Label pada edge ketujuh dengan
7 | 2
i n
= ≡
,
7
| 3 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
7 | 3 10
210 | 1
20 | 1 16
2 2
= −
= −
=
. Label edge kedelapan dengan
8 | 3
i n
= ≡
,
8
2 | 2
| 1 2
i
n i e
v
=
= −
25 | 8 210
| 1 2
= −
10 | 8 20
| 1 20 9 | 1 12
2 =
− =
− =
. Label edge kesembilan dengan
9 | 4
i n
= ≡
,
9
| 3 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
9 | 3 12
210 | 1
20 | 1 15
2 2
= −
= −
=
. Label edge kesepuluh dengan
10 | 5
i n
= ≡
,
10
2 | 2 | 1
i
e v
n
=
= −
210 5 | 2 | 1 20 7 | 1 14
= −
= −
=
. Untuk menentukan nilai dari label vertex
gunakan definisi dari bilangan magic k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e
Sehingga
x
v
=
ax bx
k e
e −
−
Label
1
v
dengan
1 1
2 1
,
a b
e e
e e
= =
adalah
1 1
1
36 20 6 10
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
2
v
dengan
2 2
3 2
,
a b
e e
e e
= =
adalah
2 2
2
36 6 19 11
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
3
v
dengan
3 3
4 3
,
a b
e e
e e
= =
adalah
3 3
3
36 19 13 4
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
4
v
dengan
4 4
5 4
,
a b
e e
e e
= =
adalah
4 4
4
36 13 18 5
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
5
v
dengan
5 5
6 5
,
a b
e e
e e
= =
adalah
5 5
5
36 18 17 1
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
6
v
dengan
6 6
7 6
,
a b
e e
e e
= =
adalah
6 6
6
36 17 16 3
i a
b
v k
e e
=
= − −
= −
− =
. Label
7
v
dengan
7 7
8 7
,
a b
e e
e e
= =
adalah
7 7
7
36 16 12 8
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
8
v
dengan
8 8
9 8
,
a b
e e
e e
= =
adalah
8 8
8
36 12 15 9
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
9
v
dengan
9 9
10 9
,
a b
e e
e e
= =
adalah
9 9
9
36 15 14 7
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
10
v
dengan
10 10
1 10
,
a b
e e
e e
= =
adalah
10 10
10
36 14 20 2
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
Berdasarkan langkah-langkah yang telah dilakukan maka diperoleh pelabelan graf G
sebagai berikut
Gambar 32 Graf cycle sederhana dengan v=10 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan.
3.7 Pelabelan Vertex dengan Bilangan
Ganjil atau Genap.
Suatu vertex dalam suatu graf cycle
sederhana dapat juga dilabelkan dengan suatu bilangan yang bernilai ganjil atau genap.
Berikut ini suatu teorema yang terkait dengan pelabelan suatu vertex dengan
bilangan ganjil. Teorema 3.7.1
Misalkan graf
G=V,E adalah suatu graf cycle sederhana dan v bernilai ganjil. Jika
graf G adalah suatu graf vertex magic dan vertex dilabelkan dengan bilangan ganjil dari
1 sampai 2v-1 maka nilai bilangan magic graf tersebut adalah
3 | 2 k
v =
.
Bukti Misalkan tidak terdapat suatu multigraf dalam
suatu graf G. Edge yang berada di sebelah kiri vertex,
berlawanan arah dengan arah jarum jam dan saling incident.
Edge yang berada di sebelah kanan vertex searah dengan arah jarum jam dan saling
incident. Labelkan vertex secara berurutan dimulai dari
bilangan ganjil 1 sampai 2v-1 dengan searah jarum jam.
Labelkan edge yang berada di sebelah kanan vertex pertama dengan bilangan genap yang
bernilai 2 sampai 2v secara menurun dimulai dari bilangan 2v.
Sehingga pelabelan vertex dan edge dapat dirumuskan seperti pada tabel di bawah ini.
11 2
6 7
9 8
4 5
1 3
19 10
20 14
15 12
16 17
18 13
Tabel 3.7.1
Kasus
x
v
ax
e
bx
e
I.Label vertex
dengan x=1,3,...
pada posisi
ke-i
4 | 1 0,...,
1 2
i i
v =
− | 1 2
v i
− 2
2 v
i −
II.Label vertex
dimulai dengan
x=2,4,... pada
posisi ke-i
4 | 3 0,...,
1 1
2 i
i v
= −
− 2
2 v
i −
1 2 v
i − −
Berikut gambaran suatu graf G dengan rumus untuk label vertex, label edge pada graf cycle
ganjil dan vertex dilabelkan dengan bilangan ganjil.
Gambar 33 Graf cycle sederhan dengan label vertex
bernilai ganjil. Label vertex dan label edge dalam kasus
pertama menghasilkan nilai bilangan magic sebagai berikut
k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e 4 | 1 | | 1 2 | 2
2 4
2 2 | | 2 | 1 | 1
3 | 2 k
i v
i v
i i
i i v
v v
= −
− = − −
=
Label vertex dan label edge dalam kasus kedua menghasilkan nilai bilangan magic
sebagai berikut k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e 4 | 3 | 2
2 | 1 2
4 2
2 | 2 | | 3 1 =3 | 2 .
k i
v i v
i i
i i
v v v
= −
− − = − −
−
Maka graf G adalah suatu graf vertex magic dengan nilai bilangan magic-nya adalah
3 | 2 v
. Terbukti
Contoh Kasus 3.7.1 Misalkan
graf G=V,E adalah suatu graf
vertex magic dengan v=10. Tentukan label vertex, label edge dan bilangan magic graf
tersebut. Jawab
Banyaknya vertex dalam graf G=3. Graf G sebelum dilabelkan.
Gambar 34 Graf cycle sederhana dengan v=3 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.7.1.
Label vertex pertama pada posisi ke-nol i=0,
1
4 | 1 40 | 1 1
v i
= =
=
. Label
1 a
e
,
1
| 1 2 3 | 1 20
4
a
e v
i =
− = −
=
. Label
1 b
e
,
1
2 2
23 20 6
b
e v
i =
− = −
=
. Label vertex kedua pada posisi ke-nol i=0,
2
4 | 3 40 | 3
3 v
i =
= =
. Label
2 a
e
2
2 2
23 20 6
a
e v
i =
− = −
=
. Label
2 b
e
2
1 2 3 1 20
2
b
e v
i = − − = − −
=
. Label vertex ketiga pada posisi ke-satu i=1
3
4 | 1 41 | 1
5 v
i =
= =
. Label
3 a
e
3
| 1 2 3 | 1 21
4 2 2
a
e v
i =
− = −
= − =
. Label
3 b
e
3
2 2
23 21 6 2
4
b
e v
i =
− = −
= − =
.
3
v
2
v
1
v
1 2 v
3 v -1
5 2 v -2
7 v -3
11 2 v -4
v |1 2 v -1
9
Sehinggga pelabelan vertex dan edge graf tersebut menjadi.
Gambar 35 Graf cycle sederhana dengan v=3 sesudah
dilabelkan. Contoh Kasus 3.7.2
Misalkan graf
G=V,E adalah suatu graf vertex magic dengan v=5. Tentukan label
vertex, label edge dan bilangan magic graf G tersebut.
Jawab Diketahui v=5.
Graf G sebelum dilabelkan.
Gambar 36 Graf cycle sederhana dengan v=5 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.7.1.
Label vertex pertama pada posisi ke-nol i=0
1
4 | 1 40 | 1 1
v i
= =
=
. Label
1 a
e
1
| 1 2 5 | 1 20
6
a
e v
i =
− = −
=
. Label
1 b
e
1
2 2
25 20 10
b
e v
i =
− = −
=
. Label vertex kedua pada posisi ke-nol i=0
2
4 | 3 40 | 3
3 v
i =
= =
. Label
2 a
e
2
2 2
25 20 10
a
e v
i =
− = −
=
. Label
2 b
e
2
1 2 5 1 20
4
b
e v
i = − − = − −
=
. Label vertex ketiga pada posisi ke-satu i=1
3
4 | 1 41 | 1
5 v
i =
= =
. Label
3 a
e
3
| 1 2 5 | 1 21
6 2 4
a
e v
i =
− = −
= − =
. Label
3 b
e
3
2 2
25 21 10 2
8
b
e v
i =
− = −
= − =
. Label vertex keempat pada posisi ke-satu
i=1
2
4 | 3 41 | 3
7 v
i =
= =
. Label
4 a
e
4
2 2
25 21 10 2
8
a
e v
i =
− = −
= − =
. Label
4 b
e
4
1 2 5 1 21
2
b
e v
i = − − = − −
=
. Label vertex kelima pada posisi ke-dua i=2
5
4 | 1 42 | 1
7 v
i =
= =
. Label
5 a
e
5
| 1 2 5 | 1 22
6 4 2
a
e v
i =
− = −
= − =
. Label
5 b
e
5
2 2
25 22 10 4
6
b
e v
i =
− = −
= − =
. Sehinggga pelabelan vertex dan edge graf
tersebut menjadi.
Gambar 37 Graf cycle sederhana dengan v=5 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan. Dengan menggunakan ide yang sama pada
Teorema 3.6.1, selanjutnya akan dibahas cara melabelkan suatu graf cycle sederhana dengan
v bernilai ganjil dan vertex dilabelkan dengan bilangan genap.
Teorema 3.7.2
Misalkan graf
G=V,E adalah suatu graf cycle sederhana dengan v bernilai ganjil.
Jika graf G adalah graf vertex magic dan vertex dilabelkan dengan bilangan genap dari
2 sampai 2v maka nilai bilangan magic graf tersebut adalah k=
3 | 1 v
.
Bukti Misalkan tidak terdapat suatu multigraf dalam
suatu graf G. Edge yang berada di sebelah kiri vertex
berlawanan arah dengan arah jarum jam dan saling incident.
Edge yang berada di sebelah kanan vertex searah dengan arah jarum jam dan saling
incident. Labelkan vertex secara berurutan dimulai
dengan angka genap dari 2 sampai 2v yang searah jarum jam.
1
3 5
6 4
2
3
8 1
10
4 5
7 9
6
2
5
v
4
v
3
v
2
v
1
v 26
Labelkan edge yang berada di sebelah kanan vertex pertama dengan bilangan ganjil yang
bernilai 1 sampai 2v-1 secara menurun dimulai dari bilangan 2v-1,
Sehingga pelabelan vertex dan edge dapat dirumuskan seperti pada tabel di bawah ini
Tabel 3.7.2
Kasus
x
v
ax
e
bx
e
I.Label vertex
dimulai dengan
x=1,3.. pada
posisi ke-i
4 | 2 0,...,
1 2
i i
v =
− 2
v i
− 2
1 2 v
i − −
Label vertex
dimulai dengan
x=2,4.. pada
posisi ke-i
4 | 4 0,...,
1 1
2 i
i v
= −
− 2
1 2 v
i − −
2 2
v i
− −
Berikut gambaran suatu graf G, dengan rumus untuk label pada vertex dan edge pada graf
cycle ganjil dan vertex dilabelkan dengan bilangan genap.
Gambar 38 Pelabelan vertex secara umum pada graf cycle
ganjil dengan label vertex bilangan genap. Label vertex dan label edge dalam kasus
pertama menghasilkan nilai bilangan magic sebagai berikut
k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e 4 | 2 |
2 | 2 1 2
4 2
2 | 2 | | 2 1 3 | 1 .
k i
v i
v i
i i
i v v
v =
− − −
= − − −
=
Label vertex dan label edge dalam kasus kedua menghasilkan nilai bilangan magic
sebagai berikut k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e 4 | 4 | 2
1 2 | 2
2 4
2 2 | 2 | | 4 1
=3 | 1 . k
i v
i v i
i i
i v v
v =
− − − −
= − − −
Maka graf G adalah suatu graf vertex magic dengan
3 | 1 k
v =
. Terbukti.
Contoh Kasus 3.7.3 Misalkan
graf G=V,E adalah suatu graf
vertex magic dengan v=3. Tentukan label vertex, label edge dan bilangan magic graf
tersebut. Jawab
Diketahui v = 3 Graf G sebelum dilabelkan.
Gambar 39 Graf cycle sederhana dengan v=3 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.7.2.
Label vertex pertama pada posisi ke-nol i=0
1
4 | 2 40 | 2
2 v
i =
= =
. Label
1 a
e
1
2 3 20
3
a
e v
i = − = −
=
. Label
1 b
e
1
2 1 2
23 1 20 5
b
e v
i =
− − = − −
=
. Label vertex kedua pada posisi ke-nol i=0
2
4 | 4 40 | 4
4 v
i =
= =
. Label
2 a
e
2
2 1 2
23 1 20 5
a
e v
i =
− − = − −
=
. Label
2 b
e
2
2 2
3 20 2 1
b
e v
i = − − = −
− =
. Label vertex ketiga pada posisi ke-satu i=1
3
4 | 2 41 | 2
6 v
i =
= =
. Label
3 a
e
3
2 3 21
1
a
e v
i = − = −
=
.
3
v
2
v
1
v
2
6 4
8 10
12 2 v -1
v -2
2 v -3 v -4
2v-5 v
2 v
Label
3 b
e
3
2 1 2
23 1 21 3
b
e v
i =
− − = − −
=
. Sehinggga pelabelan vertex dan edge graf
tersebut menjadi.
Gambar 40 Graf cycle sederhana dengan v=3 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan.
Contoh Kasus 3.7.4 Misalkan
graf G=V,E adalah suatu graf
vertex magic dengan v = 5. Tentukan label vertex, label edge dan bilangan magic graf
tersebut. Jawab
Diketahui v=15
Graf G sebelum dilabelkan.
Gambar 41 Graf cycle sederhana dengan v=5 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.7.2,
Label vertex pertama pada posisi ke-nol i=0
1
4 | 2 40 | 2
2 v
i =
= =
. Label
1 a
e
1
2 5 20
5
a
e v
i = − = −
=
. Label
1 b
e
1
2 1 2
25 1 20 9
b
e v
i =
− − = − −
=
. Label vertex kedua pada posisi ke-nol i=0
2
4 | 4 40 | 4
4 v
i =
= =
. Label
2 a
e
2
2 1 2
25 1 20 9
a
e v
i =
− − = − −
=
. Label
2 b
e
2
2 2
5 20 2 3
b
e v
i = − − = −
− =
. Label vertex ketiga pada posisi ke-satu i=1
3
4 | 2 41 | 2
6 v
i =
= =
. Label
3 a
e 2
5 21 3
a
e v
i = − = −
=
. Label
3 b
e
3
2 1 2
25 1 21 7.
b
e v
i =
− − =
− − =
Label vertex keempat pada posisi ke-satu i=1
4
4 | 3 41 | 4
8 v
i =
= =
. Label
1 a
e
1
2 1 2
25 1 21 7.
a
e v
i =
− − =
− − =
Label
1 b
e 2
2 5 21 2
1
b
e v
i = − − = −
− =
. Label vertex kelima pada posisi ke-dua i=2
5
4 | 2 42 | 2
10 v
i =
= =
. Label
5 a
e
5
2 5 22
1.
a
e v
i = − = −
=
Label
5 b
e
5
2 1 2
25 1 22 5.
b
e v
i =
− − =
− − =
Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada graf tersebut menjadi
Gambar 42 Graf cycle sederhana dengan v=5 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan 2
6 9
4 3
5 10
1 8
7 4
2 5
3 6
1
5
v
4
v
3
v
2
v
1
v 28
IV SIMPULAN dan SARAN
4.1
SIMPULAN
Pelabelan vertex dan edge pada graf cycle sederhana dapat menghasilkan suatu graf
vertex magic. Untuk menentukan label vertex dan label
edge pada suatu graf cycle sederhana sedemikian sehingga membentuk suatu graf
vertex magic dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan pelabelan
yang minimum dan pelabelan yang maksimum.
Penentuan label vertex dan label edge pada graf cycle ganjil lebih mudah jika
dibandingkan dengan graf cycle genap. Jika banyaknya vertex dalam suatu graf cycle
berjumlah ganjil maka pelabelan vertex dan edge yang menghasilkan graf vertex magic
dapat langsung menggunakan teorema- teorema yang telah dibahas pada bab
sebelumnya, namun jika banyaknya vertex dalam suatu graf cycle berjumlah genap maka
penentuan label vertex dan label edge dilakukan dengan menyesuaikan jumlah
seluruh label edge terlebih dahulu. 4.2 SARAN
Bagi yang berminat membuat karya tulis yang berhubungan dengan graf vertex magic
dapat mencari penyelesaian masalah pelabelan pada graf cycle lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Chartrand, G . Oellermann O. R. 1993.
Applied and Algorithm Graph Theory. New York : Mc Graw-Hill.
Cunningham Daisy.
2004. Vertex - Magic. Electronic Journal of Undergraduate
Mathematics. Volume 9: 1-20. Foulds L. R.
1992. Graph Theory and Applications. New York : Springer
Verlag. Marethi Indiana
. 2004. Masalah Minimax Spanning Forest MMSF dengan
Lebih dari Dua Vertex Root [Skripsi]. Bogor: Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor.
Thulasiraman K. Swamy M. N. S. 1992.
Graph Theory and Algorithm. New York : John Willey Sons.
Stewart J.
1998. Kalkulus. Jilid I. Edisi keempat. Terjemahan I Nyoman Susila
dan Hendra Gunawan. Jakarta : Erlangga.
PENYELESAIAN MASALAH PELABELAN GRAF
VERTEX MAGIC PADA GRAF
CYCLE SEDERHANA
ALI SADIKIN G54103039
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
2008
ABSTRAK
ALI SADIKIN . Penyelesaian Masalah Pelabelan Graf Vertex Magic Pada Graf Cycle Sederhana.
Dibimbing oleh SISWANDI dan DONNY CITRA LESMANA.
Graf vertex magic adalah suatu graf yang memiliki nilai bilangan magic yang sama pada masing-masing vertex yang berbeda. Graf cycle sederhana adalah suatu walk tertutup yang
mengandung setidaknya tiga vertex, semua vertex-nya berbeda dan setiap vertex terhubungkan oleh satu edge.
Untuk membentuk suatu graf vertex magic terlebih dahulu harus dipilih bilangan yang tepat sedemikian sehingga dari pelabelan vertex dan edge tersebut dapat menghasilkan nilai bilangan
magic pada masing-masing vertex yang berbeda. Graf cycle sederhana dapat dijadikan graf vertex magic dengan dua cara yaitu menggunakan
pelabelan minimum dan pelabelan maksimum. Pelabelan minimum pada edge akan menghasilkan nilai bilangan magic yang minimum sedangkan pelabelan maksimum pada edge akan
menghasilkan nilai bilangan magic yang maksimum.
ABSTRACT
ALI SADIKIN . Labeling Problem in Vertex Magic Graph on Simple Cyclic Graph. Supervised by
SISWANDI and DONNY CITRA LESMANA.
Vertex magic graph is a graph which has the same magic number in every different vertex. Simple cyclic graph is a closed walk which have at least three verteces, all verteces are unique and
every vertex connected with one edge. To build a vertex magic graph, the right number should be chosen so that vertex and edge
labeling can produce magic number in every different vertex. There are to ways to make a vertex magic graph from simple cyclic graph, on is minimum
labeling and the other is maximum labeling. Minimum labeling on edge will produce a minimum magic number and maximum labeling on edge will produce a maximum magic number.
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
