Regularisasi Sistem Singular Linier
REGULARISASI SISTEM SINGULAR LINIER
SKRIPSI
RAJAMIN R U MANIK
060803035
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
(2)
REGULARISASI SISTEM SINGULAR LINIER
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
RAJAMIN R U MANIK
060803035
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011
(3)
PERSETUJUAN
Judul : REGULARISASI SISTEM SINGULAR LINIER
Kategori : SKRIPSI
Nama : RAJAMIN R U MANIK
Nomor Induk Mahasiswa : 060803035
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, Februari 2011
Komisis Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19500321 198003 1 001 NIP. 19620901 198803 1 002
Diketahui/Disetujui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua Departemen Matematika,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
(4)
iii
PERNYATAAN
REGULARISASI SISTEM SINGULAR LINIER
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Februari 2011
RAJAMIN R U MANIK 060803035
(5)
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis kepada Tuhan Allah untuk kasih karunia dan penyertaanNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini.
Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku Dosen Pembimbing penulis dalam penyelesaian skripsi ini, atas setiap bimbingan, arahan serta meluangkan waktu yang diberikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Drs. H. Haludin Panjaitan dan Drs. P. Sianipar, MS selaku Dosen Penguji, atas setiap saran dan masukannya selama penulisan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga penulis tujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Dra. Mardiningsih, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas MIPA USU beserta semua Staf Administrasi di FMIPA USU. Tidak terlupakan kepada kedua orang tua tercinta penulis, D. Manik dan M. br. Simarmata. Penulis mengucapkan terima kasih dan rasa bangga atas doa, motivasi, kasih sayang serta semua dukungan moril dan materil yang membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada kakak, abang dan adik penulis (k’Junita, k’April, b’Gaby, Jass, Paulin), tante dan uda Deby, tante Jo dan tulang Alex, k’Fera, Rini, Imes, Deby terima kasih atas dukungan dan doa kalian. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman di Math’06 atas kebersamaan kita selama ini, atas doa dan saling mendukung di antara kita. Semangat dan doa dari teman-teman sangat membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada kelompok Bethesda, adik-adik PA (Eka, Helen, Rohani, Yuli) dan teman-teman kos Mandolin lima untuk doa dan dukungannya membantu penyelesaian skripsi ini serta terima kasih untuk spesial iban Rizky yang selalu memberikan doa dan memacu untuk belajar. Kiranya kasih karunia Tuhan Allah yang menyertai kita semua.
(6)
v
ABSTRAK
Diberikan kondisi pertidaksamaan matriks linier yang memenuhi regularisasi sistem waktu diskrit singular. Kemudian dibahas suatu kelas baru pengontrol penstabilan peregularan. Pengontrol yang dimaksud adalah jumlah dari prediksi dan penurunan keadaan umpan-balik. Pengontrol yang diprediksikan bertujuan pada peregularan sistem singular saat penurunan keadaan umpan-balik. Suatu prosedur yang sistematis diberikan untuk menghitung penguat pengontrol melalui pertidaksamaan matriks linier.
(7)
REGULARIZATION OF LINEAR SINGULAR SYSTEMS
ABSTRACT
Sufficient linear matrix inequalities conditions for regularization of discrete time singular system are given. Then a new class of regularizing stabilizing controllers is discussed. The proposed controllers are the sum of predictive and memoryless state feedbacks. The predictive controller aims to regularizing the singular system while the memoryless state feedback. A systematic procedure is given to calculate the controller gains through linear matrix inequalities.
(8)
vii
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ii
Pernyataan iii
Penghargaan iv
Abstrak v
Abstract vi
Daftar Isi vii
Bab 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Tinjauan Pustaka 2
1.4 Tujuan Penelitian 3
1.5 Manfaat Penelitian 3
1.6 Metode Penelitian 4
Bab 2 LANDASAN TEORI
2.1 Matriks 5
2.1.1 Matriks Bujursangkar 5
2.1.2 Matriks Transpos 5
2.1.3 Matriks Simetris 6
2.1.4 Determinan 6
2.1.5 Matriks yang Dapat-Dibalik (Non-Singular) 7
2.1.6 Invers Matriks 8
2.1.7 Matriks Eselon 8
2.1.8 Bebas Linier 9
2.1.9 Rank Matriks 10
2.1.10 Aplikasi pada Teorema Eksistensi dan Keunikan 11 2.1.11 Persamaan Matriks dari Sistem Persamaan Linier
Bujursangkar 11
2.1.12 Matriks Definit Positif 12
2.2 Sistem Waktu Diskrit 13
2.3 Sistem Singular 13
2.4 Observer Keadaan Singular 21
Bab 3 PEMBAHASAN
3.1 Regularisasi Sistem Waktu Diskrit Singular 23 3.1.1 Regularisasi dengan Prediktive Umpan-Balik Statis 24 3.1.2 Regularisasi dengan Prediktive Output Umpan-Balik Statis 26
Bab 4 KESIMPULAN 28
(9)
ABSTRAK
Diberikan kondisi pertidaksamaan matriks linier yang memenuhi regularisasi sistem waktu diskrit singular. Kemudian dibahas suatu kelas baru pengontrol penstabilan peregularan. Pengontrol yang dimaksud adalah jumlah dari prediksi dan penurunan keadaan umpan-balik. Pengontrol yang diprediksikan bertujuan pada peregularan sistem singular saat penurunan keadaan umpan-balik. Suatu prosedur yang sistematis diberikan untuk menghitung penguat pengontrol melalui pertidaksamaan matriks linier.
(10)
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sistem singular muncul dalam disiplin teknik mesin termasuk jaringan listrik, sistem power, dan teknik mesin ruang angkasa. Sejak tahun , sistem singular telah menarik perhatian banyak peneliti dan stabilisasi sistem tersebut telah menjadi subjek banyak penelitian. Sistem singular merupakan ilmu dinamika yang mana ditentukan dengan suatu gabungan persamaan differensial dan persamaan secara aljabar. Secara inheren sifat kompleks dari sistem singular menyebabkan banyak kesulitan dalam menyelesaikan sistem tersebut. Akibatnya, pertanyaan dari keunikan dan adanya solusi, solvabilitas, pertanyaan kondisi awal yang konsisten dan stabilitas mendapat perhatian besar. Beberapa buku dan survei yang berhubungan dengan sistem ini telah memusatkan setiap persoalan solvability, controllability, penyelesaian pole dan eliminasi proses impuls.
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, sistem singular didefinisikan sebagai sistem dinamik pada batas-batas secara aljabar. Oleh sebab itu, proses eliminasi batas-batas ini disebut masalah regularisasi. Sebenarnya, eliminasi batas-batas secara aljabar ini membutuhkan suatu umpan-balik khusus yang tidak selalu ada. Sebagian besar pekerjaan yang berhubungan dengan masalah ini terdapat dalam hal waktu kontinu. Selanjutnya, kontribusi utama difokuskan hanya pada kondisi adanya pengontrol peregularan tanpa menunjukkan bagaimana menemukannya, cara yang efisien secara komputasi, peningkatan umpan-balik peregularan.
(11)
Dalam catatan ini, diberikan kondisi pertidaksamaan matriks linier yang memenuhi regularisasi sistem waktu diskrit singular. Kemudian, diperkenalkan suatu bentuk baru dari pengontrol penstabilan peregularan yang meliputi aksi prediksi dan penurunan keadaan umpan-balik. Akhir penulisan ini adalah meregularkan sistem singular dengan penggunaan suatu pengontrol prediksi yang mengharuskan estimasi keadaan sistem pada iterasi selanjutnya. Bentuk penyelesaian muncul sebagai jumlah dari dua pengontrol independent yang dihitung terpisah melalui dua pertidaksamaan matriks linier. Kelas pengontrol yang dimaksud kelihatan menarik, dalam arti, bahwa sistem loop tertutup bertindak sebagai sistem non-singular dan kemudian, semua properti dan kejadian yang berhubungan dengan sistem singular tidak muncul sebelum aksi umpan-balik tersebut, (Salim Ibrir, 2009).
Dalam penelitian ini, adalah himpunan bilangan riel. Notasi
berarti bahwa matriks adalah definit positif (definit negatif). untuk transpose . adalah matriks identitas dari dimensi yang tepat dan adalah matriks null dari dimensi yang tepat.
1.2 PERUMUSAN MASALAH
Permasalahan yang akan diangkat dalam penulisan ini adalah bagaimana meregularkan sistem singular linier diskrit.
1.3 TINJAUAN PUSTAKA
Karena tulisan ini merupakan studi literatur, maka tinjauan pustaka merupakan titik tolak tulisan ini. Penulis melakukan tinjauan pustaka dari:
Seymour Lipschutz, Ph.D dan Marc Lipson, Ph.D dalam bukunya memperkenalkan teori matriks beserta operasi aljabarnya.
(12)
3
Glenn W. Stagg dan Ahmed H. El-Abiad dalam bukunya juga memperkenalkan aljabar matriks.
Dianhui Wang dan C. B. Soh menjelaskan dalam jurnalnya bahwa suatu sistem dikatakan menjadi regular jika pasangan pensil adalah regular, yaitu
tidak sama dengan nol.
Liyi Dai mengatakan dalam jurnalnya , , bahwa
1. Sistem disebut controllable ( observable) jika rank
, terbatas ( rank terbatas ).
2. Sistem disebut controllable (observable) jika kedua controllable
( observable) dan rank , (rank ).
3. Sistem disebut controllable ( observable) jika terdapat sebuah matriks sedemikian hingga deg rank ( atau ada
sebuah sedemikian hingga deg rank ). Di
sini deg menunjukkan degree dari suatu polinomial.
Salim Ibrir dalam jurnalnya menjelaskan bahwa regularisasi dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan suatu prediktive umpan-balik statis dan prediktive output umpan-balik statis.
1.4 TUJUAN PENELITIAN
Tujuan dalam penelitian ini adalah memperoleh sistem singular yang regular.
1.5 MANFAAT PENELITIAN
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah menambah pengetahuan pembaca dalam proses meregularkan sistem singular.
(13)
1.6 METODE PENELITIAN
Tulisan ini disusun atas suatu kerangka pemikiran yang langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Diberikan konsep-konsep matriks yang berhubungan penelitian ini dan regularisasi sistem singular.
2. Memformulasikan regularisasi sistem singular 3. Menyelesaikan masalah regularisasi sistem singular. 4. Menarik kesimpulan.
(14)
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih dahulu pengertian-pengertian dasar berikut:
2.1Matriks
Definisi 2.1:
Anggap menyatakan baris dan menyatakan kolom maka matriks adalah susunan segiempat angka-angka berdasarkan baris dan kolom yang dibatasi oleh kurung siku maupun kurung biasa dan
Selanjutnya akan dibahas tipe-tipe matriks dan operasi aljabarnya.
2.1.1 Matriks Bujursangkar
Definisi 2.1:
Matriks bujursangkar adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama disimbolkan sebagai . Anggap matriks bujursangkar maka .
2.1.2 Matriks Transpos
Definisi 2.2:
Anggap matriks berukuran , maka transpose matriks disimbolkan dengan
(15)
Teorema 2.1:
Anggap dan B adalah matriks-matriks dan adalah suatu skalar. Maka, penjumlahan dan perkalian matriks-matriks ini selalu didefinisikan sebagai berikut:
a) b) c) d)
2.1.3 Matriks Simetris
Definisi 2.3:
Jika matriks sama dengan matriks transposenya atau disimbolkan dengan
maka matriks simetris. Demikian juga, dikatakan simetris jika elemen-elemen simetrisnya (elemen-elemen-elemen-elemen cermin terhadap diagonal) sama, yaitu, jika setiap
.
2.1.4 Determinan
Algoritma mereduksi penghitungan determinan berorde menjadi penghitungan determinan berorde .
Algoritma 2.1:
(Reduksi orde determinan). Inputnya adalah matriks bujursangkar- bukan-nol, dengan .
Langkah . Memilih elemen atau, jika tidak ada, .
Langkah . Dengan menggunakan sebagai pivot, lakukan operasi baris (kolom) elementer sehingga diperoleh di semua posisi selain posisi kolom (baris) yang mengandung .
(16)
7
Contoh 2.1:
Gunakan algoritma di atas untuk menentukan determinan dari
Gunakan sebagai pivot sehingga diperoleh bilangan-bilangan di posisi-posisi selain kolom ke- , yaitu dengan melakukan operasi baris (b) “Mengganti
dengan ”, “Mengganti dengan ”, dan “Mengganti dengan ”, Menurut Teorema “Anggap diperoleh dari melalui operasi baris (kolom) elementer. Jika kelipatan suatu baris (kolom) ditambahkan ke baris (kolom) yang lain dari , maka ”, nilai determinan tidak berubah oleh oper asi-operasi ini. Jadi
Selanjutnya sederhanakan dengan menggunakan kolom ketiga. Secara spesifik, abaikan semua suku yang mengandung dan gunakan fakta bahwa tanda dari minor
adalah . Jadi
2.1.5 Matriks yang Dapat-Dibalik (Non-Singular)
Definisi 2.4:
Matriks bujursangkar dikatakan dapat-dibalik (invertible) atau non-singular jika terdapat matriks sedemikian rupa sehingga
(17)
di mana adalah matriks identitas yaitu matriks bujursangkar- dengan bilangan pada diagonalnya dan pada entri-entri lainnya. Matriks seperti ini bersifat unik.
Yaitu, jika dan , maka
.
Dari hubungan di atas dinamakan matriks sebagai invers dari matriks dan invers dari matriks ditulis dan hubungan di atas bersifat simetris; yaitu, jika invers , maka invers .
2.1.6 Matriks Invers
Algoritma menentukan invers dari sebuah matriks.
Algoritma 2.2:
Inputnya adalah matriks bujursangkar . Outputnya adalah invers dari atau tidak ada invers.
Langkah . Membentuk matriks (blok) , , di mana adalah stengah kiri dari dan matriks identitas adalah setengah kanan dari
.
Langkah . Mereduksi-baris menjadi bentuk eselon. Jika proses ini menghasilkan sebuah baris nol di setengah dari , maka tidak mempunyai invers. (Jika tidak, berbentuk segitiga).
Langkah . Mereduksi-baris lebih jauh lagi menjadi bentuk kanonis barisnya, , di mana matriks identitas menggantikan di setengah kiri dari .
Langkah . Menetapkan , matriks yang sekarang berada di setengah kanan dari .
Contoh 2.2:
(18)
9
Membentuk matriks (blok) dan mereduksi-baris menjadi bentuk eselon:
Matriks identitas berada di setengah kiri dari matriks akhir, sehingga setengah kanannya adalah atau dengan perkataan lain:
2.1.7 Matriks Eselon
Definisi 2.5:
Matriks disebut matriks eselon, atau dikatakan berbentuk eselon, jika dua syarat berikut berlaku (dimana elemen bukan-nol utama (leading non-zero element) dari suatu baris pada matriks adalah elemen bukan-nol pertama pada baris tersebut):
1) Suatu baris nol, jika ada, terletak di bagian bawah matriks.
2) Setiap entri bukan-nol utama pada suatu baris berada di sebelah kanan entri bukan-nol utama pada baris sebelumnya.
Yaitu, adalah matriks eselon jika terdapat entri-entri bukan-nol dimana
dengan sifat
untuk
Entri-entri , yang merupakan elemen-elemen bukan-nol utama pada masing-masing barisnya, disebut pivot-pivot dari matriks eselon.
Contoh 2.3:
(19)
2.1.8 Bebas Linier
Kolom matriks ; dapat ditulis sebagai vektor kolom.
Juga, baris matriks dapat di tulis sebagai vektor baris.
Vektor kolom adalah bebas linier jika persamaan
memenuhi hanya untuk semua . Sama halnya dengan vektor baris adalah bebas linier jika hanya nilai nol untuk skalar
memenuhi persamaan
Jika beberapa memenuhi , vektor kolom adalah bebas linier. Jika beberapa memenuhi , vektor baris adalah bebas linier. Hal ini mungkin menunjukkan satu atau lebih vektor kolom (vektor baris) sebagai kombinasi linier lainnya. Jika vektor kolom (vektor baris) matriks adalah bebas linier, maka determinan adalah nol.
2.1.9 Rank Matriks
Definisi 2.6:
Rank matriks ; adalah sama pada maksimum bilangan kolom tidak bebas linier atau maksimum bilangan baris tidak linier . Bentuknya disebut rank kolom dan selanjutnya rank baris. Rank kolom adalah sama dengan rank baris. Rank matriks adalah sama dengan order determinan non-vanishing terbesar di , (Stagg dan El-Abiad, 1968).
(20)
11
Contoh 2.4:
Anggap matriks
Baris adalah bebas linier karena persamaan
memenuhi untuk
Sama halnya dengan kolom adalah bebas linier karena persamaan
memenuhi untuk
Bagaimanapun, tidak dua kolom adalah bebas linier dan, oleh karena itu, rank matriks adalah .
Rank dari matriks , ditulis rank , juga dapat diselesaikan dengan metode matriks eselon yaitu sama dengan banyaknya pivot pada bentuk eselon dari .
Contoh 2.5:
(21)
2.1.10 Aplikasi pada Teorema Eksistensi dan Keunikan
Subbagian ini membahas mengenai syarat-syarat teoretis bagi eksistensi dan keunikan dari solusi sistem persamaan linier dengan menggunakan pengertian rank dari suatu matriks.
Teorema 2.2:
Diberikan sistem persamaan linier dengan variabel tidak diketahui dan matriks yang diperbesar . Maka:
a) Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika rank rank . b) Solusinya unik jika dan hanya jika rank rank .
Bukti:
a) Sistem memiliki solusi jika dan hanya jika bentuk eselon dari tidak memiliki baris berbentuk , dengan
Jika bentuk eselon dari memiliki baris, maka adalah pivot dari tetapi bukan pivot dari , dan oleh karena itu rank rank . Jika sebaliknya, bentuk eselon dari dan memiliki pivot-pivot yang sama, dan oleh karena itu rank rank . Ini membuktikan kebenaran .
b) Sistem memiliki solusi unik jika dan hanya jika bentuk eselon tidak memiliki variabel bebas. Ini berarti bahwa ada satu pivot untuk setiap variabel tidak diketahui. Sehingga rank rank . Ini membuktikan kebenaran .
2.1.11 Persamaan Matriks dari Sistem Persamaan Linier Bujursangkar
Sistem persamaan linier adalah bujursangkar jika dan hanya jika matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien adalah matriks bujursangkar.
Teorema 2.3:
Sistem persamaan linier bujursangkar memiliki suatu solusi unik, jika dan hanya jika matriks dapat-dibalik. adalah suatu solusi unik dari sistem tersebut.
(22)
13
Bukti:
Jika dapat-dibalik, maka adalah suatu solusi unik. Jika dapat-dibalik, maka
dan sehingga adalah sebuah solusi. Selanjutnya, anggap adalah sebarang solusi, maka . Maka
Jadi, solusi unik.
2.1.12 Matriks Definit Positif
Teorema 2.4:
Anggap adalah suatu matriks simetrik berorde ekuivalen dengan: a) adalah definit positif.
b) Submatriks utama semuanya mempunyai determinan-determinan positif.
c) dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas dengan hanya menggunakan operasi baris dan semua elemen poros akan positif.
d) mempunyai suatu faktorisasi Cholesky (di mana adalah matriks segitiga bawah, dengan entri-entri diagonal positif).
e) dapat difaktorkan ke dalam hasil kali untuk suatu matriks tak singular .
Bukti:
Dari yang telah diketahui bahwa (a) mengakibatkan (b), (b) mengakibatkan (c), dan (c) mengakibatkan (d). Untuk melihat bahwa (d) mengakibatkan (e), asumsikan bahwa
. Jika ditetapkan , maka taksingular dan
Akhirnya, untuk menunjukkan bahwa (e) (a), asumsikan bahwa , di mana taksingular. Misalkan adalah sembarang vektor taknol dalam dan tetapkan
. Karena taksingular, akan menyebabkan
(23)
Terbukti.
Hasil-hasil analog terhadap Teroema 6.6.1 tidak berlaku untuk keadaan semidefinit positif.
Contoh 2.5:
Submatriks utama semuanya mempunyai determinan taknegatif.
namun bukan semidefinit positif karena mempunyai nilai eigen negative . Sebenarnya, adalah suatu vektor eigen dari dan
Sistem Waktu Diskrit
Definisi 2.7:
Sistem adalah suatu alat atau algoritma yang beroperasi pada sinyal waktu kontinu/diskrit (input), menurut beberapa aturan yang dibuat, untuk menghasilkan sinyal waktu kontinu/diskrit dengan bentuk lain (output) sistem tersebut.
Secara umum dinyatakan: ,
Definisi 2.8:
Sistem waktu diskrit pada dasarnya (A. Abdurrochman, 2010) adalah algoritma matematik dengan deretan masukan, , yang menghasilkan deretan keluaran, .
Ciri sistem diskrit yang linier:
Jika masukan menghasilkan
Jika masukan menghasilkan
Sistem waktu diskrit dikatakan statik (memoryless) jika output pada tiap hanya tergantung pada sampel input pada waktu yang sama yaitu .
(24)
15
Sistem Singular
Sistem singular adalah sistem dinamik yang prosesnya ditentukan dengan kedua persamaan differensial dan persamaan aljabar. Sistem seperti itu muncul dalam jaringan listrik, sistem power, dan sebagainya. Akhir dua dekade ini, ada mempelajari sistem singular secara luas seperti mencakup persoalan sebagai solvability, controllability dan observability, penyelesaian pole dan eliminasi proses impuls, kontrol geometri kuadratik linier, regulasi output, dan decoupling input-output, (Jie Huang dan Ji-Feng Zhang, 1998).
Anggap sistem singular diskrit berikut:
dimana adalah vektor keadaan, adalah input kontrol, dan adalah output sistem. adalah matriks konstanta yang berdimensi telah ditentukan. Seluruh pembahasan ini diasumsikan bahwa rank dan dengan singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem tampak secara lengkap dan adalah pasangan regular, yaitu . Diturunkan secara teratur sehingga menjamin memiliki adanya dan keunikan solusi, (Dianhui Wang dan C. B. Soh, 1999).
Dengan asumsi regulariti bahwa terdapat dua matriks non-singular , sedemikian hingga sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
(25)
dan adalah matriks nilpotent.
Definisi 2.9:
1. Sistem disebut controllable ( observable) jika rank
, terbatas ( rank terbatas ).
2. Sistem disebut controllable (observable) jika kedua controllable
( observable) dan rank (rank ).
3. Sistem disebut controllable ( observable) jika terdapat sebuah matriks sedemikian hingga deg rank ( atau ada
sebuah sedemikian hingga deg rank ). Di
sini deg menunjukkan degree dari suatu polinomial.
Anggap kontrol umpan-balik keadaan:
dimana input baru. Menggunakan pada sistem menghasilkan sistem loop tertutup
Menjamin bahwa sistem loop-tertutup memiliki solusi yang unik untuk setiap , selanjutnya menggunakan hanya yang membuat regular. Berikut tiga lemma akan dibutuhkan untuk selanjutnya.
Lemma 1:
Terdapat matriks sedemikian hingga sistem loop tertutup tidak memiliki pole terbatas, atau dengan perkataan lain:
(26)
17
dimana adalah konstanta, jika dan hanya jika sistem adalah
controllable dan atau .
Bukti:
Perlu: Dengan asumsi sebelumnya bahwa sistem adalah regular, terdapat dua matriks non-singular sedemikian hingga adalah ekuivalen sistem terbatas pada . Akibat teori sistem linier juga menunjukkan bahwa terdapat non-singular
sedemikian hingga
dimana , dan
adalah controllable. Untuk setiap matriks , sistem loop tertutup memiliki polinimial karakteristik dari
dengan
.
Telah diasumsikan bahwa sistem loop tertutup adalah regular, sehingga
deg deg . Jika terdapat memenuhi , maka
harus ditarik kesimpulan bahwa deg . Oleh sebab itu dapat tidak ada. Ini berarti bahwa adalah controllable, atau dengan perkataan lain sistem
(27)
Cukup: Bukti cukup adalah berguna. Dengan tidak menghilangkan secara umum bahwa adalah controllable (sebaliknya, dapat membiarkannya pada bentuk controllability standard an melanjutkan pembahasan subsistem controllable). Oleh karena itu, sistem adalah controllable. dapat dipilih sedemikian hingga deg rank . Hal itu dapat ditarik kesimpulan bahwa matriks non-singular ada, sedemikian hingga sistem loop tertutup
adalah ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
diag , diag ,
Karena sistem adalah controllable, adalah controllable dan memiliki rank baris penuh , dan rank rank . Oleh karena itu, dapat memilih sedemikian hingga
Anggap
(28)
19
dan adalah controllable. Diskusi berikut dibagi menjadi dua bagian.
1. Assumsikan bahwa terdapat bilangan , rank , kolom ke dari tidak nol. Dalam kasus ini, tanpa menghilangkan secara umum, menunjukkan bahwa . Maka dapat diketahui dengan segera bahwa matriks ada sedemikian hingga adalah controllable. Anggap
Maka sistem loop tertutup dari dan digambarkan dengan
Pemberitahuan fakta bahwa adalah controllable, terdapat matriks non-singular sedemikian hingga
Menunjukkan
Hal itu mengikuti bahwa sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
(29)
Maka secara langsung komputasi memberikan bahwa sistem loop tertutup dibentuk dengan dan memiliki polinomial karakteristik:
konstanta,
dimana . Dan sekarang
dipilih sebagai suatu cara akan memenuhi persamaan .
2. Pada bagian yang lain, membiarkan rank kolom dari , adalah nol. Menunjukkan
dimana kolom pertama dari tidak vektor nol. Anggap , sistem menjadi
Jadi, hal itu ditukar pada kasus
Akibat 2.1:
Jika sistem adalah controllable dan , terdapat sedemikian hingga ada.
Akibat 2.2:
Jika sistem adalah observable dan , terdapat sedemikian hingga konstanta, .
(30)
21
Lemma 2.2:
Menunjukkan sistem menjadi controllable dan keduanya memenuhi deg rank . Maka lanjutan subsistem dari dua sistem berikut:
memiliki indeks observabiliti yang sama.
Bukti:
Pertama, terdapat matriks non-singular sedemikian hingga sistem dan adalah, berturut-turut, ekuivalen sistem terbatas pada
dimana
diag diag
Pada bagian lain, anggap , dengan matriks
transformasi sistem adalah ekuivalen sistem terbatas pada
(31)
Sistem menjadi
dimana
Karena dan adalah keduanya dekomposisi standar dari sistem , maka diketahui bahwa terdapat matriks non-singular sedemikian hingga
Jika adalah indeks observabiliti dari berturut-turut. Dari definisi komputasi secara langsung memberikan bahwa .
(32)
BAB 3
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas penyelesaian masalah regularisasi sistem singular linier.
Regularisasi Sistem Waktu Diskrit Singular
Diberikan sistem waktu diskrit singular:
dimana adalah vektor keadaan, adalah input kontrol, dan adalah output sistem. Matriks dimaksudkan menjadi sebuah matriks singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem tampak secara lengkap dan adalah pasangan regular, yaitu . Diturunkan secara teratur sehingga menjamin memiliki adanya dan keunikan solusi.
Dalam bab ini, akan diselidiki kondisi adanya peningkatan controller sedemikian hingga sistem di bawah umpan-balik
adalah ekuivalen terhadap sistem waktu-diskrit regular dari bentuk:
dimana adalah invertible atau sebuah matriks bujursangkar rank penuh. Dapat disebut umpan-balik peregularan pengontrol dan
(33)
adalah input kontrol baru yang dibentuk sebelumnya. Komputasi diselesaikan melalui solusi pertidaksamaan matriks linear. Selanjutnya, berikan kondisi pertidaksaan matriks linear yang sama bahwa terdapat adanya pengontrol peregularan dari bentuk:
dimana adalah sebuah matriks konstan dari dimensi . Untuk kedua hal ini, diasumsikan bahwa didapatkan untuk umpan-balik dengan observer yang tepat.
3.1.1 Regularisasi dengan Prediktive Umpan-Balik Statis
Suatu prediksi umpan-balik statis didefinisikan seperti dalam persamaan . Perhitungan keadaan penuh sistem singular pada tahap mengharuskan perintah obersver penuh. Sebuah kondisi yang perlu untuk adanya penanbahan adalah bahwa
rank
Dalam subbab ini, diberikan kondisi pertidaksamaan matriks linear cukup untuk meregularkan sistem dengan prediksi umpan-balik statis dari bentuk
. Dapat diringkaskan hasil subbab ini dalam pernyataan berikut.
Teorema 3.1:
Jika terdapat matriks pasti positif dan sebuah matriks sedemikian hingga pertidaksamaan matriks linear diperoleh
Maka terdapat sedemikian hingga matriks memiliki sebuah rank penuh dan sebagai akibatnya, sistem diregularkan dengan prediksi umpan-balik statis
(34)
25
Bukti:
Matriks memiliki sebuah rank penuh jika dan hanya jika . Hal ini berarti bahwa ada dan sebagai akibatnya,
ada. Jika , maka
Sebaliknya dengan , ini memberikan
Karena diberikan matriks simetri dan , diperoleh
maka jika diambil dan , diperoleh
Jika pertidaksamaan berikut diperoleh
maka dengan sebelum dan melalui perkalian pertidaksamaan sebelumnya dengan , diperoleh
(35)
dan kemudian dibuktikan dimana menjelaskan bahwa invertibel. Dengan lemma komplemen Schur, pertidaksamaan adalah ekuivalen terhadap . Terbukti.
3.1.2 Regularisasi dengan Prediktive Output Umpan-Balik Statis
Peregularan sistem singular dengan prediksi output umpan-balik statis dari bentuk adalah hal yang khusus dari regularisasi dengan prediksi ouput keadaan penuh umpan-balik statis yang didiskusikan pada subbab sebelumnya. Informasi dapat diperoleh dengan gambaran seorang pengamat untuk sistem waktu-diskrit singular atau dengan perhitungan output diskrit . Prediksi output
dapat juga diperoleh dari estimasi turunan pertama dari . Kondisi cukup untuk adanya sebuah prediksi output umpan-balik statis bahwa meregularkan sistem singular yang diberikan dengan teorema berikut.
Teorema 3.1:
Jika terdapat sebuah matriks dan sedemikian hingga pertidaksamaan berikut diperoleh
maka, controller
meregularkan sistem dan matriks memiliki sebuah rank penuh.
Bukti: Seperti yang telah diketahui dari subbagian sebelumnya, kondisi invertibiliti matriks adalah ekuivalen terhadap pertidaksamaan berikut
(36)
27
Pertidaksamaan sebelumnya dapat ditulis kembali sebagai
Untuk beberapa , diperoleh
Lebihlanjut, dengan menggunakan (3.8), dapat ditulis
Hal ini menyatakan bahwa jika
maka dibuktikan. Menggunakan lemma komplemen Schur, maka adalah ekuivalen terhadap .
(37)
BAB 4
KESIMPULAN
Masalah regularisasi sistem singular waktu diskrit dengan predictive controller telah ditunjukkan. Pertidaksamaan matriks linier yang memenuhi kondisi untuk eksistensi peregularan umpan-balik sistem
diberikan, dimana adalah vektor keadaan, adalah input kontrol, dan adalah output sistem. Matriks dimaksudkan menjadi sebuah matriks singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem tampak secara lengkap dan adalah pasangan regular, yaitu atau dengan perkataan lain tidak sama dengan nol sehingga diperoleh suatu sistem singular yang regular.
(38)
29
DAFTAR PUSTAKA
1. A. Bunse-Gerstner, Ralph Byers, Volker Mehrmann, dan Nancy K. Nichols. 1999. “Feedback design for regularizing descriptor system”. Journal ofLinear algebra and its application.
2. Abdurrochman, A. 22 Juni 2010. Pengolahan Sinyal Elektronika (Transformasi ).
3. Dianhui Wang dan C. B. Soh. 1999. “On Regularizing Singular Systems by Decentralized Output Feedback”. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44.
4. Glenn W. Stagg dan Ahmed H. El-Abiad. 1968. Computer Methods in Power System Analysis. International Student Edition. Tokyo: McGraw-Hill, Inc.
5. Guang-Ren Duan dan Xian Zhang. September 2003. “Regularizability of linear descriptor system via output plus partial state derivative feedback”. Asian journal of Control.
6. Jie Huang dan Ji-Feng Zhang. 1998. “Impulse-Free Output Regulation of Singular Nonlinear Systems”. International Journal Control, vol.71. 7. Liyi Dai, 1988. “Observer for Discrete Singular System”. IEEE
Transactions on Automatic Control, vol. 33.
8. Liyi Dai. 1989. “Observer for Discrete Singular System”. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 34.
9. S. Ibrir. 2009. “Linear matrix inequality approach to regularization and stabilization of linear singular system: the discrete-time case”. World Academy of Science, Engineering and Technology.
10.Seymour Lipschutz dan Marc Lipson. 2006. Aljabar Linier. Edisi ketiga. Terjemahan Refina Indriasari dan Amalia Safitri. Jakarta: Penerbit Erlangga.
(39)
11.Leon, J. Steven. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Terjemahan Drs. Alit Bondan, M.Kom. Jakarta: Penerbit Erlangga.
12.http://www.google.com/pdf/ppt-te4230-bab_sinyal_dan_sistem.pdf.
(1)
25
Bukti:
Matriks memiliki sebuah rank penuh jika dan hanya jika . Hal ini berarti bahwa ada dan sebagai akibatnya,
ada. Jika , maka
Sebaliknya dengan , ini memberikan
Karena diberikan matriks simetri dan , diperoleh
maka jika diambil dan , diperoleh
Jika pertidaksamaan berikut diperoleh
maka dengan sebelum dan melalui perkalian pertidaksamaan sebelumnya dengan , diperoleh
(2)
invertibel. Dengan lemma komplemen Schur, pertidaksamaan adalah ekuivalen terhadap . Terbukti.
3.1.2 Regularisasi dengan Prediktive Output Umpan-Balik Statis
Peregularan sistem singular dengan prediksi output umpan-balik statis dari bentuk adalah hal yang khusus dari regularisasi dengan prediksi ouput keadaan penuh umpan-balik statis yang didiskusikan pada subbab sebelumnya. Informasi dapat diperoleh dengan gambaran seorang pengamat untuk sistem waktu-diskrit singular atau dengan perhitungan output diskrit . Prediksi output
dapat juga diperoleh dari estimasi turunan pertama dari . Kondisi cukup untuk adanya sebuah prediksi output umpan-balik statis bahwa meregularkan sistem singular yang diberikan dengan teorema berikut.
Teorema 3.1:
Jika terdapat sebuah matriks dan sedemikian hingga pertidaksamaan berikut diperoleh
maka, controller
meregularkan sistem dan matriks memiliki sebuah rank penuh.
Bukti: Seperti yang telah diketahui dari subbagian sebelumnya, kondisi invertibiliti matriks adalah ekuivalen terhadap pertidaksamaan berikut
(3)
27
Pertidaksamaan sebelumnya dapat ditulis kembali sebagai
Untuk beberapa , diperoleh
Lebihlanjut, dengan menggunakan (3.8), dapat ditulis
Hal ini menyatakan bahwa jika
maka dibuktikan. Menggunakan lemma komplemen Schur, maka adalah ekuivalen terhadap .
(4)
BAB 4
KESIMPULAN
Masalah regularisasi sistem singular waktu diskrit dengan predictive controller telah ditunjukkan. Pertidaksamaan matriks linier yang memenuhi kondisi untuk eksistensi peregularan umpan-balik sistem
diberikan, dimana adalah vektor keadaan, adalah input kontrol, dan adalah output sistem. Matriks dimaksudkan menjadi sebuah matriks singular. Hal ini bertujuan bahwa sistem tampak secara lengkap dan adalah pasangan regular, yaitu atau dengan perkataan lain tidak sama dengan nol sehingga diperoleh suatu sistem singular yang regular.
(5)
29
DAFTAR PUSTAKA
1. A. Bunse-Gerstner, Ralph Byers, Volker Mehrmann, dan Nancy K. Nichols. 1999. “Feedback design for regularizing descriptor system”. Journal of Linear algebra and its application.
2. Abdurrochman, A. 22 Juni 2010. Pengolahan Sinyal Elektronika (Transformasi ).
3. Dianhui Wang dan C. B. Soh. 1999. “On Regularizing Singular Systems
by Decentralized Output Feedback”. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 44.
4. Glenn W. Stagg dan Ahmed H. El-Abiad. 1968. Computer Methods in Power System Analysis. International Student Edition. Tokyo: McGraw-Hill, Inc.
5. Guang-Ren Duan dan Xian Zhang. September 2003. “Regularizability of linear descriptor system via output plus partial state derivative feedback”. Asian journal of Control.
6. Jie Huang dan Ji-Feng Zhang. 1998. “Impulse-Free Output Regulation of Singular Nonlinear Systems”. International Journal Control, vol.71. 7. Liyi Dai, 1988. “Observer for Discrete Singular System”. IEEE
Transactions on Automatic Control, vol. 33.
8. Liyi Dai. 1989. “Observer for Discrete Singular System”. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 34.
9. S. Ibrir. 2009. “Linear matrix inequality approach to regularization and stabilization of linear singular system: the discrete-time case”. World Academy of Science, Engineering and Technology.
10.Seymour Lipschutz dan Marc Lipson. 2006. Aljabar Linier. Edisi ketiga. Terjemahan Refina Indriasari dan Amalia Safitri. Jakarta: Penerbit Erlangga.
(6)
Alit Bondan, M.Kom. Jakarta: Penerbit Erlangga.
12.http://www.google.com/pdf/ppt-te4230-bab_sinyal_dan_sistem.pdf.