Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
berusaha untuk menurunkan rumus-rumus yang terdapat dalam statistika khususnya dalam regresi. Salah satu masalah yang terdapat dalam regresi
adalah taksiran interval dari koefisien regresi dalam regresi linear sederhana. Sehingga permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah bagaimana
penurunan rumus taksiran interval untuk koefisien regresi linear sederhana dengan menggunakan metode besaran pivot?
Pembahasan
Menurut Herrhyanto 2003:156 dan 2010:52, langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan taksiran interval sebuah parameter dari sebuah
distribusi dengan menggunakan metode besaran pivot sbb: 1. Tentukan taksiran titik dari parameter itu. Dalam hal ini, tentunya dicari
penaksir tak bias bagi parameter itu. 2. Tentukan distribusi dari penaksir tak bias itu kalau diperlukan.
3. Tentukan besaran pivot, yaitu besaran yang mengandung penaksir dan parameter sedemikian hingga distribusinya tidak bergantung pada
parameternya. 4. Tentukan distribusi dari besaran pivot.
5. Besaran pivot itu disubstitusikan kedalam bentuk umum dari taksiran interval dengan derajat keyakinan sebesar 1
, yaitu : Pa besaran pivot b = 1
6. Ubah bentuk dalam langkah kelima kedalam bentuk: Pc parameter d = 1 -
Berikut ini akan dijelaskan langkah-langkah di atas.
1. Penaksir Titik Parameter yang Tak Bias
Persamaan regresi linear sederhana mempunyai bentuk Y = + X + dan persamaan regresi taksirannya berbentuk
X Y
. Karena Y berdistribusi N + x ;
2
, maka fungsi kepadatan peluang dari Y berbentuk:
y
x y
y f
; 2
1 exp
. 2
1
2 2
2
Dalam hal ini akan ditentukan penaksir dari dan dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum.
Fungsi kemungkinan dari Y
1
,Y
2
, ,Y
n
adalah:
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
L , ,
2
;y
1
,y
2
, ,y
n
=
2 1
1 2
2
2 1
exp .
2 1
x y
x
2 2
2 2
2
2 1
exp .
2 1
x y
x x
2 2
2
2 1
exp .
2 1
n n
x y
=
n
i i
i n
x y
1 2
2 2
2 1
exp .
2 1
ln L , ,
2
;y
1
,y
2
, ,y
n
=
n
i i
i
x y
n
1 2
2 2
2 1
. 2
1 ln
.
n
i i
i n
x y
y y
y L
1 2
2 1
2
1 .
2 .
2 1
,..., ,
; ,
, ln
n
i i
i
x y
1 2
1
n
i i
i i
n
x x
y y
y y
L
1 2
2 1
2
. 2
. 2
1 ,...,
, ;
, ,
ln
n
i i
i i
x x
y
1 2
1
Syarat : a.
,..., ,
; ,
, ln
2 1
2
n
y y
y L
1
1 2
n
i i
i
x y
1
n
i i
i
x y
. .
1 1
n i
i n
i i
x n
y
n i
i n
i i
x n
y
1 1
. .
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
b.
,..., ,
; ,
, ln
2 1
2
n
y y
y L
1
1 2
i
n i
i i
x x
y
1
i
n i
i i
x x
y
. .
1 2
1 1
n
i i
n i
n i
i i
i
x x
y x
n
i i
n i
n i
i i
i
x x
y x
1 2
1 1
. .
Jadi diperoleh dua persamaan normal, yaitu:
n i
i n
i i
x n
y
1 1
. .
n
i i
n i
n i
i i
i
x x
y x
1 2
1 1
. .
Dengan menggunakan Aturan Cramer diperoleh :
n
i n
i i
i n
i i
i n
i i
n i
i n
i i
x x
n y
x x
x y
1 2
1 2
1 1
1 2
1
.
n i
n i
i i
n i
i n
i i
n i
i i
x x
n y
x y
x n
1 2
1 2
1 1
1
. .
Jadi penaksir kemungkinan maksimum bagi dan adalah:
n
i n
i i
i n
i i
i n
i i
n i
i n
i i
X X
n Y
X X
X Y
1 2
1 2
1 1
1 2
1
.
n i
n i
i i
n i
i n
i i
n i
i i
X X
n Y
X Y
X n
1 2
1 2
1 1
1
. .
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
Atau bisa juga diperoleh:
n i
i n
i i
x n
y
1 1
. .
n i
i n
i i
x n
y n
1 1
1 .
1
x y
.
x y
.
Jadi penaksir bagi berbentuk: X
Y .
Dan penaksir
nya bisa ditulis sbb:
n i
n i
i i
n i
i n
i i
n i
i i
X X
n Y
X Y
X n
1 2
1 2
1 1
1
. .
n
i i
n i
i i
X n
X Y
X n
Y X
1 2
2 1
. .
.
Kemudian akan diperiksa bahwa
harus merupakan penaksir tak bias bagi . Dari penaksir
akan diuraikan bentuk pada pembilang maupun penyebutnya satu persatu.
n
i i
n i
i i
n i
i i
Y X
Y X
Y X
n Y
X
1 1
1
. .
. =
n
i i
i i
Y X
Y X
1
. =
i n
i i
Y X
X .
1
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
2 2
1 2
2 1
2
. .
. 2
. X
n X
n X
X n
X
n i
i n
i i
=
2 1
1 2
. .
. 2
X n
X X
X
n i
i n
i i
=
n
i i
i
X X
X X
1 2
2
. .
2 =
2 1
n
i i
X X
Sehingga:
n
i i
n i
i i
X X
Y X
X
1 2
1
.
n i
i n
n n
i i
n i
i
X X
Y X
X X
X Y
X X
X X
Y X
X
1 2
1 2
2 2
1 2
1 1
...
n n
Y c
Y c
Y c
...
2 2
1 1
Dengan : i
n
i i
X X
X X
c
1 2
1 1
ii
n
i i
X X
X X
c
1 2
2 2
iii
n
i i
n n
X X
X X
c
1 2
Karena Y
1
,Y
2
, ,Y
n
adalah sampel acak berukuran n yang berasal dari populasi berdistribusi N + X
i
;
2
, maka: ...
2 2
1 1
n n
Y c
Y c
Y c
E E
...
2 2
1 1
n n
Y c
E Y
c E
Y c
E
.
... .
.
2 2
1 1
n n
Y E
c Y
E c
Y E
c
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
...
2 2
1 1
n n
X c
X c
X c
...
...
2 2
1 1
2 1
n n
n
X c
X c
X c
c c
c
Dengan :
c
1
+ c
2
+ + c
n
=
n
i i
X X
X X
1 2
1
+
n
i i
X X
X X
1 2
2
+ +
n
i i
n
X X
X X
1 2
=
n i
i n
i i
X X
X X
1 2
1
=
n
i i
X X
1 2
c
1
+ c
2
+ + c
n
= 0
c
1
X
1
+ c
2
X
2
+ + c
n
X
n
=
n
i i
X X
X X
X
1 2
1 1
+
n
i i
X X
X X
X
1 2
2 2
+ +
n
i i
n n
X X
X X
X
1 2
=
n i
i n
i i
i
X X
X X
X
1 2
1
n i
n i
i i
n i
n i
i i
X n
X X
X X
X X
1 2
1 2
1 1
2
. .
. 2
.
n i
i n
i i
X n
X X
n X
1 2
2 1
2 2
. .
c
1
X
1
+ c
2
X
2
+ + c
n
X
n
= 1 Jadi :
1 E
Sehingga
merupakan penaksir tak bias bagi .
Infinity
Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012
2. Distribusi dari Penaksir Tak Bias
