A. Bilangan Rasional ( ℚ) - Eksponen dan Logaritma
Eksponen dan Logaritma
Bilangan Asli (ℕ)
Bilangan Nol
Bilangan Negatif
(1,2,3, ⋯ )
(0)
(⋯ , −3, −2, −1)
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat (ℤ )
5
1
( ; 3 ; 5%; 6,82; ⋯ )
7
2
Bilangan Rasional (ℚ)
Bilangan Irrasional
(√2; 1 + √3; √5 + √7; ⋯ )
Bilangan Real (ℝ)
atau Bilangan Nyata
A. Bilangan Rasional (ℚ)
Definisi (Pengertian)
Bilangan Rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari
𝑎
dua angka (bilangan bulat) atau dapat dinyatakan dengan , dimana 𝑎 merupakan himpunan
𝑏
bilangan bulat dan 𝑏 merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.
dimana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selang (−∞, ∞). Bilangan
Rasional merupakan pecahan-pecahan desimal yang berulang.
Contoh: 𝑥 = 1,6464646464 ⋯ → 100𝑥 = 164,6464646464 ⋯
𝑥 = 1,6464646464 ⋯
99𝑥 = 163
163
𝑥=
99
B. Bilangan Irrasional
Definisi (Pengertian)
Bilangan Irrasional merupakan Bilangan Pecahan yang tidak bisa dibagi atau lebih
𝑎
tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan , dimana 𝑎
𝑏
merupakan himpunan bilangan bulat dan 𝑏 merupakan himpunan bilangan bulat tetapi
tidak sama dengan nol. dimana batasan dari Bilangan Irrasional adalah mulai dari selang
(−∞, ∞). Bilangan Irrasional merupakan pecahan-pecahan desimal yang tidak berulang.
Contoh : 𝜋 = 3,141592653358 ⋯ ; √2 = 1,41421356 ⋯
C. Bilangan Real (ℝ)
Definisi (Pengertian)
Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal, seperti
2,86547 ⋯ atau 3,328184. Bilangan Real meliputi Bilangan Rasional, seperti 42 dan
23
− , dan Bilangan Irrasional, seperti 𝜋 dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah
129
satu titik dalam garis bilangan.
1
D. Perpangkatan
1) Pangkat Bulat Positif
Definisi
Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak 𝑛.
⏟⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑎 , dimana 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ .
𝑎𝑛 = 𝑎
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
Contoh: 23 = 2 ⋅ 2 ⋅2
2) Pangkat Nol
𝑎0 = 1
Contoh: 20 = 1
3) Pangkat Bulat Negatif
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
Contoh: 2−3 =
1
23
=
1
8
E. Sifat-sifat Perpangkatan
1) 𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Contoh: 23 ⋅ 22 = 23+2 = 25 atau 4 ⋅ 8 = 32
2)
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛
Contoh:
23
22
= 23−2 = 21 atau 8 ⋅ 4 = 2
3) (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚⋅𝑛
Contoh: (22 )3 = (4)3 = 64 atau (22 )3 = 22⋅3 = 26 = 64
F. Bilangan Pecahan Berpangkat
𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎
𝑎
( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋯⋅
⏟
𝑏
𝑏 𝑏 𝑏
𝑏
𝑎 𝑛
( ) =
𝑏
𝑎 𝑛
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
𝑎⋅𝑎⋅𝑎⋅⋯⋅𝑎
⏟
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
𝑏⋅𝑏⋅𝑏⋅⋯⋅𝑏
⏟
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
𝑎𝑛
( ) = 𝑛 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑛 ∈ ℝ .
𝑏
𝑏
2 3
2
2
2
8
2 3
23
8
Contoh: ( ) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27 atau (3) = 33 = 27
3
2
G. Eksponen
Definisi (Pengertian)
Eksponen perpangkatan yang ditulis dalam bentuk
𝑎𝑥 = 𝑏
dimana: 𝑎 disebut bilangan pokok
𝑏 disebut hasil
𝑥 disebut variabel (peubah)
𝑎 ≠ 0, 𝑎 ≠ 1, dan 𝑎, 𝑏, 𝑥 ∈ ℝ
Contoh: 3𝑥 = 9
3𝑥 = 32
𝑥=2
H. Fungsi Eksponen
Definisi (Pengertian)
Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 atau 𝑦 = 𝑎 𝑥
𝑎 disebut bilangan pokok, 𝑥 disebut variabel bebas, 𝑦 disebut variabel terikat, 𝑎 > 0,
𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0, dan 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
Contoh: Misalnya untuk menggambar grafik fungsi eksponen 𝑦 = 𝑎 𝑥 . Tentukan terlebih
dahulu nilai 𝑎 nya, misalnya 𝑎 = 2 sehingga 𝑦 = 2𝑥 . Setelah itu misalkan 𝑥 untuk
−2, −1,0, 1, dan 2.
1
Untuk 𝑥 = −2, maka 𝑦 = 2−2 ⇔ 𝑦 = 4
1
Untuk 𝑥 = −1, maka 𝑦 = 2−1 ⇔ 𝑦 =
2
Untuk 𝑥 = 0, maka 𝑦 = 20 ⇔ 𝑦 = 1
Untuk 𝑥 = 1, maka 𝑦 = 21 ⇔ 𝑦 = 2
Untuk 𝑥 = 2, maka 𝑦 = 22 ⇔ 𝑦 = 4
1
1
Sehingga diperoleh titik-titik koordinat (−2, ); (−1, ); (0,1); (1,2); dan (2,4).
4
2
Selanjutnya buatlah daftar nilai 𝑥 dan 𝑦.
𝒙
−2
−1
1
1
𝒚
4
2
Setelah itu buatlah grafiknya
0
1
1
2
3
2
4
I.
Aplikasi Eksponen
Contoh: Seorang peneliti sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri, dari 1 membelah
menjadi 2, dari 2 membelah menjadi 4, dan seterusnya. Satu bakteri membelah
menjadi 𝑟 bakteri setiap menit. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah
bakteri pada akhir 3 menit adalah 81 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui,
berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dalam waktu 10 menit?
Diketahui:Jumlah bakteri pada akhir 3 menit adalah 81 bakteri. (3𝑥 = 81)
Ditanya: Banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dalam waktu 10 menit (10𝑥 = ⋯)?
Jawab: 3𝑥 = 81
3𝑥 = 92
3𝑥 = (32 )2
3𝑥 = 34
𝑥=4
10𝑥 = 104
= 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10
= 100 ⋅ 10 ⋅ 10
= 1000 ⋅ 10
= 10000
J.
Jadi, banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dalam waktu 10 menit adalah 10.000
Bentuk Akar
Definisi (Pengertian)
Akar adalah suatu operasi aritmatika yang merupakan kebalikan (inversi) dari
pemangkatan suatu bilangan, dinotasikan ” √ ”. Misalkan 𝑎 adalah bilangan real dan
𝑛
𝑛
𝑛 ≥ 2 adalah bilangan asli, √𝑎 disebut bentuk akar jika dan hanya jika hasil √𝑎 adalah
bilangan irrasional.
Contoh √0 = 0, √1 = 1, √2 = √2, √3 = √3, √4 = 2, √5 = √5, √6 = √6, √7 = √7
misal: 𝑎 = 𝑏 2 ⋯ (1) jika dan hanya jika √𝑎 = 𝑏 atau 𝑏 = √𝑎 ⋯ (2)
Dari (1) dan (2)
𝑎 = 𝑏 2 dan 𝑏 = √𝑎, maka
𝑎 = (√𝑎)
2
𝑎 = √𝑎2 ⋯ (3) atau √𝑎2 = 𝑎
2
(√𝑎) = 𝑎1
1
2 2
1
[(√𝑎) ] = (𝑎1 )2
1
1
(√𝑎) = 𝑎2
1
2
1
√𝑎 = 𝑎2 jika dan hanya jika √𝑎1 = 𝑎 2
Jika angka 1 diganti 𝑚 dan angka 2 diganti 𝑛, maka
𝑚
𝑛
√𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛
4
1
1
Contoh: √4 = 2 atau √4 = 42 = (22 )2 = 21 = 2
3
2
Contoh: √8 = √23 = 22
K. Operasi pada Bentuk Akar
1) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Bentuk Akar
√𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + 𝑏 = √𝑏 + 𝑎, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √5 = √3 + 2 = √2 + 3
√𝑎 − 𝑏 = √𝑎 − 𝑏, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √1 = √3 − 2 = √3 − 2
√𝑎 + √𝑏 = √𝑎 + √𝑏 = √𝑏 + √𝑎, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √3 + √2 = √3 + √2 = √2 + √3
√𝑎 − √𝑏 = √𝑎 − √𝑏, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √3 − √2 = √3 − √2
𝑎√𝑐 + 𝑏√𝑐 = (𝑎 + 𝑏)√𝑐, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ .
Contoh: 5√3 + 2√3 = (5 + 2)√3 = 7√3
𝑎√𝑐 − 𝑏√𝑐 = (𝑎 − 𝑏)√𝑐, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ .
Contoh: 5√3 − 5√3 = (5 − 2)√3 = 3√3
2) Operasi Perkalian dan Pembagian pada Bentuk Akar
√𝑎 ⋅ 𝑏 = √𝑎 ⋅ √𝑏, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √36 = 6 atau √36 = √9 ⋅ 4 = √9 ⋅ √4 = √32 ⋅ √22 = 3 ⋅ 2 = 6
𝑛
𝑛
𝑛
√(𝑎 ⋅ 𝑏)𝑚 = √𝑎𝑚 ⋅ √𝑏 𝑚 , dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
3
3
3
3
3
3
Contoh: √216 = √(8 ⋅ 27) = √8 ⋅ √27 = √23 ⋅ √33 = 2 ⋅ 3 = 6
𝑎
√𝑏 =
√𝑎
√𝑏
, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
√64
√16
√26
23
= √24 = 22 = 23−2 = 21 = 2
𝑎 ⋅ √𝑏 = 𝑎√𝑏, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √12 = √4 ⋅ 3 = √4 ⋅ √3 = 2 ⋅ √3 = 2√3
𝑎
√𝑏
=𝑎⋅
1
√𝑏
, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
4
Contoh: √ =
3
√4
√3
=
2
√3
= 2⋅
3) Merasionalkan Bentuk Akar
64
Contoh: √4 = 2 atau √4 = √16 =
𝑎
√𝑏
=
𝑎
√𝑏
⋅
√𝑏
√𝑏
1
√3
, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
5
4
Contoh: √ =
𝑎
√𝑏+√𝑐
3
=
Contoh:
𝑎
√𝑏−√𝑐
=
Contoh:
𝑎
√𝑏+√𝑐
2
√5+√3
𝑎
√𝑏−√𝑐
2
√5−√3
√4
√3
⋅
√3
√3
=
⋅
√𝑏−√𝑐
⋅
√𝑏+√𝑐
√𝑏−√𝑐
2
=
=
=
2⋅√3
3
=
2√3
3
, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
√5+√3
√𝑏+√𝑐
2
√4⋅√3
√3⋅√3
⋅
√5−√3
⋅
√5+√3
√5−√3
=
2(√5−√3)
=
2(√5+√3)
√52 −√32
, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
√5−√3
√5+√3
√52 −√32
=
2⋅√3
=
2(√5−√3)
=
2(√5−√3)
= √5 − √3
=
2(√5+√3)
=
2(√5+√3)
= √5 + √3
3⋅1
2
= ⋅
3
5−3
5−3
4) Menyederhanakan Bentuk √(𝒂 + 𝒃) ± 𝟐√𝒂𝒃
√3
1
2
2
= ⋅ √3 = √3
3
3
2
2
Contoh: √8 + 2√15 = √(5 + 3) + 2√(5)(3)
= √5 + 2√5√3 + 3
2
= √(√5) + 2√5√3 + (√3)
= √(√5 + √3)
= √5 + √3
2
2
Contoh: √8 − 2√15 = √(5 + 3) − 2√(5)(3)
= √5 − 2√5√3 + 3
2
= √(√5) − 2√5√3 + (√3)
= √(√5 − √3)
= √5 − √3
2
2
L. Logaritma
Definisi (Pengertian)
Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen (perpangkatan)
𝑎
log 𝑏 = 𝑐 jika dan hanya jika 𝑎𝑐 = 𝑏
dimana: 𝑎 disebut bilangan pokok logaritma
𝑏 disebut angka logaritma
𝑐 disebut nilai logaritma
𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, dan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
catatan:
10
log 𝑎 = log 𝑎
𝑒
log 𝑎 = ln 𝑎, dimana 𝑒 disebut bilangan Euler dan 𝑒 ≈ 2,72
Contoh: 2log 8 = 3 ⇔ 23 = 8
Contoh: 32 = 9 ⇔ 3log 9 = 2
6
M. Fungsi Logaritma
Definisi (Pengertian)
Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh
𝑓(𝑥) = 𝑎log 𝑥 atau 𝑦 = 𝑎log 𝑥
𝑎 disebut bilangan pokok, 𝑥 disebut variabel bebas, 𝑦 disebut variabel terikat, 𝑎 > 0,
𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0, dan 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
Contoh: Misalnya untuk menggambar grafik fungsi logaritma 𝑎log 𝑥 = 𝑦. Tentukan
terlebih dahulu nilai 𝑎 nya, misalnya 𝑎 = 2 sehingga 2log 𝑥 = 𝑦. Setelah itu
1 1
misalkan 𝑥 untuk , , 1, 2, dan 4.
4
2
1
1
1
1
1
Untuk 𝑥 = , maka 2log 4 = 𝑦 ⇔ 2𝑦 = 4
4
2𝑦 = 2−2
𝑦 = −2
1
Untuk 𝑥 = , maka 2log = 𝑦 ⇔ 2𝑦 =
2
2
2
2𝑦 = 2−1
𝑦 = −1
Untuk 𝑥 = 1, maka 2log 1 = 𝑦 ⇔ 2𝑦 = 1
2𝑦 = 20
𝑦=0
Untuk 𝑥 = 2, maka 2log 2 = 𝑦 ⇔ 2𝑦 = 2
2𝑦 = 21
𝑦=1
Untuk 𝑥 = 4, maka 2log 4 = 𝑦 ⇔ 2𝑦 = 4
2𝑦 = 22
𝑦=2
1
1
Sehingga diperoleh titik-titik koordinat ( , −2); ( , −1); (1, 0); (2, 1); dan (4, 2).
4
2
Selanjutnya buatlah daftar nilai 𝑥 dan 𝑦.
1
1
𝒙
4
2
𝒚
−2
−1
Setelah itu buatlah grafiknya
1
0
2
1
7
4
2
N. Sifat-sifat Logaritma
Beberapa sifat yang berlaku pada logaritma sebagai berikut:
1) 𝑎log 𝑎 = 1
2) 𝑎log 1 = 0
3) 𝑎log(𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑎log 𝑏 + 𝑎log 𝑐
4)
5)
6)
7)
8)
𝑏
𝑎
log ( ) = 𝑎log 𝑏 −
𝑐
𝑎
log 𝑏 𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑎log 𝑏
𝑎
𝑎
log 𝑏 =
log 𝑏 =
𝑎𝑚
log 𝑏
𝑛
𝑐
𝑐
𝑏
log 𝑏
𝑎
log 𝑐
log 𝑎
1
log 𝑎
𝑛
= ⋅ 𝑎log 𝑏
𝑚
𝑏
𝑎
9) 𝑎log 𝑏 ⋅ log 𝑐 = log 𝑐
𝑎
10) 𝑎 log 𝑏 = 𝑏
Bukti:
1) 21 = 2 jika dan hanya jika
31 = 3 jika dan hanya jika
41 = 4 jika dan hanya jika
⋮
𝑎1 = 𝑎 jika dan hanya jika
Jadi, 𝑎log 𝑎 = 1
2
log 2 = 1
log 3 = 1
4
log 4 = 1
3
𝑎
log 𝑎 = 1
2) 20 = 1 jika dan hanya jika 2log 1 = 0
30 = 1 jika dan hanya jika 3log 1 = 0
40 = 1 jika dan hanya jika 4log 1 = 0
⋮
𝑎0 = 1 jika dan hanya jika 𝑎log 1 = 0
Jadi, 𝑎log 1 = 0
3)
4)
𝑎
log 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⋯ (1)
𝑎
log 𝑐 = 𝑦 ⇔ 𝑎 𝑦 = 𝑐 ⋯ (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
𝑎 𝑥 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑐 jika dan hanya jika
𝑎 𝑥+𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑐
𝑎
log(𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑥 + 𝑦
𝑎
log(𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑎log 𝑏 +
Jadi, 𝑎log(𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑎log 𝑏 + 𝑎log 𝑐
𝑎
log 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⋯ (1)
log 𝑐 = 𝑦 ⇔ 𝑎 𝑦 = 𝑐 ⋯ (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
𝑎
𝑎𝑥
𝑎𝑦
=
𝑏
𝑐
𝑎 𝑥−𝑦 =
jika dan hanya jika
𝑎
𝑏
Jadi, 𝑎log (𝑐 ) = 𝑎log 𝑏 −
𝑎
𝑏
𝑏
𝑐
log ( ) = 𝑥 − 𝑦
𝑐
𝑏
log ( ) = 𝑎log 𝑏 −
𝑎
𝑐
log 𝑐
8
𝑎
log 𝑐
𝑎
log 𝑐
5)
6)
𝑎
⏟⋅ 𝑏 ⋅ 𝑏 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑏)
log 𝑏 𝑛 = 𝑎log (𝑏
𝑛 faktor
𝑎
=⏟
log 𝑏 + 𝑎log 𝑏 + 𝑎log 𝑏 + ⋯ + 𝑎log 𝑏
= 𝑛 ⋅ 𝑎log 𝑏
Jadi, 𝑎log 𝑏 𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑎log 𝑏
𝑎
log 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥 = 𝑏
terdapat bilangan pokok 𝑐 sedemikian hingga
𝑐
log 𝑎 𝑥 = 𝑐log 𝑏 jika dan hanya jika 𝑥 ⋅ 𝑐log 𝑎 = 𝑐log 𝑏
8)
𝑎
log 𝑏 =
𝑎
=
𝑏
𝑏
𝑏
𝑐
log 𝑏
log 𝑎
log 𝑏
log 𝑎
1
log 𝑎
Jadi, log 𝑏 =
𝑎𝑚
log 𝑏 𝑛 =
𝑎
𝑐
Jadi, 𝑎log 𝑏 =
7)
𝑎𝑚
𝑎𝑚
⏟⋅ 𝑏 ⋅ 𝑏 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑏)
log (𝑏
=𝑛⋅
Jadi,
𝑎
𝑎𝑚
=
=
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
log 𝑏 =
𝑐
𝑐
log 𝑏
log 𝑎
𝑐
log 𝑏
𝑐
log 𝑎
1
= ⏟ log 𝑏 +
=𝑛⋅
𝑥=
𝑏log 𝑎
𝑚
𝑛 faktor
𝑎𝑚
= 𝑛 ⋅ 𝑎 log 𝑏
1
=𝑛⋅ 𝑏
𝑚
9)
𝑛 faktor
⋅
𝑏
log 𝑎
𝑚
𝑚
log 𝑏 + 𝑎 log 𝑏 + ⋯ + 𝑎 log 𝑏
𝑛 faktor
1
⏟
log(𝑎⋅𝑎⋅𝑎⋅⋯⋅𝑎
)
𝑚 faktor
1
𝑏log 𝑎+ 𝑏log 𝑎+ 𝑏log 𝑎+⋯+ 𝑏log 𝑎
⏟
𝑏
1
log 𝑎
𝑎
𝑚 faktor
⋅ log 𝑏
log 𝑏 =
𝑛
𝑚
⋅ 𝑎log 𝑏
log 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⋯ (1)
𝑏
log 𝑐 = 𝑦 ⇔ 𝑏 𝑦 = 𝑐 ⋯ (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
𝑎
log 𝑏 ⋅ 𝑏log 𝑐 = 𝑎log 𝑏 ⋅ 𝑏log 𝑏 𝑦
= 𝑎log 𝑏 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑏log 𝑏
= 𝑎log 𝑏 ⋅ 𝑦 ⋅ 1
= 𝑎log 𝑏 ⋅ 𝑦
= 𝑦 ⋅ 𝑎log 𝑏
= 𝑎log 𝑏 𝑦
= 𝑎log 𝑐
9
Jadi, 𝑎log 𝑏 ⋅ 𝑏log 𝑐 = 𝑎log 𝑐
10)
𝑎
log 𝑏 = 𝑐 ⋯ (1) ⇔ 𝑎𝑐 = 𝑏 ⋯ (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
𝑎
𝑎𝑐 = 𝑏 ⇔ 𝑎 log 𝑏 = 𝑏
𝑎
Jadi, 𝑎 log 𝑏 = 𝑏
O. Aplikasi Logaritma
Tingkat suara atau taraf intensitas 𝑇𝐼 dengan intensitas I diberikan oleh
𝐼
𝑇𝐼 = 10 ⋅ log
𝐼0
Contoh: Sebuah mobil mempunyai taraf intensitas bunyi 80 𝑑𝐵 pada jalan raya. Tentukan
intensitas bunyi mobil tersebut (untuk satuan 𝑊/𝑚2 ) agar dapat didengar oleh
telinga manusia!
Diketahui: 𝑇𝐼 = 80 𝑑𝐵
𝐼0 = 10−12 𝑊/𝑚2
Ditanya: 𝐼 = ⋯?
𝐼
Jawab: 𝑇𝐼 = 10 ⋅ log
80 = 10 ⋅ log
80
10
=
𝐼
10
10−12
𝐼
log
10
𝐼
10−12
10⋅log −12
10
10
𝐼
8 = log
8=
𝐼0
10−12
10
8 = log 𝐼 − log 10−12
8 = 10log 𝐼 − (−12) ⋅ 10log 10
8 = 10log 𝐼 − (−12) ⋅ 1
8 = 10log 𝐼 − (−12)
8 = 10log 𝐼 + 12
8 − 12 = 10log 𝐼
−4 = 10log 𝐼
10
log 𝐼 = −4
10−4 = 𝐼
𝐼 = 10−4 W/𝑚2
Jadi, intensitas bunyi mobil tersebut agar dapat didengar oleh telinga manusia adalah
10−4 W/𝑚2
10
Bilangan Asli (ℕ)
Bilangan Nol
Bilangan Negatif
(1,2,3, ⋯ )
(0)
(⋯ , −3, −2, −1)
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat (ℤ )
5
1
( ; 3 ; 5%; 6,82; ⋯ )
7
2
Bilangan Rasional (ℚ)
Bilangan Irrasional
(√2; 1 + √3; √5 + √7; ⋯ )
Bilangan Real (ℝ)
atau Bilangan Nyata
A. Bilangan Rasional (ℚ)
Definisi (Pengertian)
Bilangan Rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari
𝑎
dua angka (bilangan bulat) atau dapat dinyatakan dengan , dimana 𝑎 merupakan himpunan
𝑏
bilangan bulat dan 𝑏 merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.
dimana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selang (−∞, ∞). Bilangan
Rasional merupakan pecahan-pecahan desimal yang berulang.
Contoh: 𝑥 = 1,6464646464 ⋯ → 100𝑥 = 164,6464646464 ⋯
𝑥 = 1,6464646464 ⋯
99𝑥 = 163
163
𝑥=
99
B. Bilangan Irrasional
Definisi (Pengertian)
Bilangan Irrasional merupakan Bilangan Pecahan yang tidak bisa dibagi atau lebih
𝑎
tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan , dimana 𝑎
𝑏
merupakan himpunan bilangan bulat dan 𝑏 merupakan himpunan bilangan bulat tetapi
tidak sama dengan nol. dimana batasan dari Bilangan Irrasional adalah mulai dari selang
(−∞, ∞). Bilangan Irrasional merupakan pecahan-pecahan desimal yang tidak berulang.
Contoh : 𝜋 = 3,141592653358 ⋯ ; √2 = 1,41421356 ⋯
C. Bilangan Real (ℝ)
Definisi (Pengertian)
Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal, seperti
2,86547 ⋯ atau 3,328184. Bilangan Real meliputi Bilangan Rasional, seperti 42 dan
23
− , dan Bilangan Irrasional, seperti 𝜋 dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah
129
satu titik dalam garis bilangan.
1
D. Perpangkatan
1) Pangkat Bulat Positif
Definisi
Perpangkatan yaitu perkalian bilangan yang sama sebanyak 𝑛.
⏟⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑎 , dimana 𝑎, 𝑛 ∈ ℝ .
𝑎𝑛 = 𝑎
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
Contoh: 23 = 2 ⋅ 2 ⋅2
2) Pangkat Nol
𝑎0 = 1
Contoh: 20 = 1
3) Pangkat Bulat Negatif
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
Contoh: 2−3 =
1
23
=
1
8
E. Sifat-sifat Perpangkatan
1) 𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Contoh: 23 ⋅ 22 = 23+2 = 25 atau 4 ⋅ 8 = 32
2)
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛
Contoh:
23
22
= 23−2 = 21 atau 8 ⋅ 4 = 2
3) (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚⋅𝑛
Contoh: (22 )3 = (4)3 = 64 atau (22 )3 = 22⋅3 = 26 = 64
F. Bilangan Pecahan Berpangkat
𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎
𝑎
( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋯⋅
⏟
𝑏
𝑏 𝑏 𝑏
𝑏
𝑎 𝑛
( ) =
𝑏
𝑎 𝑛
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
𝑎⋅𝑎⋅𝑎⋅⋯⋅𝑎
⏟
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
𝑏⋅𝑏⋅𝑏⋅⋯⋅𝑏
⏟
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
𝑎𝑛
( ) = 𝑛 , dimana 𝑎, 𝑏, 𝑛 ∈ ℝ .
𝑏
𝑏
2 3
2
2
2
8
2 3
23
8
Contoh: ( ) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27 atau (3) = 33 = 27
3
2
G. Eksponen
Definisi (Pengertian)
Eksponen perpangkatan yang ditulis dalam bentuk
𝑎𝑥 = 𝑏
dimana: 𝑎 disebut bilangan pokok
𝑏 disebut hasil
𝑥 disebut variabel (peubah)
𝑎 ≠ 0, 𝑎 ≠ 1, dan 𝑎, 𝑏, 𝑥 ∈ ℝ
Contoh: 3𝑥 = 9
3𝑥 = 32
𝑥=2
H. Fungsi Eksponen
Definisi (Pengertian)
Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 atau 𝑦 = 𝑎 𝑥
𝑎 disebut bilangan pokok, 𝑥 disebut variabel bebas, 𝑦 disebut variabel terikat, 𝑎 > 0,
𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0, dan 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
Contoh: Misalnya untuk menggambar grafik fungsi eksponen 𝑦 = 𝑎 𝑥 . Tentukan terlebih
dahulu nilai 𝑎 nya, misalnya 𝑎 = 2 sehingga 𝑦 = 2𝑥 . Setelah itu misalkan 𝑥 untuk
−2, −1,0, 1, dan 2.
1
Untuk 𝑥 = −2, maka 𝑦 = 2−2 ⇔ 𝑦 = 4
1
Untuk 𝑥 = −1, maka 𝑦 = 2−1 ⇔ 𝑦 =
2
Untuk 𝑥 = 0, maka 𝑦 = 20 ⇔ 𝑦 = 1
Untuk 𝑥 = 1, maka 𝑦 = 21 ⇔ 𝑦 = 2
Untuk 𝑥 = 2, maka 𝑦 = 22 ⇔ 𝑦 = 4
1
1
Sehingga diperoleh titik-titik koordinat (−2, ); (−1, ); (0,1); (1,2); dan (2,4).
4
2
Selanjutnya buatlah daftar nilai 𝑥 dan 𝑦.
𝒙
−2
−1
1
1
𝒚
4
2
Setelah itu buatlah grafiknya
0
1
1
2
3
2
4
I.
Aplikasi Eksponen
Contoh: Seorang peneliti sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri, dari 1 membelah
menjadi 2, dari 2 membelah menjadi 4, dan seterusnya. Satu bakteri membelah
menjadi 𝑟 bakteri setiap menit. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah
bakteri pada akhir 3 menit adalah 81 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui,
berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dalam waktu 10 menit?
Diketahui:Jumlah bakteri pada akhir 3 menit adalah 81 bakteri. (3𝑥 = 81)
Ditanya: Banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dalam waktu 10 menit (10𝑥 = ⋯)?
Jawab: 3𝑥 = 81
3𝑥 = 92
3𝑥 = (32 )2
3𝑥 = 34
𝑥=4
10𝑥 = 104
= 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10
= 100 ⋅ 10 ⋅ 10
= 1000 ⋅ 10
= 10000
J.
Jadi, banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dalam waktu 10 menit adalah 10.000
Bentuk Akar
Definisi (Pengertian)
Akar adalah suatu operasi aritmatika yang merupakan kebalikan (inversi) dari
pemangkatan suatu bilangan, dinotasikan ” √ ”. Misalkan 𝑎 adalah bilangan real dan
𝑛
𝑛
𝑛 ≥ 2 adalah bilangan asli, √𝑎 disebut bentuk akar jika dan hanya jika hasil √𝑎 adalah
bilangan irrasional.
Contoh √0 = 0, √1 = 1, √2 = √2, √3 = √3, √4 = 2, √5 = √5, √6 = √6, √7 = √7
misal: 𝑎 = 𝑏 2 ⋯ (1) jika dan hanya jika √𝑎 = 𝑏 atau 𝑏 = √𝑎 ⋯ (2)
Dari (1) dan (2)
𝑎 = 𝑏 2 dan 𝑏 = √𝑎, maka
𝑎 = (√𝑎)
2
𝑎 = √𝑎2 ⋯ (3) atau √𝑎2 = 𝑎
2
(√𝑎) = 𝑎1
1
2 2
1
[(√𝑎) ] = (𝑎1 )2
1
1
(√𝑎) = 𝑎2
1
2
1
√𝑎 = 𝑎2 jika dan hanya jika √𝑎1 = 𝑎 2
Jika angka 1 diganti 𝑚 dan angka 2 diganti 𝑛, maka
𝑚
𝑛
√𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛
4
1
1
Contoh: √4 = 2 atau √4 = 42 = (22 )2 = 21 = 2
3
2
Contoh: √8 = √23 = 22
K. Operasi pada Bentuk Akar
1) Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Bentuk Akar
√𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + 𝑏 = √𝑏 + 𝑎, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √5 = √3 + 2 = √2 + 3
√𝑎 − 𝑏 = √𝑎 − 𝑏, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √1 = √3 − 2 = √3 − 2
√𝑎 + √𝑏 = √𝑎 + √𝑏 = √𝑏 + √𝑎, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √3 + √2 = √3 + √2 = √2 + √3
√𝑎 − √𝑏 = √𝑎 − √𝑏, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √3 − √2 = √3 − √2
𝑎√𝑐 + 𝑏√𝑐 = (𝑎 + 𝑏)√𝑐, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ .
Contoh: 5√3 + 2√3 = (5 + 2)√3 = 7√3
𝑎√𝑐 − 𝑏√𝑐 = (𝑎 − 𝑏)√𝑐, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ .
Contoh: 5√3 − 5√3 = (5 − 2)√3 = 3√3
2) Operasi Perkalian dan Pembagian pada Bentuk Akar
√𝑎 ⋅ 𝑏 = √𝑎 ⋅ √𝑏, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √36 = 6 atau √36 = √9 ⋅ 4 = √9 ⋅ √4 = √32 ⋅ √22 = 3 ⋅ 2 = 6
𝑛
𝑛
𝑛
√(𝑎 ⋅ 𝑏)𝑚 = √𝑎𝑚 ⋅ √𝑏 𝑚 , dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
3
3
3
3
3
3
Contoh: √216 = √(8 ⋅ 27) = √8 ⋅ √27 = √23 ⋅ √33 = 2 ⋅ 3 = 6
𝑎
√𝑏 =
√𝑎
√𝑏
, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
√64
√16
√26
23
= √24 = 22 = 23−2 = 21 = 2
𝑎 ⋅ √𝑏 = 𝑎√𝑏, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
Contoh: √12 = √4 ⋅ 3 = √4 ⋅ √3 = 2 ⋅ √3 = 2√3
𝑎
√𝑏
=𝑎⋅
1
√𝑏
, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
4
Contoh: √ =
3
√4
√3
=
2
√3
= 2⋅
3) Merasionalkan Bentuk Akar
64
Contoh: √4 = 2 atau √4 = √16 =
𝑎
√𝑏
=
𝑎
√𝑏
⋅
√𝑏
√𝑏
1
√3
, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
5
4
Contoh: √ =
𝑎
√𝑏+√𝑐
3
=
Contoh:
𝑎
√𝑏−√𝑐
=
Contoh:
𝑎
√𝑏+√𝑐
2
√5+√3
𝑎
√𝑏−√𝑐
2
√5−√3
√4
√3
⋅
√3
√3
=
⋅
√𝑏−√𝑐
⋅
√𝑏+√𝑐
√𝑏−√𝑐
2
=
=
=
2⋅√3
3
=
2√3
3
, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
√5+√3
√𝑏+√𝑐
2
√4⋅√3
√3⋅√3
⋅
√5−√3
⋅
√5+√3
√5−√3
=
2(√5−√3)
=
2(√5+√3)
√52 −√32
, dimana 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
√5−√3
√5+√3
√52 −√32
=
2⋅√3
=
2(√5−√3)
=
2(√5−√3)
= √5 − √3
=
2(√5+√3)
=
2(√5+√3)
= √5 + √3
3⋅1
2
= ⋅
3
5−3
5−3
4) Menyederhanakan Bentuk √(𝒂 + 𝒃) ± 𝟐√𝒂𝒃
√3
1
2
2
= ⋅ √3 = √3
3
3
2
2
Contoh: √8 + 2√15 = √(5 + 3) + 2√(5)(3)
= √5 + 2√5√3 + 3
2
= √(√5) + 2√5√3 + (√3)
= √(√5 + √3)
= √5 + √3
2
2
Contoh: √8 − 2√15 = √(5 + 3) − 2√(5)(3)
= √5 − 2√5√3 + 3
2
= √(√5) − 2√5√3 + (√3)
= √(√5 − √3)
= √5 − √3
2
2
L. Logaritma
Definisi (Pengertian)
Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen (perpangkatan)
𝑎
log 𝑏 = 𝑐 jika dan hanya jika 𝑎𝑐 = 𝑏
dimana: 𝑎 disebut bilangan pokok logaritma
𝑏 disebut angka logaritma
𝑐 disebut nilai logaritma
𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, dan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
catatan:
10
log 𝑎 = log 𝑎
𝑒
log 𝑎 = ln 𝑎, dimana 𝑒 disebut bilangan Euler dan 𝑒 ≈ 2,72
Contoh: 2log 8 = 3 ⇔ 23 = 8
Contoh: 32 = 9 ⇔ 3log 9 = 2
6
M. Fungsi Logaritma
Definisi (Pengertian)
Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh
𝑓(𝑥) = 𝑎log 𝑥 atau 𝑦 = 𝑎log 𝑥
𝑎 disebut bilangan pokok, 𝑥 disebut variabel bebas, 𝑦 disebut variabel terikat, 𝑎 > 0,
𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0, dan 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
Contoh: Misalnya untuk menggambar grafik fungsi logaritma 𝑎log 𝑥 = 𝑦. Tentukan
terlebih dahulu nilai 𝑎 nya, misalnya 𝑎 = 2 sehingga 2log 𝑥 = 𝑦. Setelah itu
1 1
misalkan 𝑥 untuk , , 1, 2, dan 4.
4
2
1
1
1
1
1
Untuk 𝑥 = , maka 2log 4 = 𝑦 ⇔ 2𝑦 = 4
4
2𝑦 = 2−2
𝑦 = −2
1
Untuk 𝑥 = , maka 2log = 𝑦 ⇔ 2𝑦 =
2
2
2
2𝑦 = 2−1
𝑦 = −1
Untuk 𝑥 = 1, maka 2log 1 = 𝑦 ⇔ 2𝑦 = 1
2𝑦 = 20
𝑦=0
Untuk 𝑥 = 2, maka 2log 2 = 𝑦 ⇔ 2𝑦 = 2
2𝑦 = 21
𝑦=1
Untuk 𝑥 = 4, maka 2log 4 = 𝑦 ⇔ 2𝑦 = 4
2𝑦 = 22
𝑦=2
1
1
Sehingga diperoleh titik-titik koordinat ( , −2); ( , −1); (1, 0); (2, 1); dan (4, 2).
4
2
Selanjutnya buatlah daftar nilai 𝑥 dan 𝑦.
1
1
𝒙
4
2
𝒚
−2
−1
Setelah itu buatlah grafiknya
1
0
2
1
7
4
2
N. Sifat-sifat Logaritma
Beberapa sifat yang berlaku pada logaritma sebagai berikut:
1) 𝑎log 𝑎 = 1
2) 𝑎log 1 = 0
3) 𝑎log(𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑎log 𝑏 + 𝑎log 𝑐
4)
5)
6)
7)
8)
𝑏
𝑎
log ( ) = 𝑎log 𝑏 −
𝑐
𝑎
log 𝑏 𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑎log 𝑏
𝑎
𝑎
log 𝑏 =
log 𝑏 =
𝑎𝑚
log 𝑏
𝑛
𝑐
𝑐
𝑏
log 𝑏
𝑎
log 𝑐
log 𝑎
1
log 𝑎
𝑛
= ⋅ 𝑎log 𝑏
𝑚
𝑏
𝑎
9) 𝑎log 𝑏 ⋅ log 𝑐 = log 𝑐
𝑎
10) 𝑎 log 𝑏 = 𝑏
Bukti:
1) 21 = 2 jika dan hanya jika
31 = 3 jika dan hanya jika
41 = 4 jika dan hanya jika
⋮
𝑎1 = 𝑎 jika dan hanya jika
Jadi, 𝑎log 𝑎 = 1
2
log 2 = 1
log 3 = 1
4
log 4 = 1
3
𝑎
log 𝑎 = 1
2) 20 = 1 jika dan hanya jika 2log 1 = 0
30 = 1 jika dan hanya jika 3log 1 = 0
40 = 1 jika dan hanya jika 4log 1 = 0
⋮
𝑎0 = 1 jika dan hanya jika 𝑎log 1 = 0
Jadi, 𝑎log 1 = 0
3)
4)
𝑎
log 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⋯ (1)
𝑎
log 𝑐 = 𝑦 ⇔ 𝑎 𝑦 = 𝑐 ⋯ (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
𝑎 𝑥 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑐 jika dan hanya jika
𝑎 𝑥+𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑐
𝑎
log(𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑥 + 𝑦
𝑎
log(𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑎log 𝑏 +
Jadi, 𝑎log(𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑎log 𝑏 + 𝑎log 𝑐
𝑎
log 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⋯ (1)
log 𝑐 = 𝑦 ⇔ 𝑎 𝑦 = 𝑐 ⋯ (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
𝑎
𝑎𝑥
𝑎𝑦
=
𝑏
𝑐
𝑎 𝑥−𝑦 =
jika dan hanya jika
𝑎
𝑏
Jadi, 𝑎log (𝑐 ) = 𝑎log 𝑏 −
𝑎
𝑏
𝑏
𝑐
log ( ) = 𝑥 − 𝑦
𝑐
𝑏
log ( ) = 𝑎log 𝑏 −
𝑎
𝑐
log 𝑐
8
𝑎
log 𝑐
𝑎
log 𝑐
5)
6)
𝑎
⏟⋅ 𝑏 ⋅ 𝑏 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑏)
log 𝑏 𝑛 = 𝑎log (𝑏
𝑛 faktor
𝑎
=⏟
log 𝑏 + 𝑎log 𝑏 + 𝑎log 𝑏 + ⋯ + 𝑎log 𝑏
= 𝑛 ⋅ 𝑎log 𝑏
Jadi, 𝑎log 𝑏 𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑎log 𝑏
𝑎
log 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥 = 𝑏
terdapat bilangan pokok 𝑐 sedemikian hingga
𝑐
log 𝑎 𝑥 = 𝑐log 𝑏 jika dan hanya jika 𝑥 ⋅ 𝑐log 𝑎 = 𝑐log 𝑏
8)
𝑎
log 𝑏 =
𝑎
=
𝑏
𝑏
𝑏
𝑐
log 𝑏
log 𝑎
log 𝑏
log 𝑎
1
log 𝑎
Jadi, log 𝑏 =
𝑎𝑚
log 𝑏 𝑛 =
𝑎
𝑐
Jadi, 𝑎log 𝑏 =
7)
𝑎𝑚
𝑎𝑚
⏟⋅ 𝑏 ⋅ 𝑏 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑏)
log (𝑏
=𝑛⋅
Jadi,
𝑎
𝑎𝑚
=
=
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
log 𝑏 =
𝑐
𝑐
log 𝑏
log 𝑎
𝑐
log 𝑏
𝑐
log 𝑎
1
= ⏟ log 𝑏 +
=𝑛⋅
𝑥=
𝑏log 𝑎
𝑚
𝑛 faktor
𝑎𝑚
= 𝑛 ⋅ 𝑎 log 𝑏
1
=𝑛⋅ 𝑏
𝑚
9)
𝑛 faktor
⋅
𝑏
log 𝑎
𝑚
𝑚
log 𝑏 + 𝑎 log 𝑏 + ⋯ + 𝑎 log 𝑏
𝑛 faktor
1
⏟
log(𝑎⋅𝑎⋅𝑎⋅⋯⋅𝑎
)
𝑚 faktor
1
𝑏log 𝑎+ 𝑏log 𝑎+ 𝑏log 𝑎+⋯+ 𝑏log 𝑎
⏟
𝑏
1
log 𝑎
𝑎
𝑚 faktor
⋅ log 𝑏
log 𝑏 =
𝑛
𝑚
⋅ 𝑎log 𝑏
log 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⋯ (1)
𝑏
log 𝑐 = 𝑦 ⇔ 𝑏 𝑦 = 𝑐 ⋯ (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
𝑎
log 𝑏 ⋅ 𝑏log 𝑐 = 𝑎log 𝑏 ⋅ 𝑏log 𝑏 𝑦
= 𝑎log 𝑏 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑏log 𝑏
= 𝑎log 𝑏 ⋅ 𝑦 ⋅ 1
= 𝑎log 𝑏 ⋅ 𝑦
= 𝑦 ⋅ 𝑎log 𝑏
= 𝑎log 𝑏 𝑦
= 𝑎log 𝑐
9
Jadi, 𝑎log 𝑏 ⋅ 𝑏log 𝑐 = 𝑎log 𝑐
10)
𝑎
log 𝑏 = 𝑐 ⋯ (1) ⇔ 𝑎𝑐 = 𝑏 ⋯ (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
𝑎
𝑎𝑐 = 𝑏 ⇔ 𝑎 log 𝑏 = 𝑏
𝑎
Jadi, 𝑎 log 𝑏 = 𝑏
O. Aplikasi Logaritma
Tingkat suara atau taraf intensitas 𝑇𝐼 dengan intensitas I diberikan oleh
𝐼
𝑇𝐼 = 10 ⋅ log
𝐼0
Contoh: Sebuah mobil mempunyai taraf intensitas bunyi 80 𝑑𝐵 pada jalan raya. Tentukan
intensitas bunyi mobil tersebut (untuk satuan 𝑊/𝑚2 ) agar dapat didengar oleh
telinga manusia!
Diketahui: 𝑇𝐼 = 80 𝑑𝐵
𝐼0 = 10−12 𝑊/𝑚2
Ditanya: 𝐼 = ⋯?
𝐼
Jawab: 𝑇𝐼 = 10 ⋅ log
80 = 10 ⋅ log
80
10
=
𝐼
10
10−12
𝐼
log
10
𝐼
10−12
10⋅log −12
10
10
𝐼
8 = log
8=
𝐼0
10−12
10
8 = log 𝐼 − log 10−12
8 = 10log 𝐼 − (−12) ⋅ 10log 10
8 = 10log 𝐼 − (−12) ⋅ 1
8 = 10log 𝐼 − (−12)
8 = 10log 𝐼 + 12
8 − 12 = 10log 𝐼
−4 = 10log 𝐼
10
log 𝐼 = −4
10−4 = 𝐼
𝐼 = 10−4 W/𝑚2
Jadi, intensitas bunyi mobil tersebut agar dapat didengar oleh telinga manusia adalah
10−4 W/𝑚2
10