Aplikasi Model Dua Tahap Optimalisasi Biaya pada Vehicle Routing Problem dengan Permintaan Fuzzy

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Vehicle Routing Problem Vehicle routing problem memiliki peranan pokok dalam manajemen logistik.

  

Vehicle routing problem berperan dalam merancang rute yang optimal yang

  digunakan oleh sejumlah kendaraan yang ditempatkan pada depot untuk melayani sejumlah pelanggan dengan permintaan yang diketahui (Toth dan Vigo, 2002). Laporan ilmiah dari Dantzig dan Ramser (1959) secara luas dianggap sebagai laporan ilmiah pertama tentang vehicle routing. Yang menguraikan tentang rute armada truk pengiriman bensin antara terminal curah dan sejumlah besar stasiun layanan yang dipasok dari terminal.

  Toth dan Vigo menggambarkan vehicle routing problem sebagai suatu graf lengkap = ( , ), di mana = {0, . . . , } adalah himpunan titik dan himpunan busur. Node

  = 1, … , , menunjukkan pelanggan, sedangkan node 0 menunjukkan depot. Terkadang depot digambarkan juga dengan

• 1. Biaya

  non negative /jarak tempuh ( ), terkait dengan setiap busur (

  , ) ∈ dan merupakan biaya travel yang dikeluarkan dalam perjalanan dari titik ke titik . Tujuan vehicle routing problem adalah untuk mengatur rute biaya terendah kendaraan sedemikian hingga:

• Setiap rute dimulai dan diakhiri di depot.
• Setiap pelanggan dikunjungi tepatnya sekali dengan satu kendaraan.
• Jumlah permintaan dari rute kendaraan yang ada tidak melebihi kapasitas kendaraan.

Gambar 2.1 Visualisasi Vehicle Routing Problem

  Kallehauge dkk. (2001) mendefinisikan pemasalahan

• TSP (Traveling

  

Salesman Problem ) sebagai salah satu variasi dari TSP (Traveling Salesman

Problem ), di mana terdapat

   salesman yang mengunjungi sejumlah kota dan tiap kota hanya dikunjungi oleh tepat satu salesman saja. Tiap salesman berawal dari suatu depot dan pada akhir perjalanannya juga harus kembali ke depot tersebut. Permasalahan

• TSP (Traveling Salesman Problem) ini dikenal sebagai Vehicle

  

Routing Problem (VRP). Kallehauge dkk. juga memformulasikan sebuah model

  dari vehicle routing problem sebagai berikut: Fungsi tujuan:

• 1 +1

  Min

  2.1 = � � �

  =1 =0 =0

  Kendala:

• 1

  = 1; � � = 1, 2, … , 2.2

  =1 =0

• 1

  ; � � ≤ = 1, 2, … , 2.3

  =1 =0

• 1

  = 1;

  2.4 � = 1, 2, … ,

  =0

• 1 +1

  = 0;

  2.5 � − � ℎ = 1, 2, … , ; = 1, 2, … . ,

  ℎ ℎ =0 =0

• 1

  = 1;

  2.6 � = 1, 2, … . ,

  , +1, =0

  ∈ {0, 1}; = 0, 2, … , + 1; = 1, 2, … . , 2.7 dengan: = biaya travel antara konsumen dan . = nomor kendaraan. = total permintaan kendaraan sampai konsumen . = nomor pelanggan ( 0 menunjukkan depot). = kapasitas maksimum kendaraan . Persamaan (2.1) menunjukkan fungsi tujuan dari permasalahan ini, yaitu untuk meminimalkan total biaya travel. Persamaan (2.2) menunjukkan bahwa tiap konsumen hanya dapat dilayani oleh satu kendaraan saja. Persamaan (2.3) digunakan untuk membatasi total jumlah permintaan yang dibawa oleh kendaraan , tidak boleh melebihi kapasitas dari kendaraan tersebut. Persamaan (2.4)-(2.6) digunakan untuk memastikan bahwa tiap kendaraan berangkat dari depot 0, dan setelah selesai melayani seorang konsumen, kendaraan tersebut akan pergi, serta pada akhirnya, kendaraan tersebut akan kembali ke depot

• 1.

  Vehicle routing problem mungkin dapat memiliki kendala tambahan yang

  akan mengarah pada varian yang berbeda. Varian tersebut pada dasarnya dibentuk dengan modifikasi pada satu atau lebih elemen dalam vehicle routing problem. Terdapat empat elemen yang membentuk model dari varian tersebut, yaitu: jaringan jalan, kendaraan, pelanggan, dan ketidakpastian pada model. Elemen- elemen ini dapat diatur dengan cara yang berbeda. Seperti misalnya, pertimbangan dalam jaringan jalan, perbedaan kendaraan, time windows, dan perbedaan tipe dari permintaan pelanggan (pick-up atau delivery). Selain itu, beberapa ketidakpastian juga dapat dipertimbangkan, seperti ketidakpastian dalam permintaan dan waktu perjalanan. Beberapa contoh varian dari vehicle routing problem adalah vehicle

  routing problem with time windows , vehicle routing problem with backhaul,

vehicle routing problem with pick-up and delivery , dan stochastic vehicle routing

problem .

2.2 Teori Himpunan Fuzzy

  Dalam mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas, Zadeh mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Fungsi tersebut dapat dikatakan sebagai fungsi keanggotaan dan fungsi tersebut juga dapat dikatakan sebagai derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan. Hal ini untuk selanjutnya disebut sebagai himpunan

  

fuzzy. Maka dapat dikatakan setiap unsur dalam semesta memiliki derajat

keanggotaan tertentu dalam himpunan tersebut.

  Derajat keanggotaan dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam selang tertutup [0,1]. Dengan perkataan lain, fungsi keanggotaan dari suatu himpunan

  fuzzy A ( : à ) dari ke selang [0,1], yaitu à →

  � dalam adalah pemetaan [0,1]. Nilai fungsi (

  Ã ) menyatakan derajat keanggotaan unsur Є dalam

  himpunan fuzzy �. Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, A dan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota himpunan

  

fuzzy tersebut. Maka himpunan tegas juga dapat dikatakan sebagai kejadian

  khusus dari himpunan fuzzy, yaitu himpunan fuzzy yang fungsi keanggotaannya hanya bernilai 0 atau 1 saja. Jadi fungsi keanggotaan dari suatu himpunan tegas dalam semesta adalah pemetaan dari ke himpunan {0,1}.

2.2.1 Fungsi Keanggotaan

  Secara matematis suatu himpunan fuzzy A � dalam semesta dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurut:

  ( ̃ = �� , )�| ∈ � 2.8

  A�

  di mana adalah fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy ̃, yang merupakan

  A�

  suatu pemetaan dari himpunan semesta ke selang tertutup [0,1]. Apabila semesta adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan fuzzy ̃ dinyatakan dengan:

  ( )

  �

  2.9 ̃ = �

  ∈

  di mana lambang ʃ di sini bukan lambang integral seperti dalam kalkulus, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur

  ∈ bersama dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan fuzzy ̃. Apabila semesta adalah himpunan yang diskrit, maka himpunan fuzzy

  ̃ dinyatakan dengan: (

  )

  �

  2.10 ̃ = �

  ∈

  di mana lambang ∑ di sini tidak melambangkan operasi jumlahan seperti dalam aritmatika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur

  ∈ bersama dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan fuzzy ̃.

  Pendukung (support) dari suatu himpunan fuzzy ̃, yang dilambangkan dengan

  ( ̃), adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang mempunyai derajat keanggotaan tidak nol dalam ( ̃), yaitu:

  ( � ̃� = { ∈ | ) > 0} 2.11

  �

  Tinggi (height) dari suatu himpunan fuzzy (

  ̃), yang dilambangkan dengan ( ̃), didefinisikan sebagai:

  { ( � ̃� = sup )} 2.12

  � ∈ Teras (core) dari suatu himpunan fuzzy ( ̃), yang dilambangkan dengan

  ( ̃), adalah himpunan semua unsur dari semestanya yang mempunyai derajat keanggotaannya sama dengan 1, yaitu: (

  � ̃� = { ∈ | ) = 1} 2.13

  �

  Pusat dari suatu himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut: jika nilai purata dari semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan fuzzy itu mencapai nilai maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan fuzzy itu adalah nilai purata tersebut. Jika nilai purata itu tak hingga positif, maka pusat himpunan fuzzy itu adalah yang terkecil di antara semua titik yang mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum. Dan begitu pun sebaliknya jika nilai purata itu tak hingga negatif, maka pusat himpunan fuzzy itu adalah yang terbesar di antara semua titik yang mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum.

  Dua buah himpunan fuzzy ̃ dan � dalam semesta dikatakan sama

  � ̃ = ��, jika dan hanya jika ( (

  ) = ) 2.14

  � �

  untuk setiap ∈ . Himpunan fuzzy ̃ dikatakan merupakan himpunan bagian dari himpunan fuzzy

  �� ̃ ⊆ ��, jika dan hanya jika ( (

  ) ≤ ) 2.15

  � �

  untuk setiap ∈ . Jadi ̃ = � jika dan hanya jika ̃ ⊆ � dan � ⊆ ̃.

  Fungsi keanggotaan trapesium/trapezoidal merupakan salah satu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy yang mempunyai empat buah parameter, yaitu a, b,

  c , d

  ∈ ℝ dengan a < b < c < d, dan dinyatakan dengan trapesium (x; a, b, c, d) dengan aturan: − untuk

  ≤ ≤ ⎧

  − ⎪ 1 untuk

  ≤ ≤ ( ) =

  − ⎨ untuk

  ≤ ≤ ⎪ − 0 untuk lainnya ⎩ Fungsi keanggotaan tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut: − −

  Trapesium( , 1, , 0 ; , , , ) = � � � 2.16

  − − � Berikut gambar yang memperlihatkan fungsi keanggotaan trapesium (x; a, b, c, d).

  ( )

  1 Gambar 2.2 Fungsi Keanggotaan Bilangan Fuzzy Trapezoidal

2.2.2 Penegasan (Defuzzifikasi)

  Input dari proses defuzzifikasi adalah suatu himpunan fuzzy yang diperoleh dari suatu komposisi aturan-aturan fuzzy, sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan pada himpunan fuzzy tersebut. Sehingga jika diberikan suatu himpunan fuzzy dalam range tertentu, maka harus dapat diambil suatu nilai

  crisp tertentu sebagai output. Menurut Kusumadewi (2004), ada beberapa metode

  defuzzifikasi pada komposisi aturan Mamdani. Salah satunya adalah metode

  centroid (Composite Moment). Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan

  cara mengambil titik pusat daerah fuzzy. Secara umum dirumuskan sebagai berikut: Untuk domain kontinu:

  (

  ∫

  )

  =

  2.17 ∫ (

  ) di mana: = nilai domain ke−

  =derajat keanggotaan titik tersebut

  ( )

  = nilai hasil penegasan Untuk domain diskrit:

  . ( ) ∑

  =1

  2.18 =

  ( ) ∑

  =

  di mana: = nilai hasil penegasan (defuzzyfikasi)

  = nilai keluaran pada aturan ke −

  ( ) = derajat keanggotaan nilai keluaran pada aturan ke – = banyaknya aturan yang digunakan

2.2.3 Distribusi Possibility

  Misalkan menjadi variabel yang mengambil nilai-nilai dalam semesta wacana , dengan unsur umum dinotasikan dengan . Maka:

  = 2.19 menandakan bahwa diberi nilai , ∈ .

  Misalkan menjadi subset fuzzy dari yang ditandai dengan fungsi keanggotaan . Kemudian adalah batasan fuzzy pada (atau berhubungan dengan

  ) jika bertindak sebagai kendala elastis pada nilai-nilai yang dapat ditugaskan untuk dalam arti bahwa penugasan nilai untuk memiliki bentuk:

  ( = : ) 2.20 di mana diartikan sebagai derajat yang kendalanya diwakili oleh

  , di mana memenuhi bila ditugaskan untuk . Sama seperti, (2.20) menunjukkan bahwa

  1 ( − ) adalah derajat yang mana kendalanya harus dilebarkan untuk memenuhi tugas untuk .

  Misalkan ( ) menunjukkan batasan fuzzy yang berhubungan dengan . Kemudian, untuk menyatakan bahwa memainkan peran dari batasan fuzzy dalam hubungannya dengan

  , maka dapat ditulis: ( ) = 2.21

  Persamaan bentuk ini disebut persamaan tugas rasional karena hal tersebut menggambarkan penugasan dari himpunan fuzzy (atau relasi fuzzy) dengan batasan yang berhubungan dengan .

  Definisi 1

  Misalkan himpunan bagian kabur dari semesta yang ditandai dengan fungsi keanggotaan , dengan tingkat keanggotaan,

  ( ), diartikan sebagai kecocokan dari dengan konsep yang bertanda .

  Misalkan menjadi variabel yang nilainya diambil dalam , dan misalkan bertindak sebagai batasan fuzzy, ( ), yang berhubungan dengan . Kemudian permasalahan " adalah ", yang diterjemahkan menjadi:

  ( ) = 2.22 menghubungkan distribusi possibility, , dengan Π yang didalilkan sama dengan

  ( ), yaitu: =

  Π ( ) 2.23 Sejalan dengan itu, fungsi distribusi possibility berhubungan dengan

  (atau fungsi distribusi possibility dari ) dinotasikan dengan dan Π didefinisikan sebagai numerik yang sama dengan fungsi keanggotaan

  , yaitu:

  2.24 ≜ dengan demikian ( ), di mana kemungkinan bahwa = , adalah untuk mendalilkan menjadi sama dengan (

  ). Dalam gambaran (2.23), persamaan tugas relasional (2.22) dapat dinyatakan setara dalam bentuk:

  = Π

  2.25 menempatkan bukti bahwa dalil ≜ adalah , yang memiliki efek untuk menghubungkan , di mana (2.23) adalah sama dengan distribusi possibility Π dengan

  . Ketika dinyatakan dalam bentuk (2.25), persamaan tugas relasional akan disebut persamaan tugas possibility, dengan pengertian bahwa diinduksi Π oleh

  .

  a.

  Ukuran possibility Misalkan menjadi distribusi himpunan bagian nonfuzzy dari dan misalkan Π

  possibility yang terhubung dengan variabel yang mengambil nilai dalam .

  Kemudian, ukuran possibility ( ) dari didefinisikan sebagai bilangan dalam

  [0, 1] yang diberikan oleh: (

  ( ) ≜ ) 2.26

  ∈

  di mana ( . Jumlah ini kemudian

  ) adalah fungsi distribusi possibility Π mungkin diartikan sebagai possibility bahwa nilai milik , yaitu:

  ( { ∈ } ≜ ( ) ≜ ) 2.27

  ∈

  Ketika adalah himpunan fuzzy, yang termasuk nilai dari ke adalah tidak berarti.

  Definisi 2

  Misalkan menjadi distribusi himpunan bagian fuzzy dari dan misalkan Π

  possibility yang berhubungan dengan variabel yang mengambil nilai dalam .

  Ukuran possibility ( ) dari didefinisikan dengan:

  ( ( { ℎ } ≜ ( ) ≜ )⋀ ) 2.28

  ∈

  di mana " adalah fungsi adalah " diganti " ∈ " dalam (2.27), keanggotaan dari , dan ⋀ berdiri, seperti biasa, untuk minimal.

  Perlu dicatat bahwa, dalam hal height dari suatu set fuzzy, yang didefinisikan sebagai supremum dari fungsi keanggotaan, (2.27) dapat dinyatakan dengan jelas dengan persamaan:

  ) 2.29 ( ) ≜ ℎ ( ⋂Π b.

  Possibility dan informasi Jika adalah sebuah dalil dari bentuk ≜ adalah yang diterjemahkan ke dalam persamaan tugas possibility:

  = Π

  2.30

  ( )

  di mana adalah himpunan bagian fuzzy dari dan ( ) adalah sifat tersirat dari yang mengambil nilai dalam , maka informasi yang disampaikan oleh ,

  , dari variabel fuzzy ( ), dapat diidentifikasi dengan distribusi possibility, Π

  ( )

  , R(A(X)) dan ( ). Dengan demikian, hubungan antara ( ), Π dinyatakan

  ( )

  oleh:

  2.31 ( ) ≜ Π

  ( )

  di mana: =

  Π � ( )� = 2.32

  ( )

2.3 Program Possibilistic

  Berikut merupakan formulasi program possibilistic. Pertimbangkan masalah program linear berikut: Fungsi tujuan: min

  = Kendala: ≤ ≥ 0, 2.33

  Di mana , … , ) merupakan vektor baris , … , )

  = ( -dimensi, = (

  1

  1

  merupakan vektor kolom , … , ) merupakan vektor kolom

• dimensi, = (

  1

• dimensi dan = � � merupakan matriks x . Bilangan fuzzy L-R

  , ,

  dapat ditentukan dengan sebuah pusat dengan penyebaran kiri dan penyebaran kanan , dan dapat direpresentasikan sebagai =<

  ,

  , , >. diperkirakan sebagai bilangan fuzzy L-R =< , , >.

  Bilangan fuzzy yang membatasi nilai fungsi possibilistic linear didefinisikan oleh prinsip perluasan. Menerapkan prinsip perluasan, misalnya, untuk fungsi tujuan dari permasalahan (2.33), ( , … , ) = , bilangan

  ∑

  1 =1

fuzzy ( , … , ) dengan batasan ( , … , ) didefinisikan oleh fungsi

  1

  1

  keanggotaan berikut: ( ( ), … , ( ) min

  ( ,…, )

  ) = Sup � � 2.34

  1

  

1

  1 1,…,

  Di mana + . Mempertimbangkan fakta bahwa adalah = ⋯ +

  1

  1

  bilangan fuzzy L-R < , , >, bilangan fuzzy ( , … , ) juga menjadi

  1

  bilangan fuzzy L-R, yaitu: ( , … , ) =< , , > 2.35

  � � �

  1 =1 =1 =1

  Persamaan kedua adalah dari non-negatif dalam dari permasalahan (2.33). misalkan ( , … , ) menjadi bilangan fuzzy yang membatasi nilai sisi

  1

  kiri dari kendala ke- dari (2.33), oleh karena itu untuk = 1, … , ,

  ( ) =< , … , , , > 2.36

  � � �

  1 =1 =1 =1

  Catatan 1 Asumsikan dan adalah bilangan fuzzy triangular simmetris sebagai berikut:

  =< , >, =< , > Jika ditetapkan

  ( ) = ( ) = 1 − , kemudian permasalahan (2.33) dirumuskan sebagai permasalahan program linear berikut: Fungsi tujuan:

  � − �

  =1 =1

  Kendala: ,

• =1 =1

  � � ≤ = 1, … ,

  ≥ 0, = 1, … , 2.37

2.4 Metode Saving Matriks

  Metode saving matriks pada hakikatnya adalah metode untuk meminimumkan jarak atau waktu dan ongkos dengan mempertimbangkan kendala-kendala yang ada. Berikut ini langkah-langkah pembentukan rute distribusi dengan menggunakan metode saving matriks, yaitu:

1. Identifikasi Matriks Jarak

  Pada langkah ini, diperlukan jarak antara gudang dan ke masing-masing toko dan jarak antar toko. Untuk menyederhanakan permasalahan, lintasan terpendek digunakan sebagai jarak antar lokasi. Jadi, dengan mengetahui koordinat masing-masing lokasi maka jarak antar dua lokasi bisa dihitung dengan menggunakan rumus jarak standar. Apabila jarak riil antar lokasi diketahui, maka jarak tersebut lebih baik digunakan dibanding dengan jarak teoritis dengan menggunakan rumus. Jarak dari gudang ke masing-masing toko dan jarak antar toko akan digunakan untuk menentukan matriks penghematan (saving matriks) yang akan dikerjakan pada langkah berikutnya.

2. Mengidentifikasi matriks penghematan ( saving matriks)

  Pada langkah ini, diasumsikan bahwa setiap toko akan dikunjungi oleh satu armada secara eksklusif. Saving matriks merepresentasikan penghematan yang bisa direalisasikan dengan menggabungkan dua pelanggan ke dalam satu rute. Untuk perhitungan penghematan jarak dapat mengunakan persamaan:

  ( , ) = ( , ) + ( , ) – ( , ) di mana: ( , ) = Penghematan Jarak ( , ) = Jarak gudang ke toko ( , ) = Jarak gudang ke toko ( , ) = Jarak toko ke toko 3. Mengalokasikan Distributor ke rute

  Dengan menggunakan tabel penghematan jarak, dapat dilakukan pengalokasian toko ke kendaraan atau rute. Pada tahap awal, tiap toko alokasikan ke rute yang berbeda, namun toko-toko tersebut bisa digabungkan sampai pada batas kapasitas truk yang ada. Penggabungan akan dimulai dari nilai penghematan terbesar karena diupayakan memaksimumkan penghematan.