PENENTUAN HARGA OPSI EROPA MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL DIPERCEPAT.

(1)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

PENENTUAN HARGA OPSI EROPA MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL DIPERCEPAT

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika Konsentrasi Statistika

Oleh

Wulansari Mudayanti 0907262

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

PENENTUAN HARGA OPSI EROPA MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL DIPERCEPAT

Oleh

Wulansari Mudayanti

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Juli 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.

(3)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

(4)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

ABSTRAK

Opsi merupakan suatu kontrak mengenai jual-beli aset pokok antara writer dan holder. Metode Binomial dipercepat merupakan pengembangan dari metode Binomial CRR. Metode Binomial dipercepat yaitu menghilangkan osilasi harga opsi Eropa pada metode Binomial CRR dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson. Ekstrapolasi Richardson bisa digunakan apabila dilakukan pemulusan kurva terlebih dahulu. Pemulusan kurva itu disebut MOT (Middle of Tree). Pengaruh parameter terhadap harga opsi Eropa yaitu harga saham awal dan tingkat suku bunga berbanding lurus dengan harga opsi call Eropa dan berbanding terbalik dengan harga opsi put Eropa. Sebaliknya, harga kesepakatan berbanding terbalik dengan harga opsi call Eropa dan berbanding lurus dengan harga opsi put Eropa. Selain itu, waktu jatuh tempo dan volatilitas berbanding lurus dengan harga opsi call Eropa dan harga opsi put Eropa. Dilihat dari keakuratan dan kecepatan harga opsi, harga opsi metode Binomial dipercepat lebih akurat dan lebih cepat konvergen terhadap harga opsi model Black-Scholes dibandingkan harga opsi Eropa metode Binomial CRR.

Kata kunci: Saham, Opsi Eropa, Metode Binomial CRR, Metode Binomial Dipercepat

(5)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

ABSTRACT

European option is the contract of asset’s trading between writer and holder. Accelerated Binomial method is a development of Binomial CRR method. Accelerated Binomial method is to eliminate oscillation price of European option on Binomial CRR method using Richardson extrapolation. Richardson extrapolation can be applied if smooth curve is done. Smooth curve is called MOT (Middle of Tree). Parameters effect price of European option that is price of initial stock price and interest rates are directly proportional price of European option call and inversely proportional price of European option put. On the other hand, strike price is inversely proportional price of European option call and inversely proportional price of European option put. Besides that, expiration date and volatility are directly proportional price of European option call and price of European option put. According the accuracy and speed of price option Black-Scholes model, price option accelerated Binomial method is more accurate and faster than price option Binomial CRR method.

Key words: Stock, European Option, Binomial CRR Method, Accelerated Binomial Method.

(6)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

DAFTAR ISI

Halaman LEMBAR PENGESAHAN

LEMBAR PERNYATAAN

ABSTRAK ... i

KATA PENGANTAR ... iii

UCAPAN TERIMA KASIH ... iv

DAFTAR ISI ... v

DAFTAR TABEL ... vii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... xi

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 3

1.3 Tujuan Penulisan ... 3

1.4 Batasan Masalah ... 3

1.5 Manfaat Penulisan ... 3

1.6 Sistematika Penulisan ... 4

BAB II LANDASAN TEORI ... 6

2.1 Saham ... 6

2.2 Opsi ... 7

2.3 Opsi Eropa ... 9

2.4 Teorema Limit Pusat ... 13

2.5 Variabel Acak dan Proses Stokastik ... 13

2.6 Proses Markov dan Proses Stokastik Waktu Kontinu ... 13

2.7 Model Harga Saham ... 17

2.8 Model Black-Scholes-Merton ... 22

(7)

Halaman

2.10 Ekstrapolasi Richardson ... 28

BAB III METODE BINOMIAL DIPERCEPAT ... 32

3.1 Deskripsi Umum ... 32

3.2 Middle of Tree (MOT) ... 32

3.3 Perhitungan Harga Saham ... 35

3.4 Penentuan Harga Opsi Eropa ... 36

3.5 Ekstrapolasi Richardson ... 37

3.6 Algoritma Penentuan Harga Opsi Eropa menggunakan Metode Binomial Dipercepat ... 39

BAB IV SIMULASI NUMERIK UNTUK MENENTUKN HARGA OPSI EROPA MENGGUNAKAN METODE BINOMIAL DIPERCEPAT ... 40

4.1 Harga Opsi Eropa menggunakan Metode Binomial CRR ... 40

4.2 Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat ... 46

4.3 Pengaruh Parameter-Parameter pada Metode Binomial Dipercepat Terhadap Harga Opsi Eropa ... 52

4.4 Harga Opsi Eropa menggunakan Metode Binomial Dipercepat ... 73

4.5 Keakuratan dan Kecepatan Harga Opsi Eropa Metode Binomial CRR Dan Metode Binomial Dipercepat ... 78

BAB V PENUTUP ... 84

5.1 Kesimpulan ... 84

5.2 Saran ... 85

DAFTAR PUSTAKA ... 86

LAMPIRAN ... 88

(8)

vii

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

2.1. Urutan Perhitungan Aproksimasi Nilai ... 30

2.2. Hasil Ekstrapolasi Richardson ... 31

3.1. Pohon Binomial dengan � di Tengah Pohon Binomial ... 39

4.1. Harga Opsi Call dan Put Eropa Metode Binomial CRR ... 41

4.2. Pergerakan Harga Saham Binomial MOT dengan = 2 ... 47

4.3. Nilai Payyoff dan Harga Opsi Call Eropa ... 48

4.4. Nilai Payyoff dan Harga Opsi Put Eropa ... 48

4.5. Harga Opsi Call Eropa menggunakan Ekstrapolasi Richardson ... 49

4.6. Harga Opsi Put Eropa menggunakan Ekstrapolasi Richardson ... 49

4.7. Harga Opsi Call Eropa menggunakan Ekstrapolasi Richardson ... 52

4.8. Harga Opsi Put Eropa menggunakan Ekstrapolasi Richardson ... 52

4.9. Pengaruh Harga Saham Awal terhadap Harga Opsi Eropa ... 53

4.10. Pengaruh Harga Kesepakatan terhadap Harga Opsi Eropa ... 55

4.11. Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Eropa ... 57

4.12. Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Eropa ... 59

4.13. Pengaruh Tingkat Suku Bunga terhadap Harga Opsi Eropa ... 61

4.14. Pengaruh Harga Saham Awal terhadap Harga Opsi Eropa ... 63

4.15. Pengaruh Harga Kesepakatan terhadap Harga Opsi Eropa ... 65

4.16. Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Eropa ... 67

4.17. Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Eropa ... 69

(9)

viii

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1. Fungsi Payoff untuk Opsi Call Eropa ... 11

2.2. Fungsi Payoff untuk Opsi Put Eropa ... 12

2.3. Prinsip Dasar Metode Binomial ... 27

2.4. Pohon Binomial dengan 1 dan 2 Partisi ... 28

3.1. Pohon Binomial dengan � di Tengah Pohon Binomial ... 33

3.2. Pohon Binomial dengan Partisi ... 35

3.3. Algoritma Harga Opsi Eropa dengan Metode Binomial Dipercepat ... 39

4.1. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Harga Opsi Call Eropa dengan Metode Binomial CRR ... 42

4.2. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Harga Opsi Put Eropa dengan Metode Binomial CRR ... 42

4.3. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu Ganjil dan Genap terhadap Harga Opsi Call Eropa menggunakan Metode Binomial CRR ... 44

4.4. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu Ganjil dan Genap terhadap Harga Opsi Put Eropa menggunakan Metode Binomial CRR ... 44

4.5. Pohon Binomial Harga Saham Metode Binomial CRR dengan = 2 ... 45

4.6. Pohon Binomial Harga Saham Metode Binomial CRR dengan = 57 .... 45

4.7. Pohon Binomial MOT dengan = 2 ... 47

4.8. Pohon Binomial MOT dengan = 57 ... 51

4.9. Grafik Pengaruh Harga Saham Awal terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 54

4.10. Grafik Pengaruh Harga Saham Awal terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 54

4.11. Grafik Pengaruh Harga Kesepakatan terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 56

4.12. Grafik Pengaruh Harga Kesepakatan terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 56

4.13. Grafik Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Call Eropa .... 58

4.14. Grafik Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 58

4.15. Grafik Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 60

(10)

Gambar Halaman

4.17. Grafik Pengaruh Tingkat Suku Bunga terhadap

Harga Opsi Call Eropa ... 62 4.18. Grafik Pengaruh Tingkat Suku Bunga terhadap

Harga Opsi Put Eropa ... 62 4.19. Grafik Pengaruh Harga Saham Awal terhadap

Harga Opsi Call Eropa ... 64 4.20. Grafik Pengaruh Harga Saham Awal terhadap

Harga Opsi Put Eropa ... 64 4.21. Grafik Pengaruh Harga Kesepakatan terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 66 4.22. Grafik Pengaruh Harga Kesepakatan terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 66 4.23. Grafik Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Call Eropa .... 68 4.24. Grafik Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 68 4.25. Grafik Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Call Eropa ... 70 4.26. Grafik Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Put Eropa ... 70 4.27. Grafik Pengaruh Tingkat Suku Bunga terhadap

Harga Opsi Call Eropa ... 72 4.28. Grafik Pengaruh Tingkat Suku Bunga terhadap

Harga Opsi Put Eropa ... 72 4.29. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap

Harga Opsi Call Eropa dengan MOT ... 73 4.30. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap

Harga Opsi Call Eropa dengan MOT ... 74 4.31. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap

Harga Opsi Call Eropa dengan Metode Binomial Dipercepat sampai Ekstrapolasi Richardson �= 2 ... 75

4.32. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap

Harga Opsi Put Eropa dengan Metode Binomial Dipercepat sampai

Ekstrapolasi Richardson �= 2 ... 75 4.33. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap

Harga Opsi Call Eropa dengan Metode Binomial Dipercepat sampai Ekstrapolasi Richardson �= 6 ... 76

4.34. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap

Harga Opsi Put Eropa dengan Metode Binomial Dipercepat sampai

Ekstrapolasi Richardson �= 6 ... 77 4.35. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Nilai Error

(11)

Gambar Halaman

4.36. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Nilai Error

Harga Opsi Put Eropa menggunakan Metode Binomial CRR ... 79 4.37. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Nilai Error

Harga Opsi Call Eropa menggunakan Metode Binomial Dipercepat ... 80 4.38. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Nilai Error

Harga Opsi Put Eropa menggunakan Metode Binomial Dipercepat ... 81 4.39. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Nilai Error

Harga Opsi Call Eropa menggunakan Metode Binomial Dipercepat ... 82 4.40. Grafik Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Nilai Error

(12)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Halaman

A ... 89

A.1 Pembuktian Teorema Limit Pusat ... 89

A.2 Distribusi dari ∆� ... 91

A.3 Distribusi dari � − � 0 ... 91

A.4 Pengintegralan ��= �� ... 93

A.5 Distribusi dari ∆� ... 93

A.6 Distribusi dari � − � 0 ... 94

B ... 96

B.1 Pengintegralan � = �� ... 96

B.2 Distribusi dari ∆ ... 96

B.3 Lemma Itô ... 97

B.4 Distribusi dari ln −ln ₀ ... 98

B.5 Ekspektasi dan Variansi Harga Saham ... 100

C ... 105

C.1 Perubahan Nilai Portfolio ... 105

C.2 Persamaan Diferensial Black-Scholes-Merton ... 105

C.3 Perumusan Harga Opsi Call Eropa Model Black-Scholes ... 106

C.4 Perumusan Harga Opsi Put Eropa Model Black-Scholes ... 111

D ... 112

D.1 Parameter ,�, dan � dari Metode Binomial CRR ... 112

E ... 118

E.1 Perhitungan Volatilitas Tahunan ... 118

E.2 Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Opsi Call Eropa menggunakan Metode Binomial CRR ... 121

E.3 Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Opsi Call Eropa menggunakan Metode Binomial CRR ... 139

E.4 Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Opsi Call Eropa menggunakan Metode Binomial Dipercepat ... 157

(13)

xii

Lampiran Halaman

E.5 Pengaruh Banyak Partisi Waktu terhadap Opsi Put Eropa

(14)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah

Dalam dunia pasar modal terdapat berbagai macam aset yang diperjualbelikan seperti saham, mata uang, komoditas dan lain-lain. Seiring perkembangan waktu, pemilik aset menginginkan instrumen finansial yang dapat meminimalisasi kerugian dan mendapatkan keuntungan dari aset yang dimilikinya. Instrumen finansial tersebut adalah opsi.

Opsi merupakan suatu kontrak/perjanjian antara writer dan holder, dimana holder adalah pihak pemegang atau pembeli opsi yang mempunyai hak untuk menjual atau membeli suatu aset pokok sesuai dengan harga kesepakatan pada atau sebelum waktu jatuh tempo yang telah ditentukan, sedangkan writer adalah pihak yang mengeluarkan opsi yang memiliki kewajiban untuk memenuhi hak holder.

Dalam kontrak opsi, writer memiliki risiko kerugian yaitu menjual saham dengan harga lebih rendah daripada pasar modal atau membeli harga saham lebih tinggi daripada pasar modal kepada holder. Holder juga memiliki risiko kerugian yaitu menggunakan opsi atau tidak. Oleh karena itu, harga opsi ditentukan untuk meminimalisasi kerugian tersebut.

Harga opsi bergantung pada waktu dan harga aset pokok khususnya harga saham. Opsi memiliki batas waktu berlaku yaitu waktu jatuh tempo (expiration date), yang dinotasikan dengan � yang artinya waktu saat holder akan melakukan exercise (menjual/membeli saham) opsi. Apabila telah melebihi waktu jatuh tempo (�> �), opsi tidak lagi berlaku (kadaluarsa) yang artinya holder tidak dapat merealisasikan haknya (meng-exercise opsi). Harga kesepakatan (strike price), yang dinotasikan dengan � adalah harga penjualan atau pembelian saham pada saat waktu jatuh tempo yang telah disepakati oleh holder dan writer.

Berdasarkan waktu jatuh temponya, opsi terbagi dua yaitu, opsi Eropa dan opsi Amerika. Kedua opsi tersebut dikenal juga sebagai opsi standar atau opsi vanilla. Opsi Eropa adalah opsi dimana holder hanya dapat merealisasikan haknya

(15)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

(meng-exercise opsi) pada saat waktu jatuh tempo (� =�). Sedangkan opsi Amerika adalah opsi dimana holder dapat merealisasikan haknya (meng-exercise opsi) pada saat atau sebelum waktu jatuh tempo (0 <� ≤ �).

Berdasarkan jenis hak yang dapat dilakukan oleh holder, opsi terbagi dua yaitu, opsi call dan opsi put. Opsi call adalah opsi dimana holder memiliki hak untuk membeli aset pokok pada writer. Sedangkan opsi put adalah opsi dimana holder memiliki hak untuk menjual aset pokok pada writer.

Penentuan harga opsi dapat dilakukan secara analitik dan secara numerik. Secara analitik, penentuan harga opsi dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Black-Scholes, yang diperkenalkan oleh Black-Scholes dan Merton (1973). Selain secara analitik, penentuan harga opsi dapat ditentukan secara numerik. Salah satu metode numerik yang banyak digunakan pada penentuan harga opsi adalah metode lattice. Metode lattice yang terkenal banyak digunakan adalah metode Binomial.

Pada tahun 1979, metode Binomial pertama kali diperkenalkan oleh Cox, Ross and Rubinstein (CRR). Pada metode Binomial CRR, pergerakan harga saham hanya memiliki dua kemungkinan yaitu harga saham naik (up) dan harga saham turun (down) pada suatu interval waktu.

Harga opsi metode Binomial konvergen ke harga opsi model Black-Scholes. Namun penentuan harga opsi Eropa metode Binomial CRR memiliki kelemahan yaitu proses penentuan harga opsi menuju harga opsi Black-Scholes sangat lama sehingga proses perhitungannya tidak efektif. Sehingga berkembang metode Binomial dipercepat yang merupakan pengembangan dari metode Binomial CRR.

Oleh karena itu, penulis tertarik untuk membahas mengenai penentuan harga opsi Eropa menggunakan metode Binomial dipercepat, pengaruh parameter-parameter pada metode Binomial dipercepat terhadap harga opsi Eropa, serta menganalisis keakuratan dan kecepatan harga opsi menggunakan metode Binomial dipercepat.

(16)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, penulis merumuskan permasalahan sebagai berikut:

1. Bagaimana menentukan harga opsi Eropa dengan menggunakan metode Binomial dipercepat?

2. Bagaimana pengaruh parameter-parameter pada metode Binomial dipercepat terhadap harga opsi Eropa?

3. Bagaimana keakuratan dan kecepatan harga opsi metode Binomial CRR dan harga opsi metode Binomial dipercepat terhadap harga opsi model Black-Scholes?

1.3 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah, tujuan penulisan dari skripsi ini adalah: 1. Mengetahui cara menentukan harga opsi Eropa dengan menggunakan metode

Binomial dipercepat.

2. Mengetahui pengaruh parameter-parameter pada metode Binomial dipercepat terhadap harga opsi Eropa.

3. Menganalisis keakuratan dan kecepatan harga opsi metode Binomial CRR dan harga opsi metode Binomial dipercepat terhadap harga opsi model Black-Scholes.

1.4 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam skripsi ini adalah: 1. Opsi yang dibahas adalah opsi Eropa

2. Aset pokok adalah saham.

1.5 Manfaat Penulisan 1.5.1 Manfaat Teoritis

Manfaat penulisan secara teoritis adalah menambah wawasan dalam ilmu matematika keuangan terutama dalam menentukan harga opsi Eropa menggunakan metode Binomial dipercepat.

(17)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

1.5.2 Manfaat Praktis

Manfaat penulisan secara praktis adalah memberikan pengetahuan dalam menentukan harga opsi menggunakan metode Binomial dipercepat dan dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari sehingga dapat memperkirakan keuntungan yang diperoleh secara akurat.

1.6 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan pada pembahasan ini adalah: BAB I Pendahuluan

Mengemukakan latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, batasan masalah, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.

BAB II Landasan Teori

Berisikan landasan teori yang mendukung BAB III antara lain menjelaskan konsep opsi, model harga saham, metode binomial CRR, dan konsep-konsep lainnya.

BAB III Metode Binomial Dipercepat

Menjelaskan metode Binomial dipercepat dan langkah-langkah menentukan harga opsi Eropa menggunakan metode Binomial dipercepat.

BAB IV Simulasi Numerik untuk Menentukan Harga Opsi Menggunakan Metode Binomial Dipercepat

Berisikan simulasi dalam menentukan harga opsi Eropa menggunakan metode Binomial dipercepat. Selain itu, menganalisis keakuratan dan kecepatan harga opsi metode Binomial CRR dan harga opsi metode Binomial dipercepat terhadap harga opsi model Black-Scholes.

(18)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

BAB V Penutup

(19)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

BAB III

METODE BINOMIAL DIPERCEPAT

3.1 Deskripsi Umum

Metode Binomial dipercepat merupakan pengembangan dari metode Binomial CRR. Metode Binomial dipercepat dikembangkan oleh T.R Klassen yang merupakan perbaikan dari Hull dan White yaitu metode Binomial CRR. Pada metode Binomial CRR, semakin banyak partisi waktu � pada waktu 0,

maka harga opsi yang dihasilkannya pun akan mendekati model kontinu Black-Scholes (Seydel, R.U., 2008:20). Makin banyak partisi waktu maka makin banyak pula proses perhitungan harga opsi � . Setiap � yang berubah pada metode Binomial CRR mengakibatkan keadaan � selalu berubah terhadap node pada waktu jatuh tempo. Ini menyebabkan terjadinya osilasi (naik turun) harga opsi terhadap �, sehingga kekonvergenan terhadap Black-Scholes sangat lambat (Klassen, 2001).

Untuk mempercepat kekonvergenan harga opsi metode Binomial CRR ke harga opsi metode Black-Scholes dilakukan dengan cara ekstrapolasi Richardson yaitu mengeliminasi faktor koreksi 1

� yang semakin membesar pada setiap

pergerakan �. Sebelum menggunakan ekstrapolasi Richardson, terlebih dahulu dilakukan pemulusan (smooth) kurva yang biasa disebut Middle of Tree (MOT) (Klassen, 2001).

3.2 Middle of Tree (MOT)

Middle of Tree (MOT) adalah pemulusan kurva dengan meletakkan harga

� di tengah pohon Binomial pada saat waktu jatuh tempo sehingga harga � selalu tetap terhadap node setiap nilai � yang berubah. Untuk menghilangkan osilasi pada harga opsi Eropa menggunakan metode Binomial CRR, partisi waktu dipisahkan menjadi � ganjil dan � genap (Klassen, 2001).

Harga � selalu terletak di tengah pohon Binomial pada saat waktu jatuh tempo dengan cara mengubah parameter dan . Oleh karena harga � harus

(20)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

terletak di tengah pohon Binomial pada saat waktu jatuh tempo, maka (Amami, 2013)

0 = 0 2 2 = 0 3 3 = = 0 − = �

dengan = 1,2,…,�; = 0,1,2,…, yang diilustrasikan pada gambar 3.1

�

₀ 2 ₀

₀ = ₀ = ₀ 2 2 = ₀ − = � ₀ ₀ 2

0 1 2 3 … �

Gambar 3.1

Pohon Binomial dengan � di Tengah Pohon Binomial

Karena pada saat waktu jatuh tempo, harga � harus terletak di tengah node-node pohon Binomial, sehingga akibatnya

0 �2 ₌ � (3.1)

Pada metode Binomial CRR, harga saham akan naik atau turun bergantung pada parameter dan sesuai dengan rumus (2.49), yaitu

= � ∆ = −� ∆

Sedangkan parameter dan pada metode Binomial dipercepat diubah dengan menambahkan variabel ₁ dan ₂ pada eksponensial parameter dan . Penambahan variabel ₁ dan ₂ membuat node harga saham akan bergerak sehingga keadaan � selalu berada di tengah-tengah jumlah node pohon binomial

(21)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

pada saat waktu jatuh tempo sehingga didapatkan parameter dan sebagai berikut:

= � ∆ + 1₌ −� ∆+ 2 (3.2)

Substitusi persamaan (3.2) ke dalam persamaan (3.1) sehingga diperoleh

0 � ∆+ 1. −� ∆ + 2

�

2 = � ⇔ 0 � ∆ + 1−� ∆ + 2

�

2 = � ⇔ 0 1+ 2 �2 ₌ �

⇔ 1+ 2 �₂ ₌ �

⇔ln 1+ 2 �₂ _{= ln}�

⇔ 1+ 2 �

2 = ln �

⇔ 1+ 2 =

2 ln � 0 �

Dari persamaan di atas lakukan pemilihan ₁ dan ₂ sebagai berikut:

1 = 2 = ln �

0 �

(3.3)

Substitusi persamaan (3.3) ke dalam persamaan (3.2) sehingga parameter dan pada metode Binomial dipercepat adalah sebagai berikut:

= � ∆ + ln �

� = −� ∆ + ln �

0 �

(3.4) Dari persamaan di atas, maka untuk � genap, harga � tepat berada pada tengah node pohon Binomial, sedangkan untuk N ganjil, harga � berada di tengah antara dua node.

Pemulusan kurva dengan metode MOT ini digunakan untuk menghilangkan osilasi pada metode Binomial CRR.

(22)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

3.3 Perhitungan Harga Saham

adalah harga saham pada partisi waktu ke- dan kenaikan ke- dengan

= 1,2, . . ,� dan = 0,1,…, . Harga saham diskrit untuk setiap sampai

� = dapat dihitung setelah parameter dan diketahui. Harga saham awal

yang digunakan untuk perhitungan adalah harga saham pada waktu ₀ = 0 0 . Agar bersesuaian seperti notasi matriks, harga saham awal dinotasikan dengan ₀₀. Untuk menghitung kemungkinan nilai harga saham , kita menggunakan rumus

= 0 − (3.5)

dengan = 1,2,…,� dan = 0,1,…, .

Proses perhitungan harga saham dilustrasikan pada gambar 3.2

_�

�

₀ 2 ₀

0 0

₀ ₀ 2

0 1 2 3 … �

Gambar 3.2

(23)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

3.4 Penentuan Harga Opsi Eropa

Nilai payoff pada waktu , yang dinotasikan �_� didapat dari persamaan (2.2) dan (2.3) yang didefinisikan sebagai berikut:

a. Opsi Call

� = �� − �, 0 = 0,1,…,� (3.6)

b. Opsi Put

�� = �� − �, 0 = 0,1,…,� (3.7)

Dimulai dari �_�, harga opsi � pada setiap waktu diperoleh dengan bekerja secara mundur dari waktu _�−₁, _�−2,… agar mendapatkan harga opsi pada waktu

0, dinotasikan �00. Berdasarkan asumsi 3 pada metode Binomial berlaku bahwa

� +1 = . .∆ (3.8)

Ekspektasi pada model diskrit adalah � � = �_� . � sehingga ekspektasi pada model harga saham diskrit adalah

� +1 = � + 1− �

Sehingga persamaan (3.8) menjadi

� + 1− � = .∆

Notasi artinya harga saham akan naik pada partisi waktu ke- + 1 dan kenaikan ke- + 1 . Sedangkan artinya harga saham akan turun pada partisi waktu ke- + 1 dan kenaikan ke- sehingga

� +1, +1+ 1− � , +1 = .∆

Asumsi 3 pada metode Binomial juga berlaku untuk harga opsi karena harga opsi bergantung pada harga saham sehingga

� �+1 =�. .∆

atau

� � +1 =� . .∆ (3.9)

Ekspektasi pada model diskrit adalah � � = �_� . � sehingga ekspektasi pada model harga opsi diskrit adalah

� � +1 = �� + 1− � �

(24)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

�� + 1− � � =� .∆

Notasi � artinya harga opsi � pada partisi waktu ke- dan kenaikan ke- akan naik pada partisi waktu ke- + 1 dan kenaikan ke- + 1 . Sedangkan � artinya harga opsi � pada partisi waktu ke- dan kenaikan ke- akan turun pada partisi waktu ke- + 1 dan kenaikan ke- sehingga diperoleh

��+1, +1+ 1− � �, +1 =� .∆

atau

� = − .∆ ��+1, +1+ 1− � �, +1 (3.10)

dengan = 0,1,…, dan =� −1,…, 0

Rumus harga opsi (3.10) dapat digunakan untuk opsi call Eropa maupun opsi put Eropa sebagai berikut:

a. Untuk opsi call Eropa

= − .∆ � +1, +1+ 1− � , +1 (3.11)

dengan = 0,1,…, dan = � −1,…, 0

b. Untuk opsi put Eropa

� = − .∆ ��+1, +1+ 1− � �, +1 (3.12)

dengan = 0,1,…, dan = � −1,…, 0

Jadi, �₀₀ yaitu harga opsi pada waktu ₀ didapat dengan �_� akan bekerja secara mundur dengan menggunakan rumus (3.11) untuk menghitung opsi call Eropa dan rumus (3.12) untuk menghitung opsi put Eropa.

3.5 Ekstrapolasi Richardson

Aproksimasi harga opsi Black-Scholes memiliki bentuk error dengan bentuk prediksi yaitu fungsi polinomial, yang bergantung pada sebuah parameter yaitu interval waktu ∆ . Untuk setiap interval waktu ∆ > 0, rumus � ∆ yang merupakan aproksimasi harga opsi Black-Scholes, yang dinotasikan � dan truncation error dari aproksimasi ini adalah

� − � ∆ = 1.∆ + 2 ∆ 2+ 3 ∆ 3+ (3.13)

atau

(25)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

dengan ₁, 2, 3,… adalah konstanta.

Tujuan dari ekstrapolasi adalah menghasilkan rumus truncation error dengan orde lebih tinggi. Berdasarkan metode ektrapolasi Richardson pada bab II, didapat aproksimasi � ∆ 2 untuk � dengan menghilangkan suku ∆ =

� yaitu

faktor koreksi 1

� yaitu:

� = �2 ∆ − 2 2 ∆

2₋3 3 4 ∆

3₋ (3.15)

Definisikan �1 ∆ ≡ � ∆ , sehingga

�2 ∆ = � ∆

2 + � ∆

2 − � ∆

(3.16)

Aproksimasi � ∆ 3 untuk � dengan menghilangkan suku ∆ 2 =_�2₂ yaitu faktor koreksi 1

�2, yaitu:

� = �3 ∆

2 +

3 8 ∆

3 ₊ (3.17)

Definisikan

�3 ∆ = �2 ∆

2 +

�2 ∆₂ − �2 ∆ 3

(3.18)

Untuk suatu �, � dapat dirumuskan sebagai

� = � ∆ + ∆

�−1 =1

+� ∆ �

(3.19)

dengan = 2,3,…,�. Aproksimasi � ∆ dapat dirumuskan sebagai

� ∆ =�₋₁ ∆

2 +

�−1 ∆₂ − �−1 ∆ 2 −1−₁

(3.20)

Tabel 3.1 menunjukkan urutan perhitungan aproksimasi harga opsi (angka menunjukkan urutan) dengan �= 6. Harga opsi pada kolom pertama didapatkan dengan melakukan perhitungan kembali _�, �_�, dan �₀₀ sesuai dengan interval waktunya. Sedangkan harga opsi kolom kedua hingga kolom keenam didapatkan dengan menggunakan persamaan (3.20).

(26)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

Tabel 3.1

Perhitungan Nilai Aproksimasi �_��

� ∆ �(∆ 2) �(∆ 3) �(∆ 4) �(∆ 5) �(∆ 6) �1 ∆ ≡ � ∆

�1 ∆

2 ≡ � ∆

2 �2 ∆ �1

∆

4 ≡ � ∆

4 �2

∆

2 �3 ∆ �1

∆

8 ≡ � ∆

8 �2

∆

4 �3

∆

2 �4 ∆ �1

∆

16 ≡ � ∆

16 �2

∆

8 �3

∆

4 �4

∆

2 �5 ∆ �1

∆

32 ≡ � ∆

32 �2

∆

16 �3

∆

8 �4

∆

4 �5

∆

2 �6 ∆

3.6 Algoritma Penentuan Harga Opsi Eropa menggunakan Metode Binomial Dipercepat

Penentuan harga opsi Eropa, dimulai dengan memasukan parameter

0,�, , ,�, dan �. Adapun langkah-langkah menentukan harga opsi Eropa

menggunakan metode Binomial dipercepat dapat dilihat pada gambar 3.3

Input ₀,�, , ,�, dan � Hitung _� saat dengan MOT

Hitung �_� saat

Hitung �₀₀ dengan bekerja secara mundur dari �_�

Lakukan ekstrapolasi Richardson pada �₀₀

Harga opsi call/put Eropa

Gambar 3.3

(27)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Langkah-langkah penentuan harga opsi Eropa dengan metode Binomial dipercepat adalah membangun harga saham dengan Middle of Tree (MOT), menentukan nilai payoff pada saat waktu jatuh tempo, dan menentukan harga opsi Eropa dengan bekerja secara mundur. Setelah itu, dilakukan ekstrapolasi Richardson pada harga opsi Eropa sehingga mendapatkan harga opsi Eropa yang lebih cepat konvergen ke harga opsi Eropa model Black-Scholes.

Dalam menentukan harga opsi Eropa metode Binomial dipercepat, partisi waktu ganjil dan genap dipisahkan agar tidak terdapat osilasi pada metode Binomial CRR. Namun pemisahan partisi waktu ganjil dan genap memiliki pengaruh parameter-parameter yang sama terhadap harga opsi Eropa, yaitu:

1. Harga Saham Awal

Harga saham awal 0 semakin tinggi maka harga opsi call Eropa akan

semakin tinggi sedangkan harga opsi put Eropa akan semakin rendah.

2. Harga Kesepakatan

Harga kesepakatan � semakin tinggi maka harga opsi call Eropa akan semakin rendah sedangkan harga opsi put Eropa akan semakin tinggi.

3. Waktu Jatuh Tempo

Semakin panjang batas waktu jatuh tempo maka harga opsi call Eropa dan harga opsi put Eropa akan semakin tinggi.

4. Volatilitas

Volatilitas � menaik maka harga opsi call Eropa dan harga opsi put Eropa akan semakin tinggi.

5. Tingkat Suku Bunga

Tingkat suku bunga � menaik maka harga opsi call Eropa akan semakin tinggi sedangkan harga opsi put Eropa akan semakin rendah

Dilihat dari grafik pengaruh banyak partisi waktu terhadap error harga opsi Eropa dengan metode Binomial CRR dan Binomial dipercepat, nilai error

(28)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

harga opsi Eropa metode Binomial dipercepat lebih kecil dibandingkan nilai error harga opsi Eropa metode Binomial CRR. Dilihat dari banyaknya partisi waktu, harga opsi Eropa metode Binomial dipercepat dengan partisi waktu yang kecil, lebih cepat konvergen dibandingkan harga opsi Eropa metode Binomial CRR dengan partisi waktu yang besar.

Dapat disimpulkan bahwa metode Binomial dipercepat lebih akurat dan lebih cepat konvergen terhadap harga opsi model Black-Scholes dibandingkan harga opsi Eropa metode Binomial CRR.

5.2 Saran

Dalam skripsi ini, metode Binomial dipercepat digunakan untuk menentukan harga opsi Eropa baik harga opsi call Eropa maupun harga opsi put Eropa. Selain harga opsi Eropa, metode Binomial dipercepat dapat juga digunakan untuk menentukan harga opsi Amerika.

(29)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

DAFTAR PUSTAKA

Agustina, F. (2009). Kekonvergenan Model Binomial Leisen Reimer untuk Penentuan Harga Opsi Eropa. Tesis magister pada ITB. Bandung: tidak diterbitkan.

Bagian Pengembangan SDM PT Tempo Intimedia Tbk. tempo.co. Tersedia: http://karir.tempo.co/ [4 Mei 2013].

Bank Indonesia. BI Rate. Tersedia: http://www.bi.go.id/web/id/ Moneter/BI+ Rate/Data+BI+Rate [17 Mei 2013].

Burden RL, Faires JD. (2001). Numerical Analisys Sevent Edition. Canada: Thomson Brooks/Cole.

Bursa Efek Indonesia. Saham. Tersedia: http://www.idx.co.id/id-id/beranda/ informasi/bagiinvestor/saham.aspx [25 Mei 2013].

Herrhyanto, N. (2003). Statistika Matematis. Bandung: Pustaka Setia.

Herrhyanto, N. dan Gantini, T. (2009). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya.

Higham, J.D. (2004). An Introduction to Financial Option Valuation. New York: Cambridge University Press.

Hull, J.C. (2009). Options, Futures, and Other Derivatives Seventh Edition. Canada: Pearson Education, Inc.

Indonesia Stock Exchange Bursa Efek Indonesia. Ringkasan Stock Summarry. Tersedia: http://www.idx.co.id/id-id/beranda/unduhdata/ringkasan.aspx [17 Mei 2013]

Jauhari. (2010). Penentuan Harga Opsi Put Amerika Menggunakan Metode Binomial. Tugas akhir sarjana sains pada FPMIPA UPI. Bandung: tidak diterbitkan.

Klassen, T.R. (1999). Simple, Fast and Flexible Pricing of Asian Options. [online]. Avaiable at: http://phys.columbia.edu/~klassen/asian.pdf [Januari 28, 2013].

Lystianingrum, S. (2009). Penentuan Harga Opsi Barrier Kontinu dan Diskrit dengan Model Binomial Fleksibel. Tugas akhir sarjana sains pada ITB. Bandung: tidak diterbitkan.

Munir, R. (2010). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.

Pramuditya, S.A. (2013). Penentuan Harga Opsi Asia dengan Model Binomial Dipercepat. Tesis magister pada ITB. Bandung: tidak diterbitkan.

Ross, S.M. (1996). Stochastic Processes Second Edition. Canada: John Willey & Sons Inc.

(30)

Wulansari Mudayanti, 2013

Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Binomial Dipercepat Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

Seydel, R.U. (2009). Tools for Computational Finance Fourth Edition. Berlin: Springer.

Yahoo Finance. Historycal Prices Tempo Intimedia Tbk. Tersedia: http://finance.yahoo.com/q/hp?s=TMPO.JK&a=01&b=1&c=2013&d=03&e =30&f=2013&g=d [17 Mei 2013].

(1)

dengan ₁, 2, 3,… adalah konstanta.

� yaitu faktor koreksi 1

� yaitu:

� = �2 ∆ − 2 2 ∆

2₋3 3 4 ∆

3₋ (3.15)

Definisikan �₁ ∆ ≡ � ∆ , sehingga

�2 ∆ = �

∆

2 + �

∆

2 − � ∆

(3.16) Aproksimasi � ∆ 3 untuk � dengan menghilangkan suku ∆ 2 =_�2₂ yaitu faktor koreksi 1

�2, yaitu: � = �3

∆

2 + 3 8 ∆

3 ₊ (3.17)

Definisikan

�3 ∆ = �2

∆

2 +

�2 ∆₂ − �2 ∆ 3

(3.18)

Untuk suatu �, � dapat dirumuskan sebagai

� = � ∆ + ∆

�−1

+� ∆ �

(3.19)

dengan = 2,3,…,�. Aproksimasi � ∆ dapat dirumuskan sebagai

� ∆ =�₋₁ ∆ 2 +

�−1 ∆₂ − �−1 ∆ 2 −1−₁

(3.20)

(2)

Tabel 3.1

Perhitungan Nilai Aproksimasi �_��

� ∆ �(∆ 2) �(∆ 3) �(∆ 4) �(∆ 5) �(∆ 6)

�1 ∆ ≡ � ∆

�1

∆

2 ≡ �

∆

2 �2 ∆

�1

∆

4 ≡ �

∆

4 �2

∆

2 �3 ∆

�1

∆

8 ≡ �

∆

8 �2

∆

4 �3

∆

2 �4 ∆

�1

∆

16 ≡ �

∆

16 �2

∆

8 �3

∆

4 �4

∆

2 �5 ∆

�1

∆

32 ≡ �

∆

32 �2

∆

16 �3

∆

8 �4

∆

4 �5

∆

2 �6 ∆ 3.6 Algoritma Penentuan Harga Opsi Eropa menggunakan Metode

Binomial Dipercepat

Penentuan harga opsi Eropa, dimulai dengan memasukan parameter 0,�, , ,�, dan �. Adapun langkah-langkah menentukan harga opsi Eropa menggunakan metode Binomial dipercepat dapat dilihat pada gambar 3.3

Input ₀,�, , ,�, dan � Hitung _� saat dengan MOT

Hitung �_� saat

Hitung �₀₀ dengan bekerja secara mundur dari �_�

Lakukan ekstrapolasi Richardson pada �₀₀

Harga opsi call/put Eropa Gambar 3.3

(3)

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Harga saham awal 0 semakin tinggi maka harga opsi call Eropa akan

semakin tinggi sedangkan harga opsi put Eropa akan semakin rendah. 2. Harga Kesepakatan

Harga kesepakatan � semakin tinggi maka harga opsi call Eropa akan semakin rendah sedangkan harga opsi put Eropa akan semakin tinggi.

3. Waktu Jatuh Tempo

Semakin panjang batas waktu jatuh tempo maka harga opsi call Eropa dan harga opsi put Eropa akan semakin tinggi.

4. Volatilitas

Volatilitas � menaik maka harga opsi call Eropa dan harga opsi put Eropa akan semakin tinggi.

5. Tingkat Suku Bunga

Tingkat suku bunga � menaik maka harga opsi call Eropa akan semakin tinggi sedangkan harga opsi put Eropa akan semakin rendah

Dilihat dari grafik pengaruh banyak partisi waktu terhadap error harga opsi Eropa dengan metode Binomial CRR dan Binomial dipercepat, nilai error

(4)

Dapat disimpulkan bahwa metode Binomial dipercepat lebih akurat dan lebih cepat konvergen terhadap harga opsi model Black-Scholes dibandingkan harga opsi Eropa metode Binomial CRR.

5.2 Saran

(5)

DAFTAR PUSTAKA

Agustina, F. (2009). Kekonvergenan Model Binomial Leisen Reimer untuk

Penentuan Harga Opsi Eropa. Tesis magister pada ITB. Bandung: tidak

diterbitkan.