Modul Matematika SMA dan Soal Latihan 11 Notasi Sigma

BARISAN DAN DERET
F. Notasi Sigma
Notasi sigma merupakan bentuk penulisan dari penjumlahan suku-suku U(1) + U(2) +
U(3) + U(4) + ... + U(n), dimana suku-suku tersebut diatur menurut pola tertentu.
Sehingga bentuk umum dari notasi sigma adalah :

 U(n) =
q

n p

Dimana :

p
:
q
:
U(n) :

U(p) + U(p+1) + U(p+2) + U(p+3) +… + U(q)

Batas Bawah
Batas Atas
Suku ke-n

Sebagai contoh
01. Uraikanlah bentuk setiap notasi berikut ini


12

(a)

n 2

(3n  4)

 (1) n (2) n 6
12

(b)

n 3

Jawab

 (3n  4) =
12

(a)

n 2

= 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + … + 40

 (1) n (2) n 6
12

(b)

[3(2) + 4] + [3(3) + 4] + [3(4) + 4] + [3(5) + 4] + … + [3(12) + 4]

n 3

= (1) 3 (2) 36 + (1) 4 (2) 46 + (1) 5 (2) 56 + … + (1)12 (2)126

= (–1) (2) 3 + (2) 2 + (–1) (2) 1 + (2) 0 + … + (2) 6
= –1/8 + 1/4 – 1/2 + 1 + … + 64

02. Ubahlah bentuk uraian berikut ini menjadi notasi sigma dengan batas bawah 3
(a) 5 + 9 + 13 + 17 + … + 53
(b) 42 + 37 + 32 + 27 + … – 8
(c) 2 + 4 + 8 + 16 + … + 128
Jawab
(a) 5 + 9 + 13 + 17 + … + 53 =
5 + 9 + 13 + 17 + … + 53 =

 (an  b)
p

n 3

 (4n  7)
p

n 3

4p – 7 = 53
4p = 60
p = 15

Barisan dan Deret

1

5 + 9 + 13 + 17 + … + 53 =

 (4n  7)
15

n 3

 (an  b)
p

(b) 42 + 37 + 32 + 27 + … – 8 =

n 3

 (5n  57)
p

42 + 37 + 32 + 27 + … – 8 =

n 3

2 + 4 + 8 + 16 + … + 128 =

–5p = –65
p = 13

 (57  5n)
13

42 + 37 + 32 + 27 + … – 8 =
(c) 2 + 4 + 8 + 16 + … + 128 =

–5p + 57 = –8

n 3

 a n b
p

n 3

 2 n 2

2 p 2 = 128

p

n 3

81 + 27 + 9 + 3 + … + 1/27 =

2 p 2 = 2 7
p–2=7
p=9

 2 n 2
9

n 3

 (an 2  bn) = 6 + 16 + 30 + 48 + … + 240
p

03. Jika diketahui

n 3

maka lengkapilah bentuk

notasi sigmanya
Jawab

 (an 2  bn) =
p

n 3

6 + 16 + 30 + 48 + … + 240

Maka : a(3) 2  b(3) = 6 maka

9a + 3b = 6 .................................................... (1)

a(4) 2  b(4) = 16 maka 16a + 4b = 16 ............................................... (2)

Sehingga

9a + 3b = 6 (4)
16a + 4b = 16 (3)

36a + 12b = 24
48a + 12b = 48
–12a

= –24
a=2

9a + 3b = 6
9(2) + 3b = 6
18 + 3b = 6
3b = –12
b = –4
Jadi rumus umum suku ke-n adalah Un = 2n2 – 4n

Barisan dan Deret

2

 (2n 2  4n) =
p

n 2

6 + 16 + 30 + 48 + … + 240

Sehingga 2p2 – 4p = 240
p2 – 2p – 120 = 0
(p – 12)(p + 10) = 0
p = 12

 (2n 2  4n) =
12

Jadi

6 + 16 + 30 + 48 + … + 240

n 2

Terdapat beberapa sifat yang berlaku pada notasi sigma, yakni :

 [ a(n)  b(n)] =
q

(1)

n p

n p
q

(3)

n p

k

 a(n)

n p



n p

n p

q

n p

 a(n  r)

qr

=

q

(5)

 b(n)
q

= (q – p + 1).

q

(4)

n p

a(n)

 a(n)

 k.a(n) = k.
q

(2)





q

dan

n p r



 a(n)

n p

=

 a(n  r)

n pr

q

r

a(n) =

 a(n)

q r

q

n p

a(n) +

n  r 1

dimana p < r < q

Sifat-sifat di atas dipakai dalam memnyelesaikan beberapa soal, sebagai contoh :


8

04. Buktikanlah bahwa
Jawab


8

n 2

(4n  3) 2 =

n 2

(4n  3) 2 = 16

n 2

 (16n 2  24n  9)

=

n 2

16n 2 –

 24n +
8

n 2

n 2

8

8

16n 2

n 2


8

= 16

n 2

Barisan dan Deret

n 2 – 24

n +
8

n 2

63

8

8

=


8

–

 24n

n 2

n 2 – 24

9
8

n 2

+ (8 – 2 + 1)9

n +
8

n 2

63

(terbukti)

3

 (n 2  4n  2) ke dalam notasi sigma dengan ….
9

05. Ubahlah bentuk

n 5

(a) Batas bawah 3
(b) Batas atas 12
Jawab


9

(a)

n 5

 ([n  2]2  4[n  2]  2)

9 2

(n 2  4n  2) =

n 5 2

 (n 2  4n  4  4n  8  2)
7

=

n 3

 (n 2  2)
7

=


9

(b)

n 5

n 3

 ([n  3]2  4[n  3]  2)

9 3

(n 2  4n  2) =

n 53

 (n 2  6n  9  4n  12  2)
12

=

n 8

 (n 2  10n  23)
12

=

n 8


9

06. Buktikanlah bahwa
Jawab


9

n 4

(2n  5) 2 =

n 4

(2n  5) 2 = 4


12

n 7

n2 – 4

n
12

n 7

+ 6

 (2[n  3]  5) 2

93

n  43

 (2n  1) 2
12

=

n 7

 (4n 2  4n  1)
12

=

n 7

 4n
12

=

n 7

2

–

 4n
12

n 7

1
12

+

n 7

= 4  n 2 – 4  n + (12 – 7 + 1)1
12

12

n 7

n 7

12

12

= 4 n2 – 4 n + 6
n 7

Barisan dan Deret

n 7

(terbukti)

4


12

07. Hitunglah

n 5

(n 2  4n  5) –

Jawab


12

n 5

(n 2  4n  5) –

 (n 2  8n  9)
14

n 7

 (n 2  8n  9) =
14

n 7


12

n 5

(n 2  4n  5) –

 (n
12

=

n 5


12

=

n 5

2

 4n  5) –

(n 2  4n  5) –

 ([n  2]2  8[n  2]  9)

14 2

n 7  2

 (n 2  4n  4  8n  16  9)
12

n 5

 (n 2  4n  3)
12

n 5

 [(n 2  4n  5)  (n 2  4n  3)]
12

=

n 5

 [8]
12

=

n 5

= (12 – 5 + 1)8
= 64
08. Tentukanlah nilai p dan q jika :


18

(a)

n 3



(n 2  4) =

10

(b)

n 2


13

(c)

n 6

(2n  5) =

(3n  1) =

Jawab


18

(a)

n 3

(n 2  4) =


p

n 3


16

n 2


13

n 1

(n 2  4) +

n 10

 (2n  5)

(2n  5) –

(3n  1) –


p

n 3

q

n p

 (3n  1)
q

n p

(n 2  4) +

maka p = 9 dan q = 18


10

(b)

n 2

(2n  5) =


16

n 2

(2n  5) –

 (n 2  4)
q

 (n 2  4)
q

n 10

 (2n  5)
q

n p

maka p = 11 dan q = 16


13

(c)

n 6

(3n  1) =


13

n 1

(3n  1) –

 (3n  1)
q

n p

maka p = 1 dan q = 5

Barisan dan Deret

5


12

06. Hitunglah



n 8

Jawab
12

n 8
12

=
=
=

(4n  4) –


16

n 5
19

16

n 5

 (4n  4)

n 8
193

n 13
16

–

 (4n  2)

n 5

 (4[n  3]  4) –

n 83
16

 (4n  8) –

n 5
16

=

n 5
16

(4n  2) +

(4n  2) +

 (4n  4) +  (4n  4)

n 8
19

=

=



(4n  4) –

–

 (4n  4)
19

n 13

 (4n  4)
19

n 13
16

 (4n  2)

n 5

 (4n  2)
16

n 5

 (4n  2)
16

n 5

 [(4n  8)  (4n  2)]
 [10]

n 5

= (16 – 5 + 1)10
= 120

Barisan dan Deret

6