Batas Bawah Bilangan Magic

Suatu nilai batas range dari bilangan magic dapat ditentukan berdasarkan banyaknya jumlah vertex dan edge yang terdapat dalam suatu graf. Berikut ini adalah suatu teorema yang terkait dengan batas nilai bilangan magic pada suatu graf cycle sederhana. Teorema 3.1.1 Misalkan graf G=V,E, v adalah banyaknya vertex dan e adalah banyaknya edge dalam graf G. Jika graf G adalah suatu graf vertex magic maka nilai bilangan magic dibatasi sebagai berikut | 1 | | | 1 | 2 e e v e v e k v ≤ | 1 | | | 1 | | 2 e e v e v e e v ≤ . dengan | 1 e adalah banyaknya edge dalam graf G ditambah 1. | 1 v adalah banyaknya vertex dalam graf G ditambah 1. Bukti Diketahui nilai bilangan magic pada Lemma 3.1.1 sebagai berikut | | | 1 2 sum E v e v e k v v = . Dari Lemma 3.1.1 maka dapat ditentukan nilai sum E sebagai berikut | | | 1 2 sum E v e v e k v v = | | | 1 2 | | | 1 2 | | | 1 2 | | 1 | . 3.1.2 2 sum sum sum sum E v e v e k v v v e v e E v k v v e v e E vk v v v e v e E vk ⇔ = − ⎛ ⎞ ⇔ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇔ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ = − Nilai sum E akan minimum bila masing-masing edge dilabelkan dengan bilangan sebagai berikut 1,2,…, e , akibatnya | 1 . 2 sum e e E ≤ 3.1.3 Nilai sum E akan maksimum bila masing- masing edge dilabelkan dengan bilangan | 1 v sampai | v e , akibatnya 1 1 1 | | | 1 | 3.1.4 2 e sum i e e i i E v i v i e e ve = = = ≤ = = ∑ ∑ ∑ Berdasarkan 3.1.3 dan 3.1.4 maka diperoleh batas sum E sebagai berikut | 1 | 1 | 2 2 sum e e e e E ve ≤ ≤ 3.1.5 Dengan menyubstitusikan nilai sum E pada Persamaan 3.1.2, ke 3.1.5 maka akan diperoleh batas nilai bilangan magic sebagai berikut | 1 | | 1 | | 1 | 2 2 2 e e v e v e e e vk ve ≤ − ≤ | 1 | | 1 | | 2 2 e e v e v e vk ⇔ ≤ | 1 | | 1 | | | 2 2 e e v e v e ve ⎛ ⎞ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ | 1 | | | 1 | 2 e e v e v e vk ⇔ ≤ | 1 | | 1 | | 2 e e v e v e ve ≤ | 1 | | | 1 | 2 e e v e v e k v ⇔ ≤ | 1 | | | 1 | | 2 e v e v e e v ≤ . Terbukti

3.2 Batas Bawah Bilangan Magic

Dengan adanya Teorema 3.1.1 mengakibatkan nilai suatu bilangan magic memiliki batas atas dan batas bawah. Berikut ini akan dijelaskan batas bawah suatu bilangan magic untuk graf cycle ganjil dan graf cycle genap. Akibat 3.2.1 Misalkan graf , G V E = adalah suatu graf cycle sederhana. Jika graf G adalah graf vertex magic maka nilai bilangan magic dibatasi sebagai berikut 5 3 | 2 2 v k ≤ ; jika banyaknya vertex dalam graf G berjumlah ganjil. i dan 5 | 2 2 v k ≤ ; jika banyaknya vertex dalam graf G berjumlah genap. ii Bukti Misalkan untuk setiap graf cycle sederhana banyaknya vertex dan banyaknya edge dalam graf G berjumlah sama v e = . Dari Teorema 3.1.1 diketahui | 1 | | | 1 | 2 e e v e v e k v ≥ 3.2.1 Dengan menyubsitusikan v ke e pada 3.2.1 maka diperoleh batas k sebagai berikut | 1 | 2 | 12 2 | 1 5 3 2 | 1 | | . 2 2 2 v v v v k v v v v ≥ = = Jika banyaknya vertex berjumlah ganjil, | 1 v habis dibagi dua, maka nilai bilangan magic minimum pada graf G adalah 5 3 | 2 2 v k ≥ . Terbukti untuk i Dari Lemma 3.1.1 diketahui | | | 1 | 2 sum E v e v e k v v = . Karena v = e, subtitusikan v ke e pada Lemma 3.1.1 sehingga diperoleh | | | 1 | 2 2 2 | 1 | 2 2 | 1 | . 3.2.2 sum sum sum E v v v v k v v E v v k v v E v k v = ⇔ = ⇔ = Persamaan 3.2.2 mengakibatkan nilai sum E harus habis dibagi dengan banyaknya vertex dalam graf G. Dari 3.1.3 diketahui sebagai berikut | 1 . 2 sum e e E ≤ Karena v e = , substitusikan v ke e pada 3.1.3 sehingga diperoleh | 1 . 2 sum v v E ≤ 3.2.5 Lalu substitusikan 3.2.5 ke 3.2.2 maka diperoleh 2 | 1 | | 1 2 2 | 1 | | 1 2 | 1 | 2 | 1 =2 | 1 | . 3.2.6 2 sum E k v v v v v v v v v v v v = ≥ = Pelabelan minimum terjadi bila edge dilabelkan dengan bilangan 1 sampai v . Jika banyaknya vertex berjumlah genap, | 1 v tidak habis dibagi 2 maka untuk menentukan pelabelan yang minimum, edge tidak dapat dilabelkan dengan bilangan 1 sampai v . Namun meskipun label edge dengan bilangan 1 sampai v tidak dapat digunakan, dengan sedikit trik dalam matematika yaitu dengan menambahkan bilangan 2 v pada nilai sum E , maka bilangan magic yang minimum pada graf cycle genap dapat ditentukan. Kasus berikut khusus untuk nilai sum E yang tidak habis dibagi dengan v 1 | 2 | 3 | ... | | 2 | 1 | . 3.2.7 2 2 sum v E v v v v = = Dari 3.2.2 diketahui nilai k sebagai berikut 2 | 1 | . sum E k v v = Dengan menyubstitusikan nilai sum E pada Persamaan 3.2.7 ke Persamaan 3.2.2 maka diperoleh nilai k sebagai berikut 2 | 1 | | 1 | 2 2 | 1 | | 2 2 | 1 | 2 5 | 2. 2 sum E k v v v v v v v v v v = ≥ = = Terbukti untuk ii Contoh Kasus 3.2.1 Misalkan graf G=V,E adalah suatu graf cycle sederhana dengan v=15. Jika graf G adalah suatu graf vertex magic maka tentukan nilai bilangan magic yang minimum. Jawab Diketahui v = 15. Nilai sum E minimum ditentukan pada label edge dengan bilangan 1 sampai 15. Mengacu pada Akibat 3.2.1 maka nilai bilangan magic graf G adalah sebagai berikut 5 3 | 2 2 5 3 = 15 | 2 2 78 39. 2 k v = = = Maka nilai k yang minimum adalah k = 39. Contoh Kasus 3.2.2 Misalkan graf G=V,E adalah suatu graf cycle sederhana dengan v=4. Tentukan pelabelan edge yang menghasilkan graf vertex magic dengan bilangan magic minimum. Jawab Diketahui v=4 Misalkan labelkan edge dengan v bilangan terkecil, yaitu 1 sampai v sehingga nilai 1 | 2 | 3 | 4 sum E = = 10. Nilai 10 sum E = tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex, karena nilai sum E tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex maka untuk menentukan pelabelan yang minimum nilai sum E harus disesuaikan agar nilai sum E tersebut habis dibagi dengan banyaknya vertex yaitu v =4. Caranya adalah dengan mencari suatu bilangan yang nilainya paling dekat dengan 10 dan habis dibagi dengan 4. Nilai bilangan itu adalah 12. Akibatnya diperoleh nilai sum E yang baru 1 sum E , yaitu 1 12 sum E = . Karena pelabelan pada masing-masing edge menghasilkan nilai 10 sum E = sedangkan nilai 1 12 sum E = maka untuk menyesuaikannya ubah tanda label terakhir pada pelabelan pertama yang menghasilkan nilai 10 sum E = dari 4 menjadi 6, diperoleh dari 4 4 | 4 | 6 2 2 v = = maka pelabelan edge dengan bilangan {1,2,3,6} merupakan pelabelan edge dengan bilangan magic minimum. Untuk menentukan kemungkinan pelabelan edge yang minimum pada graf vertex magic perlu diketahui batas minimum dari suatu bilangan magic yaitu dengan mengetahui nilai sum E serta banyaknya vertex yang terdapat dalam suatu graf.

3.3 Batas Atas Bilangan Magic