Aplikasi Pembelajaran Metode Numerik untuk Mencari Solusi f (x)=0 bagi Siswa SMA.

iii

ABSTRAK

Kami mengembangkan aplikasi ini untuk membantu siswa-siswa,

khususnya untuk siswa SMA, untuk belajar memecahkan masalah dalam

matematika, yaitu menemukan akar dari

( ) = 0 dengan menggunakan metode

numerik. Aplikasi ini dirancang untuk mendidik pengguna agar dapat dengan

mudah memahami metode numerik sebagai metode pendekatan untuk masalah di

atas. Aplikasi ini membantu siswa untuk belajar empat metode numerik: bagi dua,

posisi palsu, Newton-Raphson, dan secant. Kami berharap dapat memperkenalkan

metode ini kepada siswa karena mereka mungkin belum mempelajari metode

numerik di sekolah. Aplikasi ini menggambar kurva

( ) dan visual menarik

langkah demi langkah menuju estimasi perkiraan solusi terbaik yaitu "akar".

Aplikasi ini dikembangkan menggunakan Flash CS3.

Kata kunci: matematika, metode numerik, siswa SMA, metode bagi dua,

metode posisi palsu, metode Newton-Rahpson, metode secant

iv

ABSTRACT

We develop an application to help students, particularly in high schools, to

learn to solve a problem in mathematics, namely finding roots of

( ) = 0

numerically. The application is designed to educate the user to easily understand

numerical methods as approximation methods for the problem above. The

application helps students to learn four numerical methods: bisection, false

position, Newton-Raphson, and Secant methods. We hope it may introduce the

methods to the students since they are very likely have not learn the methods in

school. The application draws curve of

( ) and visually draws step by step

estimate towards the best approximate solution, that is, the “root”. The application

is developed using Flash CS3.

Keywords: mathematics, numerical method, high school students,

bisection method, false position method, Newton-Rahpson method, secant method

v

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

ABSTRAK ... iii

ABSTRACT ...iv

DAFTAR ISI ... v

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR PROGRAM ... x

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Rumusan Masalah ... 2

1.3. Tujuan ... 2

1.4. Batasan Masalah ... 2

1.5. Sistematika Pembahasan ... 3

BAB II LANDASAN TEORI ... 4

2.1. Metode Biseksi(Metode Bagi Dua) ... 4

2.2. Metode Regula Falsi (Posisi Palsu) ... 5

2.3. Metode Newton-Raphson ... 7

2.4. Metode Secant ... 9

2.5. Toleransi ... 10

2.6. Media Pembelajaran ... 12

BAB III ANALISIS DAN DISAIN ... 14

2.1. Analisis ... 14

2.2. Gambaran Keseluruhan ... 20

3.2.1. Persyaratan Antarmuka Eksternal ... 20

3.2.2. Antarmuka dengan Pengguna ... 20

3.2.3. Antarmuka Perangkat Keras ... 20

3.2.4. Antarmuka Perangkat Lunak ... 21

vi

3.2.5.1. Memasukkan Persamaan ( ) = ... 21

3.2.5.1.1. Tujuan ... 21

3.2.5.1.2. Urutan Stimulus ... 21

3.2.5.1.3. Persyaratan Fungsional yang Berhubungan ... 21

3.2.5.2. Tahap-Tahap Solusi ... 22

3.2.5.2.1. Tujuan ... 22

3.2.5.2.2. Urutan Stimulus ... 22

3.2.5.2.3. Persyaratan Fungsional yang Berhubungan ... 23

3.2.5.3. SmartZoom ... 24

3.2.5.3.1. Tujuan ... 24

3.2.5.3.2. Urutan Stimulus ... 24

3.2.5.3.3. Persyaratan Fungsional yang Berhubungan ... 24

3.2.5.4. Gridlines ... 25

3.2.5.4.1. Tujuan ... 25

3.2.5.4.2. Urutan Stimulus ... 25

3.2.5.4.3. Persyaratan Fungsional yang Berhubungan ... 25

3.2.5.5. Cetak Grafik Penyelesaian ... 26

3.2.5.5.1. Tujuan ... 26

3.2.5.5.2. Urutan Stimulus ... 26

3.2.5.5.3. Persyaratan Fungsional yang Berhubungan ... 27

3.3. Desain Perangkat Lunak ... 27

3.3.1. Pemodelan Perangkat Lunak ... 27

3.3.2. Desain Antarmuka... 32

BAB IV PENGEMBANGAN PERANGKAT LUNAK... 35

4.1. Implementasi Modul ... 35

4.1.1. Pembagian Modul Implementasi... 35

4.1.2. Perjalanan Tahap Implementasi ... 35

4.2. Implementasi Antarmuka ... 44

BAB V PENGUJIAN DAN EVALUASI SISTEM ... 50

5.1. Rencana Pengujian ... 50

5.1.1. Test Case ... 50

5.1.2. Uji Fungsionalitas Modul ... 50

vii

5.2.1. Black Box ... 51

5.3. Survei dengan Target Aplikasi ... 55

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN ... 58

6.1. Kesimpulan ... 58

6.2. Saran ... 58

DAFTAR PUSTAKA ... 59 LAMPIRAN - A ... A-1 LAMPIRAN - B ... B-1

viii

DAFTAR TABEL

Tabel 2. 1 Hasil pencarian akar dengan toleransi 1e-4 ... 11

Tabel 2. 2 Hasil pencarian akar dengan toleransi 1e-7 ... 11

Tabel 3. 1 Data Persamaan ... 29

Tabel 3. 2 Data Tebakan Awal... 29

Tabel 3. 3 PSPEC Memasukkan Persamaan ( ) = 0 ... 30

Tabel 3. 4 PSPEC Tahap-Tahap Solusi ... 30

Tabel 3. 5 PSPEC Memasukkan Tebakan Awal ... 31

Tabel 5. 1 Test Case Memasukkan Persamaan ... 52

Tabel 5. 2 Test Case Memasukkan Tebakan Awal ... 52

Tabel 5. 3 Test Case SmartZoom ... 54

Tabel 5. 4 Test Case Gridlines ... 55

Tabel 5. 5 Survei Tampilan Keseluruhan ... 55

Tabel 5. 6 Survei Tata Letak Menu... 55

Tabel 5. 7 Survei Kesesuaian Nama Menu dan Fungsinya ... 56

Tabel 5. 8 Survei Penanganan Kesalahan ... 56

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Grafik Metode Bagi Dua ... 5

Gambar 2. 2 Grafik Metode Posisi Palsu ... 6

Gambar 2. 3 Grafik Metode Newton-Raphson ... 8

Gambar 2. 4 Grafik Metode Secant ... 9

Gambar 3. 1 Mengajar Matematika di SMA ... 15

Gambar 3. 2 Memasukkan Persamaan ... 18

Gambar 3. 3 Penyelesaian Persamaan ... 19

Gambar 3. 4 DFD Level 0 ... 28

Gambar 3. 5 DFD Level 1 ... 28

Gambar 3. 6 Halaman Depan ... 32

Gambar 3. 7 Halaman Menu ... 33

Gambar 3. 8 Pilih Metode ... 33

Gambar 3. 9 Tebakan Kamu ... 34

Gambar 3. 10 Penyelesaian ... 34

Gambar 4. 1 Tampilan Halaman Depan ... 44

Gambar 4. 2 Tampilan Pilhan Menu ... 45

Gambar 4. 3 Tampilan Persamaan Polinom ... 45

Gambar 4. 4 Tampilan Persamaan Sin ... 46

Gambar 4. 5 Tampilan Persamaan Cos ... 46

Gambar 4. 6 Tampilan Persamaan Log ... 47

Gambar 4. 7 Tampilan Pilih Metode ... 47

Gambar 4. 8 Tampilan Tebakan Awal ... 48

x

DAFTAR PROGRAM

Program 4. 1 Algoritma fcari ... 36

Program 4. 2 Algoritma faksen ... 36

Program 4. 3 Algoritma ftotal ... 37

Program 4. 4 Algoritma sentuh ... 38

Program 4. 5 Algoritma Memasukan Persamaan ... 39

Program 4. 6 Algoritma Memasukkan Nilai Awal ... 42

Program 4. 7 Algoritma Tahap-Tahap Solusi ... 43

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1.

Latar Belakang

Model matematika sering kali digunakan dalam beberapa ilmu

pengetahuan seperti, ekonomi, kimia, fisika, teknik, dan lain-lain. Akan tetapi

tidak sedikit orang yang menyukai dan ingin belajar matematika. Banyak

orang terutama pelajar sudah menganggap kalau pelajaran matematika itu

sangatlah sulit. Dan terbukti pula banyak pelajar yang tidak lulus akibat nilai

matematika mereka jatuh.

Salah satu faktor dari sulitnya mempelajari matematika adalah

seringkali ditemukan model matematika yang memiliki bentuk yang sulit

untuk diselesaikan. Salah satunya yaitu penghitungan untuk mencari solusi

f

(

x

) = 0. Untuk persamaan kuadrat kita masih dapat mencari akarnya dengan

menggunakan “rumus abc” seperti dibawah ini:

0

2

=

+

+

bx

c

ax

(1.1)

a ac b b x 2 4 2 − + −

= (1.2)

atau a ac b b x 2 4 2 − − −

= (1.3)

Untuk fungsi-fungsi yang lebih kompleks, metode untuk mencari akar-akarnya beragam bahkan banyak fungsi-fungsi yang belum ada teknik analitik untuk menghitung akarnya. Dalam hal ini dapat digunakan teknik aproksimasi secara numerik.

Dengan alasan tersebut maka diperlukan sebuah aplikasi untuk memberikan kemudahan dalam belajar. Hal ini dibutuhkan untuk membuka pikiran siswa-siswa ditingkat SMA secara luas bahwa persoalan matematika

yang tidak dapat diselesaikan dalam metode analitik dapat dikerjakan dengan

menggunakan metode numerik. Oleh sebab itu maka “Aplikasi Pembelajaran

Metode Numerik untuk Mencari Solusi

= 0

bagi Siswa SMA” di buat untuk menjawab persoalan tersebut. Aplikasi ini akan memberikan suasana belajar yang menyenangkan kepada para siswa karena terdapat visualisasi dari setiap penyelesaian masalah penghitungan numerik.

1.2.

Rumusan Masalah

Berikut merupakan rumusan masalah yang akan dibahas dalam pembuatan aplikasi ini:

•

Bagaimana

= 0

dapat diselesaikan dengan metode numerik.

•

Bagaimana memperkenalkan metode numerik kepada para siswa SMA

secara menarik.

1.3.

Tujuan

Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari penelitian ini adalah :

•

Mengetahui bagaimana cara kerja metode bagi dua, posisi palsu,

Newton-Raphson, dan secant dalam menyelesaikan

= 0

.

•

Dapat membuka pikiran siswa SMA secara luas tentang matematika dalam penghitungan numerik.

1.4.

Batasan Masalah

Batasan atau ruang lingkup kajian yang akan dibahas dalam aplikasi ini yaitu:

•

Metode yang akan dipakai sebanyak empat buah yaitu bagi dua, posisi

palsu, Newton-Raphson, dan secant.

•

Penyelesaian terbatas pada bentuk polinom satu variable berpangkat

1.5.

Sistematika Pembahasan

•

Bab I Pendahuluan

Pada bab ini dijelaskan mengenai pendahuluan, tujuan pembuatan aplikasi, ruang lingkup, dan gambaran keseluruhan sistem.

•

Bab II Landasan Teori

Dalam bab ini akan menjelaskan tentang landasan teori yang akan dipakai dalam pembuatan aplikasi ini.

•

Bab III Desain Perangkat Lunak.

Dalam bab ini akan dibahas mengenai pemodelan aplikasi yang dibuat dengan menggunakan DFD.

•

Bab IV Pengembangan Sistem

Bab ini meliputi perancangan tahap implementasi yang akan membahas lebih detail tentang aplikasi secara teknis.

•

Bab V Testing dan Evaluasi Sistem

Dalam bab ini menyajikan rencana pengujian sistem yang terimplementasi,metodologi pengujian ,dan ulasan hasil dari evaluasi.

•

Bab VI Kesimpulan dan Saran

Bab ini berisikan kesimpulan dari aplikasi yang sudah terimplementasi dan saran yang berupa masukan-masukan dari pengguna aplikasi ini.

58

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

6.1.

Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari hasil implementasi aplikasi dan hasil

akhir adalah:

•

Metode numerik dapat menyelesaikan persamaan

= 0

dengan

metode bagi dua, posisi palsu, Newton-Raphson, dan secant.

•

Membuka pikiran siswa SMA secara luas dalam mengenal metode

numerik dengan media pembelajaran berupa aplikasi penghitungan

numerik.

6.2.

Saran

Adapun saran-saran yang dapat dikembangkan dari aplikasi penghitungan

numerik dimasa yang akan datang yaitu:

•

Pengguna dapat menentukan sendiri banyaknya orde dalam persamaan

polinom.

•

Dapat diperhalus lagi animasi yang muncul dalam aplikasi.

•

Dapat diberikan latar belakang suara yang mendukung agar pengguna

dapat lebih nyaman saat berinteraksi dengan aplikasi.

59

DAFTAR PUSTAKA

Hakim, Lukmanul. 2004. Cara Ampuh Menguasai Macromedia Flash Mx 2004.

Jakarta: Elex Media Komputindo

Lott, Joey dan Reinhardt, Robert. 2006.

Flash® 8 ActionScript Bible.

Indianapolis: Wiley Publishing, Inc

Munir, Rinaldi. 2003. Metode Numerik. Bandung: Informatika

C. Chapra, Steven dan P.Canals, Raymond. 1991. Metode Numerik untuk Teknik

dengan Penerapan Pada Komputer Pribadi. Jakarta: Universitas Indonesia

Ranganath,G.K. dan Sooryanarayana,B. 2003.

A Textbook of Computer Oriented

Numerical methods AND Liniear Programming. Ram Nagar: S.Chand&

Company LTD

Hostetter,Gene H. , Santina, Mohammed S., dan Montalvo, Paul D’carpio. 1991.

Analytical, Numericalal, AND Computational Methods for Science AND

Enginering. United State: Prentice-Hall International

Kompas.com.

2011.

Kompas.

21

Juli

2011

<http://edukasi.kompas.com/read/2011/05/15/16090868/lebih-banyak-siswa-lulus-un-tahun-ini>

DAFTAR PROGRAM

Program 4. 1 Algoritma fcari ... 36

Program 4. 2 Algoritma faksen ... 36

Program 4. 3 Algoritma ftotal ... 37

Program 4. 4 Algoritma sentuh ... 38

Program 4. 5 Algoritma Memasukan Persamaan ... 39

Program 4. 6 Algoritma Memasukkan Nilai Awal ... 42

Program 4. 7 Algoritma Tahap-Tahap Solusi ... 43

BAB I PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Model matematika sering kali digunakan dalam beberapa ilmu pengetahuan seperti, ekonomi, kimia, fisika, teknik, dan lain-lain. Akan tetapi tidak sedikit orang yang menyukai dan ingin belajar matematika. Banyak orang terutama pelajar sudah menganggap kalau pelajaran matematika itu sangatlah sulit. Dan terbukti pula banyak pelajar yang tidak lulus akibat nilai matematika mereka jatuh.

Salah satu faktor dari sulitnya mempelajari matematika adalah seringkali ditemukan model matematika yang memiliki bentuk yang sulit untuk diselesaikan. Salah satunya yaitu penghitungan untuk mencari solusi

f(x) = 0. Untuk persamaan kuadrat kita masih dapat mencari akarnya dengan menggunakan “rumus abc” seperti dibawah ini:

0

2

= + +bx c

ax (1.1)

a ac b b x 2 4 2 − + −

= (1.2)

atau a ac b b x 2 4 2 − − −

= (1.3)

Untuk fungsi-fungsi yang lebih kompleks, metode untuk mencari akar-akarnya beragam bahkan banyak fungsi-fungsi yang belum ada teknik analitik untuk menghitung akarnya. Dalam hal ini dapat digunakan teknik aproksimasi secara numerik.

2

yang tidak dapat diselesaikan dalam metode analitik dapat dikerjakan dengan

menggunakan metode numerik. Oleh sebab itu maka “Aplikasi Pembelajaran

Metode Numerik untuk Mencari Solusi = 0 bagi Siswa SMA” di buat untuk menjawab persoalan tersebut. Aplikasi ini akan memberikan suasana belajar yang menyenangkan kepada para siswa karena terdapat visualisasi dari setiap penyelesaian masalah penghitungan numerik.

1.2.Rumusan Masalah

Berikut merupakan rumusan masalah yang akan dibahas dalam pembuatan aplikasi ini:

• Bagaimana = 0 dapat diselesaikan dengan metode numerik.

• Bagaimana memperkenalkan metode numerik kepada para siswa SMA

secara menarik.

1.3.Tujuan

Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari penelitian ini adalah :

• Mengetahui bagaimana cara kerja metode bagi dua, posisi palsu,

Newton-Raphson, dan secant dalam menyelesaikan = 0.

• Dapat membuka pikiran siswa SMA secara luas tentang matematika dalam penghitungan numerik.

1.4.Batasan Masalah

Batasan atau ruang lingkup kajian yang akan dibahas dalam aplikasi ini yaitu:

• Metode yang akan dipakai sebanyak empat buah yaitu bagi dua, posisi palsu, Newton-Raphson, dan secant.

• Penyelesaian terbatas pada bentuk polinom satu variable berpangkat

3

1.5.Sistematika Pembahasan

• Bab I Pendahuluan

Pada bab ini dijelaskan mengenai pendahuluan, tujuan pembuatan aplikasi, ruang lingkup, dan gambaran keseluruhan sistem.

• Bab II Landasan Teori

Dalam bab ini akan menjelaskan tentang landasan teori yang akan dipakai dalam pembuatan aplikasi ini.

• Bab III Desain Perangkat Lunak.

Dalam bab ini akan dibahas mengenai pemodelan aplikasi yang dibuat dengan menggunakan DFD.

• Bab IV Pengembangan Sistem

Bab ini meliputi perancangan tahap implementasi yang akan membahas lebih detail tentang aplikasi secara teknis.

• Bab V Testing dan Evaluasi Sistem

Dalam bab ini menyajikan rencana pengujian sistem yang terimplementasi,metodologi pengujian ,dan ulasan hasil dari evaluasi.

• Bab VI Kesimpulan dan Saran

Bab ini berisikan kesimpulan dari aplikasi yang sudah terimplementasi dan saran yang berupa masukan-masukan dari pengguna aplikasi ini.

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

6.1.Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari hasil implementasi aplikasi dan hasil akhir adalah:

• Metode numerik dapat menyelesaikan persamaan = 0 dengan

metode bagi dua, posisi palsu, Newton-Raphson, dan secant.

• Membuka pikiran siswa SMA secara luas dalam mengenal metode

numerik dengan media pembelajaran berupa aplikasi penghitungan numerik.

6.2.Saran

Adapun saran-saran yang dapat dikembangkan dari aplikasi penghitungan numerik dimasa yang akan datang yaitu:

• Pengguna dapat menentukan sendiri banyaknya orde dalam persamaan polinom.

• Dapat diperhalus lagi animasi yang muncul dalam aplikasi.

• Dapat diberikan latar belakang suara yang mendukung agar pengguna dapat lebih nyaman saat berinteraksi dengan aplikasi.

DAFTAR PUSTAKA

Hakim, Lukmanul. 2004. Cara Ampuh Menguasai Macromedia Flash Mx 2004. Jakarta: Elex Media Komputindo

Lott, Joey dan Reinhardt, Robert. 2006. Flash® 8 ActionScript Bible.

Indianapolis: Wiley Publishing, Inc

Munir, Rinaldi. 2003. Metode Numerik. Bandung: Informatika

C. Chapra, Steven dan P.Canals, Raymond. 1991. Metode Numerik untuk Teknik dengan Penerapan Pada Komputer Pribadi. Jakarta: Universitas Indonesia

Ranganath,G.K. dan Sooryanarayana,B. 2003. A Textbook of Computer Oriented

Numerical methods AND Liniear Programming. Ram Nagar: S.Chand&

Company LTD

Hostetter,Gene H. , Santina, Mohammed S., dan Montalvo, Paul D’carpio. 1991. Analytical, Numericalal, AND Computational Methods for Science AND

Enginering. United State: Prentice-Hall International

Kompas.com. 2011. Kompas. 21 Juli 2011

<http://edukasi.kompas.com/read/2011/05/15/16090868/lebih-banyak-siswa-lulus-un-tahun-ini>