Teori Peluang dan Statistika Ekspektasi

  Indira Puteri Kinasih(20110006)

  Tugas I - TEORI PELUANG DAN STATISTIKA (AK5103) th

  Sumber : Introduction to Mathematical Statistics 6 Edition Dosen Pengampu : Prof. DR. Sutawanir Darwis 1.

  Misalkan X merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut :

  

f   x  ,  x  b  

f   x  , x lainnya

  Tunjukkan bahwa _b

  E   x  

  1  F   x  dx

   dengan F   x merupakan fungsi distribusi dari x .

  Jawab :

  Untuk membuktikan bentuk diatas, akan digunakan metode pembuktian terbalik, yaitu pembuktian melalui ruas kanan menuju ruas kiri. Yaitu akan dibuktikan bahwa : _b

  

  1  F   x  dx  E   x

  

  Sebelumnya, terlebih dahulu akan sedikit dijelaskan mengenai hubungan

  F x f x

  antara fungsi distribusi   dengan fungsi kepadatan peluang   . Seperti yang telah diketahui bersama bahwa

  dF   x

f x atau F x f x dx

       

   dx

  Sehingga untuk membuktikan bentuk diatas, kita akan menggunakan metode integral parsial u dv  uv  v du , dengan u  1   F   x   du   f   x dx

   

  dan dv dx v x , sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :

     _{b b b}  1  F   x  dx    1  F   x  x   x   f   x  dx

    _{b b}   1  F   x  x  xf   x dx

     _b

    1  F   b  b   1  F     xf   x dx _b 

  1 F b b xf x dx

         Perhatikan bahwa bentuk  1  F   b  b dapat diselesaikan apabila kita memahami salah satu sifat dari fungsi distribusi, yaitu : _b lim F   b 

  1  

  Sehingga, dapat dituliskan sebagai berikut : _{b b}

  

  1  F   x  dx   1  F   b  b  xf   x dx

    _b

     1  1 b  xf   x dx _b 

  xf x dx

    

  

   E   x , terbukti

  2. Misalkan X merupakan peubah acak diskret dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut :

  f x , x 1 , 2 , 3 ,...

     

f x , x lainnya

    

  Tunjukkan bahwa

   E   x   1  F   x 

   _x  dengan F   x merupakan fungsi distribusi dari x .

  Jawab :

  Penyelesaian problem ini, dilakukan dengan metode pembuktian langsung, dari ruas kiri ke ruas kanan. Perhatikan bahwa untuk peubah acak diskret, berlaku hubungan berikut :

  

E x x f x

    

  



_x

F x P

X x f t x

  

         ,      , dan

 _{t x}

  

f   x  F    x  F x 

  1  Dengan beberapa hubungan yang telah diketahui di atas, kita dapat menuliskan :

  E x  x f x    

   _x  f   1  2 f   2  3 f   3  ...  F     1  F 

  2 F     2  F

1 

  3 F 3  F   2  ...   lim F   x      

    _x  

  

             

 

  2

          

     

    

  1

  2

  1

  2

  3

           

  2

  1 ... lim

  2

  1 ... lim

  ,

  

F x F F F F F x E

x ^{x x}

      F terbukti x F x F F F

          