APLIKASI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL OR
APLIKASI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
Untuk memenuhi tugas mata kuliah Persamaan Diferensial
Yang dibina oleh
Bapak Dr. Baiduri, M.Si
Oleh
Kelompok VIII
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
TAHUN 2016
DAFTAR ISI
Sistem Persamaan Diferensial | 1
Kata Pengantar...............................................................................................i
Daftar Isi........................................................................................................ii
BAB I Materi PD yang Sesuai ......................................................................
BAB II Aplikasi PD ......................................................................................
BAB II Latihan Soal ....................................................................................
BAB II Kesimpulan .....................................................................................
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
Sistem Persamaan Diferensial | 2
MATERI PERSAMAAN DIFERENSIAL
1.1 Pengertian Sistem Persamaan Diferensial dan Jenis-jenisnya
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n buah
persamaan diferensial, dengan n buah fungsi yang tidak diketahui, dimana n
merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama dengan 2 (Finizio dan
Ladas, 1982:132). Antara persamaan diferensial yang satu dengan yang lain
saling keterkaitan dan konsisten.
Bentuk umum dari suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai
bentuk sebagai berikut :
dy 1
=f 1 (x , y 1 , y 2 , … , y n)
dx
dy 2
=f 2 (x , y 1 , y 2 , … , y n)
dx
.........................................
dy n
=f n ( x , y 1 , y 2 , … , y n )
dx
dengan
y1 , y2 , … , yn
terikat, sehingga
................................. (1.1)
adalah variabel bebas dan
x
adalh variabel
y 1= y 1 ( x ) , y 2= y 2 ( x ) , … y n= y n ( x ) , dimana
yn
merupakan derivatif fungsi
yang tergantung pada variabel
terhadap
y1 , y2 , … , yn
x , dan
dan
x
fn
dy n
dx
adalah fungsi
(Claudia,2004:702).
Bentuk lain sistem persamaan diferensial linier orde satu dapat ditulis
sebagai berikut. (Ross, 1984: 510)
'
y 1=a 11 ( x ) y 1+ a12 ( x ) y 2 +…+ a1 n ( x ) y n + g1 ( x)
'
y 2=a 21 ( x ) y 1 +a22 ( x ) y 2 +…+a 2n ( x ) y n + g2 ( x )
.................................................................................
'
y n=an 1 ( x ) y 1 +a n 2 ( x ) y 2 +…+ ann ( x ) y n + gn ( x) ...........(1.2)
untuk
aij x , j=1,2,3, … , n
f 1 (x ) , f 2 ( x), … , f n (x )
a≤t ≤b,
adalah
merupakan
i, j =1,2,3,..., n
fungsi
fungsi
t .
terhadap
terhadap
t
Juga
dengan
merupakan konstanta. Sistem persamaan
diferensial pada persamaan (1.2) dapat ditulis dalam bentuk sebuah matriks.
Sistem Persamaan Diferensial | 3
dY
=AY + f ( x )
dx
dengan
Y =[ y 1 , y 2 , … , y n ]
[
a11 a12
a
⋯ 1n
a2 n
A= a21 a22
⋮
⋮⋱
⋮
an 1 an 2 … ann
]
f ( x )=[f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , … , f n ( x ) ]
Contoh 1
1
2
y 2 = 2 y 1 − 4 y 2 + x y 3−2 x
y 13 = y 1 sin x + e x y 2 − y 3
y 14 = x2 y1 + 3 xy 2 − y 3 + 3
¿} ¿} ¿
SPD Linier
¿¿
Bentuk martriksnya adalah :
y1
2
−4 x 2
Y = y 2 , A= sin x e x −1
y3
x 2 3 x −1
[] [
] [ ]
,
−2 x
f ( x )= 0
3
Persamaan (1.2) disebut sistem persamaan diferensial linier homogen
f i ( x )=0, ∀i=1,2,… , n
jika
dan disebut linier tak homogen jika ada
f n( x)≠ 0 . Kemudian disebut sistem persamaan diferensial linier dengan
koefisien konstanya jika
aij ( x )=aij (kostanta) , 1≤ i , j≤ n .
Contoh 2
y1
1 = xy 1 − y 2 + y 3
y1
4
1.
= x2 y 1 + 3 xy 2 − y 3
¿} ¿
¿¿
SPD Linier Homogen
1
x
y 1 = 3 y 1 − y 2 +e
1
2
2
y 2 = y 1 − y 2− x
2.
3.
¿} ¿
¿¿
SPD Linier tak Homogen
y1
1 = 5 y 1 − y 2+ 4
y1
2 = 2 y 1 +3 y 2
¿} ¿
¿¿
SPD Linier Koef. Kostanta
Sistem Persamaan Diferensial | 4
2
y1
1 = x y 1 − xy 2 + x
4.
2
y1
2 = 2 y 1 +3 x y 2 +2
¿} ¿
¿¿
SPD Linier Koef. Variabel
1.2 Hubungan PD Orde n dengan Sistem PD
Persamaan diferensial orde n linier, koefisien konstanta dapat
ditransformasi menjadi sistem persamaan difensial orde 1 dengan variabel
benas n buah.
x , y , y ' , … , y(n−1)
y n=f ¿
Misalkan variabel beabas baru
y1 , y2 , … , yn
'
y 1= y , y 2= y , … , y n= y
sebagai berikut.
(n−1)
Sehingga persamaan diferensialnya menjadi sistem persamaan difensial orde
1 dengan n variabel.
y '1= y 2
'
y 2= y 3
...........
y 'n=f n ( x , y 1 , y 2 , … , y n)
Contoh 3
'' '
''
2 '
2
Tuliskan persamaaan diferensial
y =x y −x y + y sin x+ x
sebagai
sistem persamaan diferensial !
Jawab:
y 1= y
'
'
y 1= y = y 2
y '1' = y ' ' = y '2 = y 3
'' '
' ''
'
y 1 = y = y 3= y 4
Sehingga diperoleh SPDL :
y '1= y 2
'
y 2= y 3
y '3=x y '3−x 2 y 2 + y 1 sin x + x 2
1.3 Solusi Sistem Persamaan Diferensial
SPDL dapat ditulis dalam bentuk :
'
y 1=a 11 ( x ) y 1+ a12 ( x ) y 2 +…+ a1 n ( x ) y n + g1 ( x)
'
y 2=a 21 ( x ) y 1 +a22 ( x ) y 2 +…+a 2n ( x ) y n + g2 ( x )
Sistem Persamaan Diferensial | 5
.................................................................................
'
y n=an 1 ( x ) y 1 +a n 2 ( x ) y 2 +…+ ann ( x ) y n + gn (x)
Fungsi-fungsi y1(x), y2(x), ... , yn(x) yang didefinisikan pada interval I
dikatakan solusi dari SPDL jika fungsi-fungsi tersebut dan turunannya ada
pada I dan memenuhi SPDL.
Masalah mencari solusi dari SPDL pada selang I R yang memenuhi syarat
awal y1(x0) = a1, y2(x0) = a2 , ... , yn(x0) = an , maka disebut masalah nilai awal
xo R, (a1, a2, …, an) Rn, (xo, a1, a2, …, an) I x Rn
Contoh
y 1 = e−2 x + 2 e x
Selidiki apakah fungsi-fungsi
y 2 = 2 e−2 x + e x
¿} ¿
¿¿
SPDL
1
y1 = 2 y1 − 2 y2
y1
2 = 2 y1 − 3 y2
¿} ¿
¿¿
dan memenuhi y1(0) = 3, y2(0) = 3
Jawab
−2 x
x
y 1=e +2 e
y ' 1=−2 e−2 x +2 e x
−2 x
x
y 2=2 e + e
y ' 2=−4 e−2 x + e x
2 y1 −2 y 2 =2 ( e−2 x +2 e x )−2(2 e−2 x +e x )
−2 x
x
−2 x
x
¿ 2 e + 4 e −4 e −2 e
−2 x
x
¿−2e +2 e
2 y1 −3 y 2=2 ( e−2 x +2 e x ) −3(2 e−2 x + e x )
¿ 2 e−2 x + 4 e x −6 e−2 x −3 e x
−2 x
x
¿−4 e +e
Sehingga :
y ' 1=2 y 1 −2 y 2
−2 x
x
−2 x
x
−2 e +2 e =−2 e +2 e
y ' 2=2 y 1−3 y 2
−2 x
x
−2 x
x
−4 e +e =−4 e + e
−2.0
0
y 1 ( 0 )=e +2 e =3
−2.0
0
y 2 ( 0 )=2 e + e =3
Sistem Persamaan Diferensial | 6
Jadi,
y1
dan
y2
merupakan solusi dari SPD tersebut dan memenuhi
syarat awal yang diberikan
1.4 Solusi SPDL Homogen Koefisien Konstanta
Diberikan SPDL homogen dengan koefisien konstanta sebagai berikut :
dx
=ax+ by
dt
dy
=cx+ dy
...................................................................(1)
dt
Dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan SPDL homogen
koefisien konstanta, terdapat beberapa cara penyelesaian. Salah satu cara
penyelesaian tersebut adalh dengan metode eliminasi-substitusi
dx
dy
Diambil Operator diferensial dengan Dx=
dan Dy=
dt
dt
maka
SPDL di atas adapt ditulis menjadi :
Dx=ax+ by atau ( D−a ) x−by=0 … … … … … … … … (2)
Dy=cx +dy atau ( D−c ) x−dy =0 … … … … … … … …(3)
Jika kita mengeliminir x dari (1) dan (2), maka kita kalikan (1) dengan c dan
(2) dengan (D – a) sehingga diperoleh
c (D - a)x – bcy
=0
c (D - a)x – (D - a)(D - d)y = 0
(D - a)(D - d) - bc]y
=0
(D2 – (a + d)D + ad – bc)y = 0 .................................(4)
Persamaan (4) merupakan persamaan diferensial linier (PDL) order-2 dalam
y. Jika kita mengeliminir y akan di peroleh PDL order-2 dalam x.
Persamaan karekteristik dari (4) adalah :
2
r −( a+ d ) r+ ( ad−bc )=0 … … … … … … … … … … … .(5)
Karena (5) merupakan persamaan kuadarat dalam r maka kemungkinan nilainilai r adalah sebagai berikut:
a. Real dan berbeda ( r 1 ≠ r 2 )
Sistem Persamaan Diferensial | 7
Solusi umum dari sistem (1) adalah
r1 t
r 2t
y=c1 e +c 2 e
b. Real dan sama ( r 1=r 2 =r )
Solusi umum dari sistem (1) adalah
r1 t
y=c1 e +c 2 x e
r2 t
c. Kompleks ( r=a ±bi )
Solusi umum dari sistem (1) adalah
c 1 cos bx+c1 sin bx
)
αx
y=e ¿
(Kartono,1994:117-118) dalam (Yunitasari,2007:9)
Setelah didapatkan solusi umum dari y, kita substitusikan nilai y
tersebut ke dalam persamaan (2) untuk mendapatkan solusi umum dari x
sehingga di dapatkan solusi umum dari (1).
Dengan memasukan syarat awal ke dalam solusi umum, maka
konstanta-konstanta yang muncul ( C1 , C2 , C3 , … ,C n ) dapat diketahui
nilainya.
1.5 Solusi SPDL Tak Homogen Koef Konstanta
Mencari solusi SPDL tak homogen dapat dialakukan dengan mencari
solusi persamaan homogennya terlebih dahulu. Kemudian mencari solusi
khususnya dengan beberapa cara, diantaranya yaitu dengan menggunkan
metode koefisien taktentu. Metode koefisien tertentu merupakan teknik untuk
mencari solusi partikulir ( y p ).
Jika diberikan persamaan linier tak homogen dengan koefisien
konstanta y” + p y’ + p y’ + qy = b(x) dan akar persamaan karakteristik dari
persamaan homogennya diketahui, maka untuk mencari yp dilakukan prosedur
berikut:
1. Jika b(x) = an xn + … + a1 x + a0, maka
i. yp = An xn + … + A1 x + A0, bila r = 0 bukan akar.
Sistem Persamaan Diferensial | 8
ii.
Yp = x
k
(Anxn + … + A1x + A0), bila r = 0 merupakan akar
kelipatan k, k = 1,2.
2. Jika b(x) = (an xn + … + a1 x + a0) ebx, maka
i. yp = An xn + … + A1x + A0 )e bx , bila r = b bukan akar.
ii. yp = x k (Anxn + … + A1 x + A0)e bx , bila r = b merupakan akar
kelipatan k,
3. Jika b(x) = (an xn + … + a1x + a0) ebx sin β x + (bmxm + … + b1x +
b0) e bxcos x, dan N = max (n,m), maka
i.
yp = (ANx N + … + A1x + A0)e bx sin β x + (BNxN + … +B1x + B0
)e bx cos β x bila r = b + β i bukan akar
ii.
yp = xk(ANxN + … + A1x + A0)ebx sin β x + xk (BNxN + … + B1x
+ B0)e bxcos β x, bila r = b + β i akar kelipatan k, k = 1,2.
BAB II
APLIKASI
Banyak masalah dalam ilmu pengetahuan dan teknik menyangkut
pengkajian suatu sistem selama periode waktu tertentu. Kebanyakan masalah ini
dimodelkan dengan menggunakan suatu sistem persamaan diferensial, dengan
berbagai variabel bebas. Bidang kajian persamaan diferensial tidak hanya bukan
sebagai salah satu bagian tercantik dari matematika, namun ia juga merupakan
alat yang penting di dalam memodelkan benbagai fenomena dan masalah dalam
bidang ilmu-ilmu fisika, kimia, biologi, ekonomi, transportasi dan teknik
Berikut ini merupakan pengaplikasian sistem persamaan diferensial dam
berbagai bidang, yaitu :
1. Teknik
Sistem persamaan diferensial linier (SPDL) merupakan kumpulan dari
persamaan diferensial linier yang sering digunakan untuk melukiskan suatu
persoalan dalam di kehidupan nyata ke dalam model matematika. Pada
struktur bangunan bertingkat, banyak yang mempunyai derajat kebebasan
banyak (Multi Degree Of Freedom). Apabila diberikan suatu struktur MDOF
(Multi Degree Of Freedom) yang lebih dari satu derajat kebebasan dan ingin
mencari beberapa simpangan horizontal tiap tingkat, maka model
Sistem Persamaan Diferensial | 9
persamaannya terdiri dari beberapa persamaan diferensial yaitu dalam bentuk
SPDL.
Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi
yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada saat. Sehingga
struktur yang mempunyai n- tingkat akan mempunyai n- derajat kebebasan
atau struktur dengan dengan derajat kebebasan banyak.
Persamaan gerak struktur MDOF dapat disusun dengan pernyataan
keseimbangan gaya-gaya efektif yang berhubungan dengan masing-masing
derajat kebebasannya. Pada umumnya terdapat empat gaya pada setiap
koordinat i : beban luar yang dikenakan
diakibatkan oleh gerak, yakni inersia
f Si
f Ii
f i (t )
dan gaya-gaya yang
, peredaman
f Di dan elastik
sehingga berdasarkan pada prinsip d’Alembert untuk masing-masing
derajat kebebasan kesetimbangan dinamika dapat dinyatakan sebagai berikut :
f I 1 +f D1 + f S 1=F 1 (t)
f I 2 +f D2 + f S 2=F 2 (t)
f I 3 +f D2 + f S 3 =F 3 (t)
(3.1)
⋮
f ¿ +f DN + f SN =F N (t )
Atau dapat dinyatakan dalam bentuk
F I +F D +F S =F (t )
(3.2)
dengan
F I =m . ´y
F D =c . ´y
F S=k . y
(3.3)
Masing-masing gaya yang diakibatkan oleh gerak dinyatakan dengan
menggunakan koefisien pengaruh yang sesuai. Misalnya, kita tinjau
komponen gaya elastic yang terbentuk pada titik l komponen gaya elastic
terdiri dari komponen perpindahan yang terjadi pada semua titik struktur :
Sistem Persamaan Diferensial | 10
+¿⋯ +k 1 N y N
f S 1=k 11 y1 + k 12 y 2 +k 13 y 3 ¿
Sehingga secara umum
+¿⋯+ k ¿ y N
f Si =k i 1 y 1+k i 2 y 2 +k i 3 y 3 ¿
Dalam bentuk matriks gaya elastic dapat di tulis sebagai berikut
k 12 k 13 ⋯ k 1 N y 1
k 22 k 32 ⋯ k 2 N y 2
⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯
k i2 k i 3 ⋯ k 3 N y i
f S 1 k 11
f S 2 k 21
=
⋯ ⋯
f Si k i 1
atau
F s=ky
Dengan k sebagai matriks kekakuan struktur dan y adalah vektor perpindahan
yang menyatakan bentuk perpindahan struktur
Pada gaya redaman kita asumsikan bahwa peredaman dipengaruhi oleh
kecepatan dan redaman tipe viskos. Susunan gaya redam diberikan sebagai
berikut
f D 1 c 11
f D 2 c 21
=
⋯ ⋯
f Di c i 1
c 12
c 22
⋯
ci 2
c 13 ⋯ c 1 N ´y 1
c 32 ⋯ c 2 N ´y 2
⋯⋯ ⋯ ⋯
c i 3 ⋯ c 3 N ´y i
atau
F D =c ´y
dengan c adalah matriks redam struktur dan
´y
adalah vektor kecepatan.
Gaya inersia dipengaruhi oleh koefisien massa dan percepatan.
Gaya inersia dapat dinyatakan sebagai berikut
Sistem Persamaan Diferensial | 11
f I 1 m11 m12 m13 ⋯ m1 N ´y 1
f I 2 m21 m22 m32 ⋯ m2 N ´y 2
=
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯
f Ii mi1 mi 2 mi 3 ⋯ m3 N ´y N
atau
F I =m ´y
dengan m adalah matriks massa dan
´y
adalah vektor percepatan .
Situasi tersebut dapat dilihat pada gambar berikut :
Strukrur bangunan gedung bertingkat n pada gambar di atas mempunyai
n derajat kebebasan. Biasanya jumlah derajat kebebasan suatu struktur
dihubungkan langsung dengan jumlah tingkatnya. Persamaan diferensial
gerakan pada umumnya, disusun berdasarkan pada goyangan struktur mode
pertama. Berdasarkan pada keseimbnagan dinamik pada free body diagram
dan prinsip d’Alembert yang telah dijelaskan sebelumnya maka diperoleh
m1 ´y 1 + ( c 1 +c 2 ) ´y 1−c 2 ´y 2 + ( k 1+ k 2 ) y 1−k 1 y 2=F 1( t)
m1 ´y 2−c2 ´y 1+ ( c 1+ c 3 ) ´y 2 −c 3 ´y 3−k 2 y1 + ( k 2 +k 3 ) y 2−k 3 y 3 =F 2 (t)
.
.
.
Sistem Persamaan Diferensial | 12
mn ´y n + cn ( ´y n− ´y n−1) + c n+1 ´y n+ k n ( y n− y n−1 ) +k n+1 y n=F n(t)
2.
Biologi
a. Ekologi
Dalam bidang biologi khususnya ekologi, sistem persamaan diferensial
digunakan untuk memodelkan interaksi dua populasi. Interaksi populasi yang
paling terlihat adalah yang melibatkan pemangsaan, dimana seekor pemangsa
memakan mangsa.
1) Model Predator-Prey
Pada model mangsa-pemangsa,
kajian
matematis
dapat
menjelaskan munculnya fenomena turun-naiknya jumlah mangsa dan
pemangsa dalam suatu periode tertentu
Sekitar tahun 1920 terdapat penurunan dan kenaikan jumlah ikanikan di Laut Adriatic yang terjadi secara berkala. Saat terjadi penurunan
jumlah ikan nelayan di daerah tersebut sangat dirugikan. Penjelasan akan
fenomena tersebut diberikan pertama kali oleh Vito Volterra, di tahun
1926 melalui model predator-prey atau model mangsa-pemangsa. Ikanikan di Laut Adriatic merupakan mangsa, sedangkan ikan hiu sebagai
pemangsa. Model tersebut juga dikenal sebagai model Lotka-Volterra
karena Lotka juga menemukan model yang sama di waktu yang relatif
bersamaan.
Bayangkan suatu lingkungan yang tertutup dimana terdapat
sejumlah rusa (mangsa) dan singa (pemangsa). Andaikan di lingkungan
itu terdapat berlimpah rumput, namun bagi singa sumber makanannya
hanya rusa. Misalkan
x (t )
y (t)
dan
berturut-turut menyatakan
jumlah mangsa dan pemangsa di lingkungan tersebut saat
mangsa
dan
pemangsa
tidak
saling
berinteraksi
maka
t . Jika
model
pertumbuhannya masing-masing adalah
x ' =ax
'
y =−by
Jika mangsa dan pemangsa saling berinteraksi, maka jumlah
mangsa akan berkurang karena di makan pemangsa. Laju berkurangnya
mangsa sebanding dengan jumlah pertemuan mangsa dan pemangsa,
dimisalkan sebagai- pxy , dengan
p
suatu bilangan positif.
Sistem Persamaan Diferensial | 13
Sebaliknya jumlah pemangsa akan bertambah dengan laju
qxy .
Sehingga model mangsa-pemangsa menjadi
'
x =ax− pxy
y ' =−by+ qxy
Perhatikan bahwa model di atas mempunyai dua titik equilibrium (0,0)
dan (a / p , b/q) .
Contoh
Pelajari perilaku kualitatif solusi SPD berikut:
x ' =x(1−0,5 y)
y ' = y (−0,75+ 0,25 x )
Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa model pada contoh
mempunyai dua titik equilibrium (0,0) dan (3,2). Tampak dari phase
portrait bahwa titik equilibrium (3,2) stabil, sedangkan titik (0,0) tidak
stabil. Ini berarti bahwa di alam akan terjadi kesetimbangan antara
jumlah mangsa dan pemangsa. Jika diamati lebih detail terdapat
trajektori-trajektori tertutup di sekitar (3,2). Hal ini yang menjelaskan
munculnya fenomena penurunan dan kenaikan jumlah ikan secara
periodik di Laut Adriatic. Perhatikan satu trajektori di sekitar titik (3,2),
terdapat masa di mana jumlah mangsa cukup banyak, sedangkan jumlah
pemangsa sedikit. Namun jumlah pemangsa segera meningkat karena
banyaknya mangsa. Hal ini berlangsung terus hingga jumlahpemangsa
terlalu banyak, sedangkan jumlah mangsa berkurang. Hingga pada suatu
Sistem Persamaan Diferensial | 14
saat jumlah pemangsa mencapai nilai maksimum. Karena banyaknya
pemangsa maka jumlah mangsa berkurang terus hingga mencapai nilai
minimum. Selanjutnya dengan bertambahnya waktu jumlah pemangsa
berkurang karena persaingan untuk mendapatkan makanan diantara
mereka sendiri. Hal ini mengakibatkan jumlah pemangsa berkurang terus
hingga mencapai jumlah minimal. Sementara itu jumlah mangsa
bertambah karena sedikitnya jumlah pemangsa, hingga jumlah mangsa
mencapai nilai maksimum.
2) Model Interaksi Dua Spesies
Pada model interaksi dua spesies, parameter-parameter sistem
persamaan
differensial
dapat
menentukan
apakah
akan
terjadi
kesetimbangan diantara dua spesies tersebut, ataukah salah satu dari
spesies tersebut akan punah.
Bayangkan di suatu lingkungan yang tertutup terdapat kelinci dan
rusa yang sama-sama makan rumput. Misalkan
x (t )
dan
y (t)
berturut-turut menyatakan jumlah kelinci dan rusa di lingkungan tersebut
saat
t . Jika kelinci tinggal di lingkungan itu tanpa ada rusa, maka
kelinci akan bertumbuh secara logistik. Demikian pula dengan rusa,
sehingga model pertumbuhan kelinci dan rusa masing-masing adalah
'
2
x =a1 x −b1 x
y ' =a2 y−b 2 y 2
Jika kelinci dan rusa sama-sama tinggal di lingkungan itu, maka
makanan mereka terbatas karena kehadiran spesies yang lain. Sehingga
model pertumbuhan kelinci dan rusa menjadi
'
2
x =a1 x −b1 x −c 1 xy
y ' =a2 y−b 2 y 2−c 2 xy
Perhatikan bahwa model di atas mempunyai empat titik equilibrium
(0,0), (0, a2 /b 2 ¿ ,( a1 /b1 ,0)
dan satu titik equilibrium
( p , q) dengan
p , q keduanya tak nol.
Contoh
Pelajari perilaku kualitatif solusi SPD berikut
x ' =x(1−x− y )
'
y = y (0,75− y−0,5 x )
Sistem Persamaan Diferensial | 15
Model di atas mempunyai empat titik equilibrium (0,0),(0, 0.75),
(1,0), dan (0.5, 0.5). tampak dari phase portrait bahwa hanya terdapat
satu titik equilibrium (0.5, 0.5) yang stabil. Ini berarti bahwa akan terjadi
kesetimbangan antara kedua spesies tersebut.
b. Polusi Kolam
Perhatikan tiga kolam dihubungkan oleh sungai, seperti pada
Gambar berikut. kolam pertama memiliki sumber polusi, kemudian
menyebar melalui aliran yang menghubungkan kolam yang satu ke kolam
lainnya. Hal ini akan digunakan untuk menentukan jumlah polusi di setiap
kolam.
Sistem Persamaan Diferensial | 16
Diasumsikan berikut.
1. Simbol f (t) adalah laju aliran polusi ke dalam kolam 1 (lb / min).
2. Simbol f1, f2, f3 menyatakan tingkat aliran polusi dari kolam 1, 2, 3,
masing-masing (gal / min). Hal ini diasumsikan bahwa polusi dicampur
dengan baik dalam setiap kolam.
3. Tiga kolam memiliki volume V1, V2, V3 (gal), yang tetap konstan.
4. Simbol x1 (t), x2 (t), x3 (t) menunjukkan jumlah (lbs) polusi masingmasing di kolam 1, 2, 3,.
Polutan fluks adalah laju aliran konsentrasi polusi, misalnya, kolam 1
dikosongkan dengan fluks f1 kali x1 (t) / V1. Sebuah analisis kompartemen
diringkas dalam diagram berikut.
Diagram ditambah kompartemen analisis diberikan oleh persamaan
diferensial berikut.
x '1 ( t ) =
f3
f
x 3 ( t ) − 1 x 1 (t ) + f (t )
V3
V1
Sistem Persamaan Diferensial | 17
'
x 2 (t )=
x ' 3=
f1
f2
x1 ( t ) − x2 ( t )
V1
V2
f2
f
x2 ( t )− 3 x3 ( t )
V2
V3
c. Arus nutrisi dalam Aquarium
Pertimbangkan sebuah kapal dari air yang mengandung isotop
radioaktif, yang akan digunakan sebagai pelacak untuk rantai makanan,
yang terdiri dari varietas plankton air A dan B.
Plankton adalah organisme air yang melayang dengan arus, biasanya
di lingkungan seperti Chesapeake Bay. Plankton dapat dibagi menjadi
dua
kelompok,
fitoplankton
dan zooplankton.
fitoplankton
yang
tanaman seperti drifter: diatom dan alga lainnya. Zooplankton yang mirip
binatang drifter: copepoda, larva, dan krustasea kecil.
Misal :
x (t) = konsentrasi isotop dalam air,
y (t) = konsentrasi isotop di A
z (t) = konsentrasi isotop di B.
d. Pestisida di Tanah dan Pohon
Sebuah Washington cherry di kebun disemprot dengan pestisida.
Sistem Persamaan Diferensial | 18
Asumsikan bahwa jumlah pestisida disemprotkan pada tanah tidak
diperhatikan. Pestisida yang disemprotkan pada pohon memiliki tingkat
pengaliran tertentu untuk tanah, dan sebaliknya, pestisida di dalam tanah
memiliki tingkat penyerapan tertentu ke dalam pohon. Pestisida digunakan
secara berulang untuk mengontrol serangga, yang berarti tingkat
penggunaan pestisida di pohon-pohon bervariasi dengan waktu. Quantize
pestisida penyemprotan sebagai berikut.
x (t) = jumlah pestisida di pohon-pohon,
y (t) = jumlah pestisida dalam tanah,
r (t) = jumlah pestisida disemprotkan pada pohon,
t = waktu dalam tahun.
Sebuah model diperoleh dari analisis input-output, mirip dengan
model tangki air garam:
'
x ( t )=−2 x ( t )− y ( t ) +r ( t )
y ' ( t )=−2 x ( t ) −3 y ( t )
Dalam kebun buah-buahan murni, data awal x (0) = 0, y (0) = 0, karena
pohon dan tanah awalnya tidak mengandung pestisida. Solusi dari model
jelas tergantung pada r (t). Ketergantungan homogen diperlakukan dengan
metode variasi parameter infra. rumus perkiraan adalah
t
x (t)≈∫ ( 1.10 e1.6 ( t−u) −0.12 e−2.6 ( t−u) ) r ( u ) du
0
t
y (t) ≈∫ ( 0.49 e 1.6 (t −u )−0.49 e−2.6 (t −u ) ) r ( u ) du
0
Tingkat eksponensial 1,6 dan -2,6 masing-masing mewakili akumulasi
pestisida ke dalam tanah dan pembusukan pestisida dari pepohonan.
Tingkat aplikasi r (t) adalah langkah fungsi yang sama dengan konstanta
positif pada interval kecil dari waktu dan nol di tempat lain, atau jumlah
fungsi tersebut, mewakili aplikasi pestisida periodik.
3.
Kimia
Sistem Persamaan Diferensial | 19
a. Brine Tank Cascade
Pada tank air garam A, B, C masing-masing diisi dengan jumlah volume
sebesar m, n, p seperti yang terlihat pada gambat berikut.
Air masuk pada tangki A dengan kecepatan r, kemudian A mengalir ke B
dengan kecepatan r, selanjunya B mengalir ke C dengan kecepatan r.
Terakhir dari tangki C mengalir keluar dengan kecepatan r. Hal tersebut
menyebabkan volume tangki tetap konstan.
Misalkan
r=a
untuk menggambarkan ide di atas. Kita asumsikan
terjadi pengaduakan secara seragam pada masing-masing tangki, yang
berarti konsentrasi garam pada tiap tangki adalah sama.
Misal
x 1 ( t ) , x2 ( t ) , x 3 ( t )
menunjukkan jumlah garam pada waktu t di
setiap tangki. Tambahkan ke tangki A air yang tidak mengandung garam.
Karena itu, garam di semua tank akhirnya hilang dari saluran air. Cascade
dimodelkan oleh hukum keseimbangan kimia :
Tingkat Perubahan=Tingkat Masukan−Tingkat Keluaran
Penerapan hukum keseimbangan, dibenarkan dalam analisis kompartemen
dibawah ini dengan hasil dalam sistem diferensial segitiga.
x ' 1=
−a
x
m 1
x ' 2=
a
w
x 1− x 4
m
n
a
a
x ' 3= x 1− x 4
n
p
Sistem Persamaan Diferensial | 20
b. Daur Ulang Brine Tank Cascade
Misal tank air garam A, B, C diberi volume a, b, c, masing-masing,
sebagai pada gambar berikut ini.
Misalkan cairan mengalir dari tangki A ke B pada tingkat r, mengalir dari
tangki B ke C pada tingkat r, kemudian mengalir dari tangki C ke A pada
tingkat r. Tangki volume tetap konstan karena daur ulang cairan konstan.
Untuk tujuan ilustrasi, misalkan r = m.
Diasumsikan terjadi pengadukan seragam pada masing-masing tangki,
yang berarti konsentrasi garam seragam pada setiap tangki.
Misal x1 (t), x2 (t), x3 (t) menunjukkan jumlah garam pada waktu t di setiap
tangki. Tidak ada garam yang hilang dari sistem, karena daur ulang.
Menggunakan analisis kompartemen, cascade daur ulang dimodelkan
dengan sistem non-segitiga.
x ' 1=
−m
m
x 1+ x 3
a
c
x ' 2=
m
m
x 1− x 2
a
b
a
a
x ' 3= x 2− x 3
b
c
4.
Ekonomi
Peramalan Harga
Sebuah produsen kosmetik memiliki kebijakan pemasaran berdasarkan harga
x (t) sampo salon nya.
Sistem Persamaan Diferensial | 21
Strategi pemasaran untuk sampo adalah untuk mengatur harga x (t) secara
dinamis untuk menggambarkan permintaan pada produk. Persediaan yang
diperlukan rendah akan mengurangi biaya keseluruhan produk.
Produksi P (t) dan penjualan S (t) diberikan dalam hal harga x (t) dan
perubahan harga x '(t) dengan persamaan
3
'
P (t )=4− x ( t )−8 x ( t ) ( Produksi)
4
S ( t )=15−4 x ( t )−2 x' ( t ) ( Penjualan)
Persamaan diferensial untuk harga x(t) dan tingkat persediaan I (t) adalah
'
x ( t )=k ( I ( t )−I 0 )
I ' ( t ) =P ( t )−S(t )
Tingkat persediaan
I 0 =50 merupakan tingkat yang diinginkan. persamaan
dapat ditulis dalam hal x (t), I (t) sebagai berikut.
'
x ( t )=kI ( t ) −k I 0
I ' (t )=
13
x ( t ) −6 kI (t ) +6 k I 0−11
4
Jika k =1, x ( 0 )=10 dan I ( 0 )=7, maka solusinya adalah
x ( t )=
44 86 −13 t / 2
+ e
13 13
Sistem Persamaan Diferensial | 22
−13 t /2
I ( t )=50+ 43 e
Perkiraaan harga
x ( t ) ≈ 3.39 dollar
pada tingkat persediaan
I ( t ) ≈ 50
didasarkan pada dua limit
lim x (t)=
t→∞
5.
44
, lim I (t)=50
13 t → ∞
Transportasi (pengangkutan barang)
Hutan Nasional di Amerika Serikat tidak memiliki akses login untuk
jalan. Pada saat di lakukan penebangan maka menggunakan helikopter untuk
memindahkan pohon yang ditebang ke area pemuatan terdekat untuk diangkut
menggunakan truk ke pabrik. Pohon yang ditebang dibawa dengan
disangkutkan pada tali/kabel yang tersambung pada helikopter. Sekali angkut
dapat mengankut dua pohon menggunakan sebuah bandul yang terosilasi
(ombang-ambing) selama penerbangan. Sudut osilasi yang terbentuk ialah
θ1 ,θ 2
yang terhubung oleh kabel dan diukur dari vektor gaya gravitasi
sehingga memenuhi sistem persamaan diferensial sebagai berikut, diamana g
adalah tetapan gravitas m1, m2 menunjukkan massa dari dua pohon dan L1, L2
adalah panjang kabel
m
2
(¿ ¿ 1+m2) L1 θ1
¿
m2 L
L2 θ 2
1
n
n
+m2 L
1L2 θ2
+ m2 L22 θ2
n
m
+ (¿ ¿ 1+m2) L1g θ1 = 0
¿
+
m2 L2g θ2
=0
Model ini diturunkan menjadi perpindahan yang lebih kecil
θ1 ,θ 2
yaitu
sin θ ≈ θ untuk kedua sudut, dengan menggunakan diagram berikut.
Sistem Persamaan Diferensial | 23
Panjang L1 dan L2 menyesuaikan pada setiap perjalanan yang ditempuh dan
panjang pohon, sehingga pohon tidak bertabrakan satu sama lain saat
diangkut helikopter. Terkadang dalam sekali mengangkut apabila pohon kecil
maka dapat tiga atau lebih bandul yang digunakan, yang diperhatikan dalam
pengangkutan adalah ketebalan pohon karena kabel yang digunakan
menyesuaikan dengan tebal pohon.
Vektor- Model Matriks. Sudutnya θ1 ,θ 2 memenuhi order kedua persamaan
vektor-matriks
( m1 +m2 ) L1 m2 L2 θ1 ' '
m g+m2 g
=− 1
L1
L2 θ 2
0
(
)( ) (
)( )
0 θ1
g θ2
.
Sistem ini ekuivalen dengan oder kedua sistem
−m1 g+m2 g
L1 m1
¿
m2 g
m1 g+ m2 g
L1 m 1
L2 m 1
θ1
(¿ ¿ 1+m2) g θ2
m
−
L2 m 1
''
θ1
=¿
θ2
()
()
BAB III
Sistem Persamaan Diferensial | 24
LATIHAN SOAL
1.
Sebuah bangunan bertingkat dua mempunyai massa dengan m 1 = m2 =
5000kg, kekakuan kolom k1 = k2 =5000kg/s2 dan redaman c1 = c1 = 5000kg/ s2.
Bangunan ini dipengaruhi gaya luar dengan F1= 10.000et dan F2= 5.000et.
tentukan besar simpangan pada setiap tingkat?
Penyelesaian:
SPDL dari contoh soal diatas yaitu
´y 1+ 2 ´y 1− ´y 2+2 y 1− y 2=2e t
........
´y 2+ ´y 1+ ´y 2− y 1+ y 2=e t
.....(3.6)
(3.5)
Diubah dalam polinomial operator D, dimana
D=
d
dt
(D2 + 2D +2) y1 + (-D-1) y2 = 2et (3.7)
(D-1) y1 + (D2 + D + 1)y2 = et
(3.8)
Eliminasi variabel tak bebas
(D2 + 2D +2) y1 + (-D-1) y2 = 2et
| (D-1)
(D-1) y1 + (D2 + D + 1)y2 = et
| (D2 +2D+2) |
|
(D4+4D3+6D2+4D+1)=4et
Atau
4
3
2
d y2
d y2
d y2
dy
+4
+6
+4 2 + y 2=4 e t
4
3
2
dt
dt
dt
dt
(3.9)
Kemudian menghitung y2 yaitu mencari solusi umum dari PD:
( D2 +4 D 3+ 6 D 2+4 D+1 ) y 2=4 e t
PD linier homogen dari PD ini adalah ( D 2 +4 D 3+ 6 D 2+ 4 D+1 ) y 2=0
Sistem Persamaan Diferensial | 25
4
Persamaan karakteristiknya adalah
3
Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah
−t
Solusi homogennya adalah
2
r + 4 r +6 r + 4 r +1=0
r 1=r 2 =r 3=r 4=−1
2 −t
−t
3 −t
y 2 h=c 1 e + c 2 x e + c 3 x e + c 4 x e
Untuk mencari solusi khususnya, kita gunakan metode koefisien tak tentu.
Solusi khususnya diambil
t
y 2 p=A e
y ' 2 p= y ' ' 2 p= y ' ' ' 2 p= y iv2 p= A e t
Diperoleh
dan disubtitusikan ke
(3.10) didapat
t
t
t
t
t
t
A e +4 A e + 6 A e + 4 A e + A e =4 e
16 A et =4 e t
t
A=
4e
t
16 e
A=
Jadi
1
4
1
y 2 p= et
4
Jadi solusi umum (3.9)
−t
−t
2 −t
3 −t 1 t
y 2= y 2 h+ y 2 p=c 1 e + c2 x e + c3 x e + c 4 x e + e
4
Untuk menghitungvariabel tak bebas yang lain yaitu
ke dalam salah satu dari sistem ini:
y 1 , masukkan
y2
Dipilih persamaan (3.8):
2
y 1=
−D −D−1
y 2−et
D−1
1
¿ ( D−1 ) c1 e−t +c 2 x e−t +c 3 x 2 e−t +c 4 x 3 e−t + e t −et
4
(
)
Sistem Persamaan Diferensial | 26
1
1
¿−c1 e−t−c2 x e−t −c 3 x 2 e−t −c 4 x 3 e−t + et −c 1 e−t −c 2 x e−t−c3 x 2 e−t −c 4 x3 e−t− et −
4
4
¿ 2 c1 e−t−2 c 2 x e−t−2 c 3 x2 e−t−2 c 4 x 3 e−t −e t
Jadi solusi umum sistem PD linier tak homogen ini adalah
−t
−t
2 −t
3 −t
y 1=2 c 1 e −2 c2 x e −2 c3 x e −2 c 4 x e −e
t
−t
−t
2 −t
3 −t 1 t
y 2=c 1 e + c 2 x e + c 3 x e + c 4 x e + e
4
2.
Perhatikan gambar dibawah ini :
Ketiga kolam di atas memiliki volume yang sama yaitu sebesar 2.000 gal.
Pada awalnya, tiga kolam di atas dalam keadaan murni (tanpa polusi).
Kemudian kolam-kolam tersebut diisi diberi polusi yang dialirkan dari kolam
pertama dengan laju 0,125 lb/min. Polusi tersebut kemudian menyebar dari
koalm pertama ke kolam dua kemudian ke kolam tiga dengan tingkat aliran
sebesar 2 gal/min. Tentukan jumlah polusi dalam kolam jika dibiarkan selama
48 jam (2880 menit) !
Jawab
Diketahui:
f (t)=0.125 lb /min
fi
2
=
=0.001
V i 2000
Sistem Persamaan Diferensial | 27
Masalah diatas dapat ditulis dalam sistem persamaan diferensial, sebagai
berikut :
'
x 1 ( t ) =0.001 x 3 ( t ) −0.001 x 1 ( t ) +0,125
x '2 ( t ) =0.001 x 1 ( t )−0.001 x 2 ( t )
'
x 3 ( t ) =0.001 x 2 ( t ) −0.001 x 3 ( t )
x 1 ( 0 ) =x2 ( 0 ) =x3 ( 0 )=0
Solusi untuk sistem ini adalah
−3 t
( )
( ))
−250 √ 3
3t
t
x ( t )=
e sin ( √ )+
9
2000 24
125
3t
125 √3
3t
t 125
x ( t )=e (
cos ( √ )+
sin ( √ ))+ −
3
2000
9
2000
24
3
x 1 ( t )=e 2000
(
125 √3
3t
125
3t
125 t
sin √
−
cos √
+
+
9
2000
3
2000
3 24
−3t
2000
2
−3 t
2000
3
Setelah 48 jam berlalu, jumlah polusi perkiraan dalam pound adalah
x 1 ( 2880 )=162.30 , x 2 ( 2880 ) =119.61, x3 ( 2880 )=78.08 .
Catatan : Perlu diketahui bahwa sistem di atas diubah dengan mengganti
0.125 dengan nol, untuk memprediksi keadaan kolam setelah 48
jam.
Sesuai dengan
sistem homogen yang memiliki solusi
ekuilibrium
x 1 ( t )=x 2 ( t )=x 3 ( t )=120 . solusi konstan ini adalah
batas
tak
di
terhingga
homogen,menggunakan
dari
solusi
nilai
untuk
sistem
awal
x 1 ( 0 ) ≈ 162.30, x 2 ( 0 ) ≈ 119,61, x 3 (0)≈ 78,08 .
3.
Sistem Persamaan Diferensial | 28
Pada aquarium di atas diasumsikan mengandung isotop radioktif untuk
melacak rantai makanan pada plankton air. Plaktok air pada aquarium di
atas
termasuk pada kelompok fitoplanton yakni diatom dan alga.
Konsentrasi isotop rdiaoaktif pada aquarium digambarkan oleh sistem
sebagai berikut :
x ' ( t )=−3 x ( t ) +6 y ( t )+5 z (t)
y ' ( t )=2 x ( t )−12 y ( t )
z ' ( t )=x ( t ) +6 y (t )−5 z (t )
x ( 0 )=x 0 , y ( 0 )=0, z ( 0 )=0
Tentukan solusi dari sistem dan juga konsentrasinya !
Jawab :
Solusi dari sistem persaaan diferensial yang menggambarkan kandungan
radiokatif di atas adalah
x ( t )=6 c 1 + ( 1+ √ 6 ) c 2 e(−10 +√ 6) t + ( 1−√ 6 ) c 3 e (−10−√ 6) t
y (t )=c1 + c2 e (−10+√ 6 )t −c 3 e(−10−√6 ) t
x ( t )=
12
c −( 2+ √ 1.5 ) c 2 e (−10 +√6 ) t + (−2+ √ 1.5 ) c3 e (−10−√ 6) t
5 1
Konstanta c 1 , c 2 , c3
terkait dengan isotop radioaktif awal.
Konsentrasi x ( 0 )=x 0 , y ( 0 )=0, z ( 0 )=0, dengan sistem 3 × 3 dari
persamaan aljabar linier adalah
6 c 1+ ( 1+ √6 ) c 2+ ( 1−√ 6 ) c 3=x 0
c 1+ c 2−c 3=0
12
c −( 2+ √ 1.5 ) c2 + (−2+ √ 1.5 ) c 3=0
5 1
Sistem Persamaan Diferensial | 29
4.
Perhatikan gambar dibawah ini
20
A
r = 10
40
B
r = 10
Air masuk pada tangki A dengan kecepatan 10 , kemudian A mengalir ke B
dengan kecepatan10 , selanjunya B mengalir ke C dengan kecepatan 10.
C
60
Terakhir dari tangki C mengalir keluar dengan kecepatan 10. Hal tersebut
menyebabkan volume tangki tetap konstan. Kita asumsikan terjadi
pengaduakan secara seragam pada masing-masing tangki, yang berarti
konsentrasi garam pada tiap tangki adalah sama. Tentukan model matematika
cascade dan solusinya !
Jawab :
Cascade dimodelkan oleh hukum keseimbangan kimia :
Tingkat Perubahan=Tingkat Masukan−Tingkat Keluaran
Penerapan hukum keseimbangan, dibenarkan dalam analisis kompartemen
dibawah ini dengan hasil dalam sistem diferensial segitiga.
x ' 1=
−1
x
2 1
1
1
x ' 2= x1 − x 2
2
4
1
1
x ' 3= x 2 − x 3
4
6
Solusinya diberikan oleh persamaan :
Sistem Persamaan Diferensial | 30
x 1 ( t )=e
−t
2
−t
2
x 2 ( t )=−2 e +2 e
−t
−t
4
−t
−t
3
x 3 ( t )= e 2 −6 e 4 + 6 e 6
2
Perhatikan :
x 1 ( t )=e
−t
2
−t
x ' 1 ( t )=
−1 2
e
2
−t
2
x 2 ( t )=−2 e +2 e
−t
2
−t
4
−t
1
x ' 2 ( t )=e − e 4
2
−t
−t
−t
3
x 3 ( t )= e 2 −6 e 4 + 6 e 6
2
−t
x ' 3 ( t )=
x ' 1=
−t
−3 2 3 4
e + e −e
4
4
−t
6
−1
−1 −t2 −1 −t2
x1 →
e =
e
2
2
2
−t
−t
−2 e 2 +2 e 4
−t
−t
−t
1
1
1 4 1 2 1
2
x ' 2= x1 − x 2 →e − e = e − ¿
2
4
2
2
4
¿
−t
−t
−t
1
1
1
¿ e2+ e2+ e4 )
2
2
2
−t
−t
1
¿e 2 − e 4
2
Sistem Persamaan Diferensial | 31
−t
2
−t
4
−t
−t
−t
1 3
−2 e +2 e − ( e 2 −6 e 4 +6 e 6 )
6 2
−t
−t
−t
1
1
3 2 3 4
1
x ' 3= x 2− x 3 →− e + e −e 6 = ¿
4
6
4
4
4
−t
−t
−t
3
3
¿− e 2 + e 4 −e 6
4
4
5.
Pada tank air garam A, B, C masing-masing diisi dengan jumlah volume
seperti yang terlihat pada gambat berikut.
A
60
C
60
B
20
Kecepatan air masuk pada tangki A, kemudian A mengalir ke B dengan
selanjunya B mengalir ke C, terakhir dari tangki C mengalir ke A sebesar
10. Tentukan model matematika untuk masalah di atas dan tentukan
solusinya !
Jawab:
Menggunakan analisis kompartemen, cascade daur ulang dimodelkan
dengan sistem non-segitiga.
x ' 1=
−1
1
x1 + x3
6
6
1
1
x ' 2= x 1− x 2
6
3
1
1
x ' 3= x 2− x 3
3
6
Solusi diberiakan oleh persamaan
Sistem Persamaan Diferensial | 32
−t
3
−t
t
t
x 1 ( t )=c 1 + ( c 2−2 c 3 ) e cos ( )+ ( 2 c 2 +c 3 ) e 3 sin ( )
6
6
−t
−t
1
t
t
x 2 ( t )= c 1+ (−2 c 2−c3 ) e 3 cos( )+ ( c 2−2 c 3 ) e 3 sin( )
2
6
6
−t
−t
t
t
x 3 ( t )=c 1 + ( c 2 +3 c 3 ) e 3 cos ( )+ (−3 c 2+ c 3 ) e 3 sin( )
6
6
BABA IV
KESIMPULAN
Sistem persamaan differensial merupakan salah satu persamaan yang
banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari di berbagai bidang ilmu
pengetahuan, misalnya dalam bidang sains dan teknik.
Salah satu contoh penggunaan persamaan diferensial linier dalam bidang
teknik adalah untuk menentukan simpangan horizontal tingkat pada sebuah
bangunan. Apabila bangunan itu mempunyai struktur MDOF maka model
matematika yang terbentuk adalah sistem persamaan diferensial linier (SPDL).
Sistem Persamaan Diferensial | 33
Pada bidang sains, persamaan diferensial dapat digunkana untuk
menyelesaiakan permasalahan-permasalahan pada bidang seperti kimia maupun
biologi. Pada biologi, sistem persamaan diferensial dapat digunkan untuk
mengetahui interksi dalam popolasi, kemudian mengetahui ekosistem hewan
maupun tumbuhan, tentang pestisida maupun polusi. Sedangkan pada kimia, dapat
digunakan untuk mengetahui konsentari garam dan sebagainya.
Selain dua bidang di atas, sistem persaam diferensial juga berguna dalam
bidang seperti ekonomi dan transportasi. Dalam bidang ekonomi, sistem
persamaan diferensial dapat digunakan untuk meramalkan harga. Sedangkan pada
bidang traspotasi, sistem persaaan diferensial dapat dimanfaatkan dalam proses
pengangukatan barang, seperti pengankutan kayu oleh helikopter.
DAFTAR PUSTAKA
Baiduri. 2004. Persamaan Diferensial. Malang : UMM Press
Firia, Vivi A. 2011. Analisis Sistem Persamaan Diferensial Model Predator-Prey
dengan Perlambatan. Volume 2 Nomor 1 November 2011. ( )
Hendri, Yon dkk. Teknik Baru Menyelesaikan Sistem Persamaan Diferensial
Linear Orde Satu Nonhomogen. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
Sistem Persamaan Diferensial | 34
Oktaviani, Rizka dkk. 2014. Penyelesaian Numerik Sistem Persamaan Diferensial
Non Linear Dengan Metode Heun Pada Model Lotka-Volterra. Volume 03,
No. 1 (2014), hal 29 – 38. ( )
Redjeki, Sri. 2009. DIKTAT KULIAH MA2271 METODA MATEMATIKA
Semester II 2009/2010. Prodi Matematika Fakultas MIPA Institut Teknologi
Bandung. ( )
Yunitasari, Leni D. 2007. Aplikasi SPDL pada MDOF (Multi Degree Of
Freedom). Skripsi. Universitas Muhammadiya Malang. (ta.umm.ac.id
diakses pada 10 Juni 2016)
http://www.math.utah.edu/~gustafso/2250systems-de.pdf
Sistem Persamaan Diferensial | 35
Untuk memenuhi tugas mata kuliah Persamaan Diferensial
Yang dibina oleh
Bapak Dr. Baiduri, M.Si
Oleh
Kelompok VIII
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
TAHUN 2016
DAFTAR ISI
Sistem Persamaan Diferensial | 1
Kata Pengantar...............................................................................................i
Daftar Isi........................................................................................................ii
BAB I Materi PD yang Sesuai ......................................................................
BAB II Aplikasi PD ......................................................................................
BAB II Latihan Soal ....................................................................................
BAB II Kesimpulan .....................................................................................
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
Sistem Persamaan Diferensial | 2
MATERI PERSAMAAN DIFERENSIAL
1.1 Pengertian Sistem Persamaan Diferensial dan Jenis-jenisnya
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n buah
persamaan diferensial, dengan n buah fungsi yang tidak diketahui, dimana n
merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama dengan 2 (Finizio dan
Ladas, 1982:132). Antara persamaan diferensial yang satu dengan yang lain
saling keterkaitan dan konsisten.
Bentuk umum dari suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai
bentuk sebagai berikut :
dy 1
=f 1 (x , y 1 , y 2 , … , y n)
dx
dy 2
=f 2 (x , y 1 , y 2 , … , y n)
dx
.........................................
dy n
=f n ( x , y 1 , y 2 , … , y n )
dx
dengan
y1 , y2 , … , yn
terikat, sehingga
................................. (1.1)
adalah variabel bebas dan
x
adalh variabel
y 1= y 1 ( x ) , y 2= y 2 ( x ) , … y n= y n ( x ) , dimana
yn
merupakan derivatif fungsi
yang tergantung pada variabel
terhadap
y1 , y2 , … , yn
x , dan
dan
x
fn
dy n
dx
adalah fungsi
(Claudia,2004:702).
Bentuk lain sistem persamaan diferensial linier orde satu dapat ditulis
sebagai berikut. (Ross, 1984: 510)
'
y 1=a 11 ( x ) y 1+ a12 ( x ) y 2 +…+ a1 n ( x ) y n + g1 ( x)
'
y 2=a 21 ( x ) y 1 +a22 ( x ) y 2 +…+a 2n ( x ) y n + g2 ( x )
.................................................................................
'
y n=an 1 ( x ) y 1 +a n 2 ( x ) y 2 +…+ ann ( x ) y n + gn ( x) ...........(1.2)
untuk
aij x , j=1,2,3, … , n
f 1 (x ) , f 2 ( x), … , f n (x )
a≤t ≤b,
adalah
merupakan
i, j =1,2,3,..., n
fungsi
fungsi
t .
terhadap
terhadap
t
Juga
dengan
merupakan konstanta. Sistem persamaan
diferensial pada persamaan (1.2) dapat ditulis dalam bentuk sebuah matriks.
Sistem Persamaan Diferensial | 3
dY
=AY + f ( x )
dx
dengan
Y =[ y 1 , y 2 , … , y n ]
[
a11 a12
a
⋯ 1n
a2 n
A= a21 a22
⋮
⋮⋱
⋮
an 1 an 2 … ann
]
f ( x )=[f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , … , f n ( x ) ]
Contoh 1
1
2
y 2 = 2 y 1 − 4 y 2 + x y 3−2 x
y 13 = y 1 sin x + e x y 2 − y 3
y 14 = x2 y1 + 3 xy 2 − y 3 + 3
¿} ¿} ¿
SPD Linier
¿¿
Bentuk martriksnya adalah :
y1
2
−4 x 2
Y = y 2 , A= sin x e x −1
y3
x 2 3 x −1
[] [
] [ ]
,
−2 x
f ( x )= 0
3
Persamaan (1.2) disebut sistem persamaan diferensial linier homogen
f i ( x )=0, ∀i=1,2,… , n
jika
dan disebut linier tak homogen jika ada
f n( x)≠ 0 . Kemudian disebut sistem persamaan diferensial linier dengan
koefisien konstanya jika
aij ( x )=aij (kostanta) , 1≤ i , j≤ n .
Contoh 2
y1
1 = xy 1 − y 2 + y 3
y1
4
1.
= x2 y 1 + 3 xy 2 − y 3
¿} ¿
¿¿
SPD Linier Homogen
1
x
y 1 = 3 y 1 − y 2 +e
1
2
2
y 2 = y 1 − y 2− x
2.
3.
¿} ¿
¿¿
SPD Linier tak Homogen
y1
1 = 5 y 1 − y 2+ 4
y1
2 = 2 y 1 +3 y 2
¿} ¿
¿¿
SPD Linier Koef. Kostanta
Sistem Persamaan Diferensial | 4
2
y1
1 = x y 1 − xy 2 + x
4.
2
y1
2 = 2 y 1 +3 x y 2 +2
¿} ¿
¿¿
SPD Linier Koef. Variabel
1.2 Hubungan PD Orde n dengan Sistem PD
Persamaan diferensial orde n linier, koefisien konstanta dapat
ditransformasi menjadi sistem persamaan difensial orde 1 dengan variabel
benas n buah.
x , y , y ' , … , y(n−1)
y n=f ¿
Misalkan variabel beabas baru
y1 , y2 , … , yn
'
y 1= y , y 2= y , … , y n= y
sebagai berikut.
(n−1)
Sehingga persamaan diferensialnya menjadi sistem persamaan difensial orde
1 dengan n variabel.
y '1= y 2
'
y 2= y 3
...........
y 'n=f n ( x , y 1 , y 2 , … , y n)
Contoh 3
'' '
''
2 '
2
Tuliskan persamaaan diferensial
y =x y −x y + y sin x+ x
sebagai
sistem persamaan diferensial !
Jawab:
y 1= y
'
'
y 1= y = y 2
y '1' = y ' ' = y '2 = y 3
'' '
' ''
'
y 1 = y = y 3= y 4
Sehingga diperoleh SPDL :
y '1= y 2
'
y 2= y 3
y '3=x y '3−x 2 y 2 + y 1 sin x + x 2
1.3 Solusi Sistem Persamaan Diferensial
SPDL dapat ditulis dalam bentuk :
'
y 1=a 11 ( x ) y 1+ a12 ( x ) y 2 +…+ a1 n ( x ) y n + g1 ( x)
'
y 2=a 21 ( x ) y 1 +a22 ( x ) y 2 +…+a 2n ( x ) y n + g2 ( x )
Sistem Persamaan Diferensial | 5
.................................................................................
'
y n=an 1 ( x ) y 1 +a n 2 ( x ) y 2 +…+ ann ( x ) y n + gn (x)
Fungsi-fungsi y1(x), y2(x), ... , yn(x) yang didefinisikan pada interval I
dikatakan solusi dari SPDL jika fungsi-fungsi tersebut dan turunannya ada
pada I dan memenuhi SPDL.
Masalah mencari solusi dari SPDL pada selang I R yang memenuhi syarat
awal y1(x0) = a1, y2(x0) = a2 , ... , yn(x0) = an , maka disebut masalah nilai awal
xo R, (a1, a2, …, an) Rn, (xo, a1, a2, …, an) I x Rn
Contoh
y 1 = e−2 x + 2 e x
Selidiki apakah fungsi-fungsi
y 2 = 2 e−2 x + e x
¿} ¿
¿¿
SPDL
1
y1 = 2 y1 − 2 y2
y1
2 = 2 y1 − 3 y2
¿} ¿
¿¿
dan memenuhi y1(0) = 3, y2(0) = 3
Jawab
−2 x
x
y 1=e +2 e
y ' 1=−2 e−2 x +2 e x
−2 x
x
y 2=2 e + e
y ' 2=−4 e−2 x + e x
2 y1 −2 y 2 =2 ( e−2 x +2 e x )−2(2 e−2 x +e x )
−2 x
x
−2 x
x
¿ 2 e + 4 e −4 e −2 e
−2 x
x
¿−2e +2 e
2 y1 −3 y 2=2 ( e−2 x +2 e x ) −3(2 e−2 x + e x )
¿ 2 e−2 x + 4 e x −6 e−2 x −3 e x
−2 x
x
¿−4 e +e
Sehingga :
y ' 1=2 y 1 −2 y 2
−2 x
x
−2 x
x
−2 e +2 e =−2 e +2 e
y ' 2=2 y 1−3 y 2
−2 x
x
−2 x
x
−4 e +e =−4 e + e
−2.0
0
y 1 ( 0 )=e +2 e =3
−2.0
0
y 2 ( 0 )=2 e + e =3
Sistem Persamaan Diferensial | 6
Jadi,
y1
dan
y2
merupakan solusi dari SPD tersebut dan memenuhi
syarat awal yang diberikan
1.4 Solusi SPDL Homogen Koefisien Konstanta
Diberikan SPDL homogen dengan koefisien konstanta sebagai berikut :
dx
=ax+ by
dt
dy
=cx+ dy
...................................................................(1)
dt
Dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan SPDL homogen
koefisien konstanta, terdapat beberapa cara penyelesaian. Salah satu cara
penyelesaian tersebut adalh dengan metode eliminasi-substitusi
dx
dy
Diambil Operator diferensial dengan Dx=
dan Dy=
dt
dt
maka
SPDL di atas adapt ditulis menjadi :
Dx=ax+ by atau ( D−a ) x−by=0 … … … … … … … … (2)
Dy=cx +dy atau ( D−c ) x−dy =0 … … … … … … … …(3)
Jika kita mengeliminir x dari (1) dan (2), maka kita kalikan (1) dengan c dan
(2) dengan (D – a) sehingga diperoleh
c (D - a)x – bcy
=0
c (D - a)x – (D - a)(D - d)y = 0
(D - a)(D - d) - bc]y
=0
(D2 – (a + d)D + ad – bc)y = 0 .................................(4)
Persamaan (4) merupakan persamaan diferensial linier (PDL) order-2 dalam
y. Jika kita mengeliminir y akan di peroleh PDL order-2 dalam x.
Persamaan karekteristik dari (4) adalah :
2
r −( a+ d ) r+ ( ad−bc )=0 … … … … … … … … … … … .(5)
Karena (5) merupakan persamaan kuadarat dalam r maka kemungkinan nilainilai r adalah sebagai berikut:
a. Real dan berbeda ( r 1 ≠ r 2 )
Sistem Persamaan Diferensial | 7
Solusi umum dari sistem (1) adalah
r1 t
r 2t
y=c1 e +c 2 e
b. Real dan sama ( r 1=r 2 =r )
Solusi umum dari sistem (1) adalah
r1 t
y=c1 e +c 2 x e
r2 t
c. Kompleks ( r=a ±bi )
Solusi umum dari sistem (1) adalah
c 1 cos bx+c1 sin bx
)
αx
y=e ¿
(Kartono,1994:117-118) dalam (Yunitasari,2007:9)
Setelah didapatkan solusi umum dari y, kita substitusikan nilai y
tersebut ke dalam persamaan (2) untuk mendapatkan solusi umum dari x
sehingga di dapatkan solusi umum dari (1).
Dengan memasukan syarat awal ke dalam solusi umum, maka
konstanta-konstanta yang muncul ( C1 , C2 , C3 , … ,C n ) dapat diketahui
nilainya.
1.5 Solusi SPDL Tak Homogen Koef Konstanta
Mencari solusi SPDL tak homogen dapat dialakukan dengan mencari
solusi persamaan homogennya terlebih dahulu. Kemudian mencari solusi
khususnya dengan beberapa cara, diantaranya yaitu dengan menggunkan
metode koefisien taktentu. Metode koefisien tertentu merupakan teknik untuk
mencari solusi partikulir ( y p ).
Jika diberikan persamaan linier tak homogen dengan koefisien
konstanta y” + p y’ + p y’ + qy = b(x) dan akar persamaan karakteristik dari
persamaan homogennya diketahui, maka untuk mencari yp dilakukan prosedur
berikut:
1. Jika b(x) = an xn + … + a1 x + a0, maka
i. yp = An xn + … + A1 x + A0, bila r = 0 bukan akar.
Sistem Persamaan Diferensial | 8
ii.
Yp = x
k
(Anxn + … + A1x + A0), bila r = 0 merupakan akar
kelipatan k, k = 1,2.
2. Jika b(x) = (an xn + … + a1 x + a0) ebx, maka
i. yp = An xn + … + A1x + A0 )e bx , bila r = b bukan akar.
ii. yp = x k (Anxn + … + A1 x + A0)e bx , bila r = b merupakan akar
kelipatan k,
3. Jika b(x) = (an xn + … + a1x + a0) ebx sin β x + (bmxm + … + b1x +
b0) e bxcos x, dan N = max (n,m), maka
i.
yp = (ANx N + … + A1x + A0)e bx sin β x + (BNxN + … +B1x + B0
)e bx cos β x bila r = b + β i bukan akar
ii.
yp = xk(ANxN + … + A1x + A0)ebx sin β x + xk (BNxN + … + B1x
+ B0)e bxcos β x, bila r = b + β i akar kelipatan k, k = 1,2.
BAB II
APLIKASI
Banyak masalah dalam ilmu pengetahuan dan teknik menyangkut
pengkajian suatu sistem selama periode waktu tertentu. Kebanyakan masalah ini
dimodelkan dengan menggunakan suatu sistem persamaan diferensial, dengan
berbagai variabel bebas. Bidang kajian persamaan diferensial tidak hanya bukan
sebagai salah satu bagian tercantik dari matematika, namun ia juga merupakan
alat yang penting di dalam memodelkan benbagai fenomena dan masalah dalam
bidang ilmu-ilmu fisika, kimia, biologi, ekonomi, transportasi dan teknik
Berikut ini merupakan pengaplikasian sistem persamaan diferensial dam
berbagai bidang, yaitu :
1. Teknik
Sistem persamaan diferensial linier (SPDL) merupakan kumpulan dari
persamaan diferensial linier yang sering digunakan untuk melukiskan suatu
persoalan dalam di kehidupan nyata ke dalam model matematika. Pada
struktur bangunan bertingkat, banyak yang mempunyai derajat kebebasan
banyak (Multi Degree Of Freedom). Apabila diberikan suatu struktur MDOF
(Multi Degree Of Freedom) yang lebih dari satu derajat kebebasan dan ingin
mencari beberapa simpangan horizontal tiap tingkat, maka model
Sistem Persamaan Diferensial | 9
persamaannya terdiri dari beberapa persamaan diferensial yaitu dalam bentuk
SPDL.
Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi
yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada saat. Sehingga
struktur yang mempunyai n- tingkat akan mempunyai n- derajat kebebasan
atau struktur dengan dengan derajat kebebasan banyak.
Persamaan gerak struktur MDOF dapat disusun dengan pernyataan
keseimbangan gaya-gaya efektif yang berhubungan dengan masing-masing
derajat kebebasannya. Pada umumnya terdapat empat gaya pada setiap
koordinat i : beban luar yang dikenakan
diakibatkan oleh gerak, yakni inersia
f Si
f Ii
f i (t )
dan gaya-gaya yang
, peredaman
f Di dan elastik
sehingga berdasarkan pada prinsip d’Alembert untuk masing-masing
derajat kebebasan kesetimbangan dinamika dapat dinyatakan sebagai berikut :
f I 1 +f D1 + f S 1=F 1 (t)
f I 2 +f D2 + f S 2=F 2 (t)
f I 3 +f D2 + f S 3 =F 3 (t)
(3.1)
⋮
f ¿ +f DN + f SN =F N (t )
Atau dapat dinyatakan dalam bentuk
F I +F D +F S =F (t )
(3.2)
dengan
F I =m . ´y
F D =c . ´y
F S=k . y
(3.3)
Masing-masing gaya yang diakibatkan oleh gerak dinyatakan dengan
menggunakan koefisien pengaruh yang sesuai. Misalnya, kita tinjau
komponen gaya elastic yang terbentuk pada titik l komponen gaya elastic
terdiri dari komponen perpindahan yang terjadi pada semua titik struktur :
Sistem Persamaan Diferensial | 10
+¿⋯ +k 1 N y N
f S 1=k 11 y1 + k 12 y 2 +k 13 y 3 ¿
Sehingga secara umum
+¿⋯+ k ¿ y N
f Si =k i 1 y 1+k i 2 y 2 +k i 3 y 3 ¿
Dalam bentuk matriks gaya elastic dapat di tulis sebagai berikut
k 12 k 13 ⋯ k 1 N y 1
k 22 k 32 ⋯ k 2 N y 2
⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯
k i2 k i 3 ⋯ k 3 N y i
f S 1 k 11
f S 2 k 21
=
⋯ ⋯
f Si k i 1
atau
F s=ky
Dengan k sebagai matriks kekakuan struktur dan y adalah vektor perpindahan
yang menyatakan bentuk perpindahan struktur
Pada gaya redaman kita asumsikan bahwa peredaman dipengaruhi oleh
kecepatan dan redaman tipe viskos. Susunan gaya redam diberikan sebagai
berikut
f D 1 c 11
f D 2 c 21
=
⋯ ⋯
f Di c i 1
c 12
c 22
⋯
ci 2
c 13 ⋯ c 1 N ´y 1
c 32 ⋯ c 2 N ´y 2
⋯⋯ ⋯ ⋯
c i 3 ⋯ c 3 N ´y i
atau
F D =c ´y
dengan c adalah matriks redam struktur dan
´y
adalah vektor kecepatan.
Gaya inersia dipengaruhi oleh koefisien massa dan percepatan.
Gaya inersia dapat dinyatakan sebagai berikut
Sistem Persamaan Diferensial | 11
f I 1 m11 m12 m13 ⋯ m1 N ´y 1
f I 2 m21 m22 m32 ⋯ m2 N ´y 2
=
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯
f Ii mi1 mi 2 mi 3 ⋯ m3 N ´y N
atau
F I =m ´y
dengan m adalah matriks massa dan
´y
adalah vektor percepatan .
Situasi tersebut dapat dilihat pada gambar berikut :
Strukrur bangunan gedung bertingkat n pada gambar di atas mempunyai
n derajat kebebasan. Biasanya jumlah derajat kebebasan suatu struktur
dihubungkan langsung dengan jumlah tingkatnya. Persamaan diferensial
gerakan pada umumnya, disusun berdasarkan pada goyangan struktur mode
pertama. Berdasarkan pada keseimbnagan dinamik pada free body diagram
dan prinsip d’Alembert yang telah dijelaskan sebelumnya maka diperoleh
m1 ´y 1 + ( c 1 +c 2 ) ´y 1−c 2 ´y 2 + ( k 1+ k 2 ) y 1−k 1 y 2=F 1( t)
m1 ´y 2−c2 ´y 1+ ( c 1+ c 3 ) ´y 2 −c 3 ´y 3−k 2 y1 + ( k 2 +k 3 ) y 2−k 3 y 3 =F 2 (t)
.
.
.
Sistem Persamaan Diferensial | 12
mn ´y n + cn ( ´y n− ´y n−1) + c n+1 ´y n+ k n ( y n− y n−1 ) +k n+1 y n=F n(t)
2.
Biologi
a. Ekologi
Dalam bidang biologi khususnya ekologi, sistem persamaan diferensial
digunakan untuk memodelkan interaksi dua populasi. Interaksi populasi yang
paling terlihat adalah yang melibatkan pemangsaan, dimana seekor pemangsa
memakan mangsa.
1) Model Predator-Prey
Pada model mangsa-pemangsa,
kajian
matematis
dapat
menjelaskan munculnya fenomena turun-naiknya jumlah mangsa dan
pemangsa dalam suatu periode tertentu
Sekitar tahun 1920 terdapat penurunan dan kenaikan jumlah ikanikan di Laut Adriatic yang terjadi secara berkala. Saat terjadi penurunan
jumlah ikan nelayan di daerah tersebut sangat dirugikan. Penjelasan akan
fenomena tersebut diberikan pertama kali oleh Vito Volterra, di tahun
1926 melalui model predator-prey atau model mangsa-pemangsa. Ikanikan di Laut Adriatic merupakan mangsa, sedangkan ikan hiu sebagai
pemangsa. Model tersebut juga dikenal sebagai model Lotka-Volterra
karena Lotka juga menemukan model yang sama di waktu yang relatif
bersamaan.
Bayangkan suatu lingkungan yang tertutup dimana terdapat
sejumlah rusa (mangsa) dan singa (pemangsa). Andaikan di lingkungan
itu terdapat berlimpah rumput, namun bagi singa sumber makanannya
hanya rusa. Misalkan
x (t )
y (t)
dan
berturut-turut menyatakan
jumlah mangsa dan pemangsa di lingkungan tersebut saat
mangsa
dan
pemangsa
tidak
saling
berinteraksi
maka
t . Jika
model
pertumbuhannya masing-masing adalah
x ' =ax
'
y =−by
Jika mangsa dan pemangsa saling berinteraksi, maka jumlah
mangsa akan berkurang karena di makan pemangsa. Laju berkurangnya
mangsa sebanding dengan jumlah pertemuan mangsa dan pemangsa,
dimisalkan sebagai- pxy , dengan
p
suatu bilangan positif.
Sistem Persamaan Diferensial | 13
Sebaliknya jumlah pemangsa akan bertambah dengan laju
qxy .
Sehingga model mangsa-pemangsa menjadi
'
x =ax− pxy
y ' =−by+ qxy
Perhatikan bahwa model di atas mempunyai dua titik equilibrium (0,0)
dan (a / p , b/q) .
Contoh
Pelajari perilaku kualitatif solusi SPD berikut:
x ' =x(1−0,5 y)
y ' = y (−0,75+ 0,25 x )
Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa model pada contoh
mempunyai dua titik equilibrium (0,0) dan (3,2). Tampak dari phase
portrait bahwa titik equilibrium (3,2) stabil, sedangkan titik (0,0) tidak
stabil. Ini berarti bahwa di alam akan terjadi kesetimbangan antara
jumlah mangsa dan pemangsa. Jika diamati lebih detail terdapat
trajektori-trajektori tertutup di sekitar (3,2). Hal ini yang menjelaskan
munculnya fenomena penurunan dan kenaikan jumlah ikan secara
periodik di Laut Adriatic. Perhatikan satu trajektori di sekitar titik (3,2),
terdapat masa di mana jumlah mangsa cukup banyak, sedangkan jumlah
pemangsa sedikit. Namun jumlah pemangsa segera meningkat karena
banyaknya mangsa. Hal ini berlangsung terus hingga jumlahpemangsa
terlalu banyak, sedangkan jumlah mangsa berkurang. Hingga pada suatu
Sistem Persamaan Diferensial | 14
saat jumlah pemangsa mencapai nilai maksimum. Karena banyaknya
pemangsa maka jumlah mangsa berkurang terus hingga mencapai nilai
minimum. Selanjutnya dengan bertambahnya waktu jumlah pemangsa
berkurang karena persaingan untuk mendapatkan makanan diantara
mereka sendiri. Hal ini mengakibatkan jumlah pemangsa berkurang terus
hingga mencapai jumlah minimal. Sementara itu jumlah mangsa
bertambah karena sedikitnya jumlah pemangsa, hingga jumlah mangsa
mencapai nilai maksimum.
2) Model Interaksi Dua Spesies
Pada model interaksi dua spesies, parameter-parameter sistem
persamaan
differensial
dapat
menentukan
apakah
akan
terjadi
kesetimbangan diantara dua spesies tersebut, ataukah salah satu dari
spesies tersebut akan punah.
Bayangkan di suatu lingkungan yang tertutup terdapat kelinci dan
rusa yang sama-sama makan rumput. Misalkan
x (t )
dan
y (t)
berturut-turut menyatakan jumlah kelinci dan rusa di lingkungan tersebut
saat
t . Jika kelinci tinggal di lingkungan itu tanpa ada rusa, maka
kelinci akan bertumbuh secara logistik. Demikian pula dengan rusa,
sehingga model pertumbuhan kelinci dan rusa masing-masing adalah
'
2
x =a1 x −b1 x
y ' =a2 y−b 2 y 2
Jika kelinci dan rusa sama-sama tinggal di lingkungan itu, maka
makanan mereka terbatas karena kehadiran spesies yang lain. Sehingga
model pertumbuhan kelinci dan rusa menjadi
'
2
x =a1 x −b1 x −c 1 xy
y ' =a2 y−b 2 y 2−c 2 xy
Perhatikan bahwa model di atas mempunyai empat titik equilibrium
(0,0), (0, a2 /b 2 ¿ ,( a1 /b1 ,0)
dan satu titik equilibrium
( p , q) dengan
p , q keduanya tak nol.
Contoh
Pelajari perilaku kualitatif solusi SPD berikut
x ' =x(1−x− y )
'
y = y (0,75− y−0,5 x )
Sistem Persamaan Diferensial | 15
Model di atas mempunyai empat titik equilibrium (0,0),(0, 0.75),
(1,0), dan (0.5, 0.5). tampak dari phase portrait bahwa hanya terdapat
satu titik equilibrium (0.5, 0.5) yang stabil. Ini berarti bahwa akan terjadi
kesetimbangan antara kedua spesies tersebut.
b. Polusi Kolam
Perhatikan tiga kolam dihubungkan oleh sungai, seperti pada
Gambar berikut. kolam pertama memiliki sumber polusi, kemudian
menyebar melalui aliran yang menghubungkan kolam yang satu ke kolam
lainnya. Hal ini akan digunakan untuk menentukan jumlah polusi di setiap
kolam.
Sistem Persamaan Diferensial | 16
Diasumsikan berikut.
1. Simbol f (t) adalah laju aliran polusi ke dalam kolam 1 (lb / min).
2. Simbol f1, f2, f3 menyatakan tingkat aliran polusi dari kolam 1, 2, 3,
masing-masing (gal / min). Hal ini diasumsikan bahwa polusi dicampur
dengan baik dalam setiap kolam.
3. Tiga kolam memiliki volume V1, V2, V3 (gal), yang tetap konstan.
4. Simbol x1 (t), x2 (t), x3 (t) menunjukkan jumlah (lbs) polusi masingmasing di kolam 1, 2, 3,.
Polutan fluks adalah laju aliran konsentrasi polusi, misalnya, kolam 1
dikosongkan dengan fluks f1 kali x1 (t) / V1. Sebuah analisis kompartemen
diringkas dalam diagram berikut.
Diagram ditambah kompartemen analisis diberikan oleh persamaan
diferensial berikut.
x '1 ( t ) =
f3
f
x 3 ( t ) − 1 x 1 (t ) + f (t )
V3
V1
Sistem Persamaan Diferensial | 17
'
x 2 (t )=
x ' 3=
f1
f2
x1 ( t ) − x2 ( t )
V1
V2
f2
f
x2 ( t )− 3 x3 ( t )
V2
V3
c. Arus nutrisi dalam Aquarium
Pertimbangkan sebuah kapal dari air yang mengandung isotop
radioaktif, yang akan digunakan sebagai pelacak untuk rantai makanan,
yang terdiri dari varietas plankton air A dan B.
Plankton adalah organisme air yang melayang dengan arus, biasanya
di lingkungan seperti Chesapeake Bay. Plankton dapat dibagi menjadi
dua
kelompok,
fitoplankton
dan zooplankton.
fitoplankton
yang
tanaman seperti drifter: diatom dan alga lainnya. Zooplankton yang mirip
binatang drifter: copepoda, larva, dan krustasea kecil.
Misal :
x (t) = konsentrasi isotop dalam air,
y (t) = konsentrasi isotop di A
z (t) = konsentrasi isotop di B.
d. Pestisida di Tanah dan Pohon
Sebuah Washington cherry di kebun disemprot dengan pestisida.
Sistem Persamaan Diferensial | 18
Asumsikan bahwa jumlah pestisida disemprotkan pada tanah tidak
diperhatikan. Pestisida yang disemprotkan pada pohon memiliki tingkat
pengaliran tertentu untuk tanah, dan sebaliknya, pestisida di dalam tanah
memiliki tingkat penyerapan tertentu ke dalam pohon. Pestisida digunakan
secara berulang untuk mengontrol serangga, yang berarti tingkat
penggunaan pestisida di pohon-pohon bervariasi dengan waktu. Quantize
pestisida penyemprotan sebagai berikut.
x (t) = jumlah pestisida di pohon-pohon,
y (t) = jumlah pestisida dalam tanah,
r (t) = jumlah pestisida disemprotkan pada pohon,
t = waktu dalam tahun.
Sebuah model diperoleh dari analisis input-output, mirip dengan
model tangki air garam:
'
x ( t )=−2 x ( t )− y ( t ) +r ( t )
y ' ( t )=−2 x ( t ) −3 y ( t )
Dalam kebun buah-buahan murni, data awal x (0) = 0, y (0) = 0, karena
pohon dan tanah awalnya tidak mengandung pestisida. Solusi dari model
jelas tergantung pada r (t). Ketergantungan homogen diperlakukan dengan
metode variasi parameter infra. rumus perkiraan adalah
t
x (t)≈∫ ( 1.10 e1.6 ( t−u) −0.12 e−2.6 ( t−u) ) r ( u ) du
0
t
y (t) ≈∫ ( 0.49 e 1.6 (t −u )−0.49 e−2.6 (t −u ) ) r ( u ) du
0
Tingkat eksponensial 1,6 dan -2,6 masing-masing mewakili akumulasi
pestisida ke dalam tanah dan pembusukan pestisida dari pepohonan.
Tingkat aplikasi r (t) adalah langkah fungsi yang sama dengan konstanta
positif pada interval kecil dari waktu dan nol di tempat lain, atau jumlah
fungsi tersebut, mewakili aplikasi pestisida periodik.
3.
Kimia
Sistem Persamaan Diferensial | 19
a. Brine Tank Cascade
Pada tank air garam A, B, C masing-masing diisi dengan jumlah volume
sebesar m, n, p seperti yang terlihat pada gambat berikut.
Air masuk pada tangki A dengan kecepatan r, kemudian A mengalir ke B
dengan kecepatan r, selanjunya B mengalir ke C dengan kecepatan r.
Terakhir dari tangki C mengalir keluar dengan kecepatan r. Hal tersebut
menyebabkan volume tangki tetap konstan.
Misalkan
r=a
untuk menggambarkan ide di atas. Kita asumsikan
terjadi pengaduakan secara seragam pada masing-masing tangki, yang
berarti konsentrasi garam pada tiap tangki adalah sama.
Misal
x 1 ( t ) , x2 ( t ) , x 3 ( t )
menunjukkan jumlah garam pada waktu t di
setiap tangki. Tambahkan ke tangki A air yang tidak mengandung garam.
Karena itu, garam di semua tank akhirnya hilang dari saluran air. Cascade
dimodelkan oleh hukum keseimbangan kimia :
Tingkat Perubahan=Tingkat Masukan−Tingkat Keluaran
Penerapan hukum keseimbangan, dibenarkan dalam analisis kompartemen
dibawah ini dengan hasil dalam sistem diferensial segitiga.
x ' 1=
−a
x
m 1
x ' 2=
a
w
x 1− x 4
m
n
a
a
x ' 3= x 1− x 4
n
p
Sistem Persamaan Diferensial | 20
b. Daur Ulang Brine Tank Cascade
Misal tank air garam A, B, C diberi volume a, b, c, masing-masing,
sebagai pada gambar berikut ini.
Misalkan cairan mengalir dari tangki A ke B pada tingkat r, mengalir dari
tangki B ke C pada tingkat r, kemudian mengalir dari tangki C ke A pada
tingkat r. Tangki volume tetap konstan karena daur ulang cairan konstan.
Untuk tujuan ilustrasi, misalkan r = m.
Diasumsikan terjadi pengadukan seragam pada masing-masing tangki,
yang berarti konsentrasi garam seragam pada setiap tangki.
Misal x1 (t), x2 (t), x3 (t) menunjukkan jumlah garam pada waktu t di setiap
tangki. Tidak ada garam yang hilang dari sistem, karena daur ulang.
Menggunakan analisis kompartemen, cascade daur ulang dimodelkan
dengan sistem non-segitiga.
x ' 1=
−m
m
x 1+ x 3
a
c
x ' 2=
m
m
x 1− x 2
a
b
a
a
x ' 3= x 2− x 3
b
c
4.
Ekonomi
Peramalan Harga
Sebuah produsen kosmetik memiliki kebijakan pemasaran berdasarkan harga
x (t) sampo salon nya.
Sistem Persamaan Diferensial | 21
Strategi pemasaran untuk sampo adalah untuk mengatur harga x (t) secara
dinamis untuk menggambarkan permintaan pada produk. Persediaan yang
diperlukan rendah akan mengurangi biaya keseluruhan produk.
Produksi P (t) dan penjualan S (t) diberikan dalam hal harga x (t) dan
perubahan harga x '(t) dengan persamaan
3
'
P (t )=4− x ( t )−8 x ( t ) ( Produksi)
4
S ( t )=15−4 x ( t )−2 x' ( t ) ( Penjualan)
Persamaan diferensial untuk harga x(t) dan tingkat persediaan I (t) adalah
'
x ( t )=k ( I ( t )−I 0 )
I ' ( t ) =P ( t )−S(t )
Tingkat persediaan
I 0 =50 merupakan tingkat yang diinginkan. persamaan
dapat ditulis dalam hal x (t), I (t) sebagai berikut.
'
x ( t )=kI ( t ) −k I 0
I ' (t )=
13
x ( t ) −6 kI (t ) +6 k I 0−11
4
Jika k =1, x ( 0 )=10 dan I ( 0 )=7, maka solusinya adalah
x ( t )=
44 86 −13 t / 2
+ e
13 13
Sistem Persamaan Diferensial | 22
−13 t /2
I ( t )=50+ 43 e
Perkiraaan harga
x ( t ) ≈ 3.39 dollar
pada tingkat persediaan
I ( t ) ≈ 50
didasarkan pada dua limit
lim x (t)=
t→∞
5.
44
, lim I (t)=50
13 t → ∞
Transportasi (pengangkutan barang)
Hutan Nasional di Amerika Serikat tidak memiliki akses login untuk
jalan. Pada saat di lakukan penebangan maka menggunakan helikopter untuk
memindahkan pohon yang ditebang ke area pemuatan terdekat untuk diangkut
menggunakan truk ke pabrik. Pohon yang ditebang dibawa dengan
disangkutkan pada tali/kabel yang tersambung pada helikopter. Sekali angkut
dapat mengankut dua pohon menggunakan sebuah bandul yang terosilasi
(ombang-ambing) selama penerbangan. Sudut osilasi yang terbentuk ialah
θ1 ,θ 2
yang terhubung oleh kabel dan diukur dari vektor gaya gravitasi
sehingga memenuhi sistem persamaan diferensial sebagai berikut, diamana g
adalah tetapan gravitas m1, m2 menunjukkan massa dari dua pohon dan L1, L2
adalah panjang kabel
m
2
(¿ ¿ 1+m2) L1 θ1
¿
m2 L
L2 θ 2
1
n
n
+m2 L
1L2 θ2
+ m2 L22 θ2
n
m
+ (¿ ¿ 1+m2) L1g θ1 = 0
¿
+
m2 L2g θ2
=0
Model ini diturunkan menjadi perpindahan yang lebih kecil
θ1 ,θ 2
yaitu
sin θ ≈ θ untuk kedua sudut, dengan menggunakan diagram berikut.
Sistem Persamaan Diferensial | 23
Panjang L1 dan L2 menyesuaikan pada setiap perjalanan yang ditempuh dan
panjang pohon, sehingga pohon tidak bertabrakan satu sama lain saat
diangkut helikopter. Terkadang dalam sekali mengangkut apabila pohon kecil
maka dapat tiga atau lebih bandul yang digunakan, yang diperhatikan dalam
pengangkutan adalah ketebalan pohon karena kabel yang digunakan
menyesuaikan dengan tebal pohon.
Vektor- Model Matriks. Sudutnya θ1 ,θ 2 memenuhi order kedua persamaan
vektor-matriks
( m1 +m2 ) L1 m2 L2 θ1 ' '
m g+m2 g
=− 1
L1
L2 θ 2
0
(
)( ) (
)( )
0 θ1
g θ2
.
Sistem ini ekuivalen dengan oder kedua sistem
−m1 g+m2 g
L1 m1
¿
m2 g
m1 g+ m2 g
L1 m 1
L2 m 1
θ1
(¿ ¿ 1+m2) g θ2
m
−
L2 m 1
''
θ1
=¿
θ2
()
()
BAB III
Sistem Persamaan Diferensial | 24
LATIHAN SOAL
1.
Sebuah bangunan bertingkat dua mempunyai massa dengan m 1 = m2 =
5000kg, kekakuan kolom k1 = k2 =5000kg/s2 dan redaman c1 = c1 = 5000kg/ s2.
Bangunan ini dipengaruhi gaya luar dengan F1= 10.000et dan F2= 5.000et.
tentukan besar simpangan pada setiap tingkat?
Penyelesaian:
SPDL dari contoh soal diatas yaitu
´y 1+ 2 ´y 1− ´y 2+2 y 1− y 2=2e t
........
´y 2+ ´y 1+ ´y 2− y 1+ y 2=e t
.....(3.6)
(3.5)
Diubah dalam polinomial operator D, dimana
D=
d
dt
(D2 + 2D +2) y1 + (-D-1) y2 = 2et (3.7)
(D-1) y1 + (D2 + D + 1)y2 = et
(3.8)
Eliminasi variabel tak bebas
(D2 + 2D +2) y1 + (-D-1) y2 = 2et
| (D-1)
(D-1) y1 + (D2 + D + 1)y2 = et
| (D2 +2D+2) |
|
(D4+4D3+6D2+4D+1)=4et
Atau
4
3
2
d y2
d y2
d y2
dy
+4
+6
+4 2 + y 2=4 e t
4
3
2
dt
dt
dt
dt
(3.9)
Kemudian menghitung y2 yaitu mencari solusi umum dari PD:
( D2 +4 D 3+ 6 D 2+4 D+1 ) y 2=4 e t
PD linier homogen dari PD ini adalah ( D 2 +4 D 3+ 6 D 2+ 4 D+1 ) y 2=0
Sistem Persamaan Diferensial | 25
4
Persamaan karakteristiknya adalah
3
Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah
−t
Solusi homogennya adalah
2
r + 4 r +6 r + 4 r +1=0
r 1=r 2 =r 3=r 4=−1
2 −t
−t
3 −t
y 2 h=c 1 e + c 2 x e + c 3 x e + c 4 x e
Untuk mencari solusi khususnya, kita gunakan metode koefisien tak tentu.
Solusi khususnya diambil
t
y 2 p=A e
y ' 2 p= y ' ' 2 p= y ' ' ' 2 p= y iv2 p= A e t
Diperoleh
dan disubtitusikan ke
(3.10) didapat
t
t
t
t
t
t
A e +4 A e + 6 A e + 4 A e + A e =4 e
16 A et =4 e t
t
A=
4e
t
16 e
A=
Jadi
1
4
1
y 2 p= et
4
Jadi solusi umum (3.9)
−t
−t
2 −t
3 −t 1 t
y 2= y 2 h+ y 2 p=c 1 e + c2 x e + c3 x e + c 4 x e + e
4
Untuk menghitungvariabel tak bebas yang lain yaitu
ke dalam salah satu dari sistem ini:
y 1 , masukkan
y2
Dipilih persamaan (3.8):
2
y 1=
−D −D−1
y 2−et
D−1
1
¿ ( D−1 ) c1 e−t +c 2 x e−t +c 3 x 2 e−t +c 4 x 3 e−t + e t −et
4
(
)
Sistem Persamaan Diferensial | 26
1
1
¿−c1 e−t−c2 x e−t −c 3 x 2 e−t −c 4 x 3 e−t + et −c 1 e−t −c 2 x e−t−c3 x 2 e−t −c 4 x3 e−t− et −
4
4
¿ 2 c1 e−t−2 c 2 x e−t−2 c 3 x2 e−t−2 c 4 x 3 e−t −e t
Jadi solusi umum sistem PD linier tak homogen ini adalah
−t
−t
2 −t
3 −t
y 1=2 c 1 e −2 c2 x e −2 c3 x e −2 c 4 x e −e
t
−t
−t
2 −t
3 −t 1 t
y 2=c 1 e + c 2 x e + c 3 x e + c 4 x e + e
4
2.
Perhatikan gambar dibawah ini :
Ketiga kolam di atas memiliki volume yang sama yaitu sebesar 2.000 gal.
Pada awalnya, tiga kolam di atas dalam keadaan murni (tanpa polusi).
Kemudian kolam-kolam tersebut diisi diberi polusi yang dialirkan dari kolam
pertama dengan laju 0,125 lb/min. Polusi tersebut kemudian menyebar dari
koalm pertama ke kolam dua kemudian ke kolam tiga dengan tingkat aliran
sebesar 2 gal/min. Tentukan jumlah polusi dalam kolam jika dibiarkan selama
48 jam (2880 menit) !
Jawab
Diketahui:
f (t)=0.125 lb /min
fi
2
=
=0.001
V i 2000
Sistem Persamaan Diferensial | 27
Masalah diatas dapat ditulis dalam sistem persamaan diferensial, sebagai
berikut :
'
x 1 ( t ) =0.001 x 3 ( t ) −0.001 x 1 ( t ) +0,125
x '2 ( t ) =0.001 x 1 ( t )−0.001 x 2 ( t )
'
x 3 ( t ) =0.001 x 2 ( t ) −0.001 x 3 ( t )
x 1 ( 0 ) =x2 ( 0 ) =x3 ( 0 )=0
Solusi untuk sistem ini adalah
−3 t
( )
( ))
−250 √ 3
3t
t
x ( t )=
e sin ( √ )+
9
2000 24
125
3t
125 √3
3t
t 125
x ( t )=e (
cos ( √ )+
sin ( √ ))+ −
3
2000
9
2000
24
3
x 1 ( t )=e 2000
(
125 √3
3t
125
3t
125 t
sin √
−
cos √
+
+
9
2000
3
2000
3 24
−3t
2000
2
−3 t
2000
3
Setelah 48 jam berlalu, jumlah polusi perkiraan dalam pound adalah
x 1 ( 2880 )=162.30 , x 2 ( 2880 ) =119.61, x3 ( 2880 )=78.08 .
Catatan : Perlu diketahui bahwa sistem di atas diubah dengan mengganti
0.125 dengan nol, untuk memprediksi keadaan kolam setelah 48
jam.
Sesuai dengan
sistem homogen yang memiliki solusi
ekuilibrium
x 1 ( t )=x 2 ( t )=x 3 ( t )=120 . solusi konstan ini adalah
batas
tak
di
terhingga
homogen,menggunakan
dari
solusi
nilai
untuk
sistem
awal
x 1 ( 0 ) ≈ 162.30, x 2 ( 0 ) ≈ 119,61, x 3 (0)≈ 78,08 .
3.
Sistem Persamaan Diferensial | 28
Pada aquarium di atas diasumsikan mengandung isotop radioktif untuk
melacak rantai makanan pada plankton air. Plaktok air pada aquarium di
atas
termasuk pada kelompok fitoplanton yakni diatom dan alga.
Konsentrasi isotop rdiaoaktif pada aquarium digambarkan oleh sistem
sebagai berikut :
x ' ( t )=−3 x ( t ) +6 y ( t )+5 z (t)
y ' ( t )=2 x ( t )−12 y ( t )
z ' ( t )=x ( t ) +6 y (t )−5 z (t )
x ( 0 )=x 0 , y ( 0 )=0, z ( 0 )=0
Tentukan solusi dari sistem dan juga konsentrasinya !
Jawab :
Solusi dari sistem persaaan diferensial yang menggambarkan kandungan
radiokatif di atas adalah
x ( t )=6 c 1 + ( 1+ √ 6 ) c 2 e(−10 +√ 6) t + ( 1−√ 6 ) c 3 e (−10−√ 6) t
y (t )=c1 + c2 e (−10+√ 6 )t −c 3 e(−10−√6 ) t
x ( t )=
12
c −( 2+ √ 1.5 ) c 2 e (−10 +√6 ) t + (−2+ √ 1.5 ) c3 e (−10−√ 6) t
5 1
Konstanta c 1 , c 2 , c3
terkait dengan isotop radioaktif awal.
Konsentrasi x ( 0 )=x 0 , y ( 0 )=0, z ( 0 )=0, dengan sistem 3 × 3 dari
persamaan aljabar linier adalah
6 c 1+ ( 1+ √6 ) c 2+ ( 1−√ 6 ) c 3=x 0
c 1+ c 2−c 3=0
12
c −( 2+ √ 1.5 ) c2 + (−2+ √ 1.5 ) c 3=0
5 1
Sistem Persamaan Diferensial | 29
4.
Perhatikan gambar dibawah ini
20
A
r = 10
40
B
r = 10
Air masuk pada tangki A dengan kecepatan 10 , kemudian A mengalir ke B
dengan kecepatan10 , selanjunya B mengalir ke C dengan kecepatan 10.
C
60
Terakhir dari tangki C mengalir keluar dengan kecepatan 10. Hal tersebut
menyebabkan volume tangki tetap konstan. Kita asumsikan terjadi
pengaduakan secara seragam pada masing-masing tangki, yang berarti
konsentrasi garam pada tiap tangki adalah sama. Tentukan model matematika
cascade dan solusinya !
Jawab :
Cascade dimodelkan oleh hukum keseimbangan kimia :
Tingkat Perubahan=Tingkat Masukan−Tingkat Keluaran
Penerapan hukum keseimbangan, dibenarkan dalam analisis kompartemen
dibawah ini dengan hasil dalam sistem diferensial segitiga.
x ' 1=
−1
x
2 1
1
1
x ' 2= x1 − x 2
2
4
1
1
x ' 3= x 2 − x 3
4
6
Solusinya diberikan oleh persamaan :
Sistem Persamaan Diferensial | 30
x 1 ( t )=e
−t
2
−t
2
x 2 ( t )=−2 e +2 e
−t
−t
4
−t
−t
3
x 3 ( t )= e 2 −6 e 4 + 6 e 6
2
Perhatikan :
x 1 ( t )=e
−t
2
−t
x ' 1 ( t )=
−1 2
e
2
−t
2
x 2 ( t )=−2 e +2 e
−t
2
−t
4
−t
1
x ' 2 ( t )=e − e 4
2
−t
−t
−t
3
x 3 ( t )= e 2 −6 e 4 + 6 e 6
2
−t
x ' 3 ( t )=
x ' 1=
−t
−3 2 3 4
e + e −e
4
4
−t
6
−1
−1 −t2 −1 −t2
x1 →
e =
e
2
2
2
−t
−t
−2 e 2 +2 e 4
−t
−t
−t
1
1
1 4 1 2 1
2
x ' 2= x1 − x 2 →e − e = e − ¿
2
4
2
2
4
¿
−t
−t
−t
1
1
1
¿ e2+ e2+ e4 )
2
2
2
−t
−t
1
¿e 2 − e 4
2
Sistem Persamaan Diferensial | 31
−t
2
−t
4
−t
−t
−t
1 3
−2 e +2 e − ( e 2 −6 e 4 +6 e 6 )
6 2
−t
−t
−t
1
1
3 2 3 4
1
x ' 3= x 2− x 3 →− e + e −e 6 = ¿
4
6
4
4
4
−t
−t
−t
3
3
¿− e 2 + e 4 −e 6
4
4
5.
Pada tank air garam A, B, C masing-masing diisi dengan jumlah volume
seperti yang terlihat pada gambat berikut.
A
60
C
60
B
20
Kecepatan air masuk pada tangki A, kemudian A mengalir ke B dengan
selanjunya B mengalir ke C, terakhir dari tangki C mengalir ke A sebesar
10. Tentukan model matematika untuk masalah di atas dan tentukan
solusinya !
Jawab:
Menggunakan analisis kompartemen, cascade daur ulang dimodelkan
dengan sistem non-segitiga.
x ' 1=
−1
1
x1 + x3
6
6
1
1
x ' 2= x 1− x 2
6
3
1
1
x ' 3= x 2− x 3
3
6
Solusi diberiakan oleh persamaan
Sistem Persamaan Diferensial | 32
−t
3
−t
t
t
x 1 ( t )=c 1 + ( c 2−2 c 3 ) e cos ( )+ ( 2 c 2 +c 3 ) e 3 sin ( )
6
6
−t
−t
1
t
t
x 2 ( t )= c 1+ (−2 c 2−c3 ) e 3 cos( )+ ( c 2−2 c 3 ) e 3 sin( )
2
6
6
−t
−t
t
t
x 3 ( t )=c 1 + ( c 2 +3 c 3 ) e 3 cos ( )+ (−3 c 2+ c 3 ) e 3 sin( )
6
6
BABA IV
KESIMPULAN
Sistem persamaan differensial merupakan salah satu persamaan yang
banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari di berbagai bidang ilmu
pengetahuan, misalnya dalam bidang sains dan teknik.
Salah satu contoh penggunaan persamaan diferensial linier dalam bidang
teknik adalah untuk menentukan simpangan horizontal tingkat pada sebuah
bangunan. Apabila bangunan itu mempunyai struktur MDOF maka model
matematika yang terbentuk adalah sistem persamaan diferensial linier (SPDL).
Sistem Persamaan Diferensial | 33
Pada bidang sains, persamaan diferensial dapat digunkana untuk
menyelesaiakan permasalahan-permasalahan pada bidang seperti kimia maupun
biologi. Pada biologi, sistem persamaan diferensial dapat digunkan untuk
mengetahui interksi dalam popolasi, kemudian mengetahui ekosistem hewan
maupun tumbuhan, tentang pestisida maupun polusi. Sedangkan pada kimia, dapat
digunakan untuk mengetahui konsentari garam dan sebagainya.
Selain dua bidang di atas, sistem persaam diferensial juga berguna dalam
bidang seperti ekonomi dan transportasi. Dalam bidang ekonomi, sistem
persamaan diferensial dapat digunakan untuk meramalkan harga. Sedangkan pada
bidang traspotasi, sistem persaaan diferensial dapat dimanfaatkan dalam proses
pengangukatan barang, seperti pengankutan kayu oleh helikopter.
DAFTAR PUSTAKA
Baiduri. 2004. Persamaan Diferensial. Malang : UMM Press
Firia, Vivi A. 2011. Analisis Sistem Persamaan Diferensial Model Predator-Prey
dengan Perlambatan. Volume 2 Nomor 1 November 2011. ( )
Hendri, Yon dkk. Teknik Baru Menyelesaikan Sistem Persamaan Diferensial
Linear Orde Satu Nonhomogen. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
Sistem Persamaan Diferensial | 34
Oktaviani, Rizka dkk. 2014. Penyelesaian Numerik Sistem Persamaan Diferensial
Non Linear Dengan Metode Heun Pada Model Lotka-Volterra. Volume 03,
No. 1 (2014), hal 29 – 38. ( )
Redjeki, Sri. 2009. DIKTAT KULIAH MA2271 METODA MATEMATIKA
Semester II 2009/2010. Prodi Matematika Fakultas MIPA Institut Teknologi
Bandung. ( )
Yunitasari, Leni D. 2007. Aplikasi SPDL pada MDOF (Multi Degree Of
Freedom). Skripsi. Universitas Muhammadiya Malang. (ta.umm.ac.id
diakses pada 10 Juni 2016)
http://www.math.utah.edu/~gustafso/2250systems-de.pdf
Sistem Persamaan Diferensial | 35