APLIKASI NILAI EIGEN UNTUK PERSAMAAN RESULTAN GAYA PADA PEGAS

APLIKASI NILAI EIGEN UNTUK

PERSAMAAN RESULTAN GAYA PADA PEGAS

Oleh

Tiyas Trianafuri

Ilmu matematika adalah ilmu yang dapat diaplikasikan di banyak bidang, misalnya di bidang ilmu fisika yaitu pada persamaan suatu resultan gaya sebuah benda yang bergerak dan dihubungkan dengan pegas. Berdasarkan masalah tersebut maka akan dibuat model matematika dari persamaan resultan gaya menjadi persamaan percepatan benda dengan mengaplikasikan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks.

Berdasarkan hasil pembahasan untuk kasus satu massa persamaan percepatannya yaitux,,(t) = x denganx,,(t)adalah percepatan benda, xjarak antara posisi massa m terhadap posisi setimbang dan posisi setelah ditarik pada saat t dan k adalah kostanta pegas. Untuk kasus dua massa persamaan percepatannya yaitu y ,,(t) = y dan y ,,(t) = 3 y dan untuk kasus tiga massa persamaan percepatannya yaituy ,,(t) = 3 y dany ,,(t) = 4 y .

(Skripsi)

Oleh

TIYAS TRIANAFURI

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Ilmu matematika adalah ilmu yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari di banyak bidang, baik di bidang ilmu matematika itu sendiri maupun di bidang ilmu-ilmu lainnya. Misalnya, di bidang ilmu fisika yaitu pada persamaan suatu resultan gaya benda yang bergerak dan dihubungkan dengan pegas.

Getaran dan gerak merupakan subjek yang berhubungan erat. Banyak benda yang dapat bergetar atau berosilasi. Ketika sebuah getaran atau osilasi terulang sendiri, ke depan dan belakang pada lintasan yang sama, gerakan ini disebut periodik. Bentuk paling sederhana dari gerak periodik dipresentasikan oleh sebuah benda yang berosilasi di ujung pegas. Pegas mempunyai energi potensial ketika ditekan atau direntangkan karena ketika dilepaskan ia dapat melakukan kerja. Bentuk matematis dari energi potensial bergantung pada gaya yang bersangkutan. Energi potensial adalah energi yang dihubungkan dengan gaya yang bergantung pada posisi atau konfigurasi benda. Energi potensial merupakan bagian dari suatu sistem dan bukan dari satu benda itu saja. Perubahan energi potensial ketika benda berubah posisi sama dengan kerja eksternal yang dibutuhkan untuk memindahkan benda itu dari satu

posisi ke posisi lain. Energi potensial dihubungkan dengan gaya, dan gaya suatu benda selalu diberikan oleh benda lain.

Gaya digambarkan sebagai dorongan atau tarikan terhadap sebuah benda. Kecepatan benda akan berubah apabila ditambahkan suatu gaya kepada benda yang sedang bergerak. Suatu gaya total yang diberikan pada sebuah benda mungkin menyebabkan lajunya bertambah, atau jika gaya total itu mempunyai arah yang berlawanan dengan gerak, gaya tersebut akan memperkecil laju benda itu. Jika arah gaya total yang bekerja berbeda dengan arah sebuah benda yang bergerak, maka arah kecepatannya akan berubah. Karena perubahan kecepatan merupakan percepatan dapat dikatakan bahwa gaya total menyebabkan percepatan.

Tarikan yang diberikan pada sebuah benda yang berada di ujung pegas sedemikian mengakibatkan pegas melakukan gaya pemulih, gaya pemulih yaitu gaya kembalinya benda menuju posisi semula. Besar gaya pemulih dapat dihitung dengan adanya konstanta pegas tersebut dan besar massa benda. Tetapi apabila pegas dan benda yang berada di ujung pegas tidak hanya satu, maka akan menimbulkan resultan gaya atau gaya total. Resultan gaya tersebut akan membentuk suatu bentuk persamaan.

Persamaan yang terbentuk dari resultan gaya benda berada di ujung pegas tersebut dapat diubah menjadi persamaan baru yang membentuk persamaan percepatan benda. Percepatan merupakan turunan kedua dari jarak terhadap waktu sehingga persamaan percepatan membentuk persamaan differensial orde dua. Dengan kata lain persamaan resultan gaya ini dapat dirubah dengan

menggunakan konsep persamaan differensial orde dua. Untuk mencari solusi dari persamaan differensial orde dua diperlukan dua kali proses integrasi sehingga pada keadaan khusus akan timbul suatu masalah yang tidak mudah dipecahkan. Cara lain untuk merubah persamaan resultan gaya tersebut yaitu dengan menggunakan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks. Persamaan dari suatu resultan gaya ini akan diubah menjadi persamaan baru yang membentuk persamaan percepatan gaya benda dengan menggunakan nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks serta hukum-hukum matematika lainnya.

1.2 Batasan Masalah

Penelitian ini membahas pemodelan matematika dengan mengaplikasikan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks untuk merubah persamaan suatu resultan gaya atau gaya total yang ditimbulkan oleh tarikan benda yang dihubungkan oleh pegas dalam kasus satu, dua dan tiga massa benda menjadi persamaan percepatan gaya tersebut.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah merancang model matematika dengan mengaplikasikan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks untuk merubah persamaan suatu resultan gaya atau gaya total yang ditimbulkan oleh tarikan benda yang dihubungkan oleh pegas menjadi persamaan percepatan gaya tersebut.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat mengetahui model matematika dengan mengaplikasikan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks untuk merubah persamaan suatu resultan gaya atau gaya total yang ditimbulkan oleh tarikan benda yang dihubungkan oleh pegas menjadi persamaan percepatan gaya tersebut.

III. METODE PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan waktu penelitian dilaksanakan pada semester genap tahun akademik 2011/2012.

3.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mempelajari definisi-definisi dan teorema-teorema yang terkait pada

masalah penelitian khususnya mengenai matriks dan gaya total tarikan sebuah pegas yang dihubungkan dengan beberapa benda.

2. Membuat persamaan-persamaan dari resultan gaya atau gaya total yang ditimbulkan oleh tarikan sebuah pegas yang dihubungkan dengan beberapa benda.

3. Memodelkan secara matematika suatu resultan gaya yang ditimbulkan oleh tarikan sebuah pegas yang dihubungkan dengan beberapa benda sehingga terbentuk persamaan resultan gaya.

4. Mencari nilai eigen serta vektor eigen dari matriks yang terdapat dalam persamaan resultan gaya yang ditimbulkan oleh tarikan sebuah pegas yang dihubungkan dengan beberapa benda.

5. Merubah persamaan resultan gaya yang ditimbulkan oleh tarikan sebuah pegas yang dihubungkan dengan beberapa benda menjadi persamaan percepatan benda.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Pemodelan Matematika

Definisi pemodelan matematika :

Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang disebut dunia matematika (mathematical world).

Ada dua tipe model matematika, yaitu model bertipe deterministik dan model empirik. Model deterministik merupakan suatu model matematika yang dibangun dengan berdasarkan hukum-hukum atau sifat-sifat yang berlaku pada sistem, sedangkan model empirik lebih cenderung kepada fakta yang diberikan oleh sistem atau data (Giordano dan Weir, 2002).

2.2. Energi Potensial

Energi potensial merupakan energi yang dihubungkan dengan gaya-gaya yang bergantung pada posisi atau konfigurasi benda dan lingkungannya. (Giancoli, 2001).

Definisi Energi Potensial :

Energi potensial adalah energi yang dihubungkan dengan gaya yang bergantung pada posisi atau konfigurasi benda.

Perubahan energi potensial ketika benda berubah posisi sama dengan kerja eksternal yang dibutuhkan untuk memindahkan benda itu dari satu posisi ke posisi lain.

(Giancoli, 2001).

2.3. Kerja

Kerja dilakukan pada benda oleh gaya ketika benda tersebut bergerak melalui jarak, d. Jika arah gaya konstan F membuat sudut dengan arah gerak, kerja yang dilakukan gaya ini adalah :

cos

(Giancoli, 2001).

2.4. Hukum Gerak Newton Pertama

Hukum gerak Newton pertama (hukum inersia) menyatakan bahwa jika gaya total pada sebuah benda adalah nol, benda yang tadinya berada dalam keadaan diam akan tetap diam, dan benda yang bergerak akan tetap bergerak pada garis lurus dengan kecepatan kostan (Giancoli, 2001).

2.5. Hukum Gerak Newton Kedua

Hukum gerak Newton kedua menyatakan bahwa percepatan sebuah benda berbanding lurus dengan gaya total yang bekerja padanya, dan berbanding terbalik dengan massanya. Arah percepatan sama dengan arah gaya total yang bekerja padanya. Bentuk persamaannya dapat ditulis :

✁

dimana a adalah percepatan, m adalah massa dan merupakan gaya total .

Newton adalah satuan SI turunan dengan lambang N. Satu Newton adalah besarnya gaya yang diperlukan untuk membuat benda bermassa satu kilogram mengalami percepatan sebesar satu meter per detik per detik.

Definisi :

1 = 1 . .

(Giancoli, 2001).

2.6. Hukum Gerak Newton Ketiga

Hukum gerak Newton ketiga menyatakan bahwa ketika suatu benda memberikan gaya pada benda kedua, benda kedua tersebut memberikan gaya yang sama besar tetapi berlawanan arah terhadap benda pertama. Hukum ini dinyatakan juga sebagai untuk setiap aksi ada reaksi yang sama dan berlawanan arah (Giancoli, 2001).

2.7. Gaya

Gaya adalah tarikan atau dorongan pada benda. Ia merupakan besaran vektor yang mempunyai besaran dan arah. Gaya resultan pada suatu benda menyebabkan benda tersebut mendapatkan percepatan dalam arah gaya itu. Percepatan yang timbul berbanding lurus dengan gaya tetapi berbanding terbalik dengan massa benda (Bueche, 1989).

2.8. Hukum Hooke

Suatu sistem dikatakan memenuhi hukum Hooke jika gaya pemulih sebanding dengan besar simpangan (simpangan sering juga disebut distorsi).

Gerak harmonis sederhana atau gerak sinus adalah gerak getar suatu sistem yang memenuhi Hukum Hooke.

Pegas (spring) Hooke adalah pegas yang memenuhi Hukum Hooke. Apabila pegas sedemikian ditarik (diperpanjang) sebanyak x, gaya pemulih yang dilakukan pegas (gaya pegas) adalah :

✂

disini k adalah suatu konstanta positif disebut tetapan pegas (spring constant). k menggambarkan kakunya suatu pegas. Jika pegas ditekan maka x adalah negatif (Bueche, 1989).

2.9. Massa Benda

Massa benda adalah ukuran atau kelembamannya, sedangkan kelembaman (inertia) adalah kecenderungan benda yang mula-mula diam untuk tetap diam dan benda yang mula-mulabergerak tetap melanjutkan gerakannya tanpa mengalamiperubahan vektor kecepatan (Bueche, 1989).

2.10. Aljabar Linier

Definisi Aljabar Linier :

Sebuah persamaan aljabar dikatakan linier untuk variabel-variabel

✄ ✄ , jika mempunyai bentuk berikut :

+ + + =

dengan catatan bahwa , , , dan adalah konstanta. Jika persamaan aljabar linier tersebut jumlahnya lebih dari satu dan dikumpulkan, maka himpunan dari persamaan-persamaan tersebut disebut sistem persamaan linier (SPL). Di dalam matematika bentuk SPL didefinisikan sebagai berikut :

+ + + =

+ + + =

+ + + =

dengan adalah koefisien konstan, adalah konstan dan

, , , adalah bilangan tak diketahui (variabel), serta adalah jumlah persamaan (Sutojo, dkk, 2010).

2.11. Koefisien

Definisi Koefisien :

Koefisien adalah bilangan konstan yang terletak di depan variabel independen dan menjadi satu kesatuan (Dumairy, 1991).

2.12. Variabel

Definisi Variabel :

Variabel adalah suatu besaran-besaran yang sifatnya tidak tetap dan antara masing-masing variabel tersebut saling mempengaruhi.

Pada dasarnya variabel ini dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu : a. Variabel kuantitatif, yaitu variabel yang sifatnya tetap dan nilainya

dapat diukur.

Contoh variabel kuantitatif yaitu dalam kilogran, meter, dan sebagainya.

b. Variabel kualitatif, yaitu variabel yang sifatnya tidak tetap dan nilainya tidak dapat diukur

Contoh variabel kualitatif yaitu selera, rasa, kesenangan, dan sebagainya. (Dumairy, 1991).

2.13. Matriks

Definisi Matriks :

Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Skalar-skalar tersebut disebut dengan elemen matriks. Untuk batasnya biasanya digunakan :☎ ✆✝[ ], atau

(Sutojo, dkk, 2010).

Notasi Matriks :

Matriks diberi nama dengan huruf besar misalny A, B, C, P, Q dan lain-lain. Sedangkan elemen-elemennya dengan huruf kecil misalnya

, , dan lain-lain. Secara lengkap ditulis A = artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya dimana indeks I menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut.

Pandang matriks A = , = 1, 2, 3, dan = 1, 2, 3, ; yang berarti bahwa banyaknya baris = serta banyaknya kolom = .

=

Atau ditulis _{( × )}= , dimana ( × ) adalah ukuran (ordo) dari matriks.

Matriks baris atau vektor baris adalah matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti :

✞ [ ]

Matriks kolom atau vektor kolom adalah matriks dengan dimensi kolom

n=1, seperti : = (Sutojo, dkk, 2010).

2.14. Operasi-Operasi pada Matriks

Misalkan diketahui matriks berikut :

= × = =

dan

= × = =

2.14.1. Penjumlahan Matriks

Jumlah dua buah matriks A + B bisa dilakukan asalkan kedua matriks tersebut berukuran sama, yaitu :

+ = + =

( + ) ( + )

( + ) ( + ) (( ++ ))

( + ) ( + ) ( + )

2.14.2. Pengurangan Matriks

Pengurangan dua buah matriks A - B bisa dilakukan asalkan kedua matriks tersebut berukuran sama, yaitu :

= =

( ) ( )

( ) ( ) (( ))

( ) ( ) ( )

2.14.3. Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k suatu skalar, maka matriks = diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan skalar k, yaitu :

= =

Jika , dan adalah matriks berukuran sama dan adalah skalar, maka :

a. + = + (komutatif)

b. ( + ) + = + ( + ) (asosiatif) c. ( + ) = + (distributif)

2.14.4. Perkalian Matriks

Pada umumnya, matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian . Pada perkalian matriks , matriks A disebut matriks pertaman dan B matriks kedua.

Syarat perkalian matriks :

Banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris matriks kedua

Definisi :

Hasil perkalian antara matriks = berordo × , dengan matriks = berordo × , adalah matriks = berordo = berordo × , dengan nilai :

= + + + =

dimana untuk = 1, 2, 3, dan = 1, 2, 3, .

Hukum Perkalian Matriks :

Jika , dan adalah matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks yang diperlukan, maka :

a. (tidak komutatif)

b. ( ) = ( ) (asosiatif)

✟ + ) = + (distributif)

d. Jika = 0, yaitu matriks yang semua elemennya sama dengan 0, kemungkinan :

d.1. = 0 dan = 0 d.2. = 0 atau = 0 d.3. 0 dan 0

e. Bila = belum tentu =

2.15. Jenis Matriks

2.15.1. Matriks Bujur Sangkar

Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya, berukuran n. Barisan elemen

, , , disebut diagonal utama dari matriks bujur sangkar A tersebut.

2.15.2. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol. Dengan kata lain,

=

2.15.3. Matriks Nol

Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah nol.

2.15.4. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen yang lainnya adalah 0. Dengan kata lain,

✠

adalah matriks satuan atau identitas jika ✠ 1 untuk = dan

= 0untuk . Matriks identitas biasanya ditulis dimana n menunjukan ukuran matriks tersebut.

2.15.5 Matriks Invers

Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar berordo n dan berlaku AB = BA = I, maka B invers dari A ditulis = dan sebaliknya, A adalah invers dari B ditulis = .

2.16. Determinan Matriks

Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu yang ditulis dengan simbol ✡ ☛ atau | |.

2.16.1. Determinan Matriks Ordo ×

Determinan matriks ordo × dihitung menggunakan teorema Laplace.

Teorema Laplace :

Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Secara matematis ditulis sebagai berikut :

( ) = . = . ( ) + . ( ) + + . ( )

dengan i sembarang disebut ekpansi baris ke-i, atau :

( ) = . = . + . + + .

dengan j sembarang disebut ekpansi baris ke-j. adalah kofaktor dari .

2.17. Matriks Invers

Definisi Matriks Invers:

Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n disebut mempunyai invers bila ada suatu matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A ditulis , merupakan matriks bujur sangkar berordo × . Matriks yang mempunyai invers adalah matriks nonsingular. Invers dari sebuah matriks adalah unik (tunggal atau hanya ada satu) dan berlaku sifat :

( ) =

(Sutojo, dkk, 2010).

2.18. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen:

Jika A adalah matriks × , maka vektor tak nol dalam dinamakan vektor eigen dari A jika A adalah kelipatan skalar dari , yaitu :

=

untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Masalah untuk mencari vektor

, 0 dan adalah bilangan real yang memenuhi persamaan : = , disebut masalah nilai eigen (Sutojo, dkk, 2010).

Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka perlu memperhatikan kembali definisi vektor eigen dan nilai eigen, yaitu

☞

Bentuk ini dapat ditulis sebgai berikut :

☞

( ) = 0

( ) = 0

Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dari persamaan di atas. Persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian tak nol (mempunyai penyelesaian non trivial) jika dan hanya jika :

( ) = 0

(Anton dan Rorres, 2004).

2.19. Diagonalisasi Matriks

Matriks bujur sangkar A berukuran × , dikatakan dapat didiagonalkan menjadi matriks diagonal D, jika terdapat matriks P yang mempunyai invers sedemikian hingga

=

Matriks P disebut sebagai matriks yang mendiagonalkan matriks A, sedangkan D merupakan matriks diagonal yang elemen diagonalnya merupakan semua nilai eigen dari A. dan ternyata matriks P merupakan matriks × yang kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor eigen dari matriks A (Sutojo, dkk, 2010).

2.20. Persamaan Differensial Orde 2

Persamaan differensial orde 2 adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk

" = ( , , )

Karena persamaan differensial orde 2 mengandung turunan kedua, maka untuk menentukan solusinya diperlukan dua kali proses integrasi. Oleh karena itu, solusi persamaan differensial orde 2 akan mempunyai dua buah konstanta (Heris, dkk, 2002).

Suatu persembahan kecil untuk kedua orang tuaku tercinta, Bapak Syahril dan Ibu Suyati. Kakak dan adikku tersayang, Algan Mutifuri, Gestin Nandasari, Aviv Vidiananda dan Fakih Ashari, orang yang selalu mendukungku, Redi Febriansyah serta Almamater Universitas Lampung. Semoga karya ini dapat memberikan manfaat.

Segala puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan berkah, rahmat dan hidayahNya, penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 19 Juli 1990. Penulis adalah anak kedua dari pasangan Bapak Syahril dan Ibu Suyati yang telah mendidik dan membesarkan penulis dengan penuh kasih sayang.

Jenjang pendidikan yang pernah ditempuh penulis adalah Taman Kanak-kanak Satria diselesaikan pada tahun 1996, Sekolah Dasar Negeri 2 Sukarame Bandar Lampung yang lulus pada tahun 2002, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri 4 Bandar Lampung yang lulus pada tahun 2005 dan Sekolah Menengah Atas Negeri 2 Bandar Lampung yang lulus pada tahun 2008.

Pada tahun 2008 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Penulis melaksanakan Kerja Praktik di Perusahaan Daerah Air Minum Way Rilau Bandar Lampung pada tahun 2012.

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Persamaan resultan gaya dapat dirubah menjadi persamaan percepatan gaya benda dengan menggunakan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks.

2. Dari suatu persamaan resultan gaya dapat diketahui secara langsung percepatan suatu benda dari gaya yang ditimbulkannya hanya dengan mengetahui persamaan percepatannya.

Segala puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan berkah, rahmat dan hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga selalu tercurahkan kepada suri tauladan umat Baginda Nabi Muhammad SAW, yang telah memberikan petunjuk kepada kita semua melalui peninggalan-Nya Al-Qur’an dan Al Hadist.

Alhamdulillah dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan masukan dan bantuan serta bimbingan dari berbagai pihak yang tentunya sangat bermanfaat dan berharga sehingga laporan ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1) Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 2) Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc, Ph.D. Ketua Jurusan Matematika dan

selaku Pembimbing Utama atas kesediaannya untuk memberikan bimbingan kepada saya dari awal hingga akhir penulisan skripsi ini.

3) Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Pembimbing Kedua yang juga membimbing dan memberi masukan penulisan dalam proses penyelesaian skripsi ini.

4) Bapak Amanto, M.Si. selaku Pembahas pada ujian skripsi ini. 5) Ibu Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D. selaku Pembimbing Akademik.

7) Ibunda dan Ayahanda tercinta serta adik-adikku dan kakakku tersayang yang selalu memberikan doa serta dukungan moral untuk penulis.

8) Redi Febriansyah yang banyak memberikan bantuan, doa serta dukungan untuk penulis.

9) Eflin, Lucky, Jihan, Recan dan seluruh teman-teman Angkatan 2008 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

10) Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun laporan ini.

Semoga Allah SWT membalas atas segala bantuan yang diberikan kepada penulis dan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Bandar Lampung, Agustus 2012

20

2.20. Persamaan Differensial Orde 2

Persamaan differensial orde 2 adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk

" = ( , , )

Karena persamaan differensial orde 2 mengandung turunan kedua, maka untuk menentukan solusinya diperlukan dua kali proses integrasi. Oleh karena itu, solusi persamaan differensial orde 2 akan mempunyai dua buah konstanta (Heris, dkk, 2002).

PERSEMBAHAN

Suatu persembahan kecil untuk kedua orang tuaku tercinta, Bapak Syahril dan Ibu Suyati. Kakak dan adikku tersayang, Algan Mutifuri, Gestin Nandasari, Aviv Vidiananda dan Fakih Ashari, orang yang selalu mendukungku, Redi Febriansyah serta Almamater Universitas Lampung. Semoga karya ini dapat memberikan manfaat.

RIWAYAT HIDUP

Segala puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan berkah, rahmat dan hidayahNya, penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 19 Juli 1990. Penulis adalah anak kedua dari pasangan Bapak Syahril dan Ibu Suyati yang telah mendidik dan membesarkan penulis dengan penuh kasih sayang.

Jenjang pendidikan yang pernah ditempuh penulis adalah Taman Kanak-kanak Satria diselesaikan pada tahun 1996, Sekolah Dasar Negeri 2 Sukarame Bandar Lampung yang lulus pada tahun 2002, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri 4 Bandar Lampung yang lulus pada tahun 2005 dan Sekolah Menengah Atas Negeri 2 Bandar Lampung yang lulus pada tahun 2008.

Pada tahun 2008 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Penulis melaksanakan Kerja Praktik di Perusahaan Daerah Air Minum Way Rilau Bandar Lampung pada tahun 2012.

39

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Persamaan resultan gaya dapat dirubah menjadi persamaan percepatan gaya benda dengan menggunakan konsep nilai eigen matriks dan vektor eigen matriks.

2. Dari suatu persamaan resultan gaya dapat diketahui secara langsung percepatan suatu benda dari gaya yang ditimbulkannya hanya dengan mengetahui persamaan percepatannya.

SANWACANA

Segala puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan berkah, rahmat dan hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga selalu tercurahkan kepada suri tauladan umat Baginda Nabi Muhammad SAW, yang telah memberikan petunjuk kepada kita semua melalui peninggalan-Nya Al-Qur’an dan Al Hadist.

Alhamdulillah dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan masukan dan bantuan serta bimbingan dari berbagai pihak yang tentunya sangat bermanfaat dan berharga sehingga laporan ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1) Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 2) Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc, Ph.D. Ketua Jurusan Matematika dan

selaku Pembimbing Utama atas kesediaannya untuk memberikan bimbingan kepada saya dari awal hingga akhir penulisan skripsi ini.

3) Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Pembimbing Kedua yang juga membimbing dan memberi masukan penulisan dalam proses penyelesaian skripsi ini.

4) Bapak Amanto, M.Si. selaku Pembahas pada ujian skripsi ini. 5) Ibu Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D. selaku Pembimbing Akademik.

6) Seluruh Dosen serta Staff Jurusan Matematika atas ilmu dan bantuan yang telah diberikan.

7) Ibunda dan Ayahanda tercinta serta adik-adikku dan kakakku tersayang yang selalu memberikan doa serta dukungan moral untuk penulis.

8) Redi Febriansyah yang banyak memberikan bantuan, doa serta dukungan untuk penulis.

9) Eflin, Lucky, Jihan, Recan dan seluruh teman-teman Angkatan 2008 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

10) Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun laporan ini.

Semoga Allah SWT membalas atas segala bantuan yang diberikan kepada penulis dan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Bandar Lampung, Agustus 2012