Diktat Kuliah 4 Mekanika Bahan
Hukum Hooke
Diktat Kuliah 4
Mekanika Bahan
Ir. Elisabeth Yuniarti, MT
Hubungan Tegangan dan Reg
Untuk merancang struktur yan
pemahaman tentang perilaku me
mengetahui perilaku bahan ini
eksperimen di laboratorium, yang
Setiap badan material/bahan akan
– Deformasi ini disebut elastis
hilang segera setelah beban d
–
Deformasi disebut plastis jika b
Diagram Tegangan dan Rega
egangan (Stress-Strain Diagram)
Sebuah kurva tegangan-regangan
n ti
tipikal pada baja
lunak yang dibebani gaya tarikk uniaksial
un
terlihat
pada gambar 1.
Diagram mulai dengan garis lurus
rus d
dari titik asal O
sampai pada titik A, terdapat hubu
ubungan linier dan
proporsional antara tegangan (σ)) da
dan regangan (ε)
Titik A disebut sebagai batas propor
porsional.
Setelah titik ini, kurva tegangan--regangan mulai
memperlihatkan kemiringan yang
ng tterus mengecil,
sampai pada titik B, dimanaa kkurva menjadi
horizontal.
Mulai titik B, terjadi perpanjangan
ngan spesimen uji tanpa adanya peningkatan tegan
egangan tarik yang
diketahui, membentuk suatu da
dataran hingga titik C. Fenomena ini dikenal
enal dengan leleh
(yielding). Titik B disebut sebaga
agai titik leleh. Tegangan yang terjadi disebut
ut tegangan leleh
(yielding stress) , σy.
Setelah mengalami regangan bes
besar yang terjadi selama leleh pada daerah BC,
BC material baja
mulai mengalami pengerasan
n re
regangan (strain hardening), perpanjangan material
ma
uji pada
daerah ini membutuhkan pening
ningkatan beban tarik. Beban pada akhirnya
ya mencapai nilai
maksimum, dan tegangan yang
ng te
terjadi (pada titik F) disebut Tegangan Batas (Ul
Ultimate Stress),
σU.
Setelah melewati titik F, spesim
simen akan memperlihatkan secara jelas penye
enyempitan lateral
(lateral contract) dan pembentuk
ntukan leher (necking) yang mengarah pada patah
atah (fractur) pada
akhirnya. Pada daerah OB, mat
material pada keadaan elastis. Dapat diberi beban,
beba dihilangkan
beban-nya, dan dibebani kembali
bali sepanjang garis OB tanpa mengubah perilaku.
ku.
Jika pembebanan ditingkatkan
n di
diatas B, maka material berada dalam daerah
ah plastis.
p
Contoh,
pada titik D, penghilangan beban
an aakan mengikuti garis DE yang paralel dengan
n ga
garis elastis linier
awal OA. Hanya sebagian regan
gangan yaitu regangan elastis (elastic strain), εe dikembalikan.
Sementara, bagian lain regangan
gan aakan tetap sebagai regangan permanen yaitu
itu re
regangan plastis
p
(plastic strain), ε .
2
Ketika dibebani kembali dari titik E, respon yang terjadi akan mengikuti garis penghilangan
beban ED ke atas menuju titik D, yaitu titik di mana penghilangan beban dimulai pada siklus
pembebanan. Perilaku material kemudian mengikuti kurva tegangan-regangan asli menuju titik
F. Batas proporsional sekarang adalah titik D, pada tegangan yang lebih tinggi dari batas elastis
asli (titik B).
Hukum “Elastisitas Linier” Hooke
Jika suatu material berperilaku secara elastis dan juga menunjukkan hubungan linier antara
tegangan dan regangan, maka dikatakan material elastis linier (lihat wilayah OA pada gambar
1).
Jenis perilaku ini sangat penting dalam bidang rekayasa karena alasan yang jelas, yaitu dengan
cara merancang struktur berfungsi pada wilayah tersebut, dan menghindari keadaan di mana
struktur berdeformasi permanen akibat leleh.
Hukum Hooke untuk Tegangan Uniaksial
Hubungan linier antara tegangan aksial σ dan regangan aksial ε akibat gaya tarik atau tekan
aksial sederhana :
σ = Eε,
E adalah konstanta proporsional, dikenal sebagai modulus elastisitas material dan merupakan
kemiringan garis OA dalam daerah elastis linier pada hubungan tegangan-regangan. Persamaan
ini dikenal sebagai Hukum Hooke, dinamakan dengan nama ilmuwan Inggris Robert Hooke
(1635-1703). Modulus Elastisitas biasa dinamakan Modulus Young.
Perpanjangan aksial terjadi dibarengi dengan kontraksi lateral (kontraksi terjadi dalam arah
tangensial terhadap arah beban yang diberikan) yang proporsional terhadap regangan aksial
jika material dalam keadaan elastis linier. Perbandingan/rasio regangan ini adalah properti
material yang dikenal dengan rasio Poisson (Poisson’s Ratio) yang diberi simbol ν dan
diekspresikan dengan :
ν =−
regangan lateral
ε'
=−
ε
regangan aksial
3
Tanda minus dimasukkan ke dala
dalam persamaan karena secara normal ε dan ε’ memiliki tanda
berlawanan. Regangan lateral
ral ε’ disebabkan oleh tegangan aksial σ sehingga
se
dapat
diekspresikan dengan :
ε ' = −νε = −νσ /
Hukum Hooke pada Geser
Properti material menyangkut
ut ggeser dapat ditentukan secara eksperimen
en dari uji geser
langsung atau dari uji torsi. Diagr
iagram tegangan geser dan regangan yang diplot
lot dari hasil uji di
atas serupa dengan diagram uji ta
tarik (σ-ε) untuk material yang sama, walaupun
pun berbeda pada
besarannya. Untuk daerah elastis
astis linier awal, tegangan geser τ dan regangan
gan geser γ adalah
proporsional , dan oleh karenanya
anya hukum Hooke pada geser adalah :
τ =Gγ
dengan G adalah Modulus Geser
ser EElastisitas (disebut juga modulus rigiditas/modul
odulus of rigidity)
Hukum Hooke untuk Teganga
angan Bidang
Sekarang kita kaji regangan norm
normal εx, εy, εz pada tegangan bidang (σz = 0)) dalam
da
gambar 2a
berikut.
Tegangan normal σx dan σy mema
emanjangkan atau memendekkan elemen dalam ar
arah x, y, dan z
tetapi tidak menyebabkan distorsi
rsi elemen (gambar 2b).
4
Tegangan geser τxy tidak ada kecen
ecenderungan memanjangkan atau memendekkan
kan elemen dalam
arah x, y, z, dengan kata lain, pan
panjang sisi-sisi elemen tidak berubah seperti ditun
itunjukkan dalam
gambar 2c berikut.
Tegangan geser hanya menyebabk
babkan distorsi elemen sedemikian hingga setiap
ap p
permukaan z
menjadi sebuah rhombus/diamond
mond (parallelogram)
Hukum Hooke untuk Teganga
ngan Uniaksial (tegangan bidang)
Tegangan uniaksial σx tidak han
hanya menghasilkan perpanjangan dalam arah
rah x, tetapi juga
menyebabkan kontraksi laterall ma
masing –masing di arah y dan z.
Menurut Hukum Hooke untuk
tuk tegangan uniaksial, regangan εx pada bidang
bid
tegangan
menyebabkan σx dan σy bersamaa
maan.
Menurut hukum Hooke untukk teg
tegangan uniaxial, regangan εx pada arah x akiba
kibat tegangan σx
sama dengan σx /E. Juga, regang
angan pada arah x akibat tegangan σy (konstraks
raksi lateral) sama
dengan –νσу/E. Maka, regangan
an re
resultan pada arah x adalah :
ε =
σ
−ν
σ
5
Dengan cara yang sama, kita akan mempunyai persamaan berikut :
ε = −ν
σ
+
σ
ε = −ν
σ
−
σ
Regangan geser yang berhubungan dengan tegangan geser oleh hukum Hooke dalam geser
adalah :
γ =
τ
Persamaan tegangan yang dinyatakan dalam regangan di bawah ini dapat diselesaikan secara
simultan untuk :
(ε +νε )
σ =
1 −ν 2
σ =
1 −ν 2
(ε
+ νε
)
τ = γ
Persamaan di atas secara kolektif disebut Hukum Hooke untuk bidang tegangan.
Generalisasi Hukum Hooke untuk tegangan pada umumnya
Jika material berperilaku menurut hukum Hooke, kita dapat peroleh hubungan antara tegangan
normal dan regangan normal dengan menggunakan prosedur yang sama dengan tegangan
bidang.
Regangan yang dihasilkan oleh tegangan yang bekerja secara mandiri dapat dijumlahkan satu
sama lain untuk mendapatkan regangan normal. Maka, kita sampai pada persamaan untuk
regangan normal :
ε =
σ
ε = −ν
ε = −ν
−ν
σ
σ
σ
+
−ν
σ
−ν
σ
−ν
σ
+
σ
σ
6
Persamaan tadi dapat diselesaika
aikan secara simultan untuk tegangan-tegangan
n yang
yan dinyatakan
dalam regangan-regangan, sebaga
bagai berikut :
σ =
σ =
σ =
(1 +ν )(1 − 2ν )
(1 +ν )(1 − 2ν )
[(1 −ν )ε
+ ν (ε + ε
)]
[(1 −ν )ε
+ ν (ε + ε
)]
[(1 −ν )ε
+ν (ε + ε
)]
(1 +ν )(1 − 2ν )
Hubungan antara tegangan gese
geser dan regangan geser secara sederhana dit
ditunjukkan oleh
hukum Hooke untuk geser sebaga
agai berikut :
τ = γ
τ = γ
τ = γ
Contoh Persoalan 1
Pelat ABCD yang homogen diberi
eri b
beban biaksial seperti terlihat pada gambar di bawah.
b
Diketahui σy= σ0 dan bahwa per
perubahan panjang pelat pada arah x harus nol
nol. Jika E adalah
modulus elastisitas dan ν adalah
ah rrasio Poisson, tentukan :
(a) besar σx yang dibu
ibutuhkan, dan
(b) rasio σ0/εy.
7
Solusi Contoh 1
Tegangan-tegangan pada setiap
etiap titik material
komponennya adalah : σx, σy = σ0, τxy = 0
berada dalam bidang
ng tegangan dan
Karena perubahan panjang pelat
lat d
dalam arah x adalah nol, maka : εx = 0
Menurut hukum Hooke tentang
ng te
tegangan bidang :
σ
ε =
Kita mendapatkan :
Sehingga :
σ
−ν
σ
−ν
σ
=0
σx = νσ0
Review hukum Hooke tentang teg
tegangan bidang :
ε =
σ
−ν
σ
=
1
(σ
)
2
0 −ν σ 0 =
σ 0 (1 −ν 2 )
Maka :
σ0
=
ε
1 −ν 2
Contoh Persoalan 2
Blok baja pada gambar di bawah
ah in
ini dibebani dengan tekanan merata pada perm
ermukaannya.
Diketahui bahwa perubahan panja
anjang pada sisi AB adalah 0,03 mm.
8
Tentukan :
(a) Perubahan panjang dari dua sisi lainnya
(b) Tekanan p yang diberikan pada permukaan blok, dengan mengasumsikan E = 200
Gpa dan ν = 0,29
Solusi Contoh 2
Tegangan pada setiap titik material adalah :
Karena :
Diperoleh :
Kemudian :
Tekanan :
9
Diktat Kuliah 4
Mekanika Bahan
Ir. Elisabeth Yuniarti, MT
Hubungan Tegangan dan Reg
Untuk merancang struktur yan
pemahaman tentang perilaku me
mengetahui perilaku bahan ini
eksperimen di laboratorium, yang
Setiap badan material/bahan akan
– Deformasi ini disebut elastis
hilang segera setelah beban d
–
Deformasi disebut plastis jika b
Diagram Tegangan dan Rega
egangan (Stress-Strain Diagram)
Sebuah kurva tegangan-regangan
n ti
tipikal pada baja
lunak yang dibebani gaya tarikk uniaksial
un
terlihat
pada gambar 1.
Diagram mulai dengan garis lurus
rus d
dari titik asal O
sampai pada titik A, terdapat hubu
ubungan linier dan
proporsional antara tegangan (σ)) da
dan regangan (ε)
Titik A disebut sebagai batas propor
porsional.
Setelah titik ini, kurva tegangan--regangan mulai
memperlihatkan kemiringan yang
ng tterus mengecil,
sampai pada titik B, dimanaa kkurva menjadi
horizontal.
Mulai titik B, terjadi perpanjangan
ngan spesimen uji tanpa adanya peningkatan tegan
egangan tarik yang
diketahui, membentuk suatu da
dataran hingga titik C. Fenomena ini dikenal
enal dengan leleh
(yielding). Titik B disebut sebaga
agai titik leleh. Tegangan yang terjadi disebut
ut tegangan leleh
(yielding stress) , σy.
Setelah mengalami regangan bes
besar yang terjadi selama leleh pada daerah BC,
BC material baja
mulai mengalami pengerasan
n re
regangan (strain hardening), perpanjangan material
ma
uji pada
daerah ini membutuhkan pening
ningkatan beban tarik. Beban pada akhirnya
ya mencapai nilai
maksimum, dan tegangan yang
ng te
terjadi (pada titik F) disebut Tegangan Batas (Ul
Ultimate Stress),
σU.
Setelah melewati titik F, spesim
simen akan memperlihatkan secara jelas penye
enyempitan lateral
(lateral contract) dan pembentuk
ntukan leher (necking) yang mengarah pada patah
atah (fractur) pada
akhirnya. Pada daerah OB, mat
material pada keadaan elastis. Dapat diberi beban,
beba dihilangkan
beban-nya, dan dibebani kembali
bali sepanjang garis OB tanpa mengubah perilaku.
ku.
Jika pembebanan ditingkatkan
n di
diatas B, maka material berada dalam daerah
ah plastis.
p
Contoh,
pada titik D, penghilangan beban
an aakan mengikuti garis DE yang paralel dengan
n ga
garis elastis linier
awal OA. Hanya sebagian regan
gangan yaitu regangan elastis (elastic strain), εe dikembalikan.
Sementara, bagian lain regangan
gan aakan tetap sebagai regangan permanen yaitu
itu re
regangan plastis
p
(plastic strain), ε .
2
Ketika dibebani kembali dari titik E, respon yang terjadi akan mengikuti garis penghilangan
beban ED ke atas menuju titik D, yaitu titik di mana penghilangan beban dimulai pada siklus
pembebanan. Perilaku material kemudian mengikuti kurva tegangan-regangan asli menuju titik
F. Batas proporsional sekarang adalah titik D, pada tegangan yang lebih tinggi dari batas elastis
asli (titik B).
Hukum “Elastisitas Linier” Hooke
Jika suatu material berperilaku secara elastis dan juga menunjukkan hubungan linier antara
tegangan dan regangan, maka dikatakan material elastis linier (lihat wilayah OA pada gambar
1).
Jenis perilaku ini sangat penting dalam bidang rekayasa karena alasan yang jelas, yaitu dengan
cara merancang struktur berfungsi pada wilayah tersebut, dan menghindari keadaan di mana
struktur berdeformasi permanen akibat leleh.
Hukum Hooke untuk Tegangan Uniaksial
Hubungan linier antara tegangan aksial σ dan regangan aksial ε akibat gaya tarik atau tekan
aksial sederhana :
σ = Eε,
E adalah konstanta proporsional, dikenal sebagai modulus elastisitas material dan merupakan
kemiringan garis OA dalam daerah elastis linier pada hubungan tegangan-regangan. Persamaan
ini dikenal sebagai Hukum Hooke, dinamakan dengan nama ilmuwan Inggris Robert Hooke
(1635-1703). Modulus Elastisitas biasa dinamakan Modulus Young.
Perpanjangan aksial terjadi dibarengi dengan kontraksi lateral (kontraksi terjadi dalam arah
tangensial terhadap arah beban yang diberikan) yang proporsional terhadap regangan aksial
jika material dalam keadaan elastis linier. Perbandingan/rasio regangan ini adalah properti
material yang dikenal dengan rasio Poisson (Poisson’s Ratio) yang diberi simbol ν dan
diekspresikan dengan :
ν =−
regangan lateral
ε'
=−
ε
regangan aksial
3
Tanda minus dimasukkan ke dala
dalam persamaan karena secara normal ε dan ε’ memiliki tanda
berlawanan. Regangan lateral
ral ε’ disebabkan oleh tegangan aksial σ sehingga
se
dapat
diekspresikan dengan :
ε ' = −νε = −νσ /
Hukum Hooke pada Geser
Properti material menyangkut
ut ggeser dapat ditentukan secara eksperimen
en dari uji geser
langsung atau dari uji torsi. Diagr
iagram tegangan geser dan regangan yang diplot
lot dari hasil uji di
atas serupa dengan diagram uji ta
tarik (σ-ε) untuk material yang sama, walaupun
pun berbeda pada
besarannya. Untuk daerah elastis
astis linier awal, tegangan geser τ dan regangan
gan geser γ adalah
proporsional , dan oleh karenanya
anya hukum Hooke pada geser adalah :
τ =Gγ
dengan G adalah Modulus Geser
ser EElastisitas (disebut juga modulus rigiditas/modul
odulus of rigidity)
Hukum Hooke untuk Teganga
angan Bidang
Sekarang kita kaji regangan norm
normal εx, εy, εz pada tegangan bidang (σz = 0)) dalam
da
gambar 2a
berikut.
Tegangan normal σx dan σy mema
emanjangkan atau memendekkan elemen dalam ar
arah x, y, dan z
tetapi tidak menyebabkan distorsi
rsi elemen (gambar 2b).
4
Tegangan geser τxy tidak ada kecen
ecenderungan memanjangkan atau memendekkan
kan elemen dalam
arah x, y, z, dengan kata lain, pan
panjang sisi-sisi elemen tidak berubah seperti ditun
itunjukkan dalam
gambar 2c berikut.
Tegangan geser hanya menyebabk
babkan distorsi elemen sedemikian hingga setiap
ap p
permukaan z
menjadi sebuah rhombus/diamond
mond (parallelogram)
Hukum Hooke untuk Teganga
ngan Uniaksial (tegangan bidang)
Tegangan uniaksial σx tidak han
hanya menghasilkan perpanjangan dalam arah
rah x, tetapi juga
menyebabkan kontraksi laterall ma
masing –masing di arah y dan z.
Menurut Hukum Hooke untuk
tuk tegangan uniaksial, regangan εx pada bidang
bid
tegangan
menyebabkan σx dan σy bersamaa
maan.
Menurut hukum Hooke untukk teg
tegangan uniaxial, regangan εx pada arah x akiba
kibat tegangan σx
sama dengan σx /E. Juga, regang
angan pada arah x akibat tegangan σy (konstraks
raksi lateral) sama
dengan –νσу/E. Maka, regangan
an re
resultan pada arah x adalah :
ε =
σ
−ν
σ
5
Dengan cara yang sama, kita akan mempunyai persamaan berikut :
ε = −ν
σ
+
σ
ε = −ν
σ
−
σ
Regangan geser yang berhubungan dengan tegangan geser oleh hukum Hooke dalam geser
adalah :
γ =
τ
Persamaan tegangan yang dinyatakan dalam regangan di bawah ini dapat diselesaikan secara
simultan untuk :
(ε +νε )
σ =
1 −ν 2
σ =
1 −ν 2
(ε
+ νε
)
τ = γ
Persamaan di atas secara kolektif disebut Hukum Hooke untuk bidang tegangan.
Generalisasi Hukum Hooke untuk tegangan pada umumnya
Jika material berperilaku menurut hukum Hooke, kita dapat peroleh hubungan antara tegangan
normal dan regangan normal dengan menggunakan prosedur yang sama dengan tegangan
bidang.
Regangan yang dihasilkan oleh tegangan yang bekerja secara mandiri dapat dijumlahkan satu
sama lain untuk mendapatkan regangan normal. Maka, kita sampai pada persamaan untuk
regangan normal :
ε =
σ
ε = −ν
ε = −ν
−ν
σ
σ
σ
+
−ν
σ
−ν
σ
−ν
σ
+
σ
σ
6
Persamaan tadi dapat diselesaika
aikan secara simultan untuk tegangan-tegangan
n yang
yan dinyatakan
dalam regangan-regangan, sebaga
bagai berikut :
σ =
σ =
σ =
(1 +ν )(1 − 2ν )
(1 +ν )(1 − 2ν )
[(1 −ν )ε
+ ν (ε + ε
)]
[(1 −ν )ε
+ ν (ε + ε
)]
[(1 −ν )ε
+ν (ε + ε
)]
(1 +ν )(1 − 2ν )
Hubungan antara tegangan gese
geser dan regangan geser secara sederhana dit
ditunjukkan oleh
hukum Hooke untuk geser sebaga
agai berikut :
τ = γ
τ = γ
τ = γ
Contoh Persoalan 1
Pelat ABCD yang homogen diberi
eri b
beban biaksial seperti terlihat pada gambar di bawah.
b
Diketahui σy= σ0 dan bahwa per
perubahan panjang pelat pada arah x harus nol
nol. Jika E adalah
modulus elastisitas dan ν adalah
ah rrasio Poisson, tentukan :
(a) besar σx yang dibu
ibutuhkan, dan
(b) rasio σ0/εy.
7
Solusi Contoh 1
Tegangan-tegangan pada setiap
etiap titik material
komponennya adalah : σx, σy = σ0, τxy = 0
berada dalam bidang
ng tegangan dan
Karena perubahan panjang pelat
lat d
dalam arah x adalah nol, maka : εx = 0
Menurut hukum Hooke tentang
ng te
tegangan bidang :
σ
ε =
Kita mendapatkan :
Sehingga :
σ
−ν
σ
−ν
σ
=0
σx = νσ0
Review hukum Hooke tentang teg
tegangan bidang :
ε =
σ
−ν
σ
=
1
(σ
)
2
0 −ν σ 0 =
σ 0 (1 −ν 2 )
Maka :
σ0
=
ε
1 −ν 2
Contoh Persoalan 2
Blok baja pada gambar di bawah
ah in
ini dibebani dengan tekanan merata pada perm
ermukaannya.
Diketahui bahwa perubahan panja
anjang pada sisi AB adalah 0,03 mm.
8
Tentukan :
(a) Perubahan panjang dari dua sisi lainnya
(b) Tekanan p yang diberikan pada permukaan blok, dengan mengasumsikan E = 200
Gpa dan ν = 0,29
Solusi Contoh 2
Tegangan pada setiap titik material adalah :
Karena :
Diperoleh :
Kemudian :
Tekanan :
9