Suatu nilai batas range dari bilangan magic dapat ditentukan berdasarkan banyaknya
jumlah vertex dan edge yang terdapat dalam suatu graf.
Berikut ini adalah suatu teorema yang terkait dengan batas nilai bilangan magic pada suatu
graf cycle sederhana. Teorema
3.1.1
Misalkan graf G=V,E,
v adalah banyaknya vertex dan e adalah banyaknya
edge dalam graf G. Jika graf G adalah suatu graf vertex magic maka nilai bilangan magic
dibatasi sebagai berikut
| 1 | | | 1 | 2
e e v e
v e k
v ≤
| 1 | | | 1 | |
2 e e
v e v e
e v
≤ .
dengan | 1
e adalah banyaknya edge dalam graf G
ditambah 1. | 1
v adalah banyaknya vertex dalam graf G
ditambah 1.
Bukti Diketahui nilai bilangan magic pada Lemma
3.1.1 sebagai berikut
| | | 1 2
sum
E v e v e
k v
v = .
Dari Lemma 3.1.1 maka dapat ditentukan nilai
sum
E sebagai berikut
| | | 1 2
sum
E v e v e
k v
v =
| | | 1 2
| | | 1 2
| | | 1 2
| | 1 | . 3.1.2
2
sum sum
sum sum
E v e v e
k v
v v e v e
E v k
v v e v e
E vk
v v
v e v e
E vk
⇔ = −
⎛ ⎞
⇔ =
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎛
⎞ ⇔
= − ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⇔
= −
Nilai
sum
E
akan minimum bila masing-masing edge dilabelkan dengan bilangan sebagai
berikut 1,2,…, e , akibatnya
| 1 .
2
sum
e e E
≤
3.1.3 Nilai
sum
E
akan maksimum bila masing- masing edge dilabelkan dengan bilangan
| 1 v
sampai
| v e
, akibatnya
1 1
1
| |
| 1 |
3.1.4 2
e sum
i e
e i
i
E v i
v i
e e ve
= =
=
≤ =
=
∑ ∑ ∑
Berdasarkan 3.1.3 dan 3.1.4 maka diperoleh batas
sum
E sebagai berikut
| 1 | 1
| 2
2
sum
e e e e
E ve
≤ ≤
3.1.5 Dengan menyubstitusikan nilai
sum
E pada
Persamaan 3.1.2, ke 3.1.5 maka akan diperoleh batas nilai bilangan magic sebagai
berikut
| 1 | | 1 |
| 1 |
2 2
2 e e
v e v e
e e vk
ve ≤
− ≤
| 1 | | 1 | |
2 2
e e v e
v e vk
⇔ ≤
| 1 | | 1 |
| |
2 2
e e v e
v e ve
⎛ ⎞
≤ ⎜
⎟ ⎝
⎠ | 1 | | | 1 |
2 e e
v e v e
vk ⇔
≤ | 1 | | 1 |
| 2
e e v e
v e ve
≤ | 1 | | | 1 |
2 e e
v e v e
k v
⇔ ≤
| 1 | | | 1 | |
2 e
v e v e
e v
≤
.
Terbukti
3.2 Batas Bawah Bilangan Magic
Dengan adanya Teorema 3.1.1 mengakibatkan nilai suatu bilangan magic
memiliki batas atas dan batas bawah. Berikut ini akan dijelaskan batas bawah suatu
bilangan magic untuk graf cycle ganjil dan graf cycle genap.
Akibat 3.2.1
Misalkan graf ,
G V E
= adalah suatu
graf cycle sederhana. Jika graf G adalah graf
vertex magic maka nilai bilangan magic dibatasi sebagai berikut
5 3
| 2
2 v
k ≤ ; jika banyaknya vertex dalam
graf G berjumlah ganjil. i
dan 5
| 2 2
v k
≤ ; jika banyaknya vertex dalam
graf G berjumlah genap. ii
Bukti Misalkan untuk setiap graf cycle sederhana
banyaknya vertex dan banyaknya edge dalam graf G berjumlah sama v
e = .
Dari Teorema 3.1.1 diketahui | 1 | | | 1 |
2 e e
v e v e
k v
≥ 3.2.1
Dengan menyubsitusikan v ke e pada 3.2.1 maka diperoleh batas k sebagai berikut
| 1 | 2 | 12 2
| 1 5
3 2 | 1 |
| .
2 2
2 v v
v v
k v
v v
v ≥
= =
Jika banyaknya vertex berjumlah ganjil,
| 1 v
habis dibagi dua, maka nilai bilangan magic minimum pada graf G adalah
5 3
| 2
2 v
k ≥
. Terbukti untuk i
Dari Lemma 3.1.1 diketahui | | | 1
| 2
sum
E v e v e
k v
v =
.
Karena v = e, subtitusikan v ke e pada Lemma 3.1.1 sehingga diperoleh
| | | 1 |
2 2 2 | 1
| 2
2 | 1 | . 3.2.2
sum sum
sum
E v v v v
k v
v E
v v k
v v
E v
k v
= ⇔
= ⇔
= Persamaan 3.2.2 mengakibatkan nilai
sum
E harus habis dibagi dengan banyaknya vertex
dalam graf G. Dari 3.1.3 diketahui sebagai berikut
| 1 .
2
sum
e e E
≤ Karena v
e = , substitusikan v ke e pada
3.1.3 sehingga diperoleh | 1
. 2
sum
v v E
≤ 3.2.5
Lalu substitusikan 3.2.5 ke 3.2.2 maka diperoleh
2 | 1 | | 1
2 2 | 1 |
| 1 2 | 1 |
2 | 1
=2 | 1 | . 3.2.6
2
sum
E k
v v
v v v
v v v
v v
v v
= ≥
=
Pelabelan minimum terjadi bila edge dilabelkan dengan bilangan 1 sampai v .
Jika banyaknya vertex berjumlah genap, | 1 v
tidak habis dibagi 2 maka untuk menentukan pelabelan yang minimum, edge tidak dapat
dilabelkan dengan bilangan 1 sampai v .
Namun meskipun label edge dengan bilangan 1 sampai v tidak dapat digunakan, dengan
sedikit trik dalam matematika yaitu dengan
menambahkan bilangan 2
v pada nilai
sum
E ,
maka bilangan magic yang minimum pada graf cycle genap dapat ditentukan.
Kasus berikut khusus untuk nilai
sum
E yang tidak habis dibagi dengan v
1 | 2 | 3 | ... | | 2
| 1 |
. 3.2.7 2
2
sum
v E
v v v
v =
= Dari 3.2.2 diketahui nilai k sebagai berikut
2 | 1 | .
sum
E k
v v
= Dengan menyubstitusikan nilai
sum
E pada
Persamaan 3.2.7 ke Persamaan 3.2.2 maka diperoleh nilai k sebagai berikut
2 | 1 | | 1 |
2 2 | 1 |
| 2 2 | 1 |
2 5
| 2. 2
sum
E k
v v
v v v
v v
v v
v =
≥ =
= Terbukti untuk ii
Contoh Kasus 3.2.1
Misalkan graf G=V,E adalah suatu graf cycle sederhana dengan v=15. Jika graf G
adalah suatu graf vertex magic maka tentukan nilai bilangan magic yang minimum.
Jawab Diketahui v = 15.
Nilai
sum
E minimum ditentukan pada label
edge dengan bilangan 1 sampai 15. Mengacu pada Akibat 3.2.1 maka nilai
bilangan magic graf G adalah sebagai berikut
5 3
| 2
2 5
3 =
15 | 2
2 78
39. 2
k v
=
= =
Maka nilai k yang minimum adalah k = 39. Contoh Kasus 3.2.2
Misalkan graf G=V,E adalah suatu graf cycle sederhana dengan v=4. Tentukan
pelabelan edge yang menghasilkan graf vertex magic dengan bilangan magic
minimum.
Jawab Diketahui v=4
Misalkan labelkan edge dengan v bilangan terkecil, yaitu 1 sampai v sehingga nilai
1 | 2 | 3 | 4
sum
E =
= 10. Nilai
10
sum
E =
tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex, karena nilai
sum
E
tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex maka
untuk menentukan pelabelan yang minimum nilai
sum
E
harus disesuaikan agar nilai
sum
E
tersebut habis dibagi dengan banyaknya vertex yaitu v =4.
Caranya adalah dengan mencari suatu bilangan yang nilainya paling dekat dengan 10
dan habis dibagi dengan 4. Nilai bilangan itu adalah 12.
Akibatnya diperoleh nilai
sum
E
yang baru
1 sum
E
, yaitu
1
12
sum
E =
. Karena pelabelan pada masing-masing edge
menghasilkan nilai
10
sum
E =
sedangkan nilai
1
12
sum
E =
maka untuk menyesuaikannya ubah tanda label terakhir pada pelabelan
pertama yang menghasilkan nilai
10
sum
E =
dari 4 menjadi 6, diperoleh dari
4 4 |
4 | 6
2 2
v = =
maka pelabelan edge dengan bilangan {1,2,3,6} merupakan pelabelan edge
dengan bilangan magic minimum. Untuk menentukan kemungkinan pelabelan
edge yang minimum pada graf vertex magic perlu diketahui batas minimum dari suatu
bilangan magic yaitu dengan mengetahui nilai
sum
E
serta banyaknya vertex yang terdapat dalam suatu graf.
3.3 Batas Atas Bilangan Magic
