bab 1persamaan dan pertidaksamaan
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 1 BAB 1
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
Standar Kompetensi
Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R) sebagai semesta untuk menentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan, dapat mengembangkan bentuk persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga mutlak serta menyatakan selesaian persamaan dan pertidaksamaan dengan metode interval.
Kompetensi Dasar
Setelah mempelajari pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan diharapkan mahasiswa:
1. Dapat menyatakan bilangan rasional b a
Q sebagai bentuk desimal berulang atau sebaliknya.
2. Dapat menentukan selesaian persamaan. 3. Dapat menentukan selesaian pertidaksamaan.
4. Dapat menetukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan yang memuat harga mutlak.
Beberapa konsep yang dibahas dalam bab 1 adalah (1) sistem bilangan real, (2) persamaan dan pertidaksamaan, (3) nilai mutlak, (4) persamaan dan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak, dan (5) soal latihan.
1.1 Sistem Bilangan Real
Sebelum penulis menguraikan konsep sistem bilangan real (R), terlebih dahulu marilah kita ingat kembali konsep himpunan (set). Himpunan mempunyai peranan sangat penting dalam memahami sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang mempunyai ciri-ciri, kriteria dan syarat yang tertentu serta terdefinisi dengan jelas. Objek atau unsur sesuatu himpunan A dinamakan anggota atau elemen. Anggota suatu himpunan dinyatakan dengan a,b,c,d,.... atau 1,2,3,4,.... sedangkan nama himpunan dinyatakan dengan huruf
(2)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 2
kapital A,B,C,D, dan seterusnya. Misal kita mendefinisikan suatu himpunan A dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya yang terdiri dari a,b,c,d,e, himpunan A tersebut dapat ditulis dalam bentuk A{a,b,c,d,e} dengan masing-masing anggota himpunan A dipisahkan oleh tanda baca koma dan terdapat dua tanda kurung { }. Jika himpunan A mempunyai anggota banyaknya tak hingga maka unsur-unsurnya tidak ditulis semuanya akan tetapi cukup dituliskan beberapa anggotanya dan titik-titik sebanyak 3 atau 5 , Jika a adalah anggota himpunan A maka pernyataan tersebut ditulis dengan notasi aA dan dibaca a anggota A. Jika a bukan anggota himpunan A, maka dituliskan aAdan dibaca “a bukan anggota A. Jika suatu himpunan A tidak memiliki anggota, maka A disebut himpunan kosong, dan dinyatakan dengan notasi atau { }.
Himpunan sebagai telah disebutkan di atas, dalam penulisannya dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu metode pencirian (notasi) dan metode perincian (tabulasi). Metode pencirian dilakukan dengan cara menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan akan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. ,
Contoh:
1) A{yybilangan primakurang dari 10} 2) B{xx faktor ganjil dari 21}
3) C {xx2 1, xbilangan prima} 4) D{xx faktor genapdari 21} 5) { 2 3 40}
x x x E
6) F {xx2 3x40} 7) G{xx42} 8) H {(x,y)x2 y2 4}
9) V {himpunankuasadari{1,2,3}}
Metode perincian dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota himpunan yang memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan dalam suatu himpunan.
Contoh
(3)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 3
2) B{senin,selasa,rabu,kamis, jum'at,sabtu} 3) C{2,3,5,7,11,13,17,19,...}
4) D{merah,kuning,hijau} 5) E {0}
6) F {} 7) G {1,x}
8) H {(1,2),(2,3),(3,4),...} 9) V {,{1},{2},{1,2}}
Misal A dan B suatu himpunan, himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis dengan notasi AB, jika setiap anggota A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa A untuk sebarang himpunan A. Jika setiap anggota himpunan anggota A juga merupakan anggota setiap himpunan
Bmaka dinotasikan dengan AB
Selanjutnya untuk memudahkan para pembaca dalam memahami konsep sistem bilangan real berikut ini diberikan beberapa bilangan dan himpunan bilangan yang pada bab-bab selanjutnya dalam buku ini sering ditemukan. Bilangan dan himpunan bilangan tersebut adalah:
1. Himpunan bilangan asli (Natural)
Himpunan bilangan asli biasanya dinotasikan dengan Ndan anggota-anggota bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... sehingga N{1,2,3,4,5,6,...}
Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap a, bilangan asli maka b (ab)dan (a.b)bilangan asli. Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli.
2. Bilangan cacah (whole)
Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan W dan anggota-anggota bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., sehingga W{0,1,2,3,4,5,6,...}. Bilangan cacah tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap a, bilangan b cacah maka (ab)dan (a.b) bilangan cacah.
(4)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 4
3. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan lawan dari bilangan-bilangan asli membentuk sistem bilangan-bilangan bulat, Bilangan bulat biasanya dinotasikan dengan Z yang anggota-anggotanya adalah ...-3, -2, -,1, 0, 1, 2, 3, ..., sehingga Z{...3,2,2,0,1,2,3,...}.
4. Bilangan pecahan atau bilangan rasional (quotient) biasanya dinyatakan dengan Q. Bilangan rasional adalah bilangan yang secara umum dinyatakan dengan
0 , ,
.
a b Z b
b a Q
Contoh 1)
3 1 p
2)
11 2 q
3)
7 22
r
Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan desimal, yaitu
1) 0,33333333... 3
1
p
2) 0,285714285714285714... 11
2 q
3) 3,142857142857148... 7
22 r
Jika kita cermati lebih mendetail, bilangan-bilangan desimal sebagai mana tersebut di atas selalu berulang angka-angkanya, sehingga bilangan rasional juga disebut bilangan desimal berulang. Sebaliknya bilangan desimal berulang dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Untuk menyatakan bentuk desimal menjadi bilangan rasioan adalah dengan cara melihat angka yang berulang pada bilangan tersrsebut. Jika terdapat 1 angka yang berulang maka kalikan bilangan dimaksud dengan 10 . Jika terdapat 2 1 angka yang berulang maka kalikan bilangan tersebut dengan 102. dan seterusnya. Selanjutnya cari selisih bilangan semula dengan bilangan yang baru. Dengan metode perhitungan sederhana akhirnya diperoleh bilangan rasional yang dimaksud. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut ini.
(5)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 5
Contoh:
Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bentuk rasional .a,bZ,b0 b
a Q
1. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,12121212... Jawab
Bilangan 0,12121212...adalah bilangan desimal dengan 2 angka berulang yaitu angka 1 dan 2.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,1,212121212... adalah 2 angka, kalikan bilangan 0,12121212... dengan bilangan 10 . 2
Misal x0,12121212..., sehingga diperoleh ...
212121212 ,
1 , 12 100x
Akibatnya 100xx(12,121212.12...)(0,12121212...)12 ...)
12121212 ,
0 ( ...) 12 . 121212 ,
12 (
10xx
99 12
12 99
x x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,12121212... adalah 99 12
2. Tentukan bentuk rasional bilangan 1,412333333... Jawab
Bilangan 1,412333333...adalah bilangan desimal dengan 1 angka berulang yaitu angka 3.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 1,412333333...adalah 1 angka, kalikan bilangan 1,412333333...dengan bilangan 10 . 1
Misal x1,4123333333..., sehingga diperoleh ...
12333333 ,
14 10x
Akibatnya 10xx(14,123333333...)(1,412333333...)
900 1271 9
71 , 12
71 , 12 9
x x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan 1,412333333... adalah 900 1271
(6)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 6
3. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,9826273273273... Jawab
Bilangan 0,9826273273273...adalah bilangan desimal dengan 3 angka berulang yaitu angka 2,7, dan 3.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,9826273273273... adalah 3 angka, kalikan bilangan 0,9826273273273...dengan bilangan 10 . 3
Misal
x0,9826273273273... ... 3 5627327327 ,
982 1000x
Akibatnya 1000xx(982,56273273273...)(0,98256273273273...)
99900 98158017 999
58017 , 981
58017 , 981 999
x x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,9826273273273... adalah 99900
98158017
4. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,0543125431254312... Jawab
Bilangan 0,0543125431254312... adalah bilangan desimal dengan 4 angka berulang yaitu angka 5, 4, 3, 2, dan 1.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan 0,0543125431254312... adalah 4 angka, kalikan bilangan 0,0543125431254312...dengan bilangan 10 . 4 Misal
x0,0543154315431..., sehingga diperoleh ....
154315431 ,
543 10000x
Akibatnya 10000xx(543,154315431...)(0,0543154315431...)
99990 5421 9999
1 , 542
1 , 542 9999
x x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan 0,0543154315431... adalah 99990
(7)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 7
5. Bilangan Irasional (
_
Q) atau disebut juga bilangan tidak rasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .a,bZ,b0
b a
Q . Karena bilangan
rasional dapat dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya berulang, maka bilangan irasional adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang. Bilangan irasional juga disebut dengan bilangan bentuk akar.
Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai adanya bilangan-bilangan irasional. Contoh bilangan-bilangan irasional antara lain adalah 2 dan . Bilangan
2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 1.1
Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling sebarang lingkaran dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 1.2 2 1
1
1
d d2
1
l
2
l
2 2 1 1
d l d
(8)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 8
Contoh
1) 2 = 1,41421356237... 2) 3 = 1,73205080756... 3) 11 = 3,316625790355... 4) π = 3.14159265358979….
5) e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…
Berdasarkan contoh di atas, tampak bilangan-bilangan dalam bentuk akar umumnya adalah bilangan desimal yang angka-angkanya tidak ada yang berulang. Sehingga bilangan akar juga disebut bilangan irasional. Dengan demikian apa yang selama ini dianggap sama yaitu
7 22
= tidaklah selalu benar. Karena 7 22
adalah bilangan rasional, sedangkan adalah bilangan irasional.
6. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan bilangan rasional membentuk himpunan semua bilangan real (R), sehingga RNW ZQQ Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali digunakan cara desimal.
Contoh
Bilangan-bilangan
66 7 dan , 3 5 , 4 3
masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal sebagai
0,75
, 1,666...
,dan 0,1060606.... Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:i. berhenti ( dst. 8 1 , 2 5 , 4 3
), atau ii. berulang beraturan ( ,dst.
66 7 , 3 5
).
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Untuk sebarang a,b,c,d bilangan real berlaku sifat-sifat sebagai berikut: 1) Sifat komutatif
(i). abba (ii).a.bb.a 2) Sifat asosiatif
(9)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 9
c b a c b a c b ac b a c b a c b a
. . . . . . ). ii (
). i (
3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan a.(bc)(a.b)(a.c)
4) (i). .1, b0 b
a b a
(ii). , 0, 0
. ) . ( ) . (
b d
d b
c b d a d c b a
(iii). , 0, 0
. .
. b d
d b
c a d c b a
5) (i). a.(b)(a).b(a.b) (ii). (a).(b)a.b
(iii). (a)a 6) (i). 0 0
a , untuk setiap bilangan a0. (ii).
0 a
tak terdefinisikan. (iii). 1
a a
, untuk setiap bilangan a0. 7) Hukum kanselasi
(i). Jika a.cb.c dan c0 maka ab. (ii). Jika b,c0 maka
b a c b
c a
. .
.
8) Sifat pembagi nol
Jika a.b0 maka a0 atau b0.
Sifat-sifat terurut bilangan Real
Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi, aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada bagian lain suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip urutan (well ordering principle).
(10)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 10
Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara bilangan-bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan menggunakan gagasan “kepositipan”.
Definisi
Misalkan P himpunan bagian R dan P. Untuk selanjutnya P disebut bilangan real positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:
(1) Jika a,bP maka (ab)P (2) Jika a,bP maka (a.b)P
(3) Jika aR, maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi aP,a 0,aP
Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut sifat trikotomi karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa {aaP} dari bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan P, dan selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing. Definisi
1) Jika aP, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positip kuat (strictly positip) dan dituliskan dengan a0, Jika aP{0} , maka a disebut bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk a0.
2) Jika aP, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real negatip kuat (strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk a0, Jika aP{0}, maka a disebut bilangan real tidak positip dan dituliskan dalam bentuk a0.
3) Jika a,bRdan jika abP maka dituliskan dalam bentuk ab atau ba. 4) ika a,bRdan jika abP{0} maka dituliskan dalam bentuk ab atau
a b .
Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan abcyang berarti abdan c
b . Demikian juga jika abc yang berarti ab maka bc dan seterusnya. Berikut ini diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan
(11)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 11 Teorema 1
Misalkan a,b,cR
1. Jika ab dan bc maka ac.
2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi ab,ab,ab
3. Jika ab dan ab maka ab Bukti
1) abmaka menurut definisi ab0atau a b P
c
b maka menurut definisi bc0 atau b c P
Karena a b P dan b c P maka menurut definisi diperoleh (a b) (b c) P
sehingga a c P atau a c
2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari yang berikut mungkin terjadi
0 b
a , atau a b 0 atau (a b) 0sehingga a b atau
b
a atau a b
3) Jika a b , maka a b 0 , sehingga dari bukti (b) kita dapatkan
P b
a atau b c P yakni a b atau b a . Dalam kasus lainnya salah satu dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah a b
Teorema 2
1. Jika a R dan a 0 maka a2 0. 2. 1 0
3. Jika
n
N
maka n 0Bukti
1. Dengan sifat trikotomi jika a 0 , maka a P atau aP. Jika a P maka dengan definisi kita mempunyai a2 a.a, untuk a P . Dengan cara yang sama Jika -a P maka dengan definisi sebelumnya diperoleh bentuk
P a a
a
) ( )( )
( 2 . Berdasarkan teorema sebelumnya berakibat bahwa:
2) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) )(
(a a a a a . Akibatnya bahwa a 2 P . Jadi kita
(12)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 12
2. Karena 1(1)2, menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa 1 > 0.
3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan ini. Pernyataan tersebut benar untuk n1 yakni 1 > 0. Selanjutnya kita anggap benar untuk nk, dengan k bilangan asli.
Karena 1 > 0 dan 1P, maka k1P, sehingga pernyataan di atas benar adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.
Teorema 3
Misalkan a,b,cR
1. Jika ab, maka acbc
2. Jika ab, dan bc maka acbd 3. Jika ab, c0 maka acbc
4. Jika ab, c0maka acbc 5. Jika a0maka 1 0
a
6. Jika a0 maka 1 0 a
Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Karena ab berarti menurut definisi sebelumnya ab0. Karena ab0 sehingga abP.
) ( ) ( )
(ab ab cc ) ( ) ( ) ( )
(ab cc ac bc
Sehingga (ac)(bc)P. Dengan kata lain (ac)(bc)0 Karena (ac)(bc)0berarti (ac)(bc)
2. Karena ab dan cd berarti ab0dan cd 0. Hal ini berarti abP dan cdP.
Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh P
d c b
a )( )
( . Dengan kata lain (ab)(cd)0, atau 0
) ( )
(ab cd sehingga berlaku (ab)(cd) 3. Karena ab dan cd berarti ab0dan cd 0.
Hal ini berarti abP dan cdP.
(13)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 13 P
c b a )
( . Dengan kata lain (acbc)P, atau 0
)
(acbc sehingga berlaku acbc
4. Karena ab dan c0 berarti ab0dan c0atau (c)0. Hal ini berarti abP dan cP.
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh P
c b
a )( )
( . Dengan kata lain (bcac)P, atau P
ac bc )
( sehingga berlaku bcac
5. Jika a0 maka a0(berdasarkan sifat trikotomi). Karena a0, berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku 1 0,
a Jika 0
1
a , berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 10
a
a .
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah 0
1 a
6. Jika a0, maka a0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a0, berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku 1 0,
a Jika 1 0
a , berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 0 1
1
a a
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah 1 0
a
Teorema 4
Jika a,bR, maka a
ab
b 21
Bukti.
Karena ab, maka dapat diperoleh aaabatau 2aab Demikian pula abmaka dapat diperoleh abbbatau ab2b Dari ketaksamaan 2aabdan ab2bdidapatkan
b b a
(14)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 14
b b b
a a
a
(2 )
2 1 ) ( 2 1 ) 2 ( 2 1
b
b a
a
( )
2 1
Akibat dari teorema di atas adalah:
jika aR dan a0 maka a (ab)b 2
1
Soal-soal
1) Misalkana,b,c,d R buktikan pernyataan berikut: a) Jika ab,bcmaka adbcacbd
b) Jika ab dan cd maka acbd
c) a2 b2 0 jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0
2) Carilah bilangan a,b,c,d R yang memenuhi 0ab dan ad 0 dan berlaku
a) acbd b) acbd.
3) Tentukan bilangan real x, sedemikian sehingga: a) x2 3x4
b) 1x2 4
c) x
x 1
d) 7
2 1
x
e) 3
2
1
x
Garis Bilangan
Secara geometris, sistem bilangan real (R) dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan
(15)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 15
masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan 1,2,3,... dengan titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan , 2,
3 2 , 2 1
dst. Perhatikan gambar berikut.
Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula garis bilangan real.
1.2 Persamaan dan Pertidaksamaan
Istilah persamaan dan pertidaksamaan pada umumnya berhubungan dengan peubah atau variabel. Peubah adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika anggotanya himpunan bilangan real maka perubahnya disebut peubah real. Selanjutnya yang dimaksud dengan peubah dalam persamaan dan pertidaksamaan yang akan dibahas dalam buku ini adalah peubah real.
Persamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah atau lebih dengan tanda sama dengan (=).
Contoh 1) 2x34 2) x32x2 7 3) x2 3x40 4) 2 13
x x
5) 2
1
x
x x
6) x4 8x0 7) z3 z2 z 0
8) (z4 6z312z2 8z)0
2 1 0 1 2 3 Gambar 1.3
2 1
(16)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 16
9) (z4 z2)0
10) (z4 6z3 13z2 12z4)0 11) (z6 9z4 24z2 16)0 12)
(
z
8
z
6)
0
13) (z3 64)2 0
14)
z5 15z4 85z3225z2 274z120
0 15)z
3
z
2
4
z
4
0
16) (z4 z)0
17) (z2 2z5)5 0 18) (z4 5z2 36)0
19)
z
5
5
z
4
7
z
3
z
2
8
z
4
0
20)
z
3
3
z
2
3
z
1
0
21) (z24z4)(z3) 0
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dalam matematika yang memuat satu peubah atau lebih dan tanda ketidaksamaan (<, >, , ).
Contoh 1) 2x34 2) x32x2 3 3) 2x3 2x2 5 4) x2 2x8
5) 0
2 3 x
6) 2 13 x x
7) 2
1
x
x x
8) 4
1
1
(17)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 17
Karena persamaan dan pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka dan mempunyai peubah, maka peubah tersebut dapat ditentukan sehingga memenuhi persamaan atau pertidaksamaan dimaksud, sehingga persamaan atau pertidaksamaan mempunyai arti dan bernilai benar. Nilia peubah yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaa disebut selesaian. Himpunan semua bilangan real yang merupakan selesaian dari suatu persamaan atau pertidaksamaan disebut himpunan selesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam bilangan real R sangat membantu dalam menentukan selesaian persamaan atau pertidaksamaan yang diberikan.
Contoh
Tentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini. 1) 2x43
Jawab 3 4 2x
2 7 2 7 2 2
7 2
4 3 4 4 2
x x x x
Jadi selesaian persamaan 2x43adalah x = 2 7
2) x2 3x40 Jawab
x2 3x40
1 4
0 ) 1 ( 0 ) 4 (
0 ) 1 )( 4 (
0 4 3
2
x atau x
x atau x
x x
x x
Jadi selesaian persamaan x2 3x40 adalah x1 atau x1
3) Tentukan selesaian pertidaksamaan 2x55x7. Jawab
(18)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 18
4
) 3 1 .( 12 ) 3 1 .( 3
12 3
5 5 7 5 5 5 5 2
7 5 5 2
x x x
x x
x x
x x
Jadi, selesaian pertidaksamaan 2x55x7.adalah x > -4
Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan dibandingkan pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh di atas.
Beberapa contoh diberikan sebagai berikut. 1) Tentukan selesaian x2 5x60
Jawab
Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh:
x2
x3
0Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,
(i). Jika ke dua faktor positif maka: 3 dan 2
0 3 dan 0 2
x x
x x
Sehingga diperoleh: x3.
(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka: 3 dan 2
0 3 dan 0 2
x x
x x
Diperoleh: x2.
Jadi, selesaian persamaan x2 5x60 adalah x < 2 atau x > 3.
Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai berikut: Ruas kiri pertidaksamaan bernilai nol jika x2 atau x3. Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis bilangan menjadi 3 bagian: x2,2 x3,dan x3.
0 2 3 4
(19)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 19
Gambar 1.4
Pada bagian x2, nilai (x2) dan (x3) keduanya nega tif, sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen 2x3, (x2) bernilai positif sedangkan (x3) bernilai negatif. Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada bagian
3
x , (x2) dan (x3) masing-masing bernilai positif sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di atas dapat dilihat pada Tabel berikut.
Tanda nilai
Kesimpulan 2
x x3 (x2)(x3) 2
x - - + Pertidaksamaan dipenuhi
3
2 x + - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi
3
x + + + Pertidaksaman dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah x2 atau x3.
Metode penyelesaian seperti pada contoh 1 di atas dapat pula diterapkan pada bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.
2) x3 2x2 x11. Jawab
Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh:
0 ) 2 )( 1 )( 1 (
0 2 2 2
3
x x x
x x x
Jika (x1)(x1)(x2)0, maka diperoleh: x1, x1,atau x2. Selanjutnya, perhatikan table berikut:
Nilai-nilai peubah x1,x1,x2 disebut titik kritis. Tanda nilai/nilai
Kesimpulan 1
x x1 x2 (x1)(x1)(x2) 1
(20)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 20
1 1
x + - - + Pertidaksamaan tidak dipenuhi 2
1 x + + - - Pertidaksamaan dipenuhi 2
x + + + + Pertidaksamaan tidak dipenuhi 1
x 0 -2 -3 0 Pertidaksamaan dipenuhi 1
x 2 0 -1 0 Pertidaksamaan dipenuhi 2
x 3 1 0 0 Pertidaksamaan dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaanx3 2x2 x11 x 1 atau 1 x2. Cara lain untuk menentukan selesaian pertidaksamaan x3 2x2 x11. adalah dengan menggunakan garis bilangan
2 , 1 , 1 , 0 ) 2 )( 1 )( 1 ( 0 1 1 2 1 1 2 2 3 2 3 x dan x x adalah maan pertidaksa kritis titik Sehingga x x x x x x x x x
Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas diperoleh: - - - + + + + + + + - - - + + + + + + +
Berdasarkan garis bilangan di atas selesaian pertidaksamaan adalah x 1 atau 1 x2.
3) 1 2 8 2 x x x . Penyelesaian
Apabila pada ke dua ruas ditambahkan (x1) maka diperoleh:
0 2 ) 2 )( 5 ( 0 2 10 3 0 2 2 8 2 0 ) 1 ( 2 8 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x 1
(21)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 21
Nilai nol pembilang adalah 2 dan5, sedangkan nilai nol penyebut adalah 2. Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga 0
2 ) 2 )( 5 ( x x x
diperhatikan tabel berikut:
Tanda nilai/nilai
Kesimpulan 2
x x2 x5
2 ) 5 )( 2 ( x x x 2
x - - - - Pertidaksamaan tidak
dipenuhi 2
2
x + - - + Pertidaksamaan
dipenuhi 5
2x + + - - Pertidaksamaan tidak
dipenuhi 5
x + + + + Pertidaksamaan
dipenuhi 2
x 0 -4 -7 0 Pertidaksamaan
dipenuhi 2
x 4 0 -3 Tidak
terdefinisi
Pertidaksamaan tidak dipenuhi 5
x 7 3 0 0 Pertidaksamaan
dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 2x2 ataux5 dan ditulis dengan notasi interval [2,2)[5,~)
Berdasarkan contoh di atas, bahwa tampak selesaian suatu persamaan berupa titik (diskrit), sedangkan selesaian pertidaksamaan berupa selang/interval (kontinu).
Selang
Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan ab. Berturut-turut didefinisikan:
x x a
a
x x a
a a x x a a x x a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b x a x b a ) ~, ( ] ~, ( ~) , ( ~) , [ ] , ( ) , [ ) , ( ] , [
(22)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 22 1.3 Nilai Mutlak
Misal x suatu bilangan real, nilai mutlak x dinotasikan dengan x dan didefinisikan sebagai panjang atau jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi Misal x real maka:
0 ,
0 ,
x untuk x
x untuk x
x
Bentuk lain dari definisi di atas adalah sebagai berikut:
2
x x .
Contoh 8 8 ,
2 5 2 5
, 3 3, 2 (2)2,
7 2 7 2 7
2
dst.
Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.
Sifat-sifat Nilai Mutlak 1. Jika x,yR maka: a) x 0
b) x 0 x0 c) x.y x.y
d) , asal y0 y
x y x
e) x y x y (Ketaksamaan segitiga) f) xy x y
Secara geometris, nilai mutlak xa dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika x3 7 maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 (lihat Gambar 1.15).
4 3 10
(23)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 23
Jadi selesaian x3 7 adalah
4,10
.Dengan mengingat nilai mutlak sebelumnya kiranya mudah dipahami sifat berikut:
2. Jika a0, maka: x axa atau xa. Contoh,
4 atau
4 berarti
4
x x
x 3 5 atau 3 5 5 3 atau 5 3 5 3 x x x x x
Dengan cara yang sama
2 atau 5 4 2 atau 10 2 7 3 2 atau 7 3 2 berarti 7 3 2 x x x x x x x
3. Jika a0, maka:
a) x aaxa.
b) x a xa atau xa.
Contoh
Tentukan selesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak di bawah ini: 1) Selesaikan 2x3 7.
Jawab
5 atau 2 10 2 atau 4 2 7 3 2 atau 7 3 2 7 3 2 x x x x x x xJadi selesaian pertidaksamaan adalah x2atau x5
2) Tentukan semua nilai x yang memenuhi 3 2 2 x x . Gambar 1.5
(24)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 24 Jawab 3 2 2 dan 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 x x x x x x x x Selanjutnya, karena: 2 atau 5 6 0 2 6 5 0 3 2 2 3 2 2 ). i ( x x x x x x x x 6 atau 2 0 2 6 0 3 2 2 3 2 2 ). ii ( x x x x x x x x
maka, diperoleh: atau 6 5
6
x
x .
3) Tentukan selesaian x4 x2. Jawab:
(i). Apabila x20, maka selalu berlaku x4 x2 untuk setiap x. Sehingga diperoleh: x2.
(ii). Jika x20, maka:
3 2 2 , 6 2 2 , 2 4 atau 2 4 2 4 x x x x x x x x x xDari (i) dan (ii), diperoleh x3.
4) Tentukan selesaian 3 2 2 x x . Jawab
(25)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 25
2 , 6 5 6 2 , 0 6 6 5 2 , 0 36 36 5 2 , 4 4 9 4 0 2 , 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x atau x x x xJadi selesaian pertidaksamaan adalah ,2
2,6 5 6 . 4.x
y
x
2
y
2Contoh
Tentukan selesaian dari pertidaksamaan a. x1 2x3
Jawab
Menurut sifat 4 di atas, maka: 3
2
1
x
x
6 2
1
x x
0 ) 5 )( 7 3 ( 0 35 22 3 36 24 4 1 2 ) 6 2 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x
Titik kritis pertidaksamaan adalah 3 7
x dan x5 sehingga gambar garis bilangan
+++++++++++ - - - +++++++
Jadi selesaian pertidaksamaan x12x3 adalah ) (5,~) 5
7 ~,
(
1.4 Soal Latihan
Tentukan selesaian pertidakasamaan dibawah ini!
1. 4x52 2. 6x39x4 3. 3x52 5
/
(26)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 26
4. x2 5x140 5. x2 3x10 6. x3 2x10
7. 1
3 1
2
x
x
8. 5
2 2
x 9. 1
2 3
x x
10. x
x x
3 1 2
4
11. x
x
x 5 2
12. 2
1 2
7
3
x x
13. x3 4 14.3x2 5 15.123x 7
16. 1 2
x 17. 3
2
x 18. 2
1
x x
19. 2
1 1 2
x x
20. x2 x3 21. x1 2x
Untuk soal 22 – 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti. 22. 2x23x5 23.
8 2
1 2
2
x x
x
24. 3
2 3 2
1
x x
25. Jika xa 12 dan ya 13 maka tunjukkan xy 5 6. 26. Jika ab maka tunjukkan bahwa a ab b
2 . Bilangan 2 b a
disebut rata-rata aritmatika dari bilangan a dan b.
27. Jika 0ab maka tunjukkan bahwa a ab b. Bilangan ab disebut rata-rata geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.
28. Tunjukkan bahwa x y xy . 29. Jika a,b0 dan ab maka tunjukkan
b a
1 1
. 30. Jika ab dan c0, tunjukkan acbc.
(1)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 21 Nilai nol pembilang adalah 2 dan5, sedangkan nilai nol penyebut adalah 2. Sekarang, untuk mendapatkan nilai x sehingga 0
2 ) 2 )( 5
(
x x x
diperhatikan tabel berikut:
Tanda nilai/nilai
Kesimpulan 2
x x2 x5
2 ) 5 )( 2 (
x x x
2
x - - - - Pertidaksamaan tidak
dipenuhi 2
2
x + - - + Pertidaksamaan
dipenuhi 5
2x + + - - Pertidaksamaan tidak
dipenuhi 5
x + + + + Pertidaksamaan
dipenuhi 2
x 0 -4 -7 0 Pertidaksamaan
dipenuhi 2
x 4 0 -3 Tidak
terdefinisi
Pertidaksamaan tidak dipenuhi 5
x 7 3 0 0 Pertidaksamaan
dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 2x2 ataux5 dan ditulis dengan notasi interval [2,2)[5,~)
Berdasarkan contoh di atas, bahwa tampak selesaian suatu persamaan berupa titik (diskrit), sedangkan selesaian pertidaksamaan berupa selang/interval (kontinu).
Selang
Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan ab. Berturut-turut didefinisikan:
x x a
a
x x a
a
a x x a
a x x a
b x a x b a b
x a x b a
b x a x b a b
x a x b a
) ~, ( ]
~, (
~) , ( ~)
, [
] , ( )
, [
) , ( ]
, [
(2)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 22 1.3 Nilai Mutlak
Misal x suatu bilangan real, nilai mutlak x dinotasikan dengan x dan didefinisikan sebagai panjang atau jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi Misal x real maka:
0 ,
0 ,
x untuk x
x untuk x
x
Bentuk lain dari definisi di atas adalah sebagai berikut:
2
x x .
Contoh 8 8 ,
2 5 2 5
, 3 3, 2 (2)2,
7 2 7 2 7
2
dst.
Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.
Sifat-sifat Nilai Mutlak 1. Jika x,yR maka: a) x 0
b) x 0 x0 c) x.y x.y
d) , asal y0
y x y x
e) x y x y (Ketaksamaan segitiga) f) xy x y
Secara geometris, nilai mutlak xa dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika x3 7 maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 (lihat Gambar 1.15).
4 3 10
(3)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 23 Jadi selesaian x3 7 adalah
4,10
.Dengan mengingat nilai mutlak sebelumnya kiranya mudah dipahami sifat berikut:
2. Jika a0, maka: x axa atau xa. Contoh,
4 atau
4 berarti
4
x x
x
3 5 atau
3 5
5 3 atau 5 3 5 3
x x
x x
x
Dengan cara yang sama
2 atau
5
4 2 atau 10 2
7 3 2 atau 7 3 2 berarti 7
3 2
x x
x x
x x
x
3. Jika a0, maka:
a) x aaxa.
b) x a xa atau xa.
Contoh
Tentukan selesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak di bawah ini: 1) Selesaikan 2x3 7.
Jawab
5 atau 2
10 2 atau 4 2
7 3 2 atau 7 3 2 7 3 2
x x
x x
x x
x
Jadi selesaian pertidaksamaan adalah x2atau x5
2) Tentukan semua nilai x yang memenuhi 3 2 2
x x
. Gambar 1.5
(4)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 24 Jawab
3 2 2 dan 3 2 2
3 2 2 3 3 2 2
x x x
x x
x x
x
Selanjutnya, karena:
2 atau 5 6
0 2
6 5
0 3 2 2 3 2 2 ). i (
x x
x x x
x x
x
6 atau 2
0 2
6 0 3 2 2 3 2 2 ). ii (
x x
x x x
x x
x
maka, diperoleh: atau 6 5
6
x
x .
3) Tentukan selesaian x4 x2. Jawab:
(i). Apabila x20, maka selalu berlaku x4 x2 untuk setiap x. Sehingga diperoleh: x2.
(ii). Jika x20, maka:
3 2
2 , 6 2
2 , 2 4
atau 2 4
2 4
x x x
x x
x x
x x
x
Dari (i) dan (ii), diperoleh x3.
4) Tentukan selesaian 3 2 2
x x
. Jawab
(5)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 25
2 , 6 5
6
2 , 0 6 6 5
2 , 0 36 36 5
2 , 4 4 9 4
0 2 , 2 3 2 3 2 2 3 2 2
2 2 2
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x x atau x
x x
x
Jadi selesaian pertidaksamaan adalah ,2
2,6 56
. 4.
x
y
x
2
y
2Contoh
Tentukan selesaian dari pertidaksamaan a. x1 2x3
Jawab
Menurut sifat 4 di atas, maka: 3
2 1
x
x
6 2 1
x x
0 ) 5 )( 7 3 (
0 35 22 3
36 24 4
1 2
) 6 2 ( ) 1 (
2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
Titik kritis pertidaksamaan adalah 3 7
x dan x5 sehingga gambar garis bilangan
+++++++++++ - - - +++++++
Jadi selesaian pertidaksamaan x12x3 adalah ) (5,~) 5
7 ~,
(
1.4 Soal Latihan
Tentukan selesaian pertidakasamaan dibawah ini!
1. 4x52 2. 6x39x4 3. 3x52 5
/
(6)
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo- 26 4. x2 5x140 5. x2 3x10 6. x3 2x10
7. 1
3 1
2
x x
8. 5
2 2
x 9. 1
2 3
x x
10. x
x x
3 1 2
4
11. x
x
x
5 2
12. 2
1 2
7
3
x x
13. x3 4 14.3x2 5 15.123x 7
16. 1 2
x 17. 3
2
x 18. 2
1
x x
19. 2
1 1 2
x x
20. x2 x3 21. x1 2x
Untuk soal 22 – 24 tentukan x sehingga masing-masing pernyataan mempunyai arti. 22. 2x23x5 23.
8 2
1 2
2
x x
x
24.
3 2
3 2
1
x x
25. Jika xa 12 dan ya 13 maka tunjukkan xy 5 6. 26. Jika ab maka tunjukkan bahwa a ab b
2 . Bilangan 2
b a
disebut rata-rata aritmatika dari bilangan a dan b.
27. Jika 0ab maka tunjukkan bahwa a ab b. Bilangan ab disebut rata-rata geometri dari bilangan a dan b. Tunjukkan pula bahwa rata-rata geometri dari bilangan a dan b kurang dari rata-rata aritmatikanya.
28. Tunjukkan bahwa x y xy . 29. Jika a,b0 dan ab maka tunjukkan
b a
1 1
. 30. Jika ab dan c0, tunjukkan acbc.