Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
2. Distribusi dari Penaksir Tak Bias
Dalam hal ini, penentuan distribusi dari penaksir
digunakan teknik fungsi pembangkit momen.
Dari uraian sebelumnya diperoleh :
n n
Y c
Y c
Y c
...
2 2
1 1
Dengan :
n i
X X
X X
c
n i
i i
i
,..., 3
, 2
, 1
;
1 2
Karena Y
1
,Y
2
, ,Y
n
adalah sampel acak berukuran n yang berasal dari populasi berdistribusi N + X
i
;
2
, maka fungsi pembangkit momen dari Y
i
adalah : M
Yi
t = exp[ + X
i
t + ½
2
t
2
] ;
t
Fungsi pembangkit momen dari
adalah: ]
[exp
t E
t M
= E[exp{tc
1
Y
1
+ c
2
Y
2
+ + c
n
Y
n
}] = E[exptc
1
Y
1
. exptc
2
Y
2
. . exptc
n
Y
n
] = E[exptc
1
Y
1
] . E[exptc
2
Y
2
] . . E[exptc
n
Y
n
] = M
Y1
c
1
t. M
Y2
c
2
t. . M
Yn
c
n
t. = {exp[ + X
1
t + ½
2
c
1
t
2
] }. {exp[ + X
2
t + ½
2
c
2
t
2
] } . . {exp[ + X
n
t + ½
2
c
n
t
2
] } =
n i
n i
i i
i
c t
t c
X
1 1
2 2
2
. 2
1 exp
Akan diuraikan bentuk yang ada pada pangkatnya.
n
i n
i n
i i
i i
i i
X c
t t
c t
c X
1 1
1
. .
.
n i
n i
i i
i
X c
t c
t
1 1
. .
.
Karena dari uraian sebelumnya sudah diperoleh hasil bahwa
n
i i
c
1
0 dan
n
i i
i
X c
1
1, maka:
n
i i
i
t t
t t
t c
X
1
. .
1 .
.
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
n
i n
i
c c
c c
1 2
2 2
2 1
2
...
=
2 1
2 1
2
n i
i n
i i
X X
X X
n i
n i
i i
X X
c
1 1
2 2
1
Jadi :
n i
i
X X
t t
t M
1 2
2 2
1 .
. 2
1 .
exp
=
2
1 2
2
. 2
1 .
exp t
X X
t
n i
i
Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal dengan mean = dan varians =
n
i i
X X
1 2
2
.
Sehingga
n i
i
X X
N usi
berdistrib
1 2
2
;
.
3. Besaran Pivot
Misalkan besaran pivotnya adalah:
n i
i e
X X
S T
1 2
2
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
4. Distribusi dari Besaran Pivot
Besaran pivot di atas bisa dituliskan kembali sbb:
n i
i e
X X
S T
1 2
2
2 .
. 2
.
2 2
1 2
2
n S
n X
X T
e n
i i
2 1
. .
2
2 2
1 2
2
n S
n X
X T
e n
i i
2
n
V W
T
Berikut ini akan diuraikan bentuk W dan V.
n i
i
X X
W
1 2
2
Penentuan distribusi dari W akan digunakan teknik fungsi pembangkit momen.
Karena
n i
i
X X
N usi
berdistrib
1 2
2
;
, maka fungsi pembangkit momennya berbentuk:
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
2 1
2 2
. 2
1 .
exp t
X X
t t
M
n i
i
Fungsi pembangkit momen dari W adalah: M
W
t = E[exptW]
=
n i
i
X X
t E
1 2
2
exp
=
n i
i n
i i
X X
t
X X
t E
1 2
2 1
2 2
. .
exp
=
n
i i
n i
i
X X
t E
X X
t
1 2
2 1
2 2
. exp
. .
exp
=
n i
i n
i i
X X
t M
X X
t
1 2
2 1
2 2
. .
exp
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
=
n i
i n
i i
n i
i n
i i
X X
t X
X X
X t
X X
t
1 2
2 2
1 2
2
1 2
2 1
2 2
. .
2 1
. exp
. .
exp
M
W
t = exp ½ t
2
Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal baku.
Sehingga W berdistribusi N0;1.
2 2
. 2
e
S n
V
n i
i i
e
Y Y
n S
1 2
2
2 1
n
i i
i
X Y
n
1 2
. 2
1
Dari uraian sebelumnya diperoleh X
Y .
sehingga :
n
i i
i e
X X
Y Y
n S
1 2
2
. .
2 1
n i
i i
e
X X
Y Y
S n
1 2
2
. 2
2 1
. .
. .
n i
i i
i i
X X
X X
Y X
X Y
=
2 1
. .
n i
i i
i i
X X
X X
X Y
X Y
=
2 1
. .
n i
i i
i
X X
X Y
X Y
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
=
n
i i
n i
i i
X X
X Y
n X
Y
1 2
2 1
2 2
. .
. .
n
i i
i
X Y
X Y
1
. .
. 2
n i
i i
i
X X
X Y
1
. .
2
n i
i
X X
X Y
1
. .
2
Dengan : i
n
i i
i
X Y
X Y
1
. .
n i
n i
i i
X Y
X X
Y Y
1 1
. .
. .
. .
. .
. .
1
X Y
X n
X Y
Y n
n i
i
n i
n i
i i
X n
X Y
Y n
Y X
n Y
n Y
n
1 1
2 2
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
n
i i
X X
X n
1 2
. .
. .
.
X
n n
X n
Y Y
n Y
X n
Y n
Y n
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
2 2
X n
X X
n .
. .
. .
.
2
2 2
2 2
. .
. .
. .
2 .
. .
. .
2 .
. .
2 .
X n
X n
n Y
X n
Y n
Y n
. .
. .
2 .
. .
2 .
. 2
.
2 2
2 2
X X
Y X
Y Y
n
2 2
. .
. 2
. X
X Y
Y n
2
. .
X Y
n
ii
n i
i i
i
X X
X Y
1
.
n i
i i
i
X X
X Y
1
. .
n i
n i
n i
n i
n i
i i
i i
i i
X X
X X
X Y
X Y
X
1 1
1 1
1 2
. .
. .
. .
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
n
i n
i i
i i
X n
X Y
n X
Y X
1 1
2 2
. .
. .
. .
n
i n
i i
i i
X n
X Y
X n
Y X
1 1
2 2
. .
. .
.
Karena
n
i i
n i
i i
X n
X Y
X n
Y X
1 2
2 1
. .
.
, maka diperoleh :
n i
i n
i i
X n
X X
n X
1 2
2 1
2 2
. .
.
n
i i
X n
X
1 2
2
. .
n i
i
X X
1 2
2
.
iii
n i
i
X X
X Y
1
.
n i
i
X X
X Y
1
. .
. .
X Y
= 0 Sehingga:
n
i i
n i
i i
e
X X
X Y
n X
Y S
n
1 2
2 1
2 2
2
. .
. .
. 2
. .
2 .
. .
2
1 2
2 2
n i
i
X X
X Y
n
n
i i
n i
i i
X X
X Y
n X
Y
1 2
2 1
2 2
. .
. .
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
Kedua ruas dibagi
2
, sehingga diperoleh:
2 1
2 2
2 2
2 1
2 2
2
. .
. .
. 2
n
i i
n i
i i
e
X X
X Y
n X
Y S
n
2
1 2
2 1
2
. .
n
i i
n i
i i
X X
n X
Y X
Y
A = B C
D B = A + C + D
Fungsi pembangkit momen dari B adalah: M
B
t = E[exptB] = E[exp{tA + C + D}]
= E[exptA + tC + tD] = E[exptA.exptC.exptD]
= E[exptA].E[exptC].E[exptD] = M
A
t.M
C
t.M
D
t
. t
M t
M t
M t
M
D C
B A
Karena : a. Y berdistribusi N + .X ;
2
. X
Y
berdistribusi N0;1
2
.
X Y
berdistribusi
2
1
n i
n i
i i
i
X Y
B B
1 1
2 2
.
berdistribusi
2
n M
B
t = 1 2t
-12n
; t 12
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
b.
n
X N
usi berdistrib
Y
2
; .
n X
Y
.
berdistribusi N0;1
2
.
n
X Y
C
berdistribusi
2
1
M
C
t = 1 2t
-12
; t 12
c.
n i
i
X X
N usi
berdistrib
1 2
2
;
n i
i
X X
1 2
berdistribusi N0;1
2
1 2
n i
i
X X
D
berdistribusi
2
1
M
D
t = 1 2t
-12
; t 12
Sehingga:
2 2
1 2
1 2
1 .
2 1
2 1
2 1
. 2
1 2
1
n n
A
t t
t t
t M
Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan = n
2.
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
Sehingga bisa ditulis :
. 2
. 2
2 2
2
n
usi berdistrib
S n
A
e
Selanjutnya akan ditentukan distribusi dari T dengan menggunakan teknik transformasi peubah acak.
Misalkan W adalah peubah acak berdistribusi normal baku dan V adalah peubah acak berdistribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan dk = r = n - 2.
Kedua peubah acak W dan V saling bebas.
Jika peubah acak
r V
W T
, maka akan ditentukan fungsi kepadatan peluang dari T.
Fungsi kepadatan peluang dari W adalah:
w e
w f
w
; 2
1
2 2
Fungsi kepadatan peluang dari V adalah: gv =
v e
v r
v r
r
; .
2 .
2 1
2 1
2 2
= 0 ; v lainnya. Karena W dan V saling bebas, maka fungsi kepadatan peluang gabungannya
adalah: hw,v = fw.gv
= .
2 1
2 2
w
e
v w
e v
r
v r
r
, ;
. 2
. 2
1
2 1
2 2
= 0 ; w,v lainnya. Karena transformasi peubah acak yang diketahui berbentuk
r V
W T
, maka akan dimisalkan transformasi peubah acak keduanya adalah U = V.
Jadi transformasi peubah acaknya adalah
r V
W T
dan U = V.
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
Hubungan antara nilai w dari W dan nilai v dari V dengan nilai t dari T dan nilai u dari U diberikan dengan:
r v
w t
dan u = v
Invers:
r u
t w
dan v = u
Jacobiannya: J =
r u
ru t
r u
u v
t v
u w
t w
1 2
r u
J
Fungsi kepadatan peluang gabungan dari T dan U adalah: kt,u =
J u
r u
t h
. ,
kt,u =
r u
r t
u u
r
e r
. 1
2 exp
. 2
. 2
. 2
1
2 1
2 2
; - t , 0 u
= 0 ; t,u lainnya. Fungsi kepadatan peluang marginal dari T adalah:
du
u t
k t
k ,
1
=
r u
r t
u u
r
r r
. 1
2 exp
. 2
. 2
. 2
1
2 1
2 2
du
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
=
du r
u r
t u
u r
r r
. 1
2 exp
. 2
. 2
. 2
1
2 2
1 2
2
Misalkan:
y r
t u
2
1 2
r t
y u
2
1 2
dy r
t du
2
1 2
Batas-Batas: Untuk u = 0, maka y = 0 Untuk u =
, maka y =
dy r
t e
r t
y r
t k
y r
r 2
2 1
2 2
2 1
1 2
. .
1 2
2 .
2 .
2 1
dy e
y r
t r
r
y r
r r
r
.
1 .
2 .
2 .
2 2
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 1
2
1 .
2 .
2 1
r
r t
r r
r
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
Maka:
t r
t r
r r
t k
r
; 1
. 2
. 2
1
2 1
2 1
Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi kepadatan peluang dari distribusi t dengan derajat kebebasan = r = n
2.
5. Besaran Pivot Disubstitusikan kedalam Bentuk Umum Taksiran
