Menerapkan Metode Gauss Naif untuk Menye
Menerapkan Metode Gauss Naif
untuk Menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier dengan Tiga
Peubah
Yohannes S.M. Simamora
Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya
Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193
E-mail: simamora@me.purbaya.ac.id
1
Pendahuluan
Diberikan sistem persamaan linier dengan tiga peubah:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
(1)
(2)
(3)
dengan x1 , x2 dan x3 adalah peubah, a11 . . . a33 koefisien, dan b1 . . . b3 konstanta. Penerapan metode Gauss naif untuk mencari solusi (1)-(3) adalah
dengan cara
i. eliminasi maju (forward elimination)–mengeliminasi x1 pada (2) dan
x1 dan x2 pada (3) melalui operasi aljabar sedemikian sehingga masingmasing berubah menjadi:
a
˜22 x2 + a
˜23 x3 = ˜b2
a
ˆ33 x3 = ˆb3
(4)
(5)
dengan a
˜22 , a
˜23 , ˜b2 , a
ˆ33 , ˆb3 adalah nilai-nilai koefisien dan konstanta
baru yang diperoleh dari operasi tersebut; dan
ii. substitusi balik(back substitution)–menyubstitusikan nilai x3 pada (5)
ke (4)untuk mendapatkan nilai x2 . Nilai x2 dan x3 tersebut selanjutnya
disubstitusikan ke dalam (1) untuk mendapatkan nilai x1 .
1
2
2.1
Komputasi
Eliminasi Maju
Langkah pertama dalam eliminasi maju adalah mengenolkan a21 dan a31 . Ini
21
dilakukan dengan mengurangkan (2) dengan aa11
kali (1), menghasilkan (4)
dengan:
a21
a11 = 0
a
˜21 = a21 −
a11
a21
a
˜22 = a22 −
a12
a11
a21
a13
a
˜23 = a23 −
a11
˜b2 = b2 − a21 b1 ,
a11
dan mengurangkan (3) dengan
a31
a11
kali (1), menghasilkan:
a
˜32 x2 + a
˜33 x3 = a
˜3 ,
(6)
dengan:
a31
a
˜31 = a31 −
a11 = 0
a11
a31
a12
a
˜32 = a32 −
a11
a31
a13
a
˜33 = a33 −
a11
˜b3 = b3 − a31 b1 .
a11
Dari proses mendapatkan (4) dan (6), tampak bahwa syarat agar operasi
aljabar dapat dilakukan adalah a11 6= 0. Dalam hal a11 = 0, (1) sebagai
poros (pivot) digantikan oleh dengan (2) atau (3), dengan syarat a21 6= 0
atau a31 6= 0.
Langkah kedua adalah mengenolkan koefisien x3 pada (6) dengan cara men-
2
gurangkan (6) dengan
a′32
a′22
kali (4), menghasilkan (5), dengan:
a
˜32
a
˜22 = 0
a
ˆ32 = a
˜32 −
a
˜22
a
˜32
a
ˆ33 = a
˜33 −
a
˜23
a
˜22
˜32 ˜
ˆb3 = ˜b3 − a
b2 .
a
˜22
2.2
Substitusi Balik
Nilai x3 dihitung menggunakan (5):
x3 =
ˆb3
a
ˆ33
Selanjutnya, nilai x3 tersebut disubstitusikan ke dalam (4), menghasilkan:
x2 =
˜b2 − a
˜23 x3
a
˜22
Akhirnya, x1 dapat dihitung dengan mensubstitusikan x3 dan x1 ke dalam
(1):
x1 =
b1 − a12 x2 − a13 x3
.
a11
Pengecekan x1 , x2 dan x3 dapat dilakukan dapat dengan mensubstitusikan
ketiga nilai tersebut ke dalam (1-(3).
3
Contoh
Estimasi solusi sistem persamaan linier:
1.981x1 − 0.338x2 − 1.337x3 = 8.26
0.588x1 − 1.921x2 + 3.21x3 = 26.017
−0.398x1 + 1.456x2 − 1.283x3 = −16.031.
(7)
(8)
(9)
menggunakan metode Gauss naif dan ketelitian 10−3 . Hitung pula persentase
galat sejati ǫt untuk x1 , x2 , dan x3 jika diketahui nilai sejati dari ketiga
peubah tersebut secara berurutan adalah 5,-7, dan 3.
3
Koefisien x1 pada (8) dieliminasi dengan mengurangkan (8) dengan
(7), yaitu:
0.588
a
˜21 = 0.588 −
1.981 = 0
1.981
0.588
a
˜22 = −1.921 −
(−0.338) = −1.821
1.981
0.588
a
˜23 = 3.21 −
(−1.337) = −3.591
1.981
˜b2 = 26.017 − 0.588 8.26 = 23.565,
1.981
0.588
1.981
kali
yang menyusun persamaan dengan dua peubah seperti pada (4):
−1.821x2 − 3.591x3 = 23.565.
(10)
Sementara koefisien x1 pada (9) dieliminasi dengan mengurangkan (9) dengan
−0.398
kali (7), yaitu:
1.981
0.398
a
˜31 = −0.398 − −
1.981 = 0
1.981
0.398
(−0.338) = 1.388
a
˜32 = 1.456 − −
1.981
0.398
a
˜33 = −1.283 − −
(−1.337) = −1.552
1.981
0.398
˜b3 = −16.031 − −
8.26 = −14.371,
1.981
yang menyusun persamaan dengan dua peubah seperti pada (6):
1.338x2 − 1.552x3 = −14.371.
(11)
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi koefisien x2 pada (11) dengan
1.338
mengurangkannya dengan −1.821
kali (10):
1.338
1.821 = 0
a
ˆ32 = 1.338 − −
1.821
1.338
3.591 = 1.185
a
ˆ33 = −1.552 − −
1.821
1.338
ˆb3 = −14.371 − −
23.565 = 3.591.
1.821
4
yang menyusun persamaan dengan satu peubah seperti (5):
1.185x3 = 3.591
(12)
Nilai x3 dihitung menggunakan (12):
x3 =
3.591
= 3.03
1.185
Selanjutnya, nilai x2 dapat dihitung dengan menyubstitusikan nilai x3 ke
dalam (10):
x2 =
−14.371 − (−1.552) (3.591)
= −6.966.
−1.821
Akhirnya, x1 dapat dihitung dengan menyubstitusikan nilai x1 dan x2 ke
dalam (7):
x1 =
8.26 − (−0.338) (−6.966) − (−1.337) (3.03)
= 5.026.
1.981
Persentase galat sejati (true error ) untuk masing-masing estimasi adalah (di
sini galat dimutlakkan):
5 − 5.026
× 100% = 0.52%
ǫt,x1 =
5
−7 − (−6.966)
× 100% = 0.486%
ǫt,x2 =
−7
3 − 3.03
× 100% = 1%.
ǫt,x3 =
3
Kepustakaan
1. Chapra, S.C. & Canale, R.L., Numerical Methods for Engineers. Seventh Edition, McGraw-Hill, 2014
Disclaimer
Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun
konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli
penulisnya.
This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no
any concept or method in this paper that represents the author’s original
contribution.
5
untuk Menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier dengan Tiga
Peubah
Yohannes S.M. Simamora
Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya
Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193
E-mail: simamora@me.purbaya.ac.id
1
Pendahuluan
Diberikan sistem persamaan linier dengan tiga peubah:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
(1)
(2)
(3)
dengan x1 , x2 dan x3 adalah peubah, a11 . . . a33 koefisien, dan b1 . . . b3 konstanta. Penerapan metode Gauss naif untuk mencari solusi (1)-(3) adalah
dengan cara
i. eliminasi maju (forward elimination)–mengeliminasi x1 pada (2) dan
x1 dan x2 pada (3) melalui operasi aljabar sedemikian sehingga masingmasing berubah menjadi:
a
˜22 x2 + a
˜23 x3 = ˜b2
a
ˆ33 x3 = ˆb3
(4)
(5)
dengan a
˜22 , a
˜23 , ˜b2 , a
ˆ33 , ˆb3 adalah nilai-nilai koefisien dan konstanta
baru yang diperoleh dari operasi tersebut; dan
ii. substitusi balik(back substitution)–menyubstitusikan nilai x3 pada (5)
ke (4)untuk mendapatkan nilai x2 . Nilai x2 dan x3 tersebut selanjutnya
disubstitusikan ke dalam (1) untuk mendapatkan nilai x1 .
1
2
2.1
Komputasi
Eliminasi Maju
Langkah pertama dalam eliminasi maju adalah mengenolkan a21 dan a31 . Ini
21
dilakukan dengan mengurangkan (2) dengan aa11
kali (1), menghasilkan (4)
dengan:
a21
a11 = 0
a
˜21 = a21 −
a11
a21
a
˜22 = a22 −
a12
a11
a21
a13
a
˜23 = a23 −
a11
˜b2 = b2 − a21 b1 ,
a11
dan mengurangkan (3) dengan
a31
a11
kali (1), menghasilkan:
a
˜32 x2 + a
˜33 x3 = a
˜3 ,
(6)
dengan:
a31
a
˜31 = a31 −
a11 = 0
a11
a31
a12
a
˜32 = a32 −
a11
a31
a13
a
˜33 = a33 −
a11
˜b3 = b3 − a31 b1 .
a11
Dari proses mendapatkan (4) dan (6), tampak bahwa syarat agar operasi
aljabar dapat dilakukan adalah a11 6= 0. Dalam hal a11 = 0, (1) sebagai
poros (pivot) digantikan oleh dengan (2) atau (3), dengan syarat a21 6= 0
atau a31 6= 0.
Langkah kedua adalah mengenolkan koefisien x3 pada (6) dengan cara men-
2
gurangkan (6) dengan
a′32
a′22
kali (4), menghasilkan (5), dengan:
a
˜32
a
˜22 = 0
a
ˆ32 = a
˜32 −
a
˜22
a
˜32
a
ˆ33 = a
˜33 −
a
˜23
a
˜22
˜32 ˜
ˆb3 = ˜b3 − a
b2 .
a
˜22
2.2
Substitusi Balik
Nilai x3 dihitung menggunakan (5):
x3 =
ˆb3
a
ˆ33
Selanjutnya, nilai x3 tersebut disubstitusikan ke dalam (4), menghasilkan:
x2 =
˜b2 − a
˜23 x3
a
˜22
Akhirnya, x1 dapat dihitung dengan mensubstitusikan x3 dan x1 ke dalam
(1):
x1 =
b1 − a12 x2 − a13 x3
.
a11
Pengecekan x1 , x2 dan x3 dapat dilakukan dapat dengan mensubstitusikan
ketiga nilai tersebut ke dalam (1-(3).
3
Contoh
Estimasi solusi sistem persamaan linier:
1.981x1 − 0.338x2 − 1.337x3 = 8.26
0.588x1 − 1.921x2 + 3.21x3 = 26.017
−0.398x1 + 1.456x2 − 1.283x3 = −16.031.
(7)
(8)
(9)
menggunakan metode Gauss naif dan ketelitian 10−3 . Hitung pula persentase
galat sejati ǫt untuk x1 , x2 , dan x3 jika diketahui nilai sejati dari ketiga
peubah tersebut secara berurutan adalah 5,-7, dan 3.
3
Koefisien x1 pada (8) dieliminasi dengan mengurangkan (8) dengan
(7), yaitu:
0.588
a
˜21 = 0.588 −
1.981 = 0
1.981
0.588
a
˜22 = −1.921 −
(−0.338) = −1.821
1.981
0.588
a
˜23 = 3.21 −
(−1.337) = −3.591
1.981
˜b2 = 26.017 − 0.588 8.26 = 23.565,
1.981
0.588
1.981
kali
yang menyusun persamaan dengan dua peubah seperti pada (4):
−1.821x2 − 3.591x3 = 23.565.
(10)
Sementara koefisien x1 pada (9) dieliminasi dengan mengurangkan (9) dengan
−0.398
kali (7), yaitu:
1.981
0.398
a
˜31 = −0.398 − −
1.981 = 0
1.981
0.398
(−0.338) = 1.388
a
˜32 = 1.456 − −
1.981
0.398
a
˜33 = −1.283 − −
(−1.337) = −1.552
1.981
0.398
˜b3 = −16.031 − −
8.26 = −14.371,
1.981
yang menyusun persamaan dengan dua peubah seperti pada (6):
1.338x2 − 1.552x3 = −14.371.
(11)
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi koefisien x2 pada (11) dengan
1.338
mengurangkannya dengan −1.821
kali (10):
1.338
1.821 = 0
a
ˆ32 = 1.338 − −
1.821
1.338
3.591 = 1.185
a
ˆ33 = −1.552 − −
1.821
1.338
ˆb3 = −14.371 − −
23.565 = 3.591.
1.821
4
yang menyusun persamaan dengan satu peubah seperti (5):
1.185x3 = 3.591
(12)
Nilai x3 dihitung menggunakan (12):
x3 =
3.591
= 3.03
1.185
Selanjutnya, nilai x2 dapat dihitung dengan menyubstitusikan nilai x3 ke
dalam (10):
x2 =
−14.371 − (−1.552) (3.591)
= −6.966.
−1.821
Akhirnya, x1 dapat dihitung dengan menyubstitusikan nilai x1 dan x2 ke
dalam (7):
x1 =
8.26 − (−0.338) (−6.966) − (−1.337) (3.03)
= 5.026.
1.981
Persentase galat sejati (true error ) untuk masing-masing estimasi adalah (di
sini galat dimutlakkan):
5 − 5.026
× 100% = 0.52%
ǫt,x1 =
5
−7 − (−6.966)
× 100% = 0.486%
ǫt,x2 =
−7
3 − 3.03
× 100% = 1%.
ǫt,x3 =
3
Kepustakaan
1. Chapra, S.C. & Canale, R.L., Numerical Methods for Engineers. Seventh Edition, McGraw-Hill, 2014
Disclaimer
Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun
konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli
penulisnya.
This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no
any concept or method in this paper that represents the author’s original
contribution.
5