 0,2361 0
T2 0 0,3055 0 0,2916
T3 0 0,1250 0 0
T4 0 0 0,1667 0,3471
Berdasarkan Tabel 3.16 jumlah garis sudah sama dengan jumlah baris atau kolom artinya penyelesaian sudah optimal. Maka diperoleh kesimpulannya yaitu T1 memilih barang B4, T2 memilih barang B1, T3 memilih barang B3 dan T4 memilih barang B2. Dengan jumlah biaya sebesar 6 + 8 + 6 + 6 = 26 (ribuan) dan dengan jumlah waktu selama 2 + 3 + 2 + 2 = 9 (hari)
(6)
Eka Arifani Putri, 2014
Aplikasi pengambilan keputusan Dalam persoalan penugasan multi kriteria Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu28
Masalah penugasan dengan tiga kriteria yaitu pengoptimalan biaya, waktu dan kualitas dimana semua tujuan harus diminimumkan. Sebelumnya harus
disumsikan bobot dari biaya, waktu dan kualitas, yaitu α1, α2, α3 dengan α1 +
α2 + α3 = 1,sehingga gabungan fungsi tujuannya adalah
Minimumkan C,T,Q = ∑ ∑ + ∑ ∑ + ∑ ∑ (3.3) Dimana C,T,Q adalah biaya operasi dari pekerja, waktu operasi dari pekerja dan kualitas barang yang dihasilkan. Sedangkan α1, α2, α3 adalah bobot dari biaya, waktu dan kualitas.
Tabel 3.17 Matriks Biaya, Waktu dan Kualitas
kerja Tugas
q 2 3 … j … n
1 c11,t11,q11 c12,t12,q12 c13,t13,q13 … c1j,t1j,q1j … c1n,t1n,q1n 2 c21,t21,q21 c22,t22,q22 c23,t23,q23 … c2j,t2j,q2j … c2n,t2n,q2n 3 c31,t31,q21 c32,t32,q32 c33,t33,q33 … c3j,t3j,q3j … c3n,t3n,q3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ci1,ti1,qi1 ci2,ti2,qm2 ci3,ti3,qi3 … cij,tij,qij … cin,tin,qin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m cm1,tm1,qm1
cm2,tm2,qm 2
cm3,tm3,qm 3
… cmj,tmj,qm
j
… cmn,tmn,qm