Analisa Error Regularisasi Tikhonov dan Regularisasi GCV (Generalized Cross Validation) Untuk Benda 3D dan Axisymmetri.

i

ABSTRAK

Masalah dalam akustik dapat berupa masalah direct maupun inverse. Dikatakan masalah inverse bila tekanan akustik atau potensial kecepatan pada permukaan benda dapat diketahui dengan mengetahui tekanan sembarang titik di medan akustik dan sebaliknya untuk masalah direct.

Metode numerik untuk memecahkan masalah akustik antara lain dengan

menggunakan Metode Elemen Batas ( Boundary Element Method, BEM). Keuntungan dari Metode Elemen Batas (BEM) adalah pemecahan masalah tiga dimensi

menggunakan cara dua dimensi. Pada masalah inverse, matriks yang ill-conditioned dapat muncul sewaktu menyelesaikan persamaan matriks permukaan pada frekuensi karakteristik tertentu. Singular Value Decomposition (SVD) digunakan untuk mendapatkan invers dari matriks yang singular. Kemudian regularisasi Tikhonov atau regularisasi GCV ditambahkan untuk menekan error yang mungkin terjadi.

Dalam tugas akhir ini, program untuk menyelesaikan masalah invers akustik dengan BEM ini dibuat dalam bahasa Fortran. Uji kasus yang dilakukan melibatkan kasus radiasi bola, dan radiasi silinder.

Dari hasil uji kasus, rata-rata error yang terjadi pada kasus radiasi bola adalah 1% - 10% dengan regularisasi Tikhonov dan 2% - 14% dengan regularisasi GCV. Untuk kasus radiasi silinder, error yang terjadi adalah 2% - 13% dengan regularisasi Tikhonov dan 2% - 23% dengan regularisasi GCV pada bagian dengan tangen unik. Sementara pada bagian dengan tangen tidak unik, error yang terjadi sangat besar. Perlu perbaikan lebih lanjut pada program untuk menganalisis masalah tangen yang tidak unik.

ii

ABSTRACT

Problems in Acoustics can be direct or inverse. Defined as inverse problems when the acoustic pressure or normal velocity on the surface of vibrating object is determined by knowing the pressure at any field point and vice versa.

Numeric method to solve problems in Acoustic is Boundary Element Method (BEM). The major advantage of Boundary Element Method (BEM) is to solve three-dimensional problem using two-three-dimensional treatment. In the inverse problems, ill-conditioned matrix may arise when solving the surface matrix equation at certain characteristic frequencies. Singular Value Decomposition (SVD) is used to obtain the inverse of singular matrix. Then, Tikhonov regularization or GCV regularization can be used to suppress the error that may take place.

In this final assignment, the program for solving inverse acoustic problems using Boundary Element Method is built in Fortran programming language. Test cases are carried out involving radiation of sphere, and radiation of cylinder.

From results of test cases, the average error that occur in radiation-of-sphere

case is 1% - 10% with Tikhonov regularization and 2% - 14% with GCV regularization. Radiation-of-cylinder case makes error at 2% - 13 with Tikhonov regularization and 2% - 23% with GCV regularization at unique tangent. Meanwhile, at non-unique tangent, the error that arises is extremely large. So, the program needs to be repaired for analyzing non-unique tangent.

v

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN SURAT PERNYATAAN

Abstrak.………..i

Abstract……….ii

Kata pengantar……….iii

Daftar isi………...v

Daftar gambar……….viii

Daftar tabel………....x

BAB I PENDAHULUAN I.1. Latar Belakang Masalah.……….………... 1

I.2. Identifikasi Masalah dan Perumusan Masalah………... 2

I.3. Tujuan Tugas Akhir……… 2

I.4. Pembatasan Masalah…….………...…... 3

I.5. Sistematika Penulisan……….……….... 3

BAB II LANDASAN TEORI II.1. Persamaan Integral Helmholtz………... 5

II.2. Evaluasi Integral Eliptik………. 7

II.3. Diskritisasi Generator Benda……….. 10

II.4. Diskritisasi Permukaan dengan Elemen Isoparametrik……….. 11

II.5. Persamaan Matriks Integral Helmholtz………. 13

II.5.1. Persamaan Matriks Integral Helmholtz untuk Benda Axisymmetri... 13

II.6. Formulasi Gaussian Quadrature.... 15

II.7. Operasi Matriks Formulasi Invers………. 16

II.8. Singular Value Decomposition (SVD)……….. 18

II.8.1. Regularisasi Tikhonov………. 19

vi BAB III REALISASI PROGRAM

III.1. Distribusi Titik untuk Input Program………. 22

III.1.1. Distribusi Titik Permukaan Benda……….. 22

III.1.2. Distribusi Titik Ukur……….. 25

III.2. Program Solusi Invers Menggunakan Visual Fortran……… 27

III.2.1. Subrutin INPDAT……… 29

III.2.2. Subrutin COORD1……….……..…… 30

III.2.3. Subrutin GAUSS..……… 31

III.2.4. Subrutin SHFUN………..…… 32

III.2.5. Subrutin SHAPE………..……….……… 32

III.2.6. Subrutin COEFC2……….………... 34

III.2.7. Subrutin SOLVE...……….……….. 34

III.2.8. Subrutin MATRIX……….……….… 38

III.2.9. Subrutin COEMR……….………..…. 39

III.2.10.Subrutin Operasi Matriks……….……….…. 40

III.2.11.Subrutin INVERS……….……….…. 42

III.3. Program Solusi Invers Menggunakan MATLAB ………. 44

III.3.1. Solusi Invers MEB dengan Regularisasi Tikhonov………..… 45

III.3.1. Solusi Invers MEB dengan Regularisasi GCV……….… 45

III.4. Rekonstruksi Data………..………..……... 47

BAB IV. UJI KASUS DAN ANALISIS DATA IV.1. Prosedur Uji Kasus……….... 48

IV.2. Uji Kasus Radiasi Bola Homogen………. 49

IV.2.1. Data Referensi………. 49

IV.2.2. Data Input……… 53

IV.2.3. Hasil Uji Kasus Tanpa Regularisasi……… 55

IV.2.4. Hasil Uji Kasus Dengan Regularisasi Tikhonov……… 58

vii

IV.3. Uji Kasus Radiasi Silinder………... 64

IV.3.1. Data Referensi……… 64

IV.3.2. Data Input………... 67

IV.3.3. Hasil Uji Kasus Tanpa Regularisasi……….... 69

IV.3.4. Hasil Uji Kasus Dengan Regularisasi Tikhonov………. 71

IV.3.5. Hasil Uji Kasus Dengan Regularisasi GCV……….... 74

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1. Kesimpulan……….……..…… 83

5.2. Saran……….. 83 Daftar pustaka

Lampiran A Program Invers Akustik Tiga Dimaensi Menggunakan Metode Elemen Batas dalam Bahasa Pemrograman Fortran

viii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Masalah langsungdan Masalah invers pada Akustik 1

Gambar 2.1 Titik Ukur P untuk Kasus Eksterior, Interior dan Titik dengan Nilai Tangen yang Unik 6

Gambar 2.2 Diskritisasi Permukaan Generator Benda Bersimetri Sumbu dengan Elemen Tiga Titik Simpul 10

Gambar 2.3 _{Elemen isoparametrik segiempat 12} Gambar 2.4 _{Elemen isoparametrik segitiga 12} Gambar 2.5 Kurva-L 20

Gambar 3.1 Distribusi Titik pada Permukaan Benda 23 Gambar 3.2 Koordinat Bola Homogen 24

Gambar 3.3 Koordinat Tabung 25 Gambar 3.4 Distribusi Titik Ukur 26

Gambar 3.5 Diagram Alir Program Utama 28 Gambar 3.6 Diagram Alir Subrutin INPDAT 30 Gambar 3.7 Diagram Alir Subrutin GAUSS 31 Gambar 3.8 Diagram Alir Subrutin SHFUN 32 Gambar 3.9 Diagram Alir Subrutin SHAPE 33 Gambar 3.10 Diagram Alir Subrutin SOLVE 36 Gambar 3.11 Diagram Alir Subrutin MATRIX 39 Gambar 3.12 Diagram Alir Subrutin COEMR 40 Gambar 3.13 Diagram Alir Subrutin ADD 41

Gambar 3.14 Diagram Alir Subrutin SUBSTRACT 41 Gambar 3.15 Diagram Alir Subrutin MULT 42 Gambar 3.16 Diagram Alir Subrutin INVERS 43

ix

Gambar 4.2 Grafik error kasus radiasi bola homogen dengan regularisasi Tikhonov 60

Gambar 4.3 Grafik error kasus radiasi bola homogen dengan regularisasi GCV 64 Gambar 4.4 Grafik error kasus radiasi silinder tanpa regularisasi 71

Gambar 4.5 Grafik error kasus radiasi silinder dengan regularisasi 73

Gambar 4.6 Grafik error kasus radiasi bola homogen dengan regularisasi GCV 76 Gambar 4.7 Visualisasi data referensi kasus radiasi bola homogen 77

Gambar 4.8 Visualisasi data hasil uji kasus radiasi bola homogen dengan regularisasi Tikhonov 78

Gambar 4.9 Visualisasi data hasil uji kasus radiasi bola homogen dengan regularisasi GCV 79

Gambar 4.10 Visualisasi data referensi kasus radiasi silinder 80

Gambar 4.11 Visualisasi data hasil uji kasus radiasi silinder dengan regularisasi Tikhonov 81

Gambar 4.12 Visualisasi data hasil uji kasus radiasi silinder dengan regularisasi GCV 82

x

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Data referensi untuk kasus radiasi bola homogen untuk k=2.5 50 Tabel 4.2 Titik-titik penyusun tiap elemen pada permukaan bola 52

Tabel 4.3 Koordinat dan nilai tekanan data input kasus radiasi bola homogen 53 Tabel 4.4 Hasil uji kasus radiasi bola homogen tanpa regularisasi 55

Tabel 4.5 Hasil uji kasus radiasi bola homogen dengan regularisasi Tikhonov 58 Tabel 4.6 Hasil uji kasus radiasi bola homogen dengan regularisasi GCV 61 Tabel 4.7 Data referensi untuk kasus radiasi silinder 65

Tabel 4.8 Titik-titik penyusun tiap elemen pada permukaan untuk uji kasus silinder 66

Tabel 4.9 Koordinat dan nilai tekanan untuk data input kasus radiasi silinder 67 Tabel 4.10 Hasil uji kasus radiasi silinder tanpa regularisasi 69

Tabel 4.11 Hasil uji kasus radiasi silinder dengan regularisasi Tikhonov 72 Tabel 4.12 Hasil uji kasus radiasi silinder dengan regularisasi GCV 74

1

BAB I PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang Masalah

Untuk mengatasi masalah kebisingan suara, telah dilakukan berbagai usaha dan cara untuk mengidentifikasi sumber suara. Yang perlu diketahui untuk mengendalikan suara adalah kecepatan permukaan, tekanan akustik dan daya akustik. Pada masalah langsung tekanan akustik titik-titik yang terletak pada medan akustik dicari dengan mengetahui tekanan dan kecepatan normal pada permukaan sumber bergetar tersebut.

Sedangkan pada masalah invers tekanan dan kecepatan normal permukaan dapat dipecahkan dengan menggunakan informasi-informasi tekanan suara pada medan akustik. Ilustrasi masalah langsung dan masalah invers dapat dilihat pada gambar 1.1.

Untuk mencari solusi tersebut dapat dilakukan secara analitis atau numerik. Penyelesaian masalah analitis digunakan untuk bentuk benda yang sederhana. Sedangkan untuk benda-benda yang tidak beraturan bentuknya, penyelesaian sulit dilakukan secara analitis. Sehingga penyelesaian dilakukan dengan metoda numerik. Metoda numerik yang digunakan adalah Metode Elemen Batas (Boundary Element Method, BEM).

Gambar 1.1 Masalah langsungdan Masalah invers pada Akustik Masalah Langsung _{Masalah Invers}

Sumber Bunyi Sumber Bunyi

Titik ukur di field point

Bab I - Pendahuluan

2

Pada tugas akhir ini membahas bagaimana menentukan sifat akustik dari sumber-sumber bersimetri sumbu jika informasi medan akustik diketahui. Data yang diketahui adalah tekanan suara pada titik ukur. Tekanan suara pada titik ukur diambil dari hasil perhitungan pada masalah.

Metode SVD ( Singular Value Decomposition) digunakan untuk mencari invers matrik ill-conditioned. Tetapi dengan cara ini masih dihasilkan nilai dengan error yang cukup besar. Hasil yang didapat masih belum sesuai dengan data aslinya, oleh karena itu perlu ditambahkan regularisasi. Ada 2 regularisasi yang akan dibahas pada tugas akhir ini, antara lain regularisasi Tikhonov dan regularisasi GCV ( Generalized Cross Validation ). Tujuan penambahan regularisasi adalah untuk menekan efek noise, untuk mengatasi nilai-nilai singular yang kecil atau menekan komponen-komponen frekuensi tinggi.

I.2 Identifikasi dan Perumusan Masalah

Pada Tugas Akhir ini, masalah utama yang akan dibahas adalah :

• Bagaimana perbandingan antara hasil solusi masalah invers dengan regularisasi Tikhonov dan hasil solusi masalah invers dengan regularisasi GCV pada benda axisymmetri di ruang 3D yang berbentuk bola dan tabung dengan koordinat yang telah ditentukan?

I.3 Tujuan Tugas Akhir

Tugas akhir ini bertujuan untuk membandingkan hasil solusi masalah invers dengan 2 regularisasi, yaitu dengan regularisasi Tikhonov dan dengan regularisasi GVC (Generalized Cross Validation) pada ruang tiga dimensi untuk benda yang memiliki sumbu simetri di ruang tak berhingga dengan menggunakan Metode Elemen Batas.

Solusi yang dicari berupa potensial kecepatan getar permukaan, dan tekanan akustik pada permukaan benda dengan data input berupa informasi mengenai tekanan akustik pada medan akustik. Hasil komputasi akan

Bab I - Pendahuluan

3

untuk masalah invers. Selanjutnya hasil komputasi akan direkonstruksi untuk mendapatkan ilustrasi mengenai tekanan suara pada permukaan sumber akustik.

I.4 Pembatasan Masalah

Dalam Tugas Akhir ini akan dibatasi hal-hal sebagai berikut :

• Benda yang meradiasikan gelombang akustik memiliki simetri sumbu.

• Ruang yang ditinjau adalah ruang tak berhingga (full space).

• Solusi persamaan integral yang ada dikomputasi secara numerik dengan menggunakan Metode Elemen Batas.

• Metode regularisasi yang digunakan adalah regularisasi GCV (Generalized Cross Validation) dan regularisasi Tikhonov.

• Program dibuat dalam bahasa Fortran versi 6.5

• Rekonstruksi menggunakan program MATLAB versi 6.

I.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dari tugas akhir ini adalah sebagai berikut :

Bab I. Pendahuluan

Memberikan gambaran tentang latar belakang masalah, identifikasi masalah, pembatasan masalah, tujuan tugas akhir, dan sistematika pembahasan dalam tugas akhir.

Bab II. Landasan Teori

Bab ini membahas mengenai persamaan-persamaan umum dalam bidang akustik sebagai landasan teori yang digunakan dalam aplikasi penyelesaian komputasi pada tugas akhir ini.

Bab III. Realisasi Program

Pada bab ini akan diuraikan metode komputasi numerik solusi invers akustik pada program yang dibuat pada tugas akhir ini.

Bab IV. Uji Kasus dan Perbandingan

Pada bab ini akan dibahas mengenai uji program pada kasus disertai hasil komputasi program, perbandingan dengan nilai original yang telah ditentukan dan rekonstruksi sumber akustik berdasarkan data yang diperoleh.

Bab I - Pendahuluan

4

Bab V. Kesimpulan dan Saran

Bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian dan analisis dari masalah yang dihadapi serta berisi saran-saran untuk pengembangan masalah tersebut.

83

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

V.1 Kesimpulan

Pada tugas akhir ini diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut :

q Program simulasi invers akustik tiga dimensi telah dapat dioperasikan dengan rata-rata error regularisasi Tikhonov adalah 1% - 10% untuk kasus radiasi bola homogen, 3% - 13% untuk kasus radiasi silinder pada bagian tangen yang unik saja.

q Program simulasi invers akustik tiga dimensi telah dapat dioperasikan dengan rata-rata error regularisasi GCV adalah 2% - 14% untuk kasus radiasi bola homogen, 2% - 23% untuk kasus radiasi silinder pada bagian tangen yang unik saja.

q Untuk kasus radiasi silinder pada bagian yang memiliki tangen tidak unik,

error yang terjadi sangat besar dengan kisaran antara 50% - 350%.

V.2 Saran

Setelah dikemukakan kesimpulan-kesimpulan yang dapat ditarik dari tugas akhir ini, akan dikemukakan beberapa saran dan pendapat untuk waktu yang akan datang :

o

_{Untuk kasus radiasi silinder pada bagian yang memiliki tangen tidak unik,}

error yang terjadi sangat besar dengan kisaran antara 50% - 350%. Hal ini menunjukkan masih perlunya perbaikan lebih lanjut pada program dalam menganalisis bagian yang memiliki tangen tidak unik.

Daftar pustaka

1. Budhi, Wono Setya. Aljabar Linear. Gramedia. Jakarta.

2. Homma, Hiromi dan Gunawan, Fergyanto. On Efficient Iterative Solution for Large Invers Problems. Toyokoshi University of Technology. Japan.

3. Juwono, Bong,"Solusi Masalah Inverse Akustik Tiga Dimensi dengan

Menggunakan Metode Elemen Batas", Institut Teknologi Bandung, Bandung, 1997.

4. Kusuma, Darwin N.Pengembangan Program Invers Akustik Tiga Dimensi dengan Menggunakan Regularisasi Tikhonov, Universitas Kristen Maranatha, Bandung 1999.

5. Prihantiny, Dwi Urika. Solusi Invers Radiasi dan Hamburan Gelombang Akustik dari Benda Benda Bersimetri Sumbu di Ruang Tak Berhingga dengan Menggunakan MEB. ITB, 2001.

6. Seybert, A. F. dan Rengatojan, T. K. The Use of CHIEF to Obtain Unique Solutions for Acoustic Radiation Using Boundary Integral Equations. College of Engineering, University of Kentucky. 1986.

7. Soenarko, Benjamin and Bong Juwono, “Boundary Elemen Solution for Invers Problem in Acoustics,” Department of Engineering Physics, Institute of Technology Bandung, Bandung. 1997.

8. Sukham, Josephine E. Perangkat Lunak untuk Rekonstruksi Medan Sumber Akustik Tiga Dimensi Menggunakan Invers Metoda Elemen Batas,

Universitas Kristen Maranatha, Bandung 2000.

9. Wijaya, Paulus. Solusi Inves Akustik Tiga Dimensi Dari Benda Bersimetri Sumbu Di Ruang Tak Hingga Dengan Menggunakan Metode Elemen Batas, Universitas Kristen Maranatha, Bandung 1999.

10. Williams, Earl B. Regularization Methods for Near-field Acoustical Holography. J. Acoust Soc. Am. 110(4), October. 2001. Pp 1976-1988.

Bab I - Pendahuluan

Pada tugas akhir ini membahas bagaimana menentukan sifat akustik dari sumber-sumber bersimetri sumbu jika informasi medan akustik diketahui. Data yang diketahui adalah tekanan suara pada titik ukur. Tekanan suara pada titik ukur diambil dari hasil perhitungan pada masalah.

Metode SVD ( Singular Value Decomposition) digunakan untuk mencari invers matrik ill-conditioned. Tetapi dengan cara ini masih dihasilkan nilai dengan error yang cukup besar. Hasil yang didapat masih belum sesuai dengan data aslinya, oleh karena itu perlu ditambahkan regularisasi. Ada 2 regularisasi yang akan dibahas pada tugas akhir ini, antara lain regularisasi Tikhonov dan regularisasi GCV ( Generalized Cross Validation ). Tujuan penambahan regularisasi adalah untuk menekan efek noise, untuk mengatasi nilai-nilai singular yang kecil atau menekan komponen-komponen frekuensi tinggi.

I.2 Identifikasi dan Perumusan Masalah

Pada Tugas Akhir ini, masalah utama yang akan dibahas adalah :

• Bagaimana perbandingan antara hasil solusi masalah invers dengan regularisasi Tikhonov dan hasil solusi masalah invers dengan regularisasi GCV pada benda axisymmetri di ruang 3D yang berbentuk bola dan tabung dengan koordinat yang telah ditentukan?

I.3 Tujuan Tugas Akhir

Tugas akhir ini bertujuan untuk membandingkan hasil solusi masalah invers dengan 2 regularisasi, yaitu dengan regularisasi Tikhonov dan dengan regularisasi GVC (Generalized Cross Validation) pada ruang tiga dimensi untuk benda yang memiliki sumbu simetri di ruang tak berhingga dengan menggunakan Metode Elemen Batas.

Solusi yang dicari berupa potensial kecepatan getar permukaan, dan tekanan akustik pada permukaan benda dengan data input berupa informasi mengenai tekanan akustik pada medan akustik. Hasil komputasi akan

Bab I - Pendahuluan

untuk masalah invers. Selanjutnya hasil komputasi akan direkonstruksi untuk mendapatkan ilustrasi mengenai tekanan suara pada permukaan sumber akustik.

I.4 Pembatasan Masalah

Dalam Tugas Akhir ini akan dibatasi hal-hal sebagai berikut :

• Benda yang meradiasikan gelombang akustik memiliki simetri sumbu. • Ruang yang ditinjau adalah ruang tak berhingga (full space).

• Solusi persamaan integral yang ada dikomputasi secara numerik dengan menggunakan Metode Elemen Batas.

• Metode regularisasi yang digunakan adalah regularisasi GCV (Generalized Cross Validation) dan regularisasi Tikhonov. • Program dibuat dalam bahasa Fortran versi 6.5

• Rekonstruksi menggunakan program MATLAB versi 6. I.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dari tugas akhir ini adalah sebagai berikut : Bab I. Pendahuluan

Memberikan gambaran tentang latar belakang masalah, identifikasi masalah, pembatasan masalah, tujuan tugas akhir, dan sistematika pembahasan dalam tugas akhir.

Bab II. Landasan Teori

Bab ini membahas mengenai persamaan-persamaan umum dalam bidang akustik sebagai landasan teori yang digunakan dalam aplikasi penyelesaian komputasi pada tugas akhir ini.

Bab III. Realisasi Program

Pada bab ini akan diuraikan metode komputasi numerik solusi invers akustik pada program yang dibuat pada tugas akhir ini.

Bab I - Pendahuluan

Bab V. Kesimpulan dan Saran

Bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian dan analisis dari masalah yang dihadapi serta berisi saran-saran untuk pengembangan masalah tersebut.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

V.1 Kesimpulan

Pada tugas akhir ini diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut :

q Program simulasi invers akustik tiga dimensi telah dapat dioperasikan dengan rata-rata error regularisasi Tikhonov adalah 1% - 10% untuk kasus radiasi bola homogen, 3% - 13% untuk kasus radiasi silinder pada bagian tangen yang unik saja.

q Program simulasi invers akustik tiga dimensi telah dapat dioperasikan dengan rata-rata error regularisasi GCV adalah 2% - 14% untuk kasus radiasi bola homogen, 2% - 23% untuk kasus radiasi silinder pada bagian tangen yang unik saja.

q Untuk kasus radiasi silinder pada bagian yang memiliki tangen tidak unik, error yang terjadi sangat besar dengan kisaran antara 50% - 350%.

V.2 Saran

Setelah dikemukakan kesimpulan-kesimpulan yang dapat ditarik dari tugas akhir ini, akan dikemukakan beberapa saran dan pendapat untuk waktu yang akan datang :

o

_{Untuk kasus radiasi silinder pada bagian yang memiliki tangen tidak unik,} error yang terjadi sangat besar dengan kisaran antara 50% - 350%. Hal ini menunjukkan masih perlunya perbaikan lebih lanjut pada program dalam menganalisis bagian yang memiliki tangen tidak unik.

Daftar pustaka

1.

Budhi, Wono Setya. Aljabar Linear. Gramedia. Jakarta.

2.

Homma, Hiromi dan Gunawan, Fergyanto. On Efficient Iterative Solution for

Large Invers Problems. Toyokoshi University of Technology. Japan.

3.

Juwono, Bong,"Solusi Masalah Inverse Akustik Tiga Dimensi dengan

Menggunakan Metode Elemen Batas", Institut Teknologi Bandung, Bandung,

1997.

4.

Kusuma, Darwin N.Pengembangan Program Invers Akustik Tiga Dimensi

dengan Menggunakan Regularisasi Tikhonov, Universitas Kristen Maranatha,

Bandung 1999.

5.

Prihantiny, Dwi Urika. Solusi Invers Radiasi dan Hamburan Gelombang

Akustik dari Benda Benda Bersimetri Sumbu di Ruang Tak Berhingga dengan

Menggunakan MEB. ITB, 2001.

6.

Seybert, A. F. dan Rengatojan, T. K. The Use of CHIEF to Obtain Unique

Solutions for Acoustic Radiation Using Boundary Integral Equations. College

of Engineering, University of Kentucky. 1986.

7.

Soenarko, Benjamin and Bong Juwono, “Boundary Elemen Solution for

Invers Problem in Acoustics,” Department of Engineering Physics, Institute of

8.

Sukham, Josephine E. Perangkat Lunak untuk Rekonstruksi Medan Sumber

Akustik Tiga Dimensi Menggunakan Invers Metoda Elemen Batas,

Universitas Kristen Maranatha, Bandung 2000.

9.

Wijaya, Paulus. Solusi Inves Akustik Tiga Dimensi Dari Benda Bersimetri

Sumbu Di Ruang Tak Hingga Dengan Menggunakan Metode Elemen Batas,

Universitas Kristen Maranatha, Bandung 1999.

10.

Williams, Earl B. Regularization Methods for Near-field Acoustical