Teori Peluang dan Statistika Multivariat

  Indira Puteri Kinasih(20110006) Tugas II - TEORI PELUANG DAN STATISTIKA (AK5103)

  Sumber : Introduction to Mathematical Statistics 6 th

   Edition Dosen Pengampu : Prof. DR. Sutawanir Darwis 1.

  Misalkan telah dipilih secara acak suatu titik dari interval   1 , , dan misalkan suatu variabel acak

1 X sama dengan bilangan yang berkorespondensi terhadap

  

titik tersebut. Kemudian, dipilih suatu titik secara acak dari interval

 

  1

  , 0 x , dengan

  1

  x merupakan nilai eksperimen dari

  1 X , dan dimisalkan suatu variabel

  acak

2 X sama dengan bilangan yang berkorespondensi terhadap titik tersebut.

  1

  1

  1

  1

  1

  1 ,

  

1

  

1

  

1

.

  1

  x f adalah :

   

  1

  1

  Dengan demikian, dapat diperoleh formula untuk fungsi kepadatan marginal  

  , ; 1 ; 1 ,

  1

  2

  2

  2

  2

  





x x

x

x

x

dx

x

dx x x f x f

x

x

x

  a.

  x x f didapat melalui formula berikut :

  2

  1

  2

  1

  Sedangkan fungsi kepadatan peluang bersyarat  

  

1

     

  1

  

1

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  Dapatkan ekspektasi (mean) bersyarat  

  X P c.

    X

  1

  2

  Hitunglah peluang  

  X E Jawab : a.

  x x f b.

  2

  1

  2

  1

   

  x f , dan fungsi kepadatan peluang bersyarat

  x

  Melalui soal, telah diketahui bersama bahwa

  1

     x x . Selanjutnya, sesuai dengan interval tersebut, dapat diasumsikan suatu fungsi kepadatan peluang bersama  

  2

      lainnya x x x x x x x f

     

  , sebagai berikut :  

  , x x f

  Buatlah asumsi mengenai fungsi kepadatan peluang marginal  

  2

  2

  1

  1

  1

   x x  , sehingga dapat juga dituliskan bahwa

  2

  1

    x dan

  1

  1

  f  x , x 

  1

  2 f x x 

  

  2 1 

  2

  1 f   x

  

1



x

  1 b.

  P  X  X  1  , dengan Selanjutnya akan didapatkan nilai peluang

  1

  2

  perhitungan batas-batas integral sebagai berikut : x x

  1

  2

  1  

  x 

1  x

  2

  1

  dan sesuai dengan ketentuan di awal bahwa  x  x  1 , sehingga

  2

  1

  dapat dituliskan : x  x

  2

  1

  1  x  x

  1

  1

  1  x

  1

  2 Maka nilai diperoleh nilai P  X  X  1  , sebagai berikut :

  1

  2

  

x

  1

  

1

P

  X X 1 f x , x dx dx       

  1

  2

  1

  2

  2

  1

   

  1 1 x 

  

1

  2

  

x

  1

  

1

  1  dx dx

  2

  1

    x

  1 1 1  x

  

1

  2

  1

  1 x

  1  x dx

  2 1  x

  1

  1 

x

  1

  1

  2

  1

    1  x

  1

  1

  1 dx  

     x

  1

  1

   

  2

  1

    2 x 

  1

  1

   dx

  1

     x

  1

  1

   

  2

  1

   1   2  dx

  1

     x

  1

  1

   

  2

  1

  1

  1

  1

  2 x ln x      

  2

  1    2  ln 1  1  ln

       

   1     1  ln   1  ln  

  

 

  2  

 



  1  ln  

  2 E X x

  1

  2

  

c.   , yang didapat dari formula

Berikutnya, akan dicari nilai

   E X x x f x x dx . Sedangkan, fungsi kepadatan peluang

      

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1 

    f x x

   , 

  1

  2

  bersyarat f x x , didapatkan dari f x x . Sehingga,     

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  f   x

  2

  2

  terlebih dulu, akan dicari bentuk dari fungsi kepadatan peluang marginal f   x , yaitu, sebagai berikut :

  2

  2

  1 f   x  f  x , x  dx

  2

  2

  

1

  2

  1  x

  2

  1

  1  dx

  1  x x

  1

  2

  1  ln   x

  

1 x

  2  ln   1  ln   x

  2   ln x

   

  2 sehingga,

  1 f  x , x  x

  1

  1

  2

  1

  f x x     

  1 2 

  1

  2

  f   x  ln   x x ln   x

  2

  2

  2

  1

  2

  selanjutnya,

  

  E X x x f x x dx     

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  1

  2

  

   

  1

   1   x  dx

  1

  1

     x x ln   x

  1

  2

  2  

  1

  

1

  dx

  1

  

ln x

  

 

x

  2

  2

  1

  1

  x  

  1 x

  2 ln   x

        

  1 ln 1

ln ln

  1

  2

  2

  2     

x

x x x x