METODE VOLUME HINGGA UNTUK PERSAMAAN ADVEKSI
METODE VOLUME HINGGA UNTUK PERSAMAAN ADVEKSI
MAKALAH Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
Disusun Oleh: Ardianus Roy Yoman NIM: 103114009
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
METODE VOLUME HINGGA UNTUK PERSAMAAN ADVEKSI
MAKALAH Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
Disusun Oleh: Ardianus Roy Yoman NIM: 103114009
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FINITE VOLUME METHODS FOR THE ADVECTION EQUATION
A PAPER Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program
Written by: Ardianus Roy Yoman Student ID: 103114009
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
MAKALAH METODE VOLUME HINGGA UNTUK PERSAMAAN ADVEKSI
Disusun Oleh: Nama: Ardianus Roy Yoman
NIM: 103114009 Telah disetujui oleh:
Dosen pembimbing makalah
MAKALAH
METODE VOLUME HINGGA UNTUK
PERSAMAAN ADVEKSI
Dipersiapkan dan ditulis oleh: Ardianus Roy Yoman
NIM: 103114009 Telah dipertahankan di depan panitia penguji pada tanggal 25 Juli 2014 dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji Nama Lengkap Tanda Tangan Ketua : Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. ............................
Sekretaris : Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. ............................ Anggota : Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. ............................
Yogyakarta, ..................................2014 Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Dekan
HALAMAN PERSEMBAHAN
Makalah ini dipersembahkan untuk, Alah Bapa, Putra, dan Roh kudus,
"You may never know what results come of your action, but if you do nothing there will be no result"
- Mahatma Gandhi-
Kedua orang tua tercinta, Petronius dan Lilis Suriyani, Saudara/i terkasih Monica Ritha, Bernardus Bayu, dan
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa makalah yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 25 Juli 2014 Ardianus Roy Yoman
ABSTRAK
Persamaan adveksi merupakan persamaan yang bisa digunakan untuk memodelkan aliran fluida secara sederhana. Persamaan adveksi merupakan bagian dari hukum kekekalan, yaitu persamaan diferensial untuk kekekalan kuantitas fluida dimana kecepatan aliran fluidanya tertentu. Dalam makalah ini, persamaan adveksi diselesaikan menggunakan metode volume hingga. Metode volume hingga bekerja dengan cara membagi domain spasial ke dalam sel-sel, kemudian menghitung rata-rata sel untuk masing-masing sel tersebut. Metode volume hingga sering diinterpretasikan secara langsung sebagai aproksimasi beda hingga untuk persamaan diferensial. Menurut metode volume hingga, formulasi flux numeris memberikan pengaruh yang signifikan untuk persamaan tersebut. Oleh sebab itu, flux numeris yang akurat akan menghasikan solusi yang akurat pula untuk persamaan tersebut.
Tulisan ini menguji beberapa formulasi flux numeris yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan adveksi menurut metode volume hingga. Pengujian dilakukan menggunakan simulasi numeris. Analisis hasil simulasi yaitu membandingkan hasil solusi eksak dengan solusi numerisnya juga dipaparkan dalam makalah ini Kata kunci: Persamaan diferensial, hukum kekekalan, persamaan adveksi, metode
volume hingga
ABSTRACT
Advection equation is an equation that can be used to model fluid in a very simple way. Advection equation is a kind of conservation laws, that is the differential equations for the conservation of fluid quantities moving with a certain velocity. In this paper, advection equation is solved using finite volume methods. Finite volume methods work by dividing the spatial domain into a finite number of cells, then aproximates the averages of quantities for each of these cells. Finite volume methods can be interpreted directly as a finite difference approximation to the differential equation. Based on finite volume methods, the formulation of the numerical flux have a significant influence to the equation. Thus an accurate numerical flux yields an accurate solution to the equation.
In this paper, we verify some formulations of numerical flux that can be used to solve the advection equations. We investigate the performance of these numerical fluxes using numerical simulations. Analysis of the simulation results are done by comparing the results of the exact solutions and their numerical solutions. Keywords: Differential equation, conservation laws, advection equation, finite volume method.
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMI S
Yang bertanda tangan dibawah ini, Nama : Ardianus Roy Yoman Nomor Mahasiswa : 103114009
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
METODE VOLUME HINGGA UNTUK PERSAMAAN ADVEKSI
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, dan mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal: 25 Juli 2014 Yang menyatakan Ardianus Roy Yoman
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini.
Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.
Banyak tantangan dalam proses penulisan makalah ini, namun dengan penyertaan Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya makalah ini bisa diselesaikan.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi.
2. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si selaku kaprodi program studi matematika.
3. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing yang dengan sabar dan penuh antusias dalam membimbing selama proses penulisan makalah ini.
4. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. yang telah memberikan banyak masukan selama proses penentuan topik tugas akhir.
5. Y. G Hartono, S.Si., M.Sc yang telah memberikan banyak masukan mengenai topik yang dikerjakan.
6. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan
7. Kedua orang tuaku, Petronius dan Lilis Suriyani, serta kedua kakak dan adikku, Monica Rita, Bernardus Bayu, dan Yulitha Erye Aryani yang selalu mendukungku dengan penuh kasih.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini.
Yogyakarta, 25 Juli 2014 Penulis
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ...................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................... vi ABSTRAK ...................................................................................................... vii ABSTRAK DALAM BAHASA INGGRIS ..................................................... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................ ix KATA PENGANTAR ...................................................................................... x DAFTAR ISI .................................................................................................... xii BAB I PENDAHULUAN ...............................................................................
1 A. Latar Belakang ..............................................................................
1 B. Rumusan Masalah ........................................................................
3 C. Pembatasan Masalah ....................................................................
4 D. Tujuan Penulisan ..........................................................................
4 E. Metode Penulisan ..........................................................................
4 F. Manfaat Penulisan ........................................................................
4 G. Sistematika Penulisan ...................................................................
5
B.
8 Aturan Rantai ................................................................................
C.
9 Integral ..........................................................................................
D.
Jacobian Suatu Fungsi Bernilai Vektor ......................................... 12 E. Hukum Kekekalan ......................................................................... 13 F. Persamaan Diferensial Hiperbolik ................................................ 14 G.
Hukum Kekekalan dan Persamaan Diferensial ............................. 15 H. Domain Dependen dan Range Influence untuk Persamaan Hiperbolik ...................................................................
19 BAB III METODE VOLUME HINGGA .....................................................
22 A. Bentuk Umum untuk Hukum Kekekalan ...................................... 22 B.
Persamaan Adveksi ....................................................................... 25 C. Kondisi CFL .................................................................................. 27 D. Flux Unstable ................................................................................ 30 E. Flux Lax-Friedrichs ....................................................................... 31 F. Flux Richtmyer Dua-Langkah Lax-Wendroff............................... 31 G.
Flux Upwind ................................................................................. 32
BAB IV PERBANDINGAN HASIL BEBERAPA FLUX NUMERIS DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN ADVEKSI ................................................................................................
33 A. Flux Unstable ............................................................................... 33 B.
Flux Lax-Friedrichs ....................................................................... 35
BAB V PENUTUP ..........................................................................................
42 A. Kesimpulan.................................................................................... 42 B.
Saran .............................................................................................. 42 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................
43 LAMPIRAN ................................................................................................
44
BAB I PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dijelaskan latar belakang, rumusan dan pembatasan
masalah, tujuan dan manfaat penulisan, juga akan disertakan sistematika penulisan.
A. Latar Belakang
Adveksi berkaitan erat dengan aktivitas atau pergerakan suatu benda dari suatu tempat tertentu ke tempat lainnya untuk waktu tertentu. Fenomena adveksi yang terjadi di alam sekitar misalnya aliran air dari hulu sungai ke bagian hilir sungai.
Fenomena-fenomena adveksi sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari namun hampir tidak pernah terpikir bahwa fenomena-fenomena tersebut dapat dijelaskan secara metematis. Matematika sungguh-sungguh dapat diterapkan pada fenomena-fenomena adveksi dan dapat dibuat model dari gejala-gejala yang ada dengan matematika kemudian menyelesaikan model tersebut dengan teknik-teknik matematika tertentu. Model yang telah dibuat tersebut diharapkan mampu mewakili kondisi yang sebenarnya, sehingga dengan menyelesaikan model tersebut harapannya diperoleh solusi untuk masalah yang sebenarnya.
Tulisan ini akan mengulas mengenai model aliran secara sederhana. Untuk untuk melakukannya. Persamaan adveksi merupakan model matematika yang bisa digunakan sebagai sarana untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Tulisan ini akan menyelesaikan persamaan adveksi tersebut secara numeris dan secara khusus metode yang digunakan adalah metode volume hingga.
Metode volume hingga berkaitan erat dengan metode beda hingga, bahkan metode ini sering diinterpretasikan secara langsung sebagai aproksimasi beda hingga untuk persamaan diferensial. Metode beda hingga mengaproksimasi titik pada titik-titik grid, sedangkan pada metode volume hingga domainnya dibagi ke dalam sel grid dan mengaproksimasi integral-integral q untuk masing-masing sel grid tersebut (q adalah kuantitas yang mengalir). Grid merupakan potongan kecil dari struktur yang akan dianalisa.
Persamaan adveksi merupakan bentuk khusus dari persamaan diferensial untuk Hukum Kekekalan
q f ( q )
,
t x f dimana q adalah kuantitas, t waktu, x dimensi ruang dan menyatakan debit.Pada persamaan adveksi, kecepatan perambatannya konstan, dengan kata lain persamaan adveksi adalah hukum kekekalan dengan kecepatan konstan. Misal Q
q dengan metode Euler diperoleh,
merupakan pendekatan numeris dari , n n 1 Q Q F F
i i
1 /2
1 / 2 . t x
) ( 2 / 1 2 /
1
1 F F i i n n x t
Q Q ,
dimana . 2 / 1 1 2 / i i
x x x
Dari skema metode volume hingga di atas tampak bahwa nilai 1
n Q
sangat bergantung pada fungsi flux F, sehingga keakuratan dari persamaan tersebut akan sangat tergantung pada fungsi flux F. Semakin baik fungsi flux F yang digunakan, maka pendekatan numerisnya akan semakin baik pula, artinya bahwa error numerisnya sangat kecil. Oleh karena itu, akan diuji beberapa fungsi flux F dan mencari fungsi flux F yang terbaik untuk persamaan adveksi tersebut. Berikut ini macam-macam fungsi flux F:
1. Unstable , 2.
Lax-
Friedrichs,
3. Richtmyer dua-langkah Lax
- –Wendroff, 4. Upwind .
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana menyelesaikan persamaan adveksi menggunakan metode volume hingga?
2. Bagaimana cara menentukan flux terbaik untuk menyelesaikan persamaan adveksi menggunakan metode volume hingga?
C. Pembatasan Masalah
Tulisan ini hanya membahas penyelesaian metode volume hingga dan terbatas pada satu dimensi.
D. Tujuan Penulisan
Tulisan ini bertujuan menentukan fungsi flux F yang terbaik dari keempat formulasi untuk menyelesaikan persamaan adveksi dengan metode volume hingga. Keempat formulasi tersebut adalah unstable flux, Lax-Friedrichs flux, Richtmyer dua-langkah Lax-Wendroff, dan upwind.
E. Metode Penulisan
Metode yang digunakan untuk menulis tulisan ini adalah studi kepustakaan, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik, guna tercapainya tujuan penulisan.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat menyelesaikan persamaan adveksi dengan menggunakan fungsi flux F yang terbaik, sehingga error dari penyelesaian numerisnya akan sangat kecil. Dengan demikian, penyelesaian numerisnya akan dekat dengan penyelesaian eksaknya.
Harapan yang lebih besar adalah flux yang terbaik tersebut bisa digunakan untuk
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH B. RUMUSAN MASALAH C. PEMBATASAN MASALAH D. TUJUAN PENULISAN E. METODE PENULISAN F. MANFAAT PENULISAN G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB II LANDASAN TEORI A. PERSAMAAN DIFERENSIAL B. ATURAN RANTAI C. INTEGRAL D. JACOBIAN SUATU FUNGSI BERNILAI VEKTOR E. HUKUM KEKEKALAN F. PERSAMAAN DIFERENSIAL HIPERBOLIK G. HUKUM KEKEKALAN DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL H. DOMAIN DEPENDEN DAN RANGE INFLUENCE UNTUK PERSAMAAN HIPERBOLIK BAB III METODE VOLUME HINGGA
C. KONDISI CFL D. FLUX UNSTABLE E.
FLUX LAX-FRIEDRICHS F.
FLUX RICHTMYER DUA-LANGKAH LAX-WENDROFF G.
BAB IV PERBANDINGAN HASIL BEBERAPA FLUX NUMERIS DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN ADVEKSI A. FLUX UNSTABLE B. FLUX LAX-FRIEDRICHS C. FLUX RICHTMYER DUA-LANGKAH LAX-WENDROFF D. FLUX UPWIND BAB V PENUTUP A. KESIMPULAN B. SARAN
BAB II LANDASAN TEORI Landasan teori makalah ditulis dalam bab ini, landasan teori tersebut
meliputi: persamaan diferensial, aturan rantai, integral, Jacobian suatu fungsi bernilai vektor, hukum kekekalan, persamaan diferensial hiperbolik, hukum kekekalan dan persamaan diferensial, serta domain dependen dan range influence untuk persamaan hiperbolik.
A. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat fungsi yang tidak diketahui beserta derivatifnya.
Contoh: dy
1.
dx dy
2 x 2.
dx
u u 3.
x y Berdasarkan variabel bebasnya, persamaan diferensial dikelompokan menjadi dua, yaitu persamaan deferensial biasa (PDB) dan persamaan diferensial parsial (PDP). Persamaan diferensial biasa merupakan persamaan diferensial dimana derivatifnya hanya bergantung pada satu variabel bebas. Contoh 1 dan 2 merupakan persamaan diferensial biasa.
Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan diferensial dimana derivatifnya bergantung pada lebih dari satu variabel bebas. Contoh 3 merupakan
y .
persamaan diferensial parsial, dimana derivatifnya bergantung pada x dan
B. Aturan Rantai
Aturan rantai merupakan cara yang digunakan untuk mendiferensialkan fungsi komposisi.
Aturan rantai kasus 1 y f (u ) u g (x ).
Misal dan Jika g dan f adalah fungsi yang terdiferensiasi, maka secara tidak langsung y adalah fungsi terdiferensiasi dari x dan
dy du dy
(2.1)
dx du dx Aturan rantai kasus 2 z f ( y x , )
Andaikan adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi, dengan
x g y h
(t ) dan (t ) t yang terdiferensiasi. Maka z adalah keduanya fungsi dari fungsi dari t yang terdiferensiasi dan
dz z dx z dy
(2.2)
C. Integral
Matematika mempunyai banyak operasi balikan, misalnya penambahan dan pengurangan atau perkalian dan pembagian. Dalam hal pendiferensialan (penurunan), balikannya disebut anti pendiferensialan (anti turunan).
Definisi
Fungsi F adalah suatu anti turunan dari f pada selang
I , jika DF pada , f
I
atau dengan kata lain jika F ' ( x ) f ( x ) untuk semua x dalam
I Disini D .
adalah operasi turunan.
Contoh: 2 Carilah suatu anti turunan dari f ( x ) pada x ( , ).
Penyelesaian: 3 3 2
x x
Fungsi F ( x ) bukan anti turunannya karena turunan x adalah 3 . Tetapi
1 3
1 2 2 F x x F x x x hal ini menyarankan ( ) , yang memenuhi ' ( ) 3 . Dengan
3
3
1 3 demikian, suatu anti turunan dari f adalah x .
3 Anti turunan dinotasikan ... dx . Notasi tersebut menunjukan anti turunan
terhadap x . Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu, anti turunan adalah
Teorema
Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali , maka r 1
1 r x
x dx C
r
1 Bukti: Untuk membuktikan
f ( x ) dx F ( x ) C
cukup dengan membuktikan
D F x C f x x [ ( ) ] ( )
Dalam hal ini, r 1
x
1 r r
D C ( r x 1 ) x x .
r r
1
1 Teorema terbukti.
Integral Tentu
Sebelum melangkah lebih jauh, perhatikan Gambar 2.1 berikut ini. Untuk
y f (x ) [ b a , ],
mengaproksimasi luas di bawah kurva pada selang dilakukan
y y f (x )
[ b a , ] dengan cara membagi interval menjadi n subinterval yang memiliki
b a n
panjang yang sama yaitu ( ) / untuk n kemudian menghitung total jumlah luasan dari masing masing persegi panjang yang dibentuk oleh masing- masing subinterval tersebut. Hal ini bisa dicapai dengan memilih x , x ,..., x 1 n dimana a x , b x , dan n
b a x x (2.3) i i 1 n
untuk i 1 , 2 ,..., n . Andaikan panjang masing-masing subinterval yaitu ( b a ) / n maka x , dinotasikan dengan
x x x i i 1 . (2.4)
y y f (x )
A n A A A 1 2 3 x a x x x 1 2 x n u x b i Gambar 2.2 . Ilustrasi pendekatan integral menggunakan jumlahan Riemann.
Luas daerah dibawah kurva diaproksimasi dengan total luas daerah yang dibentuk oleh masing-masing subinterval, aproksimasi luas di bawah kurva adalah
A A .... A . Hal ini diilustrasikan pada Gambar 2.2. Padahal
1 2 n[ b a , ], Persamaan yang terakhir disebut jumlahan Riemann fungsi f pada interval y f x . sebagai pendekatan luas daerah di bawah kurva (x ) dan di atas sumbu
Semakin banyak subinterval yang digunakan, artinya x maka semakin baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan luasan yang sebenarnya. Dengan demikian,
Luas daerah = lim f ( u ) x (2.6) i x
i
Definisi [ b a , ].Andaikan f fungsi yang terdefinisi pada Integral tentu f dari a sampai b
f x dx b ( ) , adalah
dinotasikan a
b
(2.7) f ( x ) dx lim f ( u ) x . i a
x i
D. Jacobian Suatu Fungsi Bernilai Vektor
Diberikan y f (x ) dari n persamaan dalam n variabel x , x ,..., x yakni 1 2 , n
f ( x )
1
y ,
(2.8)
f ( x ) 2
atau bisa dinyatakan dengan lebih eksplisit, sebagai berikut
y f ( x , x ,..., x ) 1 1 1 2 n
(2.9)
y f ( x , x ,..., x ), n n 1 2 n
dy dy 1 1 dx dx 1 n
J ( x ,..., x ) . (2.10) 1 n dy dy
n n
dx dx
1 n
Determinan dari J adalah determinan Jacobian dan dinotasikan ( y ,..., y ) 1 n
(2.11) J . ( x ,..., x ) 1 n
E. Hukum Kekekalan
Hukum kekekalan merupakan persamaan diferensial hiperbolik yang berbentuk
q ( x , t ) f ( q ( x , t )) , (2.12) t x f
dimana (q ) adalah fungsi flux. Persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi bentuk
q f q q t x ' ( ) . (2.13)
Persamaan tersebut hiperbolik jika Jacobian f ' q ( ) memenuhi kondisi matriks A seperti yang akan dijelaskan pada bagian selanjutnya. Hukum kekekalan (2.12) juga akan dijelaskan lebih lanjut nanti.
F. Persamaan Diferensial Hiperbolik
Persamaan diferensial hiperbolik dapat digunakan untuk memodelkan banyak fenomena yang melibatkan pergerakan gelombang. Perhatikan bentuk persamaan diferensial berikut
q ( x , t ) Aq ( x , t ) , (2.14) t x
dalam kasus yang paling sederhana yaitu koefisien konstan dan linear. Dalam hal n ini q : R R R adalah vektor dengan n komponen yang menyatakan fungsi yang tidak diketahui (tekanan, kecepatan, dan sebagainya) yang ingin ditentukan,
n Andaikan n . A u
dan A suatu konstan merupakan matriks real berukuran suatu konstan yang menyatakan kecepatan perambatan (aliran pada pipa satu dimensi misalnya), maka persamaan (2.14) menjadi
q ( x , t ) u q ( x , t ) , (2.15) t x
persamaan ini disebut persamaan adveksi. Hubungan kedua persamaan ini akan dilihat nanti.
Persamaan q ( x , t ) Aq ( x , t ) adalah hiperbolik, jika matriks A t x memiliki nilai eigen real dan berkorespondensi dengan n vektor eigen yang n bebas linear. Artinya, semua vektor dalam R dapat secara tunggal diuraikan sebagai kombinasi linear dari nilai-nilai eigen tersebut. Secara formal definisi persamaan diferensial hiperbolik adalah sebagai berikut.
q Aq t x (2.16) n dapat didiagonalkan n
dikatakan hiperbolik jika matriks A yang berukuran dengan nilai eigen real.
Secara khusus untuk persamaan adveksi, diketahui bahwa A yang u , merupakan suatu konstanta real. Jadi A dapat didiagonalkan oleh nilai A itu sendiri dan nilai eigen dari A adalah A itu sendiri. Dengan demikian, persamaan adveksi merupakan persamaan diferensial hiperbolik. Keterangan lengkap tentang persamaan diferensial hiperbolik dapat ditemukan dalam buku karangan LeVeque (2004).
Lebih lanjut, Jacobian fungsi flux f untuk persamaan adveksi adalah
J ( x ) sebab u , f ( q ) u q sehingga
f ( q ) ( u q )
(2.17) x x f ' ( q ) u J ( x ) u . jelas bahwa atau
G. Hukum Kekekalan dan Persamaan Diferensial
Untuk melihat bagaimana hukum-hukum kekekalan muncul dari prinsip- prinsip fisika, perhatikan masalah dinamika fluida yang paling sederhana, gas atau
u x
cairan mengalir melalui pipa satu dimensi dengan suatu kecepatan ( t , ) , yang diasumsikan bervariasi sepanjang pipa x dan waktu t.
Biasanya dalam dinamika fluida pergerakan fluida harus ditentukan yaitu ditentukan. Secara umum densitas (kepadatan) harus diukur dalam satuan massa per satuan volume, misalnya, gram per meter kubik, tetapi dalam mempelajari pipa satu dimensi, lebih rasional untuk mengasumsikan q diukur dalam satuan massa per satuan panjang, misalnya, gram per meter. Kepadatan ini (dilambangkan dengan q ). Dengan demikian, x 2
q ( x , t ) dx x
(2.18)
1 x
merepresentasikan total massa dari zat warna pelacak di bagian pipa antara dan 1
x pada waktu tertentu t, dan memiliki satuan massa. Dalam masalah dimana
2kinetika kimiawi dilibatkan, seringkali "massa" diukur dalam bentuk mol daripada gram, dan kepadatan dalam mol per meter atau mol per meter kubik, karena hal penting yang dipertimbangkan bukanlah massa zat kimia tapi jumlah molekul yang ada. Untuk penyederhanaan massa akan dibicarakan dalam pengertian yang umum dipahami.
x x x
Perhatikan bagian dari pipa dan perilaku dimana integral (2.18) 1 2 berubah seiring waktu, karena zat tidak bisa diciptakan atau dimusnahkan, maka total massa dalam bagian ini dapat berubah hanya disebabkan oleh flux atau aliran partikel melalui titik ujung dari bagian di x dan x . 1 2 Misal F (t ) adalah debit dimana zat warna pelacak mengalir melewati titik j
x i
tetap untuk i 1 , 2 , ...
(diukur dalam gram per detik, misalnya). Untuk kesepakatan, F ( t ) berkaitan untuk aliran ke kanan, sedangkan F ( t )
F
artinya flux ke kiri, dengan aliran flux yang besarnya dengan j 1 , 2 . j (t )
x
Karena jumlah massa di , x berubah hanya karena flux di titik ujung, maka
1 x 2 2 d q x t dx F t F t (2.19) x
( , ) ( ) ( ).
1
2 1 dt
Persamaan (2.19) adalah bentuk integral dasar dari hukum kekekalan. Laju perubahan dari total massa hanya disebabkan flux melalui titik ujung - ini adalah dasar dari kekekalan. Selanjutnya, bagaimana fungsi flux F (t ) dikaitkan dengan j
q ( t x , ) , sehingga dapat diperoleh persamaan yang mungkin diselesaikan untuk q.
Dalam kasus aliran fluida, flux di suatu titik x pada waktu t secara sederhana diberikan oleh hasil kali dari densitas q x dan kecepatan u x :
( t , ) ( t , )
flux pada ( x , t ) u ( x , t ) q ( x , t ) (2.20) Kecepatan menyatakan seberapa besar laju partikel bergerak melewati titik x
(dalam meter per detik, misalnya) dengan arah tertentu dan densitas q menyatakan berapa gram zat kimia dalam satu meter fluida yang terkandung.
Karena u ( t x , ) adalah fungsi yang diketahui, fungsi flux tersebut dapat ditulis menjadi
f q x t x t u x t q x t
flux ( ( , ), , ) ( , ) ( , ). (2.21)Secara khusus, jika kecepatan tersebut tidak bergantung pada x dan t, sehingga
u x t u ( , ) suatu konstan, maka
f q x t u q x t flux ( ( , )) ( , ). (2.22) Dalam hal ini flux dapat ditentukan langsung dari nilai kuantitas yang dikekekalan
f
pada saat itu. Untuk flux yang hanya bergantung pada nilai q, hukum
(q )
kekekalan (2.19) menjadi x 2
d x q ( x , t ) dx f ( q ( x , t )) f ( q ( x , t )). (2.23) 1 2 1 dt
Bagian kanan ditulis ulang menjadi : x 2 x
d 2 q x t dx f q x t (2.24) x ( , ) ( ( , )) x 1 dt
Persamaan untuk q yang ingin diselesaikan dapat dimiliki jika fungsi flux
f
(q ) tertentu, misalnya (2.22). Persamaan ini harus memenuhi sepanjang interval
x , x untuk sebarang nilai x . Masih belum jelas bagaimana cara
1 2 1
2
x danmencari fungsi q x
( t , )
yang memenuhi kondisi tersebut. Permasalahan tersebut tidak akan diselesaikan secara langsung, tetapi diubah menjadi persamaan diferensial parsial yang dapat ditangani dengan teknik standar. Untuk
q x f melakukannya, harus diasumsikan bahwa fungsi ( t , ) dan (q ) cukup mulus.
Jika diasumsikan q dan f fungsi cukup mulus, maka x x 2 2
d q ( x , t ) dx f ( q ( x , t )) dx . (2.25) x x 1 1 dt x
atau dimodifikasi menjadi : x 2
q ( x , t ) f ( q ( x , t )) dx (2.26) x 1 t x
x x
Karena integral ini harus nol untuk semua nilai dan , ini berarti bahwa 1 2
q ( x , t ) f ( q ( x , t )) (2.27) t x
Persamaan ini disebut bentuk diferensial untuk hukum kekekalan. Persamaan tersebut bisa ditulis ke dalam bentuk :
q x t f q x t
t x
( , ) ( ( , ))
dengan
q ( x , t ) q ( x , t ) dan f ( q ( x , t )) f ( q ( x , t )).
t x t x
G. Domain Dependen dan Range Influence untuk Persamaan Hiperbolik
Pada bagian ini akan dipaparkan mengenai domain dependence dan range influence untuk persamaan hiperbolik.
n buah karakteristik.
1. Persamaan Hiperbolik dengan
X T
Domain dependen dari ( , ) didefinisikan sebagai berikut : p
D
X T
X T p n ( , ) :
1 , 2 ,..., p
adalah dimana (X,T) adalah titik yang ditetapkan pada ruang-waktu dan kecepatan gelombang. Domain dependen diilustrasikan pada Gambar 2.3(a). Tanpa mengurangi kebenaran secara umum, diambil n Nilai dari data awal
3 .
pada titik-titik lainnya tidak memiliki pengaruh pada nilai q di (X,T).
1 2
3 X T ( , ) x t x t
x t 3 2
1 (a) (b)
X T
X T X T x 1 2 3
Gambar 2.3. Suatu sistem hiperbolik khusus dengan , (a)memperlihatkan domain dependen dari titik (
X , T ) , dan (b) memperlihatkan x
range influence dari titik . Jika arah perambatannya ke bagian kiri dari titik, sedangkan untuk perambatannya ke bagian kanan titik.
Sekarang fokus pada titik tunggal x pada waktu t , perhatikan pengaruh
q x q x
data ( ) terhadap solusi pada ( t , ) . Pilihan data pada saat ini hanya akan p
p n mempengaruhi solusi sepanjang karakteristik x t untuk indeks .
1 , 2 ,..., x
Himpunan titik-titik ini disebut range influence dari titik . Range influence diilustrasikan pada Gambar 2.3(b).
2. Persamaan Adveksi dengan Satu Karakteristik
Domain dependen dari
X T didefinisikan sebagai berikut : ( , )
D ( X , T ) X u T u
dimana (X,T) adalah titik yang ditetapkan pada ruang-waktu dan adalah konstanta yang menyatakan kecepatan perambatan. Domain dependen diilustrasikan pada Gambar 2.4(a). Nilai dari data awal pada titik-titik lainnya
x u t
X T ( , ) (a) (b)
X u T x Gambar 2.4. u
Persamaan adveksi dengan kecepatan perambatan , (a) memperlihatkan domain dependen dari titik (
X , T ) , dan (b) memperlihatkan x u
range influence dari titik . Untuk arah perambatannya ke bagian kanan dari titik, sedangkan untuk u perambatannya ke bagian kiri titik.
x q x
Perhatikan titik tunggal pada waktu t , data ( ) berpengaruh
q x
terhadap solusi pada ( t , ) . Pilihan data pada saat ini hanya akan mempengaruhi solusi sepanjang karakteristik x u t titik ini disebut range influence dari titik
. x . Range influence untuk persamaan adveksi diilustrasikan pada Gambar 2.4 (b).
BAB III METODE VOLUME HINGGA Dalam bab ini akan dijelaskan metode volume hingga yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah hukum kekekalan. A. Bentuk Umum untuk Hukum Kekekalan Pada ruang dimensi satu, metode volume hingga bekerja dengan cara
membagi domain spasial ke dalam interval-interval (grid sel) dan mengaproksimasi integral q untuk masing-masing volume grid sel tersebut. Pada setiap langkah waktu, nilai-nilai integral tersebut diperbaharui dengan aproksimasi terhadap flux di ujung interval.
C x x
Misal sel ke-i dinotasikan dengan ( , ) seperti pada Gambar n i i i 1 / 2 1 / 2 Q
3.1. Nilai dari akan mengaproksimasi rata-rata nilai sepanjang interval ke-i i
t
pada waktu n n x i 1 / 2
1
1 Q q x t dx q x t dx i n n (3.1) ( , ) ( , ) x C i i 1 / 2
x x x x x dimana merupakan panjang sel. i i 1 / 2 1 / 2 Skema integral dari hukum kekekalan x 2 d q ( x , t ) dx F ( t ) F ( t )
1
2 x 1 dt
x 2 d x q ( x , t ) dx f ( q ( x , t )) f ( q ( x , t )). (3.2) i i
1 /
2
1 / 2 1 dt n 1 Q i t n 1 n n F i 1 / 2
F i 1 / 2 t n n n n Q
Q i Q
i i 1 1 nGambar 3.1. Ilustrasi metode volume hingga memperbaharui rata-rata sel Q i dengan flux pada tepi sel dalam ruang x t .n Bentuk ini dapat digunakan untuk membangun suatu algoritma. Diberikan Q , n i
1 t
rata-rata sel pada waktu untuk mengaproksimasi Q , rata-rata sel pada n i ,
t t t
waktu selanjutnya dengan panjang . Untuk itu, integralkan (3.2) pada n n 1t t
waktu sampai dengan demikian diperoleh n n 1 t t n n 1 1
q x t dx q x t dx f q x t dt f q x t dt ( , ) ( , ) ( ( , )) ( ( , )) . n 1 n i 1 / 2 i 1 / 2
c c t t i i n n x