Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
15 masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan
... ,
3 ,
2 ,
1
dengan titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk
bilangan-bilangan
, 2
, 3
2 ,
2 1
dst. Perhatikan gambar berikut.
Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu
bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula garis bilangan real.
1.2 Persamaan dan Pertidaksamaan
Istilah persamaan dan pertidaksamaan pada umumnya berhubungan dengan peubah atau variabel. Peubah adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan
sebarang anggota suatu himpunan. Jika anggotanya himpunan bilangan real maka perubahnya disebut peubah real. Selanjutnya yang dimaksud dengan peubah dalam
persamaan dan pertidaksamaan yang akan dibahas dalam buku ini adalah peubah real. Persamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah
atau lebih dengan tanda sama dengan =. Contoh
1
4 3
2
x
2 7
2
2 3
x
x 3
4 3
2
x x
4
3 1
2
x
x
5
2 1
x
x x
6 8
4
x
x 7
2 3
z
z z
8
8 12
6
2 3
4
z z
z z
2 1
1 2
3
Gambar 1.3 2
1
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
16 9
2 4
z
z 10
4 12
13 6
2 3
4
z
z z
z 11
16 24
9
2 4
6
z z
z 12
6 8
z
z
13 64
2 3
z 14
120 274
225 85
15
2 3
4 5
z z
z z
z 15
4 4
2 3
z z
z
16
4
z
z 17
5 2
5 2
z z
18 36
5
2 4
z z
19
4 8
7 5
2 3
4 5
z z
z z
z
20
1 3
3
2 3
z z
z
21 3
4 4
2
z z
z
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah atau lebih dan tanda ketidaksamaan , ,
, . Contoh
1
4 3
2
x
2 3
2
2 3
x
x 3
5 2
2
2 3
x
x 4
8 2
2
x
x 5
2 3
x
6
3 1
2
x
x
7
2 1
x
x x
8 4
1 1
x
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
17 Karena persamaan dan pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka dan mempunyai
peubah, maka peubah tersebut dapat ditentukan sehingga memenuhi persamaan atau pertidaksamaan dimaksud, sehingga persamaan atau pertidaksamaan mempunyai arti
dan bernilai benar. Nilia peubah yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaa disebut selesaian. Himpunan semua bilangan real yang merupakan selesaian dari suatu
persamaan atau pertidaksamaan disebut himpunan selesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam bilangan real
R
sangat membantu dalam menentukan selesaian persamaan atau pertidaksamaan yang diberikan.
Contoh Tentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini.
1
3 4
2
x
Jawab
3 4
2
x
2 7
2 7
2 2
7 2
4 3
4 4
2
x x
x x
Jadi selesaian persamaan
3 4
2
x
adalah x =
2 7
2 4
3
2
x x
Jawab 4
3
2
x x
1 4
1 4
1 4
4 3
2
x atau
x x
atau x
x x
x x
Jadi selesaian persamaan 4
3
2
x x
adalah
1
x
atau
1
x
3 Tentukan selesaian pertidaksamaan
7 5
5 2
x
x
. Jawab
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
18
4 3
1 .
12 3
1 .
3 12
3 5
5 7
5 5
5 5
2 7
5 5
2
x x
x x
x x
x x
x
Jadi, selesaian pertidaksamaan
7 5
5 2
x
x
.adalah x -4
Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas.
Beberapa contoh diberikan sebagai berikut. 1
Tentukan selesaian
6 5
2
x x
Jawab Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:
3 2
x
x Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor
positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu, i. Jika ke dua faktor positif maka:
3 dan
2 3
dan 2
x
x x
x
Sehingga diperoleh:
3
x
. ii.Jika ke dua faktor negatif, maka:
3 dan
2 3
dan 2
x
x x
x
Diperoleh:
2
x
. Jadi, selesaian persamaan
6 5
2
x x
adalah x 2 atau x 3. Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: Ruas kiri
pertidaksamaan bernilai nol jika 3
atau 2
x x
. Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 3 bagian:
3 dan
, 3
2 ,
2
x
x x
.
2 3
4
x2 2x3
x3
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
19 Gambar 1.4
Pada bagian
2
x
, nilai 3
dan 2
x x
keduanya nega tif, sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen
3 2
x
, 2
x
bernilai positif sedangkan 3
x
bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian
3
x
, 3
dan 2
x x
masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel berikut.
Tanda nilai Kesimpulan
2
x 3
x
3 2
x x
2
x
- -
+ Pertidaksamaan dipenuhi
3 2
x
+ -
- Pertidaksamaan tidak dipenuhi
3
x
+ +
+ Pertidaksaman dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah
2
x
atau
3
x
. Metode penyelesaian seperti pada contoh 1 di atas dapat pula diterapkan pada
bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.
2
1 1
2
2 3
x
x x
. Jawab
Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:
2 1
1 2
2
2 3
x
x x
x x
x
Jika 2
1 1
x x
x , maka diperoleh:
2 atau
, 1
, 1
x x
x .
Selanjutnya, perhatikan table berikut: Nilai-nilai peubah
2 ,
1 ,
1
x
x x
disebut titik kritis. Tanda nilainilai
Kesimpulan
1
x 1
x
2
x
2 1
1
x x
x
1
x
- -
- -
Pertidaksamaan dipenuhi
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
20
1 1
x
+ -
- +
Pertidaksamaan tidak dipenuhi
2 1
x
+ +
- -
Pertidaksamaan dipenuhi 2
x
+ +
+ +
Pertidaksamaan tidak dipenuhi
1
x
-2 -3
Pertidaksamaan dipenuhi 1
x
2 -1
Pertidaksamaan dipenuhi 2
x
3 1
Pertidaksamaan dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan
1 1
2
2 3
x
x x
x
1
atau 1
2
x
. Cara lain untuk menentukan selesaian pertidaksamaan
1 1
2
2 3
x
x x
. adalah dengan menggunakan garis bilangan
2 ,
1 ,
1 ,
2 1
1 1
1 2
1 1
2
2 3
2 3
x dan
x x
adalah maan
pertidaksa kritis
titik Sehingga
x x
x x
x x
x x
x
Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas diperoleh: - - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +
Berdasarkan garis bilangan di atas selesaian pertidaksamaan adalah x
1
atau 1
2
x
.
3
1 2
8 2
x x
x
. Penyelesaian
Apabila pada ke dua ruas ditambahkan 1
x
maka diperoleh:
2 2
5 2
10 3
2 2
8 2
1 2
8 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x 1
1
2
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
21 Nilai nol pembilang adalah
5 dan
2
, sedangkan nilai nol penyebut adalah 2. Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga
2 2
5
x
x x
diperhatikan tabel berikut:
Tanda nilainilai Kesimpulan
2
x 2
x
5
x 2
5 2
x
x x
2
x
- -
- -
Pertidaksamaan tidak dipenuhi
2 2
x
+ -
- +
Pertidaksamaan dipenuhi
5 2
x
+ +
- -
Pertidaksamaan tidak dipenuhi
5
x
+ +
+ +
Pertidaksamaan dipenuhi
2
x
-4 -7
Pertidaksamaan dipenuhi
2
x
4 -3
Tidak terdefinisi
Pertidaksamaan tidak dipenuhi
5
x
7 3
Pertidaksamaan dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 5
2 2
x atau
x dan ditulis dengan
notasi interval ~
, 5
[ 2
, 2
[
Berdasarkan contoh di atas, bahwa tampak selesaian suatu persamaan berupa titik
diskrit, sedangkan selesaian pertidaksamaan berupa selanginterval kontinu.
Selang
Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan
b a
. Berturut-turut didefinisikan:
a x
x a
a x
x a
a x
x a
a x
x a
b x
a x
b a
b x
a x
b a
b x
a x
b a
b x
a x
b a
~, ]
~, ~
, ~
, [
] ,
, [
, ]
, [
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
22
1.3 Nilai Mutlak
