BENTUK STANDARD LINEAR PROGRAMMING
BASIC FEASIBLE SOLUTION
OUTLINE
BENTUK STANDARD
LINEAR
PROGRAMMING
BENTUK STANDARD
LINEAR
PROGRAMMING
DEFINISI DASAR
BASIS FEASIBLE
SOLUTION
DEFINISI DASAR
BASIS FEASIBLE
SOLUTION
BASIC FEASIBLE
SOLUTION
BASIC FEASIBLE
SOLUTION
Tambahan:
Mencari Inverse
Tambahan:
Mencari Inverse
TUJUAN
Memahami konsep matriks basis dan
inverse Memahami konsep pembentukan matriks solusi layak dari sebuah permasalahan linear programming
BENTUK STANDARD
LINEAR PROGRAMMING
Linear Programming dalam bentuk standar
Memaksimumkan (Meminimumkan)
Z = c x + c x + … + c x 1 1 2 2 n n
dengan pembatas
a x + a x + … + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 . a x + a x + … + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 . Ciri-ciri LP dalam bentuk
standar
- Fungsi tujuan memaksimumkan atau meminimumkan
- Semua pembatas dinyatakan dalam persamaan
- Semua variabel keputusan dibatasi sebagai tak negatif
- Konstanta ruas kanan untuk tiap
Ciri-ciri LP dalam bentuk standar
1 Memaksimumkan (Meminimumkan) Z = c x + c x + … + c x 1 1 2 2 n n
2
dengan pembatas
a x + a x + … + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 . a x + a x + … + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 . Notasi matriks-vektor (1)
Maks (Min) Z = cx dgn pembatas
Ax = b x ≥ 0 b ≥ 0 A : matriks (m x n) x : vektor kolom (n x 1) Notasi matriks-vektor (2)
mn m m n n a a a a a a a a a
2 1 2 22 21 1 12 11 A
n x x x
2 1 x
b b 2 1 b
n c c c 2 1
c
Reduksi ke bentuk standar
• Metode simpleks untuk memecahkan
masalah LP memerlukan bahwa masalah dinyatakan dalam bentuk standar.- Tidak semua masalah LP dalam bentuk standar
- – Pembatas pertidaksamaan (inequality
(1)
- Karena bentuk standar memerlukan
semua pembatas harus dinyatakan
dengan dalam persamaan,
pembatas pertidaksamaan harus diubah ke persamaan.
- Ini dilakukan dengan penambahan
variabel baru untuk menunjukkan
Pembatas pertidaksamaan
(2)- 4x 2 10 &
- 4x 2 + x 3 = 10 x 3 ≥ 0
- 5x 2 – x 4 = 18 Variabel yang tak dibatasi
• Dalam LP, adakalanya terdapat nilai
- Karena bentuk standar LP
memerlukan semua variabel adalah
tak negatif, maka variabel yang tak
dibatasi tanda diganti dengan • Suatu solusi layak (feasible solution)
adalah suatu vektor tak negatif x yang memenuhi persamaan Ax = b.- Daerah layak (feasible region), dinyatakan dengan S, adalah himpunan dari semua solusi layak yang mungkin. Secara matematis,
- Suatu solusi optimal (optimal solution) * adalah suatu vektor x yang layak dan nilai * fungsi tujuannya (cx ) lebih besar dari semua solusi layak yang lain.
- * *
- Nilai optimal (optimal value) dari masalah
- Jika suatu LP mempunyai lebih dari satu solusi optimal maka LP disebut mempunyai solusi optimal alternatif (alternate optimal solution).
- Solusi optimal dari masalah LP dikatakan unik (unique optimum) jika hanya terdapat tepat satu solusi optimal.
- Jika suatu masalah LP tidak mempunyai optimum tertentu (finite optimum), yaitu
- Permasalahan matematis utama dalam pemrograman linier adalah mendapatkan solusi dari suatu sistem persamaaan linier yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi tujuan linier.
- diketahui daripada persamaan, maka sistem mempunyai
- Sistem ekivalen (equivalent system)
- – Dua sistem persamaan dikatakan ekivalen jika kedua sistem mempunyai himpunan solusi yang sama.
- Metode untuk memecahkan suatu sistem persamaan adalah mendapatkan suatu sistem ekivalen
- Terdapat dua tipe operasi baris elementer untuk mendapatkan sistem ekivalen
- – Mengalikan sembarang persamaan dalam sistem dengan suatu bilangan positif atau negatif.
- – Menambahkan ke sembarang persamaan dengan suatu konstanta
- – 2x 2<
- – 4x 4 + 2x 5– x 2<
- – x 3<
- – 3x 4 – x 5 = 4 (S 1– 2x 2<
- + x 3
- – 4x 4 + 2x 5 = 2
- + x 3
- x 4 – 3x 5 = 2
- – x – 2x
- – 4x = 6
- Sistem S , S dan S adalah ekivalen,
- Untuk sistem S , x = x = x = 0
- Sistem S disebut sistem kanonik
- Variabel basis (basic variable)
- – Variabel x dikatakan sebagai variabel basis jika i
dalam suatu persamaan ia muncul dengan
koefsien satu pada persamaan tersebut, dan nol pada persamaan yang lain. - Operasi pivot (pivot operation)
- Solusi basis (basic solution)
- – Solusi yang diperoleh dari suatu sistem kanonik dengan menetapkan nilai variabel non basis sama dengan nol dan memecahkan variabel basis.
- Solusi basis layak (basic feasible
• Dengan m pembatas dan n variabel,
jumlah maksimum dari solusi basis
bagi LP dalam bentuk standar adalah terbatas dan diberikan olehPer defnisi, setiap solusi basis layak
- Dari kesimpulan dengan metode grafs:
– Jika terdapat suatu solusi optimal dari model
LP, salah satu titik pojok (corner point) dari daerah layak adalah solusi optimal.- Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa setiap titik pojok dari daerah layak berkaitan dengan suatu solusi basis layak dari persamaan pembatas.
- Pendekatan naif (naïve approach) untuk memecahkan masalah LP (yang mempunyai solusi optimal) dilakukan dengan membangkitkan semua solusi basis layak yang mungkin dengan sistem kanonik dan menentukan solusi basis layak mana yang memberikan nilai fungsi tujuan terbaik.
• Jika fungsi pembatas adalah Ax = B,
maka solusinya adalah dengan- Jika x
- B = basic matrix (basis)
- N = nonbasic matrix disebut variabel basis/
- Komponen x
• Fungsi pembatas sebagai berikut:
x + x ≤ 6- Bentuk standard: x + x + x = 6
- Matriks Pembatas A = [a
- Basis yang mungkin:
• Poin 1, 2, 3, dan 5 merupakan basic
• Poin 4 merupakan solusi basis yang
tidak feasible- 1
- 1 3 1 2
- 1 -1
- Invers matrik 2 x 2 :
- -1
- -1
- -1 Metode Gauss-
- -1
- 1 -1
- Dibuat suatu matrik invers dengan elemen-elemen matrik permisalan sehingga mendapatkan suatu persamaan jika dilakukan perkalian dengan matriknya.
- Perkalian matrik dengan matrik inversnya menghasilkan matrik identitas
- -1
- 1
- Dilakukan OBE pada hingga diperoleh b menukar baris ke i dengan baris ke j ij
- Hitung Cari matrik adjoint dengan terlebih dahulu menentukan matrik kofaktor.
- Matrik adjoint merupakan matrik
- a a
- a a -a a
- c
- -1
- 1
- 1
- c a 5 7 5 7
- -1
- Invers matrik 3 x 3 Sama seperti mencari invers matrik 2 x 2, hanya diperlukan ketelitian yang lebih dibandingkan mencari invers matrik 2 x 2.
- 1 1 1 1 2 1 3
- 1
- -1
2x 1 + 5x 2 ≥ 18 2 ⇒
x 1
x 1
x 1
tanda (1)
variabel yang tak dibatasi tanda (positif atau negatif)
Variabel yang tak dibatasi tanda (2) x + x = 50 1 5 x ≥ 0 1 x tak dibatasi tanda/ unrestricted 5
x = x – x 5 6 7
DEFINISI DASAR
BASIS FEASIBLE SOLUTION
Defnisi dasar (1)
S = {x | Ax = b, x ≥ 0}
Defnisi dasar (2)
Secara matematis,
x S dan cx *
x adalah optimal
≥
cx, x S
Defnisi dasar (3)
PEMECAHAN SISTEM
PERSAMAAN LINIER
Pemecahan Sistem
Persamaan Linier (1)
Pemecahan Sistem
Persamaan Linier (2)
Sistem dengan dua persamaan dengan lima variabel yang tak diketahui
x – 2x + x – 4x + 2x = 2 1 2 3
4
5(S ) 1
x – x – x – 3x – x = 4 1 2 3
4
5 Karena terdapat lebih banyak jumlah variabel yang tak
Pemecahan Sistem
Persamaan Linier (3)
Pemecahan Sistem
Persamaan Linier (4)
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (5) x 1
x 2 – 2x 3
(S 2 )
x 1
x 1
x
Pemecahan Sistem
Persamaan Linier (6)
1
2
3
yaitu solusi bagi satu sistem secara
otomatis memberikan solusi bagi sistem yang lain.3
4
5
6 akan memberikan x = 6, x = 2.
1
2
3
Pemecahan Sistem
Persamaan Linier (7)
Pemecahan Sistem
Persamaan Linier (8)
solution)
Pemecahan Sistem
Persamaan Linier (9)
! !
!
m n m n m n
Pemecahan Sistem
Persamaan Linier (10)
Pemecahan Sistem
Persamaan Linier (11)
BASIC FEASIBLE SOLUTION
BASIC SOLUTION OF
SYSTEM
XN
XB x dan
XN b
XB
B
1 ≥ 0, maka x disebut BASIC
B FEASIBLE SOLUTION dari sistem tersebut.
B Contoh Kasus (1)
1
2 x ≤ 3
2 x , x ≥ 0
1
2 Contoh Kasus (2)
1
2
3 x + x = 3
2
4 x , x , x , x ≥ 0
1
2
3
4 Contoh Kasus (3)
1 , a
2 , a
3 , a
4 ]
1
1
1
1
1 A
1. B = [a
1 , a 4 ] = 1 1 X B = ,
N x x
1 4 1
B b 1 x x 3 2 x1
6
3
6
3
N x x
Contoh Kasus (3)
1 2 1
B b 1 x x 4 3 x1
1
6
3
3
3
1 , a 2 ] = 1 1 1 X B = ,
2. B = [a
Contoh Kasus (4)
3. B = [a
3
6
5. B = [a 3 , a 4 ] = 1 1
N x x
1 4 2
B b 1 x x 3 1 x1
1
6
3
3
3
2 , a 3 ] = 1 1 1 X B = ,
N x x
1 3 2
B b 1 x x 4 1 x1
1
6
3
4. B = [a 2 , a 4 ] = 1 1 1 X B = ,
feasible solution
Contoh Kasus (5)
Contoh Kasus (6)
3
3
6
3
1
3
4
Tambahan:
Mencari Inverse Matriks Matrik Invers
Suatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. -1 -1 Misalkan 5.5 atau 5 .5 = 1, Demikian juga -1 -1 halnya dengan matrik A.A = A .A = I
2 -5 3 5
A A
1 0
Maka :
AA A A 0 1
a b A dapat di invers jika ad - bc
c d
Maka , A diperoleh dengan rumus :
1. A.A = I
OBE
A I I A 2.
Jordan
1 3. A adj(A)
A A = A A = I
1) Mencari invers dengan defnisi Langkah-langkahnya :
2) Mencari invers dengan OBE (Operasi Baris Elementer)
OBE
A I I A
I A
A I
Langkah-langkah :
dengan memperhatikan defnisi operasi b (p) mengalikan baris ke i dengan p i
berikut: b (p) b pb ij i j ganti baris ke i dengan baris baru yang
Matriks Elementer: (E) Matriks A(nxn) disebut elementer bila dengan
sekali melakukan Operasi Baris Elementer (OBE)
terhadap matriks identitas I n .3 3
1 0 0 1 0 0 1 0 0
I 0 1 0 E 0 5 0 I 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
B 2 (5) B 2 (1/5 )
3 3
1 0 0 0 1 0 1 0 0
I 0 1 0 E 1 0 0 I 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
B 12 B 12
E = matrik elementer, maka EA = matrik baru yang terjadi bila OBE tersebut dilakukan pada matrik A.
Notasi sebagai
OBE
berikut : E …..E E A = I k 2 1 n
A = EA 1 A ( E .....E E ) I k 2 1 n
OB 1 I
= . A ( E .....E E )
k 2 1 E 1 1 1 E E .....E 1 2 k
Contoh : 1 2 3 4
B 12 A
3 4 1 2 0 1 1 2 3 4
E.
2 3
A
Tunjukkan bahwa matrik
1 3
adalah perkalian matrik elementer ! Jawab :
B 12 2 3 1 3 1 3
B (-2) (1) B 21 12
1 3 2 3 0 -3 B (-1/3) 2
1 0 1 0 I 2
0 -3 0 1
Dari penyelesaian dengan OBE yang menghasilkan matrik identitas, maka matrik
Kita memiliki E E E E A = I dengan : 4 3 2 1
1 0 0 1 1 0 1 1
E , E , E , E 1 2 3 4 1 1 0 2 1 0 1
3
Matrik elementer ini menyatakan operasi baris elementer untuk membentuk matrik A menjadi matrik identitas. Dengan demikian : 1 A (E E E E )
4 1 3 1 2 1 1 1 E E E E
3) Mencari Invers dengan Matrik Adjoint Langkah-langkah :
1 A adj(A) A
|A| ≠ 0 -1
Matrik kofaktor dan matrik adjoint a a 11 12 A
a a 21 22 A i j
Jika baris ke i dan kolom j dibuang, maka disebut minor ke ij dari matrik A.
M A ij ij
Kofaktor ke ij dari matrik A adalah :
Matrik kofaktor dari A adalah :
1 1 K ( 1) a a 1 1 2 2 2 2 a a 11 12 a a 21 221 2 a a K ( 1) a a 11 12 12 21 21 a a 21 22
2 1
a a 11 12 K ( 1) a a 21 12 12 a a 21 22
Sehingga diperoleh matrik kofaktor A : a -a
22 21 K
12
11
Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor.
T a -a a -a
22
21
22
12 T adj (A) K
12
11
21
11 Matrik Adj (A) dari A 2x2 =
d c b a
C 11 = M 11 = d C 12 = - M 12 = - c
C 21 = - M 21 = - b C 22 = M 22 = a
=
21 11 C C
adj(A) =
b d
Kesimpulan :
Contoh soal :
1. Carilah matrik invers dari : 3 7
A
2 5
Jawab : 1 Cara 1)
A.A
I
Misalkan :
a b 3 7 a b 1 0 1 A =
3a 7c 3b 7d 1 0
2a 5c 2b 5d 0 1
3a 7c 1 3b 7d
2a 5c 0 2b 5d 1
3a 7c 1 x 2 6a 14c
2
2a 5c 0 x 3 6a 15c
2
2a 5c 2a 5c 10 a
5
3b 7d 0 x2 6b 14d 0 2b 5d 1 x3 6b 15d 3 d
3
d 3
2b 5d 1 b
7 Cara 2)
OB
(A | I) (I | A )
E 1 7 1 b ( 2) 21
1 0
3 7 1 0
b ( )
1 3 3 3 2 5 0 1
2 5 0 1
7 1 7
7
1 b ( ) 12
1 0 3
b (3) 1 0 2 3 3
3
3
1
2
0 1 -2 1
0 - 1
3
3
5 -7 Cara 3) :
1 A
1 A adj(A) A a b d -b Untuk matrik A , maka adj(A) c d
2. Cari matrik invers dengan OBE dari matrik berikut :
1 2 A
3 4 OB
Jawab : -1 (A | I) (I | A )
E 1 2 1 0 1 2 1 0
B (- B (- 21 2
3) 1/2)
3 4 0 1 0 -2 -3 1 1 2 1 0 1 0 -2 1
B (- 12 1 1 1 1
2) 2 - 0 1 1 0 1 1 - 2 2 2
3. Tentukan A -1 dan B -1 pada matrik berikut ini :
1 3 1
2
2
2
3
1 2 12 15 A dan B 3 4 4 5
1
2
4
1 A a d j ( A ) A 2 1
A 1(4) 2(3) 2 0, m aka A m em iliki invers
a b c A d e f
g h i
Contoh soal : 0 1 2 Tentukan invers matrik A 1 0 3 4 -3 8
Jawab:
1 A (0( 1) (0 ( 9)) 1( 1) (8 12) 2( 1) ( 3 0))
(0 9) (8 6) (3 0)
9 14 3
1 x 4 8 2 ( 2) 3 4 1
9
3
7
2
2 A 2 4 1
Carilah invers dari A =
3
2
1
2
3
1
4
4
2
Jawab :C 11 = M 11 = - 5 C 12 = - M 12 = 1
C 13 = M 13 = 1 C 21 = - M 21 = 4
C 22 = M 22 = - 2 C 31 = M 31 = - 4
C 32 = - M 32 = 0 C 33 = M 33 = 2 adj(A) =
=
2
5
4
4
1
2
1
2
1
2
| | ) ( A A adj
A -1 =
|A| = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2
5
4
4
1
2
1
2
=
33 23 13 32 22 12 31 21 11 C C C C C C C C C
2 2 5
2
4
4
dengan melakukan OBE ! Carilah invers dari B =
1
3
2
1
2
3
Jawab :
2
4
4
1
(B | I) = B
13
1
3
2
1
~
1
2
3
1
1
2
3
1
B 21(1)
~
1
3
2
1
1 B
2
1
1
1
1
1
3
1
1
2 1 B 13(-3)
B 23(1) ~
2
2
1 2 3 B 12(-2)
1
1
2
1
2
1
1
1
1
3
2
1(-1) B 3(-1/2)
~
2
2
1
2
2
2
1
= (I | B -1 ) Jadi B -1 =
5
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
5 Cari matrik invers dari Jawab :
OBE
A I I A
B (-
21
2)B (1)
31
B (1) 32 Karena elemen baris