Teori Peluang dan Statistika Komputasi E (1)

  Indira Puteri Kinasih(20110006)

  Tugas III - TEORI PELUANG DAN STATISTIKA (AK5103) th

  Sumber : Introduction to Mathematical Statistics 6 Edition Dosen Pengampu : Prof. DR. Sutawanir Darwis

  “Komputasi Estimasi Maximum Likelihood pada Distribusi Logistik”

  Misalkan

  X , X , ... , X adalah peubah acak yang berdistribusi identik dan independen _n

  1

  2

  dengan fungsi densitas yaitu

  exp    x     f x , , x ,

  

              

  2 1 exp

      x      

  (1) Metode estimasi Maximum Likelihood dapat digunakan untuk memperoleh estimasi parameter

  , , ˆ , yaitu dengan terlebih dulu mengkonstruksi fungsi likelihood dari f   x  yaitu _n

  L  x ,    f  x ,   _{i i}  _i

   _n

  1

  exp x 

        _i

  

  2  _i

  1 exp 

   1     x     i 

  (2) Untuk memudahkan estimasi, kita akan mengambil bentuk logaritma dari persamaan (2), sehingga menjadi _n

  

exp    x    

_i

ln L  x ,    ln _i  _i

  2 1 exp  _n  1      x    

_i

  2  ln exp  x    l n 1  exp  x  

              _{i i}  _i

  

  1 _n n  n

  X 2 ln 1 exp x 

           

_i

   _i 

  1  l   

  (3) Selanjutnya, kita akan menurunkan persamaan (3) terhadap  , yaitu _n

  

l exp   x  

       i    n 

  2

  

  1 exp x   i        

   1 i

  (4) Kita juga akan melihat bentuk turunan kedua persamaan (3) terhadap  , apakah bentuk

  l

      turunan tersebut bernilai negatif, untuk memastikan bahwa nantinya solusi dari    adalah maksimum.

  2 n

  exp 1 exp exp exp  l    x          x           x        x      _{i i i i}

  2  

  2

  2 

    i 

  1

  1  exp   x   _n      _i exp

    x   

   i 

  2  

  2  _i

  1 exp x

   1           _i

   (5)

  Selanjutnya persamaan (4) disamadengankan nol, sehingga diharapkan kita memiliki solusi eksplisit dari  

   l   

    _n exp 

     x    _i

  2

  n   _i

  1  exp   x    _n  1  i  exp 

  

n    x   

_i

  

  

  2 i 1  exp   x   

   1  i 

  (6) Terlihat pada persamaan (6) bahwa kita tidak dapat memperoleh solusi eksplisit dari  , sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk mendapatkan solusi aproksimasi persamaan (6), yang nantinya disebut sebagai estimator

  ˆ . Dalam hal ini, kita akan menggunakan metode numerik Newton-Raphson, dengan formula sebagai berikut :

  l   

   _i  

    _{i 1 i} 

  l    _i

  (7) Iterasi akan dilakukan dengan memberikan inisiasi pada nilai   median  

  X , yaitu nilai

  tengah dari 100 data acak berdistribusi logistik yang telah dibangkitkan dengan menggunakan bantuan MINITAB, menggunakan parameter   .

  5 . Nantinya, melalui

  metode numerik Newton-Raphson, akan dilihat apakah aproksimasi nilai  , yaitu ˆ dapat mendekati nilai parameter yang sebenarnya, yaitu   .

  5 .

Berikut disertakan R listing code metode Newton-Raphson :

  #METODE NEWTON UNTUK APROKSIMASI ESTIMASI MAXIMUM LIKELIHOOD UNTUK #SUATU DATA BERDISTRIBUSI LOGISTIK

• read.table(file("logistik.dat", encoding="latin1")); V1<-scan("logistik.dat", skip = 1, quiet= TRUE); mlelogisticfunc=function(V1,toler=.001){} toler=.001; startvalue=median(V1);

thetahatcurr=startvalue;

• #Menghitung turunan pertama dari Log Likelihood firstderivll=n-2*sum(exp(-V1+thetahatcurr)/(1+exp(-V1+thetahatcurr))) #menghitung turunan kedua dari fungsi Log Likelihood secondderivll=-2*sum(exp(-V1+thetahatcurr)/(1+exp(-V1+thetahatcurr))^2); #Melanjutkan metode Newton hingga turunan pertama dari fungsi likelihood #dengan toleransi = .001 while(abs(firstderivll)>toler){} #Pemakaian metode Newton untuk memperbarui perhitungan nilai theta

  thetahatnew=thetahatcurr-firstderivll/secondderivll; thetahatcurr=thetahatnew; list(thetahat=thetahatcurr); $thetahat [1] 0.3575809 Dari hasil keluaran komputasi, diperoleh ˆ  0.3575809 . Nilai ini mendekati parameter

   ˆ  . 5 . 