Penerapan Model Persamaan Diferensial te

Jurnal Matematika Rekayasa

Penerapan Model Persamaan
Diferensial terhadap Dinamika Populasi
Ikan Tuna di Laut Banda
Ayunda Annisa Putri, Ilmi Citra Mulyani, Rizqa Khairunnisa
Program Studi Teknik Lingkungan, Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik, Universitas Tanjunpura, Pontianak

1.

Pendahuluan

Tuna merupakan anggota dari famili
Scombridae. Ada beberapa jenis tuna exportable
yang
tertangkap
dari
perairan
Indonesia,diantaranya adalah madidihang atau
yellowfin tuna (Thunnus albacares), tuna mata

besar atau bigeye tuna (Thunnus obesus),albakora
atau albacore (Thunnus alalunga) dan tuna sirip
biru selatan atau southern bluefin tuna (Thunnus
maccoyi). Tuna adalah ikan perenang cepat dan
hidup bergerombol (schooling) sewaktu mencari
makan. Kecepatan renang ikan dapat mencapai 50
km/jam. Kemampuan renang ini merupakan salah
satu faktor yang menyebabkan penyebarannya
dapat meliputi skalaruang (wilayah geografis) yang
cukup luas, termasuk diantaranya beberapa spesies
yang dapat menyebar dan bermigrasi lintas
samudera. Pengetahuan mengenai penyebaran tuna
sangat penting artinya bagi usaha penangkapannya.
Secara ekologis Laut Banda merupakan daerah
ruaya, asuhan, pemangsaan dan pemijahan berbagai
jenis ikan tuna terutama ikan tuna mandihang.
Kondisi ini didukung oleh letak Laut Banda yang
merupakan pertukaran masa air dunia, sesuai
pernyataan Gordon (2005) diacu dalam Wagiyo
(2015) bahwa Laut Banda mempunyai karakteristik

tropis, oseanik, bersifat oligotropik yang dikellingi
oleh ekosistem terumbu karang, tempat terjadinya
umbalan (up welling) dan pertemuan masa air.
Secara sosial ekonomi Laut Banda telah ditetapkan
sebagai kawasan segitiga emas lumbung ikan
nasional (KKP 2011.b.; Listriana, 2011 diacu dalam
Wgiyo 2015).
Menurut Wyrtki (1958) seperti diacu
dalam Suharsono (2003) di perairan Laut Banda
pada musim timur yaitu antara bulan April sampai
September terjadi upwelling dan pada musim barat
yaitu antara bulan Oktober sampai Maret terjadi
downwelling. Pada musim timur angin bertiup dari
timur menuju barat, sehingga menyebabkan arus
permukaan mengalir dari Laut Banda menuju Laut
Flores dan Laut Jawa. Hal ini menimbulkan
pergerakan massa air dari lapisan bawah yang
bersuhu lebih dingin ke atas sehingga terjadilah

upwelling. Pada musim barat terjadi sebaliknya,

angin bertiup dari barat ke timur dan menyebabkan
arus permukaan bergerak dari Laut Jawa, Laut
Sulawesi dan Laut Flores menuju ke Laut Banda
sehingga menyebabkan terjadinya penumpukan
massa air yang besar dan kemudian tenggelam
(downwelling). Upwelling ditandai dengan
penurunan suhu, kenaikan oksigen, zat hara nitrat,
dan fosfat (Rochford, 1962 diacu dalam
Suharsono,2003). Terjadinya penurunan suhu pada
saat upwelling diperkuat oleh pengamatan variasi
suhu musiman yang dilakukan di Banda Timur
yang menunjukkan bahwa terjadi penurunan suhu
sebesar 26⁰C pada bulan Juni hingga September
dan suhu maksimum terjadi pada bulan November
(Boely et al., 1990 diacu dalam Suharsono, 2003).
Meningkatnya oksigen dan nutrien pada musim
timur ini menyebabkan terjadinya peningkatan
produktivitas primer dan jumlah plankton hingga 2
hingga 3 kali apabila dibandingkan dengan musim
barat (Arinardi, 1999 diacu dalam Suharsono,

2003). Peningkatan jumlah biomassa plankton
tersebut secara tidak langsungmemberi pengaruh
pada meningkatnya produksi ikan pelagis besar.
Pada saat terjadinya upwelling produksi ikan
pelagis meningkat sebesar 4 hingga 5 kali apabila
dibandingkan dengan musim barat. Sehingga hasil
tangkapan ikan tuna nelayan Kepulauan Banda
meningkat pada musim timur dan mencapai
puncaknya pada awal musim barat yaitu antara
bulan Oktober-November (Amin dan Nugroho,
1990 diacu dalam Suharsono, 2003).
Fenomena up welling di Laut Banda juga
mempengaruhi migrasi ikan tuna ke laut. Ikan tuna
dewasa akan melakukan migrasi dengan tujuan
untuk mencari makan. Oleh karena itu, ikan tuna
dewasa akan memilih tempat-tempat yang memiliki
suhu yang relatif lebih rendah. Ini berkaitan dengan
laju matabolisme dimana pada suhu yang rendah,
laju metabolisme melambat. Hal tersebut
memungkinkan ikan tuna memiliki kesempatan

mencapai bobot yang berat karena pertumbuhan

Jurnal Matematika Rekayasa

yang baik. Ikan ini juga termasuk ikan pelagis
oseanik yang melakukan migrasi ke berbagai
perairan samudera. Hidupnya terutama di perairan
subtropis, yang berada pada kisaran suhu 13° - 29°
C. Selain untuk mencari makan, ikan tuna dewasa
juga melakukan migrasi untuk bertelur. Untuk
tujuan ini, ikan tuna mencari tempat yang bersuhu
relatif tinggi. Ini disebabkan telur-telur ikan tuna
dapat berkembang optimum selain didukung faktor
ketersediaan makanan.
Widodo dkk. (1988) mencatat bahwa
sumberdaya ikan tuna merupakan sumberdaya yang
memiliki batas oleh karena itu diperlukan
pengelolaan yang tepat untuk dapat memanfaatkan
sumberdaya tersebut untuk kurun waktu yang lama.
Pengelolaan sumberdaya ikan adalah suatu proses

yang terintegrasi mulai dari pengumpulan
informasi, analisis, perencanaan, konsultasi,
pengambilan keputusan, alokasi sumberdaya dan
implementasinya
dalam
rangka
menjamin
kelangsungan produktivitas serta pencapaian tujuan
pengelolaan. Namun, meskipun demikian masih
ada saja oknum-oknum tertentu yang melakukan
eksploitasi pada ikan tuna terutama pada jenis ikan
tuna madidihang. Eksploitasi pada perikanan tuna
permukaan biasanya menggunakan alat tangkap
berupa pukat cincin.
Matematika merupakan ilmu dasar yang sering
dipakai dalam menyelesaikan masalah dalam
berbagai bidang ilmu. Dalam bidang teknik
lingkungan, matematika dapat digunakan sebagai
alat untuk mengetahui seberapa cepat suatu
populasi itu tumbuh agar dapat diketahui

dampaknya bagi sebuah ekosistem.
Pertumbuhan populasi ditandai dengan adanya
perubahan jumlah populasi di setiap waktu yang
dipengaruhi oleh jumlah kematian, kelahiran serta
perpindahan (migrasi). Selain membutuhkan
pengamatan dalam jangka waktu tertentu,
perhitungan mengenai perkembangan jumlah
populasi juga penting dilakukan untuk mengetahui
laju pertumbuhan spesies tersebut. Salah satu
cabang ilmu matematika yang dapat membantu
menyelesaikan permasalahan tersebut adalah
pemodelan matematika (Aprilia, 2017).
Dalam penerapan pemodelan matematika
terdapat beberapa model pertumbuhan, salah
satunya adalah model pertumbuhan kontinu. Model
kontinu terbagi dua yaitu model eksponensial dan
model logistik. Dalam pertumbuhan populasi,
model pertumbuhan logistik mempunyai hasil
estimasi yang lebih baik dibanding dengan model
pertumbuhan eksponensial. Dalam penggunaan

model logistik ini batas populasi dimasukkan dalam
perhitungan sehingga jumlah populasi dengan
model ini tidak akan tumbuh secara tak terhingga
(Aprilia, 2017).

Menurut Clark (1976), Murray (1993) dan
Kreyszig (1993), jika dimisalkan x(t) adalah
populasi ikan pada waktu t , maka tingkat
pertumbuhan populasi ikan terhadap waktu t pada
suatu daerah tertentu dapat dituliskan sebagai
berikut

dx /dt =kelahiran−kematian+migrasi

Model sederhana tingkat pertumbuhan populasi
tanpa migrasi dapat dituliskan seperti berikut
(1.1)
dx /dt =( n−m)x=Rx
dengan n,m adalah konstanta positif yang masingmasing menyatakan tingkat kelahiran dan kematian
populasi ikan dan R adalah parameter yang

menyatakan pertumbuhan alamiah ikan (kelahiran
dikurangi kematian) dan diasumsikan positif.
Adanya persaingan antar individu, keterbatasan
ruang, keterbatasan makanan dan keterbatasan
sumber daya lainnya akan mempengaruhi
pertumbuhan populasi ikan.
Untuk itu model yang lebih baik adalah model
pertumbuhan logistik yang diperkenalkan oleh
P.F. Velhurst, yaitu
(1.2)
dx /dt =Rx−ax 2; R>0, a> 0
dengan −a x 2 merupakan faktor pengendali
yang dimaksudkan untuk mencegah terjadinya
ledakan populasi. Dengan a menyatakan konstanta
rata-rata pertemuan dua individu dalam populasi
per satuan waktu. Misalkan dalam populasi ada x
individu, dan daya dukung lingkungan K
dimasukkan ke dalam model, maka lingkungan
masih dapat mendukung K - x individu. Jadi masih
ada bagian lingkungan yang masih bisa diisi

sebesar

K −x
. Bagian inilah yang sebanding
K

dengan pertumbuhan populasi. Oleh karena itu
persamaan pertumbuhan menjadi

(

dx /dt =F ( x )=Rx (t ) 1−

x (t)
K

)

(1.3)
Persamaan (1.1) disebut model pertumbuhan

logistik. Sebagai keterangan K - R / a menyatakan
daya dukung lingkungan atau titik maksimum
dimana laju pertumbuhan akan menurun bahkan
berhenti. (Lestari, 2009)
Dinamika populasi adalah pengetahuan yang
mempelajari pertumbuhan populasi organisme.
Populasi adalah individu-individu yang hidup
disuatu tempat tertentu dan antara sesamanya dapat
melakukan
perkawinan
sehingga
dapat
mengadakan
pertukaran
informasi
genetik
dinyatakan sebagai satu kelompok. Ada dua ciri
dasar populasi, yaitu :ciri biologis, yang merupakan
ciri-ciri yang dipunyai oleh individu-individu
pembangun populasi itu, serta ciri-ciri statistik,
yang merupakan ciri uniknya sebagai himpunan
atau kelompok individu-individu yang berinteraksi
satu dengan lainnya.

Jurnal Matematika Rekayasa

Ukuran populasi menyatakan banyaknya
individu anggota populasi di suatu daerah tertentu.
Jika daerah penyebaran populasi luas sehingga
pengukuran populasi secara menyeluruh sulit di
lakukan, besarnya ukuran populasi yang di gunakan
adalah kepadatan populasi, yang menyatakan
individu persatuan luas tertentu. Ukuran dan
kepadatan populasi dapat di ukur dengan metode
sensus, sampling atau pengukuran nisbi.Populasi
dapat tumbuh cepat atau lambat. Kecepatan
pertumbuhan populasi di tentukan dengan
perbedaan angka kelahiran dan angka kematian.
Kecepatan pertumbuhan populasi itu di pengaruhi
oleh jumlah kematian sebelum mencapai umur
reproduktif, dan ketahanan hidup pada umur
tertentu.
Penggambaran yang lebih realistik dapat
disajikan dengan piramida biomassa. Biomassa
adalah ukuran berat materi hidup di waktu tertentu.
Untuk mengukur biomassa di tiap tingkat trofik
maka rata-rata berat organisme di tiap tingkat harus
diukur kemudian barulah jumlah organisme di tiap
tingkat diperkirakan. Piramida biomassa berfungsi
menggambarkan
perpaduan
massa
seluruh
organisme di habitat tertentu, dan diukur dalam
gram. Untuk menghindari kerusakan habitat maka
biasanya hanya diambil sedikit sampel dan diukur,
kemudian total seluruh biomassa dihitung. Dengan
pengukuran seperti ini akan didapat informasi yang
lebih akurat tentang apa yang terjadi pada
ekosistem.
2.

Pembahasan

2.1 Biomassa Perikanan Tuna di Laut Banda

model pertumbuhan logistik. Kapasitas
tampung diperkirakan sebesar � = 8 ×
107 ��, dan � = 0,71 per tahun. k merupakan
konstanta positif yang menyatakan tingkat
kelahiran dan kematian populasi ikan, adanya
persaingan antar individu, keterbatasan ruang,
keterbatasan makanan dan keterbatasan sumber
daya lainnya yang dalam hal ini telah ditentukan
sebesar 0,71 per tahun. angka ini bukan angka yang
sembarang dicantumkan, tetapi telah dilalui
penelitian terlebih dahulu.
Apabila (0) = 2 × 10 7 ��, biomassa setahun
kemudian dapat diketahui menggunakan persamaan
(2.1) yang telah diintegralkan melalui
pengintegralan

terpisahkan,

sehingga

diperoleh persamaan (2.2).

K

y ( t )=

( yK(0) −1) e

1+

−kt

(2.2)
Persamaan
(2.2)
merupakan
persamaan yang menunjukkan biomassa
ikan tuna pada waktu tertentu. Oleh
karena itu, untuk mengetahui biomassa
ikan tuna setahun yang akan datang
dengan cara mensubtitusikan nilai k,K,
dan y(0) yang telah diketahui dan
beserta
nilai
t=1,
karena
untuk
mengetahui biomassa setahun dari y(0).
7

Laut Banda merupakan tempat bertelur bagi
68% Ikan Tuna yang ada di Indonesia. Oleh karena
itu, Menteri Kelautan dan Perikanan Republik
Indonesia sangat melarang adanya penangkapan
ikan di Laut Banda.
Perikanan Tuna Laut Banda dimodelkan dengan
persamaan diferensial :
��/��=�y(1−�/�)

(2.1)

Persamaan diferensial tersebut melambangkan laju
pertumbuhan biomassa Ikan Tuna yang terjadi di
laut Banda. Dari persamaan matematis (2.1) terlihat
bahwa dalam keadaan seimbang, populasi akan
sama dengan daya dukung lingkungan, sedangkan
maksimum pertumbuhan akan terjadi pada kondisi
setengah daya dukung lingkungan.
Pada persamaan (2.1), (�) menyatakan biomassa
(massa total anggota populasi) ikan dalam kilogram
pada saat � (dalam tahun). Nilai dari (�)
merupakan hasil dari pengintegralan
persamaan di atas, yang merupakan

y ( 1 )=

8 ×10
7
8 ×10
1+
−1 e−0,71(1)
2× 107

(

)

7
8 ×10
(
)
y1=
−0.71 t
1+ ( 3 ) e
7

y ( 1 )=

8 ×10
1+1,47493259

y ( 1 )=

8 ×107
2,47493259

y (1 )=32.324 .112,71
Maka, biomassa ikan Tuna di Laut Banda
setahun kemudian adalah 32.324.112,71
kg.
Selain untuk menentukan biomassa
ikan Tuna setahun kemudian, persamaan
(2.2) dapat digunakan untuk mengetahui

Jurnal Matematika Rekayasa

berapa lama waktu yang dibutuhkan
oleh biomassa untuk mencapai jumlah 4
× 107 kg dengan cara :
y (t) =

e−kt

(

K
K
−1 +1
yo

4 × 107=
e−0,71 t

)

(

pencarian sumber yang sesuai. Selain itu,
permodelan ini juga ditunjang dengan alat berupa
aplikasi online medan arah yang bersumber dari
web www.bluffton.edu (Slope and Direction).
Sehingga ditemukan kurva dari grafik solusi medan
arah yang mewakili pertumbuhan ikan tuna sebagai
berikut;

8 x 10 7
8 x 107
−1 +1
2 x 107

)

8 x 107
4 × 10 = −0,71 t
e
( 3 ) +1
7

8 x 107
=e−0,71 t ( 3 )+1
4 ×10 7
2=e−0,71 t ( 3 ) +1
1=e−0,71 t ( 3 )
1 −0,71t
=e
3

Gambar 1. Faktor Pertumbuhan Seimbang
Maka didapatkanlah grafik medan arah yang
merupakan hasil dari rumus fungsi;

dy
=5 y cos (4,5 t−4)
dt

(2.4)

t=1,8
Jadi dapat diketahui bahwa biomassa
ikan Tuna di Laut Banda akan mencapai
jumlah 4 × 107 dalam waktu sekitar 1,8
tahun kemudian. Informasi ini dapat
digunakan untuk menentukan waktu
yang tepat untuk melakukan pemanenan
serta banyaknya ikan yang dipanen agar
jumlah ikan Tuna di Laut Banda tetap
terjaga.
2.2 Model Pertumbuhan Musiman
Pertumbuhan jumlah populasi ikan tuna ini
dapat dinyatakan dalam suatu model persamaan
diferensial dengan menyisipkan faktor-faktor yang
dianggap berpengaruh terhadap pertumbuhan ikan
tuna di Laut Banda antara lain eksploitasi,
kelahiran, dan lingkungannya (suhu, salinitas,
nutrien, dan lain-lain). Maka, hubungan antar
faktor yang mempengaruhi jumlah ikan tuna di
Laut Banda dapat digambarkan dengan rumus;

dy
=k y cos ( rt−∅)
dt
(2.3)
Selain itu, dalam menyatakan permodelan
pertumbuhan ikan tuna dilakukan diskusi dan

Rumus fungsi dan grafik tersebut didapatkan
dari asumsi kelompok (secara random) mengenai
faktor yang dapat mempengaruhi pertumbuhan
jumlah populasi ikan tuna yaitu k yang bernilai 5
dinyatakan sebagai faktor penangkapan, r yang
bernilai 4,5 dinyatakan sebagai faktor kelahiran,
dan ∅ yang bernilai -4 dinyatakan sebagai
faktor lingkungan yang dapat mempengaruhi.
Pada gambar 1 terlihat bahwa grafik kurva berada
pada posisi seimbang. Faktor-faktor yang
mempengaruhi jumlah populasi ikan tuna di Laut
Banda dianggap berada pada intensitas yang
seharusnya dimana kelahiran lebih tinggi dari
eksploitasi dan lingkungan yang memadai yaitu
suhu yang cukup rendah, tersedianya nutrien yang
melimpah, dan lainnya. Hal ini dapat dibuktikan
dengan titik infleksi atau titik belok yang
menunjukkan menurunnya suatu pertumbuhan atau
jumlah populasi pada garis tengah grafik.
Selanjutnya, dibuat suatu permodelan jika
eksploitasi terhadap ikan tuna di Laut Banda
dilakukan secara besar-besaran, dengan mengubah
nilai eksploitasi lebih besar daripada angka
natalitas (kelahiran), maka didapatkanlah;

Jurnal Matematika Rekayasa

Maka didapatkanlah sebuah grafik dari rumus
fungsi;

dy
=5 y cos (4,5 t−3)
dt
(2.6)

Gambar 2. Nilai k diperbesar
Maka didapatkanlah sebuah grafik dari rumus
fungsi;

dy
=7,5 y cos (4,5 t−4)
dt
(2.5)
Rumus fungsi dan grafik tersebut didapatkan
dari asumsi kelompok (secara random) mengenai
faktor yang dapat mempengaruhi pertumbuhan
jumlah populasi ikan tuna yaitu k yang bernilai 7,5
dinyatakan sebagai faktor penangkapan, r yang
bernilai 4,5 dinyatakan sebagai faktor kelahiran,
dan ∅ yang bernilai -4 dinyatakan sebagai
faktor lingkungan yang dapat mempengaruhi. Pada
gambar 2 terlihat bahwa titik belok terjadi sebelum
garis tengah. Maka dapat diasumsikan bahwa, jika
eksploitasi dilakukan secara berlebihan atau
menggunakan alat tangkap yang tidak ramah
lingkungan dapat menyebabkan populasi ikan tuna
menurun sebelum siklus yang seharusnya.
Selanjutnya, dibuat permodelan jika natalitas
dan eksploitasi seimbang namun lingkungan untuk
tumbuh tidak memadai, dengan memperkecil
∅ , maka dihasilkan;

Gambar 3. Nilai

∅ diperkecil

Rumus fungsi dan grafik tersebut didapatkan dari
asumsi kelompok (secara random) mengenai faktor
yang dapat mempengaruhi pertumbuhan jumlah
populasi ikan tuna yaitu k yang bernilai 5
dinyatakan sebagai faktor penangkapan, r yang
bernilai 4,5 dinyatakan sebagai faktor kelahiran,
dan ∅ yang bernilai -3 dinyatakan sebagai
faktor lingkungan yang dapat mempengaruhi.
Dengan memperkecil nilai
∅ dapat dilihat
bahwa populasi ikan tuna juga dapat menurun
karena lingkungan tempat hidupnya tidak memadai.
Banyak faktor yang dapat mempengaruhi nilai
lingkungan antara lain bencana alam atau
terjadinya kerusakan atau pencemaran pada laut.

Daftar Pustaka
Aprilia, Zefni. 2017. Kestabilan Pertumbuhan
Populasi Ikan Lele dengan Model Verhulst.
Bandar Lampung: Universitas Lampung
Clark C.W. 1976. Mathematical Bioeconomics:
The Optimal Management of Renewable
Resources. Jolin Wiley and Sons. New
York.
Kreyzig E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan.
Edisi Keenam. Jilid 1. Erlangga: Jakarta.
Lestari,Dian. 2009. Model Pemanenan dalam
Menejemen Perikanan. Bogor: Institut
Pertanian Bogor.
Murray J.D. 1993. Mathematical Biology. Second,
Corrected Edition. SpringerVerlag. Berlin.
Heidelberg.
Suharsono. 2003. Kondisi Terumbu Karang di
Kepulauan Banda dan Suksesi Karang di
Bekas Muntahan Lahar Pulau Gunung
Api.Jurnal Pesisir dan Lautan. Vol 5 No 1.
ISSN 1410.7821.
Talib, Ahmad. 2017. Tuna dan Cakalang (Suatu
Tinjauan:
Pengelolaan
Potensi

Jurnal Matematika Rekayasa

Sumberdaya Perairan Indonesia). Ternate :
Faperta UMMU.
Wagiyo, Karsono. Dkk. 2015. Sebaran&Hubungan
Parameter
Reproduksi
Ikan
Tuna
Mandidihang (Thunnus Albacares) dengan
Suhu dan Klorofil-a di Laut Banda. .
Jakarta: Balai Penelitian Perikanan Laut
Widodo, J. 1988. Pengelolaan Sumberdaya
Perikanan Laut. Yogyakarta: Gajah Mada
Press.