APLIKASI NILAI EIGEN PADA PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL.

ISSN 0853-3792

Aplikas i Nilai Eigen pada Pemecahan Persamaan Diferensial
H eook S iagiao
Jurusan Fisika, FMJPA, Uni..-er.fitas Negeri Medan
Jl. Willem Iskandar Pavar V. Medan 20221

Abst ract
[TilE APPL!CATIOI-. 01' EtGEl' VALUE TO SOLVE 0JFfEREl'TIAL EQ\JATIONS] A simple differential
equation sysJem cm• be wrinen in a matrix notation of Y' = AY, where A is a matrix ｣ｯ･ｦｾｩｮｴｨ｡＠
can be diagonalized. Eigen values ofA is used 10 find o P matrix that diagonalize A. By substitution

of Y = PU andY ' - PU' to find "a new diagonalize system'' of U' = DU. where D = P 1AP.
Solution of U'- DU is then used 10 dt!termine Y from Y = PU equalit>n. 1J1ese results has been use
to solve linear differential equation and its application.
Kata kunci : Nilai Eigen, persamaan diferensial, matriks
(J. &ins lndon., 18(4): 156-160, 2004)

Pen dnhuluao
merupakan
vektor

eigen
dari
A.
Sesungguhnya, sembarang kelipatan taknol
dari x akan mcnjadi vektor eigcn, karena A(kx)
= kAx = kA X= J..(k.x).
Persamaan Ax = J.. x dapat dituliskan
dalam bentuk:
(A - J..I)x s 0.
(/)
dengan I matriks satuan. Persamaan {1) akan
mempunyai penyclcsaian tal.:trivial jika dan
hanya jika A - A.I singular, atau sccara
ekivalen:

Banyak hukum-hukum ftSika dijelaskan
dalam persamaan diferensial, yakni persamaao
yang melibatkan fungsi-fungsi dan turunanturunannya. Dari sistem persamaan diferensial
yang d ikctahui disusun scbuah matn"ks
ko'•]

schingga persamaan Y • PU menghasilkan Y
scbagai pcmecaha n baru meojadi

Yz

4

matriks koefisien untuk sistem tef'Sebut adalah

[-12 :]

A=

dct (A.! - A)

-IJ

..1. -1

•

a

A1 2
=(?. 2)(2-3)=0
maka nilai-nilai eigen A adalah:

= ).' -

5..1. + 6
a tau

Ya =

A= 2, i. = 3.

y1

cle2x

+ c2el"'

= c el% + 2c,e1'
1

UniUk A. = 2, sistem ini me njadi :

b) Pemecahan khu.ws (particular .tolution):
Jika kondisi-kondisi awal disubstitusikan
maka didapatkan:
memecahkan

dengan

menghasilkan x1
jadi, p 1 -

｛ｾ｝＠

=

s istem

x 1 sehingga [

ini

ak.an

;J •[:]

c, +c2 = 3
c1 +2c2 = I
dengan memecahkan sistem ini dipcroleh:

c1 = S;

adalah scbuah basis unruk noang

eigcn dengan A.= 2. Dcngan cara yang sama
dipcroleh, p 2

｡｛ ｾ｝＠
ｾ｝＠

Jadi P =

[:

ｄ］ｰＭＧａ

ｐ ］ ｛ｾｬ＠

=

-

Campunm
(5 Umin)

=3.

mendiagonaHsasi A.

ｾ｝｛

｟

｛ｾ＠ ｾ｝＠

Ｑ

Ｒ＠ Ｚ ｝｛ ｾ＠ ｾ｝＠

Substitusi Y = PU dan Y' = PU'
menghasilkan sistem diagonal yang baru,
yaitu:
2
U' OU = [

=

= Se1'

2e''
y 2 = Selz - 4e"'
y,

adalah sebuah basis untuk

ruang cigen dcnga n J.

=-2

｣ ｾ＠

sehingga pemecahru1 yang memenuhi kondisi
awal adalah:

Gam bar I. Laju campuran air dan pupuk.

O] ["•u, J

Aplikasi Nilai Eigeo pada Ca m purao

0 3

Dua buah tangki A dan B masing-masing
berisi I 00 liter campuran . Mula-mula tangki A
mengandung 40 gram pupuk dan tangki B
mengandung
20 gram pupuk. Cairan
dipompakan ke dalam dan ke luar dari kedua
tangki dengan kecepatan pcmompaan sepcrti

atau

u1 = 2u1 ; ｵ ｾ＠ = 3u 2
Dari persamaan (5) pemecahan sistem ini

adalah :

158

Jurnal SclifU Indonesia. Olaober 2004, Volume 28. Nomor 4

tcrlihat pada Gambar 1. Tcntukan1ah jumlah
pupuk da1am setiap tangl..i pada wal..'tu t .

nilai eigen dari A adalah:

Ｎｩ］Ｍ

Mula-mula jumlah total cairon dalam
setiap tangki akan rctap 100 liter karena
j um1ah cairan yang dipompa ke dalam sama
dengan yang dipompa ke luar. Kecepatan
perubahan j um1ah pupuk pada setiap t3Jigki
adalah sama dengan kccepatan penambahan
dikurMgi dengan kcccpatan pemompaan kc

1uar. Misalkan y 1(t) dan y 2 (t) mas ing-masing
adalah jumlah pupuk (dalant gram) di dai3Jit
rangki A dan 13 pada waktu t.
Untuk tangki A : kecepatan pennmbahan
pupuk adalah

10

｛ ｾ＠ ｾ＠ ｾｯ ｝＠ [;J ｛ｾ｝＠
=

5
10
dengan memecabkan sistem
tnt
rncnghasillum x, = - 2 x1 ; sehingga;

[::] ］｛ｾ

(5 Umin)( Yz(l ) g I L)= Yz(l) glmin

100

ｾ＠

J.. =- -1
10 •
10
3
untuk .A •, sistem ini meiUadi:

Pemecnllan;

jadi, P•

20

ｾ＠

Ｒ｝＠

1
[ _ ] adalah basis untuk ruang
2

kecepatan pcmompaan pupuk ke luar adalah
(20 l.Jmin) ( Yr (I) gIL)= y,(t) glmin

100

y'(t ) = Yl(t)- y,(t)

20

I

=-

5

y,(l) + y ,(t)

5

ｾ＠

sama dipcro leh, p2

ｾ｛＠ ｾ｝＠

ruang eigen dengan ).

20

dengan cara yang sama, untuk tangki B,
kecepatan perubahan mcnurut pcrsamaan ,

y;(t) = y,;t) -

eigen untuk A. = -

5

Maka keccpatan perubaban untuk rangki A
diberikan o leh persamaan ,

=[

Jadi P

yl;t)

-2

1

=

rＭ Ｎｾ＠

l

ｾ｝＠

1

D - P AP =

untuk dapat menentukan y 1 (t)dan y 2 (t)
harus menyelcsaikM masalah nilai awal.
Y' =AY
, Y(O)= Yo
Matriks koefisien untuk sistem di atas
adalah:

[! ｛Ｍｾ＠ ｝

5
1

mcndiagonalisasi A.

I

-4t

Ｒｾ｝＠

t

-s - -5

[1 1]
- 2

2

10

a tau

J

u 1 = - -u,:
10 -

.
l'z

I

= - -10u1

Maka.
u 1 = c,e ·JtiiO:
u 2 = ｣ｾ･ Ｍ Ｇ ＱＰ＠
sehingga persamaan Y ｾ＠ PU menghasilkan Y
sebagai pcmecahan baru:

100

ＫＭ Ｑ＠

10

Ｍ ｾｊ｛Ｚ＠

I
I
= (A. + -2 ) - - "" 0

10

ｾ＠

Subslitusi Y = PU dan Y' = PU'
menghasilkan sistem diago nal baru, yaitu:

l -5
］ＨｊＮＫｾｽ

adalah basis untuk

-to

I

5

Dcngan cara yang

10

o. ]

0

2 +det (J..I - A) =

akan

)=0

10
159

Henok Siagian: Aplikasi Nilai Eigen pada Pemecahan Persamaun Diferensial
l'cnutup
atau
yl(l) = cle-'' IO + c2e-•"o

y 2 (t) = -2c1e

}I

10

+ 2c,e-•

10

Bila: t = 0, Y • Yo, maka: c, +c2

= 40 ,

- 2c, + 2c, = 20, Pcnyelesruatl dari kedua
persamaan ini didapat:

c, = 15; c2

=25 .

Maka pemecahan masalah nilai awal, yairu
jumlah pupuk dalam setiap tangki pada waktu
t, adalah:

Daftar Puslaka
Anton, Howard ( 1981) Elementary linear
algebra. New York: Jbon Wiley
Boas, Mary t . (1983) Mathematical methods
in the Physical Sciences. New York: Jhon
Wiley
Leon, Sleven J. ( 1998) Linear algebra with
applications. Singapore: Prentice-Hall

- di da/om tangki A:
yl(t) = 15c-'"'o + 25c-"'o
- di dalam rangki B:

Y2(1)

Dari uraian di alas telah diperlihatkan
bagaimana nilai-nilai eigcn tersebut digunakan
dalam pcmccahan masalah sistem pcrsamaan
diferensial linear dengan koefisicn konstan.
Maka sistcm persamaan diferensial linear
dapat
dicari
pemecahannya
dengan
menerapkan nilai eigen dari matriks koefisien
serta diterapkan untuk pemecahan masalah
campuran.

= -30e-l1IIO + 50e-IIIO

160