Model Takagi-sugeno Dengan Prototype Algoritma Population Diameter Independent (Pdi) Untuk Pencocokan Kurva Dalam.

MODEL TAKAGI-SUGENO DENGAN PROTOTYPE ALGORITMA
POPULATION DIAMETER INDEPENDENT (PDI)
UNTUK PENCOCOKAN KURVA DALAM PERAMALAN
Sri Mulyani Sanro’I, Anindya Apriliyanti P
Universitas Padjadjaran Bandung
dejafu_2008@yahoo.com
Abstrak
Peramalan atau time series adalah salah satu metode ststistika yang banyak digunakan berbagai kalangan untuk
memprediksi data yang akan datang. Berbagai metode berlomba-lomba untuk menghasilkan ketepatan dalam peramalan.
Takagi Sugeno (TS) merupakan salah satu metode yang cocok digunakan untuk data musiman. Dalam metode TS,
digunakan prototype dari fuzzy clustering. Penelitian kali ini akan mencobakan prototype dari Population Diameter
Independent (PDI) pada model TS dan membandingkannya dengan prototype dari Fuzzy C-means (FCM) dan GustafsonKessel (GK).
Kata Kunci : Peramalan, Takagi, Sugeno, Population Diameter Independent

PENDAHULUAN
Perkembangan himpunan fuzzy yang sangat pesat
membuat berbagai penelitian yang menghasilkan
metode berbasis himpunan fuzzy. Perkembangan
tersebut juga meliputi pemodelan sistem yang
disebut dengan fuzzy modeling atau fuzzy control.
Banyak metode sebelumnya yang menggunakan

prinsip himpunan tegas kemudian diteliti ulang dan
dibuat versinya dalam himpunan fuzzy. Metode
ststistik seperti regresi dan time series juga tidak
lepas dari pandangan peneliti. Fuzzy regression dan
fuzzy time series pada prinsipnya hampir sama
dengan regresi dan time series pada himpunan
tegas. Tujuannya adalah mencari model matematis
yang dapat mewakili data aktual, ketepatan
pemodelan secara visual ditunjukkan oleh
pencocokan kurva (curve fitting).
Salah satu model dalam fuzzy control yang sering
digunakan dalam penelitian adalah Model TakagiSugeno ((Takagi dan Sugeno, 1985);(Sugeno dan
Tanaka, 1991)). Model ini cocok digunakan dalam
diagnostik model-model non linear. Kehalusan
kurva dalam regresi dan time series, biasanya
dicapai dalam kondisi non parametrik, namun dapat
pula didekati dengan pemodelan fuzzy. Penelitian
ini akan membahas mengenai model Takagi-Sugeno
(TS) untuk forecasting (peramalan). Dalam formula
untuk peramalan, terdapat prototype yang diperoleh

dari algoritma pengelompokkan fuzzy. Penelitian
sebelumnya oleh Wolkenhauer (Wolkenhauer, 1999)
menggunakan algoritma Fuzzy C-means (FCM) dan
Gustafson-Kessel (GK). Penelitian ini akan
mencoba untuk mengganti prototype FCM dan GK
dengan prototype dari algoritma Population

Diameter Independent (PDI). Algoritma ini
merupakan pengembangan lebih lanjut dari FCM
dan GK yang dibahas pertama kali oleh Shihab
(Shihab, 2000). Pembandingan dilakukan secara
visual yaitu terhadap hasil pencocokan kurva secara
probabilistic dan possibilistic untuk masing-masing
algoritma.
BAHAN DAN METODE
1.

Model Takagi-Sugeno (TS)

Model TS pertama kali dikemukakan oleh Takagi

dan Sugeno tahun 1985. model ini termasuk
kategori model linguistik karena menggunakan
logika matematika dengan premis dan consequent
yang diberikan oleh persamaan (1) dan bentuk
conjunctive-nya diberikan pada persamaan (2).

Ri : IF x is Ai , THEN y i  f  xi  ,
i=1, 2, ..., nR

(1)

Ri : IF x1 is Ai1 AND x 2 is Ai 2  AND x r is Air ,

THEN yi  f  xi 

(2)

Keterangan:


x adalah variabel antecedent atau dalam
beberapa jurnal sering disebut sebagai variabel
input. Himpunan fuzzy variabel antecendent
diberikan dalam bentuk vektor
x = [x1, x2, ..., xr]T

y adalah variabel consequent atau variabel
output. Model linear dari y diberikan pada
persamaan :



yi a Ti x  bi

i  x 

 d A2   x, p xi   d A2   x, p xi  

1 /  w 1 

i
x

k 1

(3)

i
x

(7)

Batasan fuzzy



1
c

 i  x 

 A  x  : X 1 X 2 ... X r   0,1
i

1
1 d

merupakan derajat keanggotaan x dalam A.

2
A xi 

 x, p   

(8)

i
x

Dengan





d A2  i  x, p xi  = p xi   m j T A xi  p xi   m j 
x
2.

Identifikasi Parameter Consequent pada
Model Takagi Sogeno

(9)
Dimana

Diberikan sebuah persamaan untuk variabel
consequent seperti pada persamaan (4). Dengan
derajat normalisasi dalam fuzzy yang diberikan
persamaan (5).
nR

  i  x  . aTi x  bi 

y  i1

(4)

nR

 i  x
i 1

i  x   n

i  x
(5)

R

 i  x

i 1

Substitusi persamaan (5) ke persamaan (4)
diperoleh penyederhanaan untuk y sebagai berikut:

p xi  adalah prototype dari algoritma

pengelompokkan yang akan diberikan pada bab
selanjutnya.
4.

Prototype dan Algoritma Pengelompokkan

Prototype dalam pengelompokkan fuzzy
merupakan pusat pengelompokkan yang mewakili
titik-titik pengamatan. Pengelompokkan fuzzy atau
fuzzy clustering memberikan beberapa jenis
algoritma pengelompokkan. Diantaranya yang
pernah dipakai dalam menentukan prototype untuk
peramalan adalah Fuzzy C-Means (FCM) dan

Gustafson Kessel (GK). Kedua algoritma tersebut
memiliki fungsi objektif yang sama, yang
membedakan adalah nilai A xi  pada matriks jarak
serta fungsi keanggotaan. Fungsi objektif FCM dan
GK diberikan oleh persamaan (10)
c

c



y   i  x  . aTi  x   i  x  . bi
i 1
 i 1

y a T  x   b x 

i 1 k 1

(10)

(6)

Persamaan (6) dikenal dengan model quasilinear,
dengan a dan b adalah parameter consequent.

3.

forecasting

atau

peramalan

c

dengan

constraint

subjek

 uik 1

untuk

i 1

k  1,  , N  . Algoritma FCM diberikan
pada Tabel 1.

Tabel 1. Algoritma FCM

Fuzzy forecasting dengan Model TS

Dalam

N

J FCM  P, U, X, c, m    (u ik ) m d ik2  x k , p i 

c

nilai

 A  x    i  x  dihitug secara langsung. Nilai
 i  x  diberikan oleh dua metode, yaitu metode
i

probabilistic dan metode possibilistic. Persamaan
(7) dan (8) berturut-turut memberikan nilai  i  x 
untuk metode probabilistic dan metode possibilistic.

1
2
3

Menentukan c banyak cluster atau kelompok
yang ingin dibuat.
Menentukan tingkat ke-fuzzy-an hasil
pengelompokan (m), diambil m=2.
Menghitung fuzzy cluster center (P) dengan
persamaan
N

 uikm x k

Pi  k 1N

 uikm

k 1

(11)
2

4

Update anggota matriks U dengan persamaan

u

*
ik



 d2
  ik2
j 1 d jk

c

5






1 /  m  1

(12)
Bandingkan nilai keanggotaan dalam matriks
U, jika || U(k+1) - U(k)||<  maka sudah
konvergen dan iterasi dihentikan. Jika || U(k+1)
- U(k)|| ≥  , maka kembali ke langkah 3.

Jarak yang dipakai dalam FCM adalah jarak
Eulidean, sehingga A xi  adalah berupa matrik
identitas. Sedangkan untuk algoritma GK, pada
mulanya memakai jarak euclid, namun sejalan
iterasi, matriks A xi  akan berubah dengan
memasukkan matriks covarian sebagai atributnya.
Algoritma GK diberikan pada Tabel 2

2
3
4

Perbaikan dari kedua metode tersebut dikemukakan
oleh Shihab (2000). Algoritmanya diberi nama
Population Diameter Independent (PDI). Prinsip
metode ini adalah membentuk sebuah batasan
pengelompokkan pada diameter tertentu. Setiap
pengelompokkan pada satu diameter berkontribusi
secara optimum. Jika kontribusi dalam FCM dan
GK dibuat sama per kelompok, maka dalam PDI
dapat berbeda tergantung dari kontribusi optimum
yang diberikan oleh setiap kelompok. Dalam ruang
2 dimensi bentuk batasan tersebut akan menyerupai
lingkaran, dalam ruang tiga dimensi bentuknya akn
menyerupai bola dan seterusnya. Fungsi objektif
dari PDI diberikan pada persamaan (17)
c

N

  (u ik ) m d ik2  x k , p i 
i 1 k 1

dengan constraint subjek

Menentukan A xi  awal dimana det A xi  =

  i 1 . Algoritma PDI diberikan oleh Tabel 3.

i

Jarak yang digunakan adalah jarak euclidean.

Menghitung matriks U dengan persamaan

 d2
  ik2
j 1 d jk







N

c

i 1

 uikm x k

Tabel 3. Algoritma PDI
1 Menentukan c banyak cluster atau kelompok
yang ingin dibuat.
2 Menentukan tingkat ke-fuzzy-an hasil
pengelompokan (m), diambil m=2.
3 Menentukan  = det A  i  , diambil A  i 
i

k 1
N

4

 uikm

 1
Ai 1 
 C
 i i

1/ p






Ci

(15)

Dimana C i adalah matrik covarians fuzzy
N

T
 uikm  x k  p i  x k  p i 
k 1

N

 uikm

k 1

x

x

matriks identitas
Menghitung matriks U dengan persamaan
1 /  m  1
r

 i 
 2
d 
*
uik   ik  1 /  m 1
c  r 
  i2 
j 1  d ik 

(14)
Update A xi  dengan

(16)

dan

i 1

k 1

Ci =

 uik 1

2 /  m  1

(13)
Menghitung fuzzy cluster center (P) dengan
persamaan

Pi 

c

1
c

6

1
 ik

Menentukan c banyak
cluster atau kelompok
(u ik ) m d ik2  x k , p i 
yang ingin dibuat.
Menentukan tingkat ke-fuzzy-an hasil
pengelompokan (m), diambil m=2.

uik* 

5

Bandingkan nilai keanggotaan dalam matriks
U, jika || U(k+1) - U(k)||<  maka sudah
konvergen dan iterasi dihentikan. Jika ||U(k+1) U(k)|| ≥  , maka kembali ke langkah 3.

J FCM  P, U, X, c, m  

Tabel 2. Algoritma Gustafson Kessel
1

7

1

5

(18)
Menghitung fuzzy cluster center (P) dengan
persamaan
N

 uikm x k

Pi  k 1N

 uikm

k 1

3

6

(19)
Update  i

Gambar 1. Model Chaotic Mackey-Glass
1 /  r 1

N
uik  m d ik2 
 

 i  k 1
1 /  r 1
c
N
m 2
    uik  d ik 
i 1  k 1

7

(20)

(20)
Bandingkan nilai keanggotaan dalam matriks
U, jika || U(k+1) - U(k)||<  maka sudah
konvergen dan iterasi dihentikan. Jika || U(k+1)
- U(k)|| ≥  , maka kembali ke langkah 3.

Dari gambar 2, 3 dan 4 dengan bantuan Matlab,
dapat dilihat bahwa secara possibilistic algoritma
GK lebih baik daripada FCM, namun pendekatan
dengan PDI memberikan hasil yang paling baik.
Dilihat dari plot probabilistik dan possibilistic PDI
memberikan hasil yang paling mendekati model
aktual (dalam hal ini adalah model Chaotic
Mackey-Glass). Jadi dapat disimpulkan bahwa
prototype dengan algoritma PDI memberikan hasil
forecast yang paling baik dibandingkan dengan
prototype algoritma FCM dan GK. Mean Square
Error untuk masing-masing prototype diberikan
pada Tabel 4.

HASIL DAN DISKUSI
Data simulasi yang digunakan adalah model time
series Chaotic Mackey-Glass dengan persamaan:

dx(t )  0.2  x t   

dt
1  x10  t   

(21)

Gambar fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar
1. Hasil pencocokan kurva dengan prototype
algoritma FCM, GK dan PDI secara berturut-turut
diberikan oleh Gambar 2, 3 dan 4. Garis lurus
menggambarkan model Mackey Glass, sedangkan
garis putus-putus merupakan pencocokan kurva
peramalan.
Dari gambar 2, 3 dan 4 dengan bantuan Matlab,
dapat dilihat bahwa secara possibilistic algoritma
GK lebih baik daripada FCM, namun pendekatan
dengan PDI memberikan hasil yang paling baik.
Dilihat dari plot probabilistik dan possibilistic PDI
memberikan hasil yang paling mendekati model
aktual (dalam hal ini adalah model Chaotic
Mackey-Glass). Jadi dapat disimpulkan bahwa
prototype

Tabel 4. Mean Square Error Probabilistic dan
Possibilistic FCM, GK dan PDI
Prototype
FCM
GK
PDI

MSE
Probabilistic
2.16
1.78
1.09

MSE
Possibilistic
1.55
1.12
0.84

KESIMPULAN
Fuzzy control dengan model Takagi
Sugeno sangat baik digunakan untuk pencocokan
kurva time series. Dengan mengganti prototype
menggunakan algoritma Population Diameter
Independent (PDI) dihasilkan pencocokan kurva
yang lebih baik dari pada FCM dan GK, baik secara
probabilistic maupun possibilistic.

prototype dengan algoritma PDI memberikan hasil
forecast yang paling baik dibandingkan dengan
prototype algoritma FCM dan GK. Mean Square
Error untuk masing-masing prototype diberikan
pada Tabel 4.
Gambar 2. FCM: metode probabilstic (a) dan
metode possibilistic (b)

4

Gambar 3. GK: metode probabilstic (a) dan metode
possibilistic (b)

Gambar 4. PDI: metode probabilstic (a) dan metode
possibilistic (b)

DAFTAR PUSTAKA
[1] Mastorakis, N., (1998), General Fuzzy System
as Extensions of the Takagi Sugeno
methodology, WSEAS Theologou, 17-23
[2] Shihab, A. I., (2000), Fuzzy Clustering
Algorithm and Their Application to Medical
Image Analysis. Dissertation, University of
London, London.
[3] Sugeno, M dan Tanaka, K., (1991). Successsive
identification of a fuzzy model and its
application to prediction a complex system.
Fuzzy sets ad System, vol 42, 315-334
[4] Takagi, T dan Sugeno, M., (1985), Fuzzy
identification of System and its application to
modeling and control. IEEE Transaction on
System, Man and Cybernetics, vol 15, 116-132.
[5] Wolkenhauer, O., (1999), Fuzzy system
Identification (Takagi-Sugeno Modeling and
Identification). o.wolkenhauer@umist.ac.uk

5