I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf adalah ilmu yang berkembang sangat pesat, bahkan dalam perkembangannya
dapat disejajarkan dengan ilmu aljabar yang lebih dahulu berkembang. Di dalam
matematika dan ilmu komputer, teori graf adalah cabang ilmu yang mempelajari sifat-
sifat graf. Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titik-titik yang melambangkan
suatu vertexnode yang dihubungkan oleh garis-garis yang melambangkan suatu
edgearc.
Keunikan dari teori graf adalah terletak pada kesederhanaan pokok bahasan yang
dipelajarinya, karena dapat disajikan dalam bentuk titik vertex dan garis edge.
Meskipun pokok bahasan dari topik-topik pada teori graf sangat sederhana akan tetapi isi
di dalamnya belumlah tentu sesederhana itu.
Banyak masalah dalam dunia nyata yang dapat dinyatakan dalam suatu graf. Antara lain
masalah rute perjalanan, masalah penjadwalan, masalah jaringan listrik, bahkan
jaringan persahabatan pun dapat direpresentasikan ke dalam suatu graf, seperti
jaringan persahabatan pada Friendster, dengan vertex-nya menyatakan para pemakai
Friendster dan ada edge antara A dan B jika dan hanya jika A berteman dengan B.
Salah satu permasalahan utama di dalam teori graf adalah bagaimana menandai suatu
vertex dan edge, sedemikian sehingga setiap vertex dan edge yang saling bersebelahan
adjacent memiliki tanda yang berbeda.
Ada beberapa metode yang lazim digunakan untuk menandai suatu vertexedge,
di antaranya adalah dengan menggunakan teknik pewarnaan, atau yang lebih dikenal
dengan colouring method. Pada metode ini, setiap vertexedge ditandai dengan berbagai
jenis warna. Pewarnaan pada masing-masing vertexedge ini bukan sekedar mewarnai saja
namun di dalam melakukan pewarnaan ada ketentuan-ketentuan tertentu yang harus
diperhatikan, yaitu untuk setiap vertexedge yang adjacent diberikan tanda dengan warna-
warna yang berbeda, dimaksudkan agar setiap vertexedge yang saling berdekatan dapat
dengan mudah dibedakan.
Metode lain yang digunakan untuk menandai suatu vertex atau edge adalah
dengan menggunakan suatu bilangan atau angka. Hal menarik dari vertex dan edge yang
ditandai dengan bilangan adalah suatu graf vertex magic.
Untuk menentukan suatu graf vertex magic tidaklah mudah, diperlukan teknik atau
metode-metode tertentu dalam melabelkan suatu
vertexedge sedemikian sehingga mendapatkan suatu bilangan magic k yang
sesuai pada masing- masing vertex yang berbeda. Metode pelabelan vertex dan edge
dalam suatu graf berbeda-beda, bergantung pada banyaknya vertex dan edge yang terdapat
pada graf G tersebut. 1.2
Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah 1.
mempelajari dan membuktikan teorema- teorema yang terkait dengan batas
penentuan suatu bilangan magic pada graf cycle sederhana baik pada graf cycle ganjil
maupun graf cycle genap.
2. membuktikan teorema-teorema yang
terkait dengan pelabelan serta memanfaatkannya untuk melabelkan
vertex dan edge pada suatu graf cycle sederhana sedemikian sehingga
membentuk suatu graf vertex magic.
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang akan digunakan
dalam pembahasan pada bab-bab selanjutnya.
2.1 Teori Graf
Sebelum mengetahui definisi dari graf vertex magic dan bilangan magic, serta
pelabelan vertex dan edge, terlebih dahulu perlu diketahui beberapa konsep dasar dari
suatu graf.
Definisi 2.1.1 Graf
Suatu graf adalah pasangan terurut V,E dengan V adalah himpunan berhingga dan tak-
kosong dari elemen-elemen graf yang disebut simpul node, vertex dan E adalah himpunan
pasangan tak terurut dari simpul-simpul berbeda di V. Setiap p,q
∈
E dengan p,q
∈
V disebut sisi edge dan dikatakan menghubungkan simpul p dan q.
[Foulds, 1992]
Sebagai contoh graf dapat direpresentasikan seperti pada Gambar 1 dengan
{ }
1 2
3 4
5
, ,
, ,
V v v v v v
=
{ }
1 2
3 4
5 6
, ,
, ,
, E
e e e e e e =
Gambar 1
Definisi 2.1.2 Misalkan diberikan graf G = V,E
1. Jika
e
= p,q
∈
E maka vertex p dan q masing–masing dikatakan incident dengan
e
. 2.
Jika
e
= p,q
∈
E maka p dikatakan adjacent dengan q dan sebaliknya.
Himpunan simpul yang adjacent dengan r dinyatakan dengan
Γ
r. [Foulds, 1992]
Contoh 1
Gambar 2 Dari Gambar 2 dapat disimpulkan
1 Edge
1 2
, v v
E ∈
maka vertex
1
v
dan vertex
2
v
dikatakan
1
e
incident dengan edge
1 2
, v v
. 2
Vertex
1
v
adjacent dengan
vertex
2
v
dan
vertex
3
v
.
Vertex
1
v
tidak adjacent dengan
vertex
4
v
dan vertex
5
v
.
Definisi 2.1.3 Multigraf
Suatu multigraf adalah pasangan terurut V,E dengan V adalah himpunan berhingga
dan takkosong dari simpul–simpul dan E adalah himpunan pasangan tak terurut dari
simpul–simpul berbeda di V dan pengulangan diperbolehkan.
[Foulds, 1992] Contoh multigraf dapat dilihat pada Gambar 3
Gambar 3 Definisi 2.1.4
Walk
Suatu walk pada graf G = V,E yang menghubungkan vertex
1
v
dengan
n
v
adalah suatu barisan vertex dan edge dari G dengan
bentuk
{ }
1 1
2 2
2 3
3 1
1
, , ,
, , ,
,..., ,
, ,
n n
n n
v v v
v v v
v v
v v
v
− −
dan dapat dituliskan sebagai
{ }
1 2
, ,...,
n
v v v
atau
1 2
, ,...,
n
v v v
. Suatu walk yang menghubungkan
1
v
dengan
n
v
dikatakan tertutup closed walk jika
1 n
v v
=
. Jika
1 n
v v
≠
maka walk tersebut dikatakan terbuka.
[Foulds, 1992]
Definisi 2.1.5 Trail
Trail adalah walk yang semua sisinya berbeda.
[Thulasiraman Swamy, 1992]
Definisi 2.1.6 Trail Terbuka
Trail terbuka adalah trail yang kedua vertex ujungnya berbeda.
Selainnya disebut trail tertutup.
[Thulasiraman Swamy, 1992]
Definisi 2.1.7 Path
Path adalah trail terbuka yang semua vertex-nya berbeda.
[Thulasiraman Swamy, 1992] Definisi 2.1.8
Tour
Suatu tour adalah trail yang tertutup. [Thulasiraman Swamy, 1992]
5
v
4
v
3
v
2
v
1
v
6
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
e
5
v
3
v
4
v
2
v
1
v
6
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
e
5
v
4
v
3
v
2
v
1
v 2
Definisi 2.1.9 Cycle
Cycle adalah suatu walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga vertex dan semua
vertex-nya berbeda. [Foulds, 1992]
Definisi 2.1.10 Cycle Genap
Suatu cycle dikatakan genap even jika banyaknya edge dan vertex adalah genap.
[Foulds, 1992]
Definisi 2.1.11 Cycle Ganjil
Suatu cycle dikatakan ganjil odd jika banyaknya edge dan vertex adalah ganjil.
[Foulds, 1992]
Definisi 2.1.12 n–Cycle
Cycle dengan n buah edge disebut dengan n-cycle.
[Foulds, 1992]
Definisi 2.1.13 Graf Acyclic
Graf acyclic adalah graf yang tidak mengandung cycle.
[Foulds, 1992]
Definisi 2.1.14 Graf terhubungkan
Graf G = V,E dikatakan terhubungkan connected jika setidaknya ada satu path
yang menghubungkan setiap pasang vertex pada graf tersebut. Jika tidak ada maka graf
tersebut dikatakan graf tidak terhubungkan disconnected.
[Foulds, 1992]
Definisi 2.1.15 Graf Sederhana
Graf G = V,E disebut sederhana simple jika setiap pasang vertex yang
adjacent hanya terhubungkan oleh satu path. [Foulds, 1992]
2.2 Pelabelan Vertex
Kategori