GUSTAFSON KESSEL FUZZY CLUSTERING UNTUK IDENTIFIKASI MODEL FUZZY TAKAGI SUGENO

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVII, Agustus 2006 (401-416)

GUSTAFSON-KESSEL FUZZY CLUSTERING UNTUK IDENTIFIKASI

MODEL FUZZY TAKAGI-SUGENO Winter Dewayatna, Fery Yusivar, Aries Subiantoro*

ABSTRAK

GUSTAFSON-KESSEL (GK) FUZZY CLUSTERING UNTUK IDENTIFIKASI MODEL FUZZY TAKAGI-SUGENO. Suatu teknik untuk mengotomatisasi pembuatan suatu model fuzzy Takagi-Sugeno (TS) dari suatu system menggunakan algoritma Gustafson-Kessel Fuzzy Clustering

dipresentasikan pada makalah ini. Model Fuzzy TS ini digunakan untuk mengaproksimasi suatu system nonlinier dan multivariable. Himpunan fuzzy premis dan parameter-parameter konsekuen dari model fuzzy TS diturunkan dari cluster-cluster yang dihasilkan dengan algoritma Gustaffson-Kessel. Aplikasi terhadap system non-linier multi variable empat tangki (quadrupole tank) menunjukkan kesesuaian model dengan system sangat baik yang ditunjukkan dengan nilai Variance Accounted For (VAF) di atas 99 % terhadap data-data pelatihan dan validasi.

Kata-kata kunci: Identifikasi, Fuzzy clustering, Model Takagi-Sugeno, Sistem MIMO.

ABSTRACT

GUSTAFSON-KESSEL (GK) FUZZY CLUSTERING FOR IDENTIFICATION OF TAKAGI-SUGENO FUZZY MODELS. The construction of interpretable Takagi-Sugeno (TS) models by means of Gustafson-Kessel Fuzzy Clustering is presented in this paper. The TS fuzzy model is used to approximate a nonlinier and multivariable system. It is shown how the premise fuzzy set and the corresponding consequent parameters of the TS model can be derived from clusters obtained by the Gustafson-Kessel algorithm. Application to nonlinear multivariable quadrupole tank process shows good result which is Variance Accounted For (VAF) is better than 99 % on both training and validation data. Keywords: Identification, Fuzzy clustering, Takagi-Sugeno model, MIMO system

1. PENDAHULUAN

Sistem-sistem multivariabel banyak ditemui dalam proses industri. Evaporator, tangki campur dan kolom distilasi adalah beberapa dari proses multivariabel dalam industri[1]. Pada proses pengolahan limbah cair radioaktif, evaporator digunakan untuk mengurangi volum limbah sebelum dimobilisasi. Tangki campur digunakan dalam proses pembuatan bahan-bahan nuklir. Pada PLTN sistem multivariabel dapat

ditemukan pada Steam Generator dan reactor vessel. Proses proses ini biasanya kompleks sehingga membuat model ini dari hukum-hukum alam biasanya sukar, atau melibatkan banyak asumsi.

Membuat model-model dari sistem-sistem atau proses-proses nyata merupakan hal yang penting pada banyak disiplin ilmu dan rekayasa. Model-model dapat digunakan untuk analisis tingkah laku sistem, untuk mengerti mekanisme sistem lebih baik, simulasi, perancangan sistem kendali , dsb [2,3]. Identifikasi dari proses-proses multi-input multi-output (MIMO) non-linier merupakan suatu tahapan yang penting dan menantang pada perancangan pengendali berbasis model seperti internal model control (IMC) dan model-based predictive control (MBPC).

Untuk sistem-sistem dinamik nonlinier, teknik-teknik konvensional pemodelan dan identifikasi sukar diterapkan dan sering tidak praktis, sehingga teknik-teknik seperti jaringan saraf tiruan (JST) dan fuzzy biasanya digunakan untuk pemodelan proses ini. Pemodelan menggunakan JST terkendala oleh sifatnya yang tidak interpretable, sehingga penggunaan model fuzzy lebih menarik. Diantara berbagai metode fuzzy, model Takagi-Sugeno (TS) paling sesuai digunakan untuk pemodelan sistem-sistem ini. Model ini terdiri dari aturan if-then dengan premis fuzzy dan fungsi-fungsi matematis pada bagian konsekuen. Himpunan fuzzy premis membagi ruang input ke dalam sejumlah daerah-daerah fuzzy yang fungsi konsekuennya menyatakan perilaku sistem pada daerah-daerah ini.

Pembuatan model fuzzy biasanya terdiri atas dua tahap. Tahap pertama adalah menentukan himpunan-himpunan fuzzy (fungsi-fungsi keanggotaan) pada premis dari aturan model tersebut. Ini dapat dilakukan secara manual, menggunakan pengetahuan mengenai proses tersebut atau secara otomatis menggunakan teknik-teknik identifikasi, seperti fuzzy clustering atau neuro fuzzy. Tahap kedua adalah mengestimasi parameter-parameter dari fungsi konsekuen. Karena fungsi-fungsi ini biasanya dipilih agar linier, maka umumnya digunakan metode least square linier.

Fuzzy clustering dalam Cartesian product-space dari input dan output cukup luas digunakan untuk menghasilkan fungsi-fungsi keanggotaan premis. Dengan clustering product-space tersebut, awalnya dihasilkan himpunan-himpunan fuzzy multidimensi. Karena pada umumnya sukar untuk menginterpretasikan himpunan-himpunan fuzzy multidimensi, biasanya lebih baik menggunakan himpunan-himpunan fuzzy yang diproyeksikan terhadap satu dimensi dari Cartesian space tersebut, meskipun akan menyebabkan galat dekomposisi.

Makalah ini diorganisasikan sebagai berikut : Bab 2 membahas model fuzzy TS yang digunakan. Bab 3 mempresentasikan metode identifikasi fuzzy berdasarkan fuzzy clustering yang membuat model-model TS secara otomatis. Akhirnya bab 4 membahas aplikasi metode identifikasi ini pada sistem non-linier multivariable quadrupole tank. Bab 5 kesimpulan dari makalah ini.

2. Model fuzzy Takagi-Sugeno untuk regresi nonlinier

Model fuzzy ini pertama kali diperkenalkan oleh Takagi dan Sugeno pada tahun 1985[4]. Model ini terdiri atas suatu himpunan aturan if-then dengan bagian premis adalah himpunan fuzzy dan bagian konsekuen adalah suatu fungsi matematis. Himpunan fuzzy premis membagi ruang masukan kedalam daerah-daerah fuzzy, sementara fungsi konsekuen menjabarkan perilaku sistem pada daerah-daerah ini. Model fuzzy TS memiliki memiliki bentuk berikut:

( )

y

f

( )

i

c

A

is

R

_i

:

if

x

_i

x

then

ˆ

_i

=

x

,

=

1

,

l

,

(1)

Fungsi konsekuen f biasanya dipilih sebagai fungsi linier, sehingga model fuzzy dengan fungsi konsekuen linier memiliki bentuk berikut :

( )

y b i c

A is

R_i : if x _i x then ˆ_i =a_iTx+ _i, =1,l, (2)

di mana

A

i

(

x

)

adalah himpunan fuzzy premis yang dinyatakan oleh suatu fungsi keanggotaan multi variabel

Ai

x :

p

0,1

_, i

a

dan

b

i adalah parameter dari fungsi affine linier.

Dalil premis “

x

is

A

i

( )

x

” dapat dinyatakan sebagai kombinasi logis dari

dalil-dalil dengan himpunan-himpunan fuzzy univariate yang didefinisikan untuk komponen-komponen individu dari x dalam bentuk konjugtif :

( )

x x isA

( )

x y b i c

A is x

R i

T i i n

in n i

i: if 1 1 1 andland then ˆ =a x+ , =1,l, (3)

Degree of fullfilment dari aturan tersebut dihitung sebagai perkalian dari derajat-derajat keanggotaan individual :

( )

( )

_∏

( )

_∏

( )

= =

=

=

=

n

j

j A n

j

j ij i

i

A

A

x

_ij

x

1 1

µ

β

x

x

(4)

( )

( )

∑

∑

= =

=

_c i i c i i i

x

y

x

y

1 1

ˆ

ˆ

β

β

(5)

3. Identifikasi Model Fuzzy berdasarkan Gustafson-Kessel Fuzzy Clustering

3.1 Identifikasi sistem-sistem dinamik MIMO

Suatu sistem MIMO dengan ni masukan dan no masukan dapat didekati suatu himpunan model-model MISO TS terkopel.[2]

Diberikan dua bilangan integer m m≤n yang mendefinisikan suatu deret terurut dari sampel-sampel tertunda dari sinyal y sebagai:

( )

{ }

y

k

_mn

≡

[

y

(

k

−

m

) (

,

y

k

−

m

−

1

)

,

m

,

y

(

k

−

n

)

]

.

(6)

Model-model MISO adalah tipe NARX (Non linear Auto Regrssive with eXogenous input) yang didefinisikan oleh :

( )

(

x

k

)

f

k

y

l

(

+

1

)

=

l l ,

l

=

1

,

2

,

m

,

n

o (7)

di mana vektor regresi diberikan oleh :

( )

{

( )

}

{

( )

}

{

( )

}

{

( )

}

{

( )

}

{

( )

}

_ 



= u i

i u o ul ul ul dl o y o yl yl n n n n n n n n n n n

l k y k y k y k u k u k u k

x ln ln 2 2 1 1 ln 2 1 , , , , , ,

, 2 0 ₀ 1 2

0

1 m m (8)

y

n dan

n

_uberturut-turut menyatakan tundaan maksimum yang diberikan untuk keluaran-keluaran dan masukan-masukan.

n

_d adalah waktu tunda diskrit. n_yadalah matriks

n

_o

x

n

_odan

n

_u,

n

_dadalah matriks

n

_o

x

n

_i.

f

_ladalah model fuzzy TS (2).

Model-model miso diestimasi secara bebas dari yang lain sehingga untuk kesederhanaan notasi indeks keluaran l dihilangkan dan dijelaskan hanya untuk kasus multi-input single-output.

3.2. Data regresi

sampel-sampel data dikumpulkan pada matiks Z yang dibentuk dengan menggabungkan matriks regresi X dan vektor output Y:

( )

(

)

(

)

( )

[

X

Y

]

Z

N

y

k

y

Y

N

x

k

x

X

=

























+

=

























−

=

,

1

,

1

m

m

m

m

N adalah banyaknya sampel-sampel data.

3.3 Kontruksi fuzzy clusters

Terdapat berbagai algoritma berbeda untuk membuat fuzzy clusters seperti algoritma c-means, algortima Gath-Geva dan algoritma Gustafson-Kessel yang akan digunakan di sini.

Melalui clustering, set data Z dibagi ke dalam c clusters. Hasilnya adalah matriks partisi

U

=

[ ]

µ

_{ik cxN}, yang elemen-elemennya menyatakan derajat keanggotaan dari pengamatan pada cluster i, matriks prototip

V

=

[

v

₁

,

l

,

v

_c

]

, dan

matriks-matriks kovarians cluster

F

=

[

F

₁

,

l

,

F

_c

]

. Bila triplet (U,V,F) telah

dihasilkan, maka fungsi keanggotaan premis, dan parameter affine linier konsekuen dapat dihitung.

Berikut adalah algoritma Gustafson Kessel clustering.

Inisialisasi Berikan set data Z, banyak cluster c, eksponen pembobot m, dan toleransi terminasi ε_{. Inisialisasi matriks partisi (secara random),}

[ ]

N x c ik

U

=

µ

.

Ulangi untuk l=1,2, ... Langkah 1 Hitung prototip cluster,

v

_i

v

_il k 1

N ik

l 1 m

z

_k

k 1

N ik

l 1 m

,

1

i

c

Langkah 2 Hitung matriks kovarians cluster:

F

_i k 1

N ik

l 1 m

z

_k

v

_il

z

_k

v

_il T

k 1

N ik

l 1 m

, l

i

c

(10) Langkah 3 Hitung jarak

z

_k dari prototip cluster,

v

_i:

D

ikAi

2

z

k

v

i

l T

i

det F

i

1n

F

i

1

z

k

v

i l

,

1

i c ,

1

k

N

₍₁₁₎

Langkah 4 Perbaharui matriks partisi:

ik

l

1

j 1

c

D

_ikA i

D

jkAi

2 m 1

(12) Hingga

( )l ₋ ( )l−1 _<

_ε

U

U

3.4. Penentuan fungsi keanggotaan premis dari matriks partisi.

Himpunan fuzzy multidimensi dari matriks partisi U diproyeksikan terhadap regressor xj,1≤ j≤ p, dengan

A_ij

x

jk

proj

j A_{ij (13)}

Proyeksi orthogonal himpunan fuzzy multi-dimensi pada setiap variabel dari premis akan menghasilkan fungsi keanggotaan yang didefinisikan point-wise dari masing-masing variabel ,seperti terlihat pada gambar 1. Degree of fullfilment dari aturan ke-i lalu dihitung dengan persamaan (4).

(a) (b)

Gambar 1. Proyeksi matriks partisi, (a) pada sumbu x1 dan (b) pada sumbu x2

Untuk menghasilkan suatu model prediksi, fungsi keanggotaan premis harus dinyatakan dalam bentuk fungsi parametrik. Ini dicapai dengan mengaproksimasi fungsi-fungsi keanggotaan yang didefinisikan point-wise dengan suatu fungsi parametrik yang tepat, seperti digambarkan pada gambar 2.

Gambar 2. Aproksimasi data proyeksi dengan fungsi keanggotaan parametrik Fungsi parametrik yang tepat untuk menyatakan fungsi keanggotaan premis dari model fuzzy Takagi-Sugeno ini adalah fungsi keanggotaan eksponensial piece-wise[2]. Fungsi keanggotaan eksponensial piece-wise ini digunakan untuk mengaproksimasi fungsi keanggotaan yang didefinisikan point-wise. Fungsi eksponensial piece-wise ini di-fit terhadap amplop dari data proyeksi dengan mengoptimasi parameter-parameternya. Berikut fungsi keanggotaan eksponensial piece-wise :

x ; c

_l

, c

_r

, w

_l

, w

_r

e

x cl

2

2 l

2

,

x

c

l

e

x c_r2 2 r

2

,

x

c

_r

1

,

c

_l

x c

_r

(14) Bila

c

_l

=

c

_rdan

σ =

_l

σ

_rmaka dihasilkan fungsi keanggotaan Gaussian.

3.5. Penentuan fungsi affine linier konsekuen dengan least square

Metode least-square digunakan untuk mengestimasi parameter dari konsekuen ai, bi berdasarkan derajat keanggotaan dari masing-masing cluster. Data

masukan-keluaran yang diidentifikasi serta derajat keanggotaan dari partisi fuzzy, dibutuhkan dalam metode least-square untuk mengestimasi parameter konsekuen. Hubungan antar data dalam setiap cluster yang telah diidentifikasi oleh algoritma Gustafson-Kessel ditentukan melalui metode least-square. Dengan demikian dari setiap cluster akan diperoleh persamaan linier, yang merupakan lokal linear dari suatu model Takagi_sugeno. Data masukan-keluaran dan derajat keanggotaan tersebut diatur dalam susunan matriks sebagai berikut:

X

x

1

T

x

T₂

x

T_N

,

y

y

₁

y

₂

y

_N

,

W

_i

i1

0

0

0

_i2

0

0

0

iN

(15)

Parameter konsekuen dari aturan pada cluster ke-i, ai , bi terangkai dalam satu vektor

parameter,

θ

_i:

[ ]

T i T i

i a b

θ = ₍₁₆₎

Penambahan kolom satuan kepada X, menghasilkan, Xe (extended regrssor X):

X_e= [X ,1] ₍₁₇₎

maka parameter

θ

_{idiperoleh menggunakan persamaan:}

i

X

e T

W

i

X

e

1

X

e T

W

i

y

₍₁₈₎

4. Aplikasi pada sistem quadrupole tank 4.1. Model proses

Sistem quadrupole tank[5] ini adalah suatu perangkat laboratorium yang terdapat di Fakulatas Teknik (LTH) Universitas Lund di Swedia. Diagram dari sistem ini dapat

dilihat pada gambar 3. Data-data diambil dari sinyal masukan pada kedua pompa v1 dan v2 dan sinyal keluaran dari level dua tangki dibawah h1 dan h2.

Model proses dari sistem ini adalah:

(19)

T angki 1 T angki 2

T angki 3 T angki 4

Pompa 1 Pompa 2

v1 h1 v2 h2

h4 h3

Gambar 3.. Diagram skematik sistem empat tangki.

Selanjutnya model proses ini akan digunakan untuk mensimulasi sistem empat tangki yang data-datanya digunakan untuk proses identifikasi model fuzzy TS menggunakan GK fuzzy clustering. Parameter sistem quadrupole yang digunakan adalah[5]:

A1, A3 = 28 cm2, A2, A4 = 32 cm2

a1, a3 = 0,071 cm2, a2, a4 = 0,057 cm2

k1 = 3,33 cm3/Vs, k2 = 3,35 cm3/Vs

γ1 = 0,7 γ2 = 0,6

kc = 0,5 V/cm

g = 981 cm/detik2

4.2. Pengumpulan data.

Simulasi sistem quadrupole dilakukan selama 20000 detik dengan waktu cuplik 1 detik. Bentuk sinyal masukan dan keluaran masing-masing dapat dilihat pada gambar 4 dan 5. Set data yang diperoleh dibagi dua, bagian pertama digunakan sebagai data identifikasi (data pelatihan) dan bagian kedua digunakan sebagai data validasi. Data pelatihan digunakan untuk menurunkan model fuzzy TS menggunakan algoritma GK fuzzy clustering, sedangkan set data validasi untuk meguji kinerja model TS yang dihasilkan pada tahapan identifikasi menggunakan set data yang berbeda dari set data pelatihan. Prosedur ini bertujuan untuk melihat kemungkinan terjadinya overfitting dari model terhadap data pelatihan.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 104 0

1 2 3 4 5 6 7

Waktu (s) u1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 104 0

1 2 3 4 5 6 7

Waktu (s) u2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 104 0 2 4 6 8 10 Waktu (s) y1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 104 0 2 4 6 8 10 Waktu (s) y2

Gambar 5. Sinyal Keluaran

4.3. Model Fuzzy TS dari sistem quadrupole Struktur MISO NARX yang digunakan adalah

2

,

1

)),

1

(

),

(

),

1

(

),

(

),

1

(

),

(

(

)

1

(

ˆ

k

+

=

F

y

k

y

k

−

u

₁

k

u

₁

k

−

u

₂

k

u

₂

k

−

l

=

y

_{l l l l}

model MISO dengan l=1 dan l=2 berturut-turut akan disebut sebagai model MISO-1 dan model MISO-2. Selanjutnya model TS ini diidentifikasi menggunakan GK fuzzy clustering dengan memilih eksponen pembobot m = 1,2 dan banyaknya cluster = 3.

Dari identifikasi menggunakan GK fuzzy clustering diperoleh model MISO-1 berikut

R11 : if

y

1

(

k

−

1

)

is low and

y

1

(

k

−

2

)

is low and

u

1

(

k

−

1

)

is low and

u

1

(

k

−

2

)

is

low and

u

₂

(

k

−

1

)

is low and

u

₂

(

k

−

2

)

is low then

+ − − − + − − −

=1.879 ( 1) 0.88264 ( 2) 0.040174 ( 1) 0.03761 ( 2) )

(

ˆ₁ k y₁ k y₁ k u₁ k u₁ k

y

00147

.

0

)

2

(

000466

.

0

)

1

(

001188

.

0

u

2

k

−

+

u

2

k

−

−

R12 : if

y

1

(

k

−

1

)

is fair and

y

1

(

k

−

2

)

is fair and

u

1

(

k

−

1

)

is fair and

u

1

(

k

−

2

)

is

+ − − − + − − −

=1.922 ( 1) 0.9233 ( 2) 0.041306 ( 1) 0.039 ( 2) )

(

ˆ₁ k y₁ k y₁ k u₁ k u₁ k

y

00401

.

0

)

2

(

000574

.

0

)

1

(

0079

.

0

u

₂

k

−

+

u

₂

k

−

−

R13 : if

y

1

(

k

−

1

)

is high and

y

1

(

k

−

2

)

is high and

u

1

(

k

−

1

)

is high and

)

2

(

1

k

−

u

is high and

u

₂

(

k

−

1

)

is fair and

u

₂

(

k

−

2

)

is fair then

+ − − − + − − −

=1.771 ( 1) 0.77372 ( 2) 0.034118 ( 1) 0.02734 ( 2) )

(

ˆ₁ k y₁ k y₁ k u₁ k u₁ k

y

001415

.

0

)

2

(

002692

.

0

)

1

(

001696

.

0

u

₂

k

−

+

u

₂

k

−

−

(20)

dan model MISO-2 :

R21 : if

y

2

(

k

−

1

)

is low and

y

2

(

k

−

2

)

is low and

u

1

(

k

−

1

)

is low and

u

1

(

k

−

2

)

is

low and

u

₂

(

k

−

1

)

is low and

u

₂

(

k

−

2

)

is low then

+ − + − + − − −

=1.847 ( 1) 0.85129 ( 2) 0.000799 ( 1) 0.000546 ( 2) )

(

ˆ₂ k y₂ k y₂ k u₁ k u₁ k

y

00105

.

0

)

2

(

02736

.

0

)

1

(

030256

.

0

u

2

k

−

−

u

2

k

−

−

R22 : if

y

2

(

k

−

1

)

is fair and

y

2

(

k

−

2

)

is fair and

u

1

(

k

−

1

)

is fair and

u

1

(

k

−

2

)

is

fair and

u

₂

(

k

−

1

)

is fair and

u

₂

(

k

−

2

)

is low then

+ − + − + − − −

=1.948 ( 1) 0.94864 ( 2) 0.000306 ( 1) 0.000269 ( 2) )

(

ˆ₂ k y₂ k y₂ k u₁ k u₁ k

y

00152

.

0

)

2

(

03006

.

0

)

1

(

03115

.

0

u

2

k

−

−

u

2

k

−

−

R23 : if

y

2

(

k

−

1

)

is high and

y

2

(

k

−

2

)

is fair and

u

1

(

k

−

1

)

is fair and

u

1

(

k

−

2

)

is

fair and

u

₂

(

k

−

1

)

is fair and

u

₂

(

k

−

2

)

is low then

+ − + − + − − −

=1.896 ( 1) 0.89701 ( 2) 0.000563 ( 1) 0.000637 ( 2) )

(

ˆ₂ k y₂ k y₂ k u₁ k u₁ k

y

00642

.

0

)

2

(

02813

.

0

)

1

(

030879

.

0

u

2

k

−

−

u

2

k

−

−

(21)

Fungsi keanggotaan premis untuk kedua model MISO dapat dilihat pada gambar 6 dan 7.

Gambar 6. Fungsi keanggotaan premis MISO-1

4.4. Validasi model

Respon dari model proses dan model identifikasi ditunjukkan pada gambar 8 dan gambar 9.

Gambar 8 menunjukkan perbandingan keluaran model proses dan model identifikasi. Data masukan untuk identifikasi adalah data masukan selama 10000 detik pertama dari data masukan simulasi, terlihat sebagai 10000 detik pertama dari sinyal masukan pada gambar 4. Dari gambar 8 tampak bahwa keluaran model fuzzy TS menyerupai keluaran model proses.

Gambar 9 menunjukkan perbandingan keluaran model proses dan model identifikasi menggunakan set data yang berbeda dengan set data identifikasi. Data masukan diambil dari paruh kedua data masukan simulasi, yaitu data masukan dari detik ke-10001 hingga detik ke-20000 dari gambar 4. Model yang baik akan menunjukkan kinerja yang baik terhadap semua jenis data, baik yang digunakan untuk identifikasi maupun terhadap data yang lain. Dari gambar 9 tampak bahwa keluaran model fuzzy TS juga menyerupai keluaran model proses.

Sebagai ukuran kinerja, digunakan percentile Variance Accounted For (VAF) diantara dua sinyal sebagai berikut[6,7]:

(

)

( )













₋

−

=

y

y

y

var

ˆ

var

1

%

100

VAF

(22)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0

2 4 6 8 10

Waktu (s)

y1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0

2 4 6 8 10

Waktu (s)

y2

Gambar 4.7. Perbandingan keluaran dari proses (garis putus/biru) dan keluaran model (garis kontinu/hijau) terhadap masukan identifikasi. VAF untuk

1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0

2 4 6 8 10

Waktu (s)

y1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0

2 4 6 8 10

Waktu (s)

y2

Gambar 4.8. Perbandingan keluaran dari proses (garis putus/biru) dan keluaran model (garis kontinu/hijau) terhadap masukan validasi. VAF untuk

y

₁

dan

y

₂ masing-masing sebesar 99.281% dan 99.628%

VAF dari dua sinyal identik adalah 100 %. Semakin berbeda kedua sinyal, VAF akan semakin kecil.

VAF dari keluaran y1 dan y2 dari model TS terhadap model proses

masing-masing adalah sebesar 99.615% dan 99.774% untuk data pelatihan, dan VAF dari keluaran y1 dan y2 dari model TS terhadap model proses masing-masing adalah

sebesar 99.281% dan 99.628% untuk data validasi. Tampak bahwa kesesuaian antara keluaran model TS dan keluaran proses sangat baik ditunjukkkan dengan nilai VAF di atas 99 % baik terhadap data pelatihan maupun terhadap data validasi.

KESIMPULAN

Dari penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:

1. Algoritma GK fuzzy clustering dapat digunakan untuk menurunkankan model fuzzy TS dari suatu sistem multivariabel non-linier seperti sistem quadrupole tank. 2. Model fuzzy TS dari sistem quadrupole tank yang dihasilkan menunjukkan kinerja sangat baik dengan nilai VAF diatas 99% baik terhadap data pelatihan maupun terhadap data validasi.

DAFTAR PUSTAKA

1. SMITH, C.A dan CORRIPIO A.B, ‘Principles and Practice of Automatic Process Control”, 2nd Ed., John Willey and Sons, Inc, 1997.

2. BABUSKA, R., “Fuzzy Modelling for Control”, Kluwer Academic Pub, 1998. 3. RIID, A., “Transparent Fuzzy Systems : Modelling and Control”, Dissertation,

Tallin Technical University, Tallin, 2002.

4. TAKAGI, T. dan M.SUGENO, "Fuzzy Identification of Systems and Its Application to Modelling and Control”, IEEE Transaction on Systems, Man and Cybernetics, Vol. SMC-15(1), January/February (1985) Pages 116 – 132

5. JOHANSSON, K.H.,” The Quadrupole-Tank Process: A Multivariable Laboratory Process with an Adjustable Zero,” IEEE Transaction on control systems Technology,vol. (3) 3, May 2000.

6. TRABELSI, A, dkk., “Identification of Nonlinier Multivariable Systems by Adaptive Fuzzy Takagi-Sugeno Model.”, International Journal of Computational Cognition, Vol. (2) 3, , September (2004) Pages 137-153

7. ABONYI, J., “Constrained Parameter Estimation in Fuzzy Modelling”, In Proceedings of FUZZ-IEEE’99, pages 951-956, Seoul, Korea, August 1999.

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

1. Nama : Winter Dewayatna

2. Tempat/Tanggal Lahir : Bandung, 15 Mei 1965

3. Instansi : PTBN - BATAN

4. Pekerjaan / Jabatan : Staf B3N – PTBN, BATAN

5. Riwayat Pendidikan : (setelah SMA sampai sekarang)

• S1 Jurusan Teknik Nuklir UGM

• Saat ini sedang S2 di Jurusan Elektro kekhususan Teknik Kontrol Industri – Fakultas Teknik-UI

6. Pengalaman Kerja :

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 104 0

2 4 6 8 10

Waktu (s)

y1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 104 0

2 4 6 8 10

Waktu (s)

y2

Gambar 5. Sinyal Keluaran

4.3. Model Fuzzy TS dari sistem quadrupole

Struktur MISO NARX yang digunakan adalah

2

,

1

)),

1

(

),

(

),

1

(

),

(

),

1

(

),

(

(

)

1

(

ˆ

k

+

=

F

y

k

y

k

−

u

₁

k

u

₁

k

−

u

₂

k

u

₂

k

−

l

=

y

_{l l l l}

model MISO dengan l=1 dan l=2 berturut-turut akan disebut sebagai model MISO-1 dan model MISO-2. Selanjutnya model TS ini diidentifikasi menggunakan GK fuzzy clustering dengan memilih eksponen pembobot m = 1,2 dan banyaknya cluster = 3.

Dari identifikasi menggunakan GK fuzzy clustering diperoleh model MISO-1 berikut

R11 : if

y

1

(

k

−

1

)

is low and

y

1

(

k

−

2

)

is low and

u

1

(

k

−

1

)

is low and

u

1

(

k

−

2

)

is low and

u

₂

(

k

−

1

)

is low and

u

₂

(

k

−

2

)

is low then

+ − −

− +

− −

−

=1.879 ( 1) 0.88264 ( 2) 0.040174 ( 1) 0.03761 ( 2) )

(

ˆ₁ k y₁ k y₁ k u₁ k u₁ k

y

00147

.

0

)

2

(

000466

.

0

)

1

(

001188

.

0

u

2

k

−

+

u

2

k

−

−

R12 : if

y

1

(

k

−

1

)

is fair and

y

1

(

k

−

2

)

is fair and

u

1

(

k

−

1

)

is fair and

u

1

(

k

−

2

)

is fair and

u

₂

(

k

−

1

)

is high and

u

₂

(

k

−

2

)

is high then

+ − − − + − − −

=1.922 ( 1) 0.9233 ( 2) 0.041306 ( 1) 0.039 ( 2)

) (

ˆ₁ k y₁ k y₁ k u₁ k u₁ k

y

00401

.

0

)

2

(

000574

.

0

)

1

(

0079

.

0

u

₂

k

−

+

u

₂

k

−

−

R13 : if

y

1

(

k

−

1

)

is high and

y

1

(

k

−

2

)

is high and

u

1

(

k

−

1

)

is high and

)

2

(

1

k

−

u

is high and

u

₂

(

k

−

1

)

is fair and

u

₂

(

k

−

2

)

is fair then

+ − − − + − − −

=1.771 ( 1) 0.77372 ( 2) 0.034118 ( 1) 0.02734 ( 2) )

(

ˆ₁ k y₁ k y₁ k u₁ k u₁ k

y

001415

.

0

)

2

(

002692

.

0

)

1

(

001696

.

0

u

₂

k

−

+

u

₂

k

−

−

(20)

dan model MISO-2 :

R21 : if

y

2

(

k

−

1

)

is low and

y

2

(

k

−

2

)

is low and

u

1

(

k

−

1

)

is low and

u

1

(

k

−

2

)

is low and

u

₂

(

k

−

1

)

is low and

u

₂

(

k

−

2

)

is low then

+ − + − + − − −

=1.847 ( 1) 0.85129 ( 2) 0.000799 ( 1) 0.000546 ( 2) )

(

ˆ₂ k y₂ k y₂ k u₁ k u₁ k

y

00105

.

0

)

2

(

02736

.

0

)

1

(

030256

.

0

u

2

k

−

−

u

2

k

−

−

R22 : if

y

2

(

k

−

1

)

is fair and

y

2

(

k

−

2

)

is fair and

u

1

(

k

−

1

)

is fair and

u

1

(

k

−

2

)

is fair and

u

₂

(

k

−

1

)

is fair and

u

₂

(

k

−

2

)

is low then

+ − + − + − − −

=1.948 ( 1) 0.94864 ( 2) 0.000306 ( 1) 0.000269 ( 2) )

(

ˆ₂ k y₂ k y₂ k u₁ k u₁ k

y

00152

.

0

)

2

(

03006

.

0

)

1

(

03115

.

0

u

2

k

−

−

u

2

k

−

−

R23 : if

y

2

(

k

−

1

)

is high and

y

2

(

k

−

2

)

is fair and

u

1

(

k

−

1

)

is fair and

u

1

(

k

−

2

)

is fair and

u

₂

(

k

−

1

)

is fair and

u

₂

(

k

−

2

)

is low then

+ − + − + − − −

=1.896 ( 1) 0.89701 ( 2) 0.000563 ( 1) 0.000637 ( 2) )

(

ˆ₂ k y₂ k y₂ k u₁ k u₁ k

y

00642

.

0

)

2

(

02813

.

0

)

1

(

030879

.

0

u

2

k

−

−

u

2

k

−

−

(21)

Fungsi keanggotaan premis untuk kedua model MISO dapat dilihat pada gambar 6 dan 7.

Gambar 6. Fungsi keanggotaan premis MISO-1

4.4. Validasi model

Respon dari model proses dan model identifikasi ditunjukkan pada gambar 8 dan gambar 9.

Gambar 8 menunjukkan perbandingan keluaran model proses dan model identifikasi. Data masukan untuk identifikasi adalah data masukan selama 10000 detik pertama dari data masukan simulasi, terlihat sebagai 10000 detik pertama dari sinyal masukan pada gambar 4. Dari gambar 8 tampak bahwa keluaran model fuzzy TS menyerupai keluaran model proses.

Gambar 9 menunjukkan perbandingan keluaran model proses dan model identifikasi menggunakan set data yang berbeda dengan set data identifikasi. Data masukan diambil dari paruh kedua data masukan simulasi, yaitu data masukan dari detik ke-10001 hingga detik ke-20000 dari gambar 4. Model yang baik akan menunjukkan kinerja yang baik terhadap semua jenis data, baik yang digunakan untuk identifikasi maupun terhadap data yang lain. Dari gambar 9 tampak bahwa keluaran model fuzzy TS juga menyerupai keluaran model proses.

Sebagai ukuran kinerja, digunakan percentile Variance Accounted For (VAF) diantara dua sinyal sebagai berikut[6,7]:

(

)

( )













₋

−

=

y

y

y

var

ˆ

var

1

%

100

VAF

(22)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0

2 4 6 8 10

Waktu (s) y1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0

2 4 6 8 10

Waktu (s) y2

Gambar 4.7. Perbandingan keluaran dari proses (garis putus/biru) dan keluaran model (garis kontinu/hijau) terhadap masukan identifikasi. VAF untuk

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0

2 4 6 8 10

Waktu (s) y1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0

2 4 6 8 10

Waktu (s) y2

Gambar 4.8. Perbandingan keluaran dari proses (garis putus/biru) dan keluaran model (garis kontinu/hijau) terhadap masukan validasi. VAF untuk

y

₁

dan

y

₂ masing-masing sebesar 99.281% dan 99.628%

VAF dari dua sinyal identik adalah 100 %. Semakin berbeda kedua sinyal, VAF akan semakin kecil.

VAF dari keluaran y1 dan y2 dari model TS terhadap model proses masing-masing adalah sebesar 99.615% dan 99.774% untuk data pelatihan, dan VAF dari keluaran y1 dan y2 dari model TS terhadap model proses masing-masing adalah sebesar 99.281% dan 99.628% untuk data validasi. Tampak bahwa kesesuaian antara keluaran model TS dan keluaran proses sangat baik ditunjukkkan dengan nilai VAF di atas 99 % baik terhadap data pelatihan maupun terhadap data validasi.

KESIMPULAN

Dari penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:

1. Algoritma GK fuzzy clustering dapat digunakan untuk menurunkankan model fuzzy TS dari suatu sistem multivariabel non-linier seperti sistem quadrupole tank. 2. Model fuzzy TS dari sistem quadrupole tank yang dihasilkan menunjukkan kinerja sangat baik dengan nilai VAF diatas 99% baik terhadap data pelatihan maupun terhadap data validasi.

DAFTAR PUSTAKA

1. SMITH, C.A dan CORRIPIO A.B, ‘Principles and Practice of Automatic Process Control”, 2nd Ed., John Willey and Sons, Inc, 1997.

2. BABUSKA, R., “Fuzzy Modelling for Control”, Kluwer Academic Pub, 1998. 3. RIID, A., “Transparent Fuzzy Systems : Modelling and Control”, Dissertation,

Tallin Technical University, Tallin, 2002.

4. TAKAGI, T. dan M.SUGENO, "Fuzzy Identification of Systems and Its Application to Modelling and Control”, IEEE Transaction on Systems, Man and Cybernetics, Vol. SMC-15(1), January/February (1985) Pages 116 – 132

5. JOHANSSON, K.H.,” The Quadrupole-Tank Process: A Multivariable Laboratory Process with an Adjustable Zero,” IEEE Transaction on control systems Technology,vol. (3) 3, May 2000.

6. TRABELSI, A, dkk., “Identification of Nonlinier Multivariable Systems by Adaptive Fuzzy Takagi-Sugeno Model.”, International Journal of Computational Cognition, Vol. (2) 3, , September (2004) Pages 137-153

7. ABONYI, J., “Constrained Parameter Estimation in Fuzzy Modelling”, In Proceedings of FUZZ-IEEE’99, pages 951-956, Seoul, Korea, August 1999.

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

1. Nama : Winter Dewayatna

2. Tempat/Tanggal Lahir : Bandung, 15 Mei 1965

3. Instansi : PTBN - BATAN

4. Pekerjaan / Jabatan : Staf B3N – PTBN, BATAN

5. Riwayat Pendidikan : (setelah SMA sampai sekarang)

• S1 Jurusan Teknik Nuklir UGM

• Saat ini sedang S2 di Jurusan Elektro kekhususan Teknik Kontrol Industri – Fakultas Teknik-UI

6. Pengalaman Kerja :