BAB I PERTIDAKSAMAAN

BAB I

PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN

1.1. Pengantar

Misalkan anda diberi selembar seng berukuran 20 cm x 9 cm dan anda diminta membuat kotak tanpa tutup dari seng tersebut. Apakah yang akan anda lakukan untuk menyelesaikan tugas tersebut ? Tentu anda akan memotong ke empat pojok seng tersebut dengan potongan berbentuk persegi dengan ukuran yang sama, misalkan berukuran x cm x x cm seperti pada gambar di bawah ini.

Setelah dilakukan pelipatan, maka akan diperoleh kotak tanpa tutup berukuran (20 – 2x) cm x (9 – 2x) cm x x cm.

Jika anda diminta untuk menentukan ukuran kotak agar volume kotak yang diminta adalah 126 cm3_{, maka anda akan mendapatkan ukuran kotak} tersebut dengan mencari selesaian persamaan

126 ) 9 )( 20

( x x 

x .

Permasalahan di atas merupakan gambaran sederhana dari penggunaan persamaan. Sedangkan gambaran penggunaan pertidaksamaan diberikan dalam contoh di bawah ini.

Misalkan sebuah benda bergerak dengan kecepatan v(t). Apa yang anda lakukan, jika anda ditanya kapan benda bergerak semakin cepat ? Tentu anda

9 – 2x

20 cm

9 cm

x x x x

x x x x

20 – 2x

20 – 2x

akan berpikir bahwa dalam gerakan benda akan terdapat kecepatan dan percepatan. Jika kecepatannya adalah v(t), maka percepatannya adalah

) (' ) (t v t

a  . Di samping itu anda akan juga ingat bahwa percepatan dan kecepatan merupakan vector, sehingga mempunyai arah. Selanjutnya anda tentu akan berpikir bagaimana hubungan antara kecepatan dan percepatan agar benda bergerak semakin cepat. Ya, anda benar bahwa benda akan bergerak semakin cepat, jika kecepatan dan percepatan bertanda sama, atau dengan kata lain benda akan bergerak semakin cepat pada saat t memenuhi pertidaksamaan v(t)a(t)0.

Hubungan Dengan Pokok Bahasan Lain

Hubungan pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan dengan pokok bahasan lainnya digambarkan dalam diagram di bawah ini.

Tujuan Instruksional Khusus:

Setelah mempelajari pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan anda diharapkan dapat:

1. menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang diberikan

2. menerapkan persamaan dalam permasalahan matematika maupun permasalahan sehari-hari.

Menentukan Domain & Range Fungsi

Menentukan Limit Kiri & Limit Kanan Menentukan

Kekontinuan Fungsi

Menentukan Titik Maksimum &

Minimum Menggambar

Grafik Fungsi Canggih

Persamaan & Pertidaksamaan

Test Kemampuan Awal

Test Kemampuan Awal ini dimaksudkan untuk mengetahui sejauh mana kesiapan anda untuk mempelajari pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan. Test ini meliputi operasi bilangan dan operasi aljabar. Operasi bilangan meliputi operasi penjumlahan, pegurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real, sedangkan operasi aljabar meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pemfaktoran bentuk aljabar.

Kerjakan soal test kemampuan awal ini secara mandiri selama satu jam dengan tingkat kejujuran yang tinggi. Jika ada satu soal saja yang salah, anda dinyatakan tidak lulus, hal ini berarti anda akan mengalami kesulitan yang cukup besar dalam mempelajari pokok bahasan ini. Oleh karena itu, jika anda tidak lulus segeralah anda masuk laboratorium sesuai dengan jadwal anda dan asahlah kemampuan awal anda dengan menggunakan media pembelajaran yang telah disiapkan. Isilah evaluasi mandiri yang telah disediakan agar anda dapat memantau perkembangan kemampuan anda. Selamat mengerjakan.

Test Kemampuan Awal Waktu: 60’ 1. Hitunglah!

a. 1 – 2 + 3 c.

5 1 3 1 x 2

1 _{ e.}

1 2 3

3 ) 2 5 1 ( 3

  

b. 2

3 1 2

1_{  d.} 3 5 2 3

2 2 1

 

f.

3 1 2 3

3 ) 1 4 1 ( 3

    2. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini!

a. x2y3x(x2y)

b.(x2y)(3x y)(x2y) c. x(x2y)y(3xy)2x(x2y) d.3(22y)3(x1)(x2y) 3. Uraikan bentuk-bentuk di bawah ini!

a.(2x3)2 b.(43x)2 c.(3x2)3 d.(x2)(x2) e.(3x)(3x) f. (2x3)(2x3)

g.(2x3)(3x2) h.(2x2)(32x) i. (ab)(a2 abb2) j. (ab)(a2 abb2) k.(x2)(x22x4) l. (2x3)(4x26x9) 4. Sederhanakan bentuk di bawah ini!

a. b

a3 – a2 b b. 1 1 1 1 2_   _x x c. y x y y x x    d. 1 3 1 2    x x e. 3 1 2 4     x x f. 3 2 4 2 3 6    x x 5. Sederhanakan bentuk di bawah ini!

a. 3 7 2 3 5 2 2 2     x x x x b. 1 2 3 3

2_{ }

 p p p c. 25 9 6 15 2 2    x x x d. 6 5 6 2 2     x x x x e. 4 2 5 3 2 2    x x x f. 1 3 2 4 5 2 2      x x x g. 4 1 2 5 2 3 2    x x x h. 9 1 1 3 2   x x

1.2. Persamaan Pengertian Persamaan

Persamaan adalah hubungan antar kuantitas yang dihubungkan dengan tanda sama dengan.

Contoh:

a. x2 3x50 b. 2x2 33x 5 c. log(x23x)1 d. x23x 1x e. sin2xcosxsin2x Selesaian Persamaan

a

x disebut selesaian (akar dari) dari f(x)0, jika f(a)0. Contoh:

a. x1 merupakan selesaian persamaan x23x40, sebab 12 3.140 b. x0 merupakan selesaian persamaan 2x2 33x 2, sebab 202 33.0 2 c. x2 merupakan selesaian persamaan log(x23x)1, sebab

1 ) 2 . 3 2

log( 2  

1.2.1. Persamaan Polinomoal Bentuk umum polinomial adalah:

0

... ₂ 2 _{1 0}

1

1     

a _ x  a x a x a

x

a_n n _n n ,

dengan n bilangan bulat non negatif. Jika a_n 0, maka polinomial dikatakan berderajad n.

A. Persamaan Linear

Bentuk umum persamaan linear dengan satu variabel adalah: 0

 b

ax , a 0 (1.1)

Jika semesta pembicaraanya adalah R, selesaian persamaan (1.1) dapat diperoleh dengan menambahkan lawan b, yaitu –b, pada kedua ruasnya kemudian

kedua ruas pada hasilnya dikalikan dengan kebalikan a, yaitu a

1_{. Proses} penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai :

axb0 ) ( 0 ) ( )

(axb  b   b (b lawan dari b) b

b b

ax( ( )) (sifat asosiatif + dan 0 adalah identitas +) ax0b (b lawan dari b)

axb (0 identitas penjumlahan) 1( ) 1( b)

a ax

a   (a1 kebalikan dari a)

a b x a a. )  1

( (sifat asosiatif perkalian)

a b x  .

1 ( a

1 kebalikan dari a)

a b

x (1 identitas perkalian)

Contoh:

Carilah selesaian dari persamaan: a. 3x69

b. 3x94x Penyelesaian: a. 3x69

6 9 6 6

3x    15

3x

15 . 3 1 3 . 3 1 _x

b. 3x94x

x x x

x9 4  3

4 9

3xx  (sifat komutatif penjumlahan) 9

4 9 9

4x    5

 x

4x5 .( 5)

4 1 4 . 4

1 _{x }

4 5   x Latihan 1.2.1. A:

1. Tentukan akar persamaan linear:

a. 3 9

5 1_{x }

b.

6 1 4 1 2 1 3 1

2 a  a

c. 2

3 3 2 2

3x _ x _

d. )

2 3 1 ( 3 ) 2 1 (

2   

x

2. Diketahui sebuah balok mempunyai alas berbentuk persegi. Jika panjang seluruh rusuk balok adalah 44 cm dan tinggi balok adalah 3 cm, maka tentukan sisi alas balok.

3. Seorang anak membeli 4 buah buku dan 5 buah pensil. Anak tersebut membayar dengan uang Rp50 000,00 dan mendapat kembalian Rp22 500,00 Tentukan harga perbuah buku, jika harga perbuah pensil adalah Rp1 500,00. 4. Tegangan p pada suatu tegangan material berbentuk silinder tebal dapat

dihitung dengan rumus

p f

p f d D

  

2 2

. Hitung tegangannya, jika D= 10, d = 5, dan f = 900.

5. Seorang laboran mempunyai 50 liter alkohol berkadar 60 %. Tentukan campuran alkohol yang harus dilakukan oleh laboran tersebut, jika ia akan membuat 10 liter alkohol berkadar 42 %.

B. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

0 ,

0

2_{bxc a}

ax .

Sifat di bawah ini digunakan untuk mendapatkan selesaian dari persamaan kuadrat.

0 atau 0

0  

 a b

Contoh:

Tentukan akar persamaan: a. (x1)(x2)0 b. (x2)(x1)0 Penyelesaian: a. (x1)(x2)0

0 1 

x atau x20 1



x atau x2 b. (x2)(x1)0

0 2 

x atau x10 2



x atau x1

Ada tiga cara penyelesaian yang dapat digunakan untuk mendapatkan selesaian persamaan kuadrat, yaitu dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, dan rumus abc.

Contoh :

1. Carilah akar persamaan kuadrat x24x50. Penyelesaian :

Cara pemfaktoran : 0 5 4

2 _{ x }

x

0 ) 1 )( 5

(x x  0 5 

x atau x10 5



x atau x1

Cara melengkapkan kuadrat : 0

5 4

2 _{ x }

x

5 4

2 _{ x}

x

2 2

2 _{4x(2) 5(2)}

x

9 ) 2 (x 2 

9 2  x

3 2  x

5 3 2  

Dengan Rumus abc:

Rumus abc yang digunakan mencari akar dari persamaan kuadrat 0

2_bxc

ax adalah:

a ac b a b x a ac b a b x a ac a b a b x a c a b a b x a b x a c x a b x a c x a b x c bx ax 2 4 2 4 4 2 4 4 4 2 ) 2 ( ) 2 ( 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                       a ac b b x 2 4 2

12     .

Dengan demikian penyelesaiannya adalah sebagai berikut: 0

5 4

2_{ x }

x

5 dan , 4

,1  

 b c

a a ac b b x 2 4 2

12     = ( 4) (₂4_.1) 4.1.( 5)

2 _{ }

    = 2 6 4

= 2  3 5

3 2  

x atau x231.

Perhatikan kembali rumus abc di atas. Diskriminan persamaan kuadrat 0

2_bxc

ax , dinotasikan dengan D, didefinisikan sebagai ac

b

D: 2 4 .

Jenis akar persamaan kuadrat ax2bxc0 ditentukan oleh nilai D, yaitu

Jika D  0, maka akar persamaan kuadrat berupa bilangan real

Jika D = 0, maka akar persamaan kuadrat berupa bilangan real dan sama Jika D < 0, maka akar persamaan kuadrat berupa bilangan khayal

Latihan 1.2.1. B:

Dengan menggunakan pemfaktoran tentukan akar persamaan kuadrat di bawah ini.

1. x2 40 2. x2 90 3. 4x210 4. 4x2x0

5. x23x0 6. x29x80 7. x29x140 8. x29x200

9. 6x217x100 10. 5x2 13x180 11.10x2 9x220 12. 6x2 11x40

Dengan melengkapkan kuadrat tentukan akar persamaan kuadrat di bawah ini.

13. x2 8x70 14. x2 6x270 15. x2 4x120 16. 2x25x30

17. 3x211x80 18.

9 3 3

9 2

2_ _x  _{x } x x

x

19. 12 7 x x

20. 1₂

2 7 2 1

x x  

21. 6x2 21x150 22. 3x2 21x300 Dengan menggunakan rumus abc tentukan akar persamaan kuadrat di bawah ini.

23. 2x29x70 24. 2x25x30 25. x2 7x0 26. 2x290

27.

1 3

1 6 4 1 3

9 2

   

 x

x x

28. 2

1 2 1

1 _

    

x x x x 29.

1 2

3 2 7 3

5

 

   

x x x

x Selesaikan masalah di bawah ini!

30.Tentukan dua buah bilangan yang hasil bagi dan hasil kalinya berturut-turut adalah

9

7 dan 1575

31.Diketahui jumlah sisi-sisi segitiga siku-siku adalah 35 cm, sedangkan panjang sisi miringnya adalah 25 cm. Tentukan sisi segitiga yang lainnya.

32.Diketahui poligon dengan n sisi mempunyai 2

) 3 (n

n _{diagonal. Tentukan} banyaknya sisi poligon yang mempunyai diagonal sebanyak 65. Adakah poligon yang mempunyai diagonal sebanyak 80 buah ?

33.Sebuah kawat yang mempunyai panjang 12 cm dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dibuat persegi. Jika jumlah luas kedua persegi tersebut 5 cm2_, maka tentukan ukuran masing-masing potongan tersebut.

34.Sejumlah beras jika dikurangi 50 kg dan harganya dikurangi Rp100,00 per kg, maka hasil penjualannya adalah Rp240 000,00. Tentukan banyaknya beras semula dan harga beras semula, jika seluruh harga beras seharusnya berharga Rp325 000,00.

35.Jika Insan mengerjakan suatu pekerjaan selama tujuh hari, maka Dinda masih memerlukan dua puluh hari lagi untuk menyelesaikan sisanya. Jika diketahui bahwa untuk mengerjakan pekerjaan tersebut seluruhnya, Dinda memerlukan sembilan hari lebih banyak dari pada Insan. Tentukan dalam berapa hari Insan dapat menyelesaikan pekerjaan tersebut.

C. Persamaan Derajat Tinggi

Sifat di bawah ini dapat digunakan untuk mendapatkan selesaian dari persamaan polinomial derajad lebih dari dua.

1. a₁a₂...a_n 0a_i 0 ,untuk suatu i{1,2,...,n}. 2. a 0 selesaian persamaan f(x)0  f(a)0 3. f(a)0  f(x)(xa)g(x)

4. Jika jumlah koefisien dari polinomial f(x) sama dengan 0, maka x1 merupakan faktor dari f(x).

5. Jika pada polinomial f(x), jumlah koefisien derajad gasal sama dengan jumlah koefisien derajad genap, maka x1 merupakan faktor dari f(x).

Untuk menyelesaikan persamaan polinomial berderajad lebih dari dua dapat dilakukan dengan pemfaktoran seperti halnya pada persamaan kuadrat, perbedaannya adalah kita harus terlebih dahulu mem prediksi salah satu dari akar polinomial terlebih dahulu.

Contoh: carilah akar persamaan x34x2 x6 = 0 Penyelesaian:

Karena jumlah koefisien x3 4x2 x6, yaitu 1 + 4 + 1 – 6, sama dengan 0, maka x1 merupakan faktor dari x34x2x6. Untuk mendapatkan hasil pemfaktorannya dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu metode biasa, metode koefisien, dan aturan Horner.

Metode Biasa: 6 5 0 6 6 6 6 5 5 6 5 6 4 1 2 2 2 2 3 2

3  

             x x x x x x x x x x x x x x

Dari proses di atas diperoleh 6 4 2

3_{ x x}

x = (x1)(x25x6) = (x1)(x2)(x3). Metode Koefisien: 6 5 1 0 6 6 6 6 5 5 6 1 5 1 1 6 1 4 1 1

1  

            

Dari proses di atas diperoleh 6

4 2

3_{ x x}

x = (x1)(x25x6) = (x1)(x2)(x3). Aturan Horner:

1 1 4 1 – 6 koefisien polinomial mulai derajad besar 1 5 6 +

1 5 6 0 x

Dari proses di atas diperoleh 6

4 2

3_{ x x}

x = (x1)(x25x6) = (x1)(x2)(x3). Dengan demikian:

6 4 2

3 _{ x x}

x = 0

) 3 )( 2 )( 1

(x x x = 0

0 3 atau , 0 2 , 0

1    

 x x

x 1 

x , x2, atau x3

Jadi akar persamaan x34x2 x6 = 0 adalah x1, x2, atau 3

  x .

Latihan 1.2.1. C:

Carilah akar persamaan di bawah ini! 1. x3270

2. x3640

3. 0

8 1

3_{ }

x

4. x3x210x80

5. 7x3x2 8x160 6. x4 2x37x2 8x120 7. x4 2x313x2 14x240

Untuk persamaan di bawah ini, tentukan nilai variabel yang tidak diketahui dan tentukan pula akar-akarnya.

8. x35x28x p0 mempunyai akar kembar 9. x38x2  px10p0 mempunyai akar -2 10. x37x2  px120 mempunyai akar 2

11. x35px2 9px50 mempunyai sepasang akar berkebalikan

12. x4  px321x24px10p0 mempunyai akar kembar dan dua akar lainnya berlawanan

Selesaikan masalah di bawah ini!

14.Sebuah kotak dibuat dari selembar seng berukuran 20 cm x 10 cm dengan cara membuang sebuah persegi pada setiap pojoknya. Jika volume kotak yang diinginkan adalah 384 cm3_{, maka tentukan ukuran dari kotak tersebut.}

15.Diketahui titik ekstrim fungsi f terletak pada absis x x_o dengan f ('x_o)0. Tentukan titik ekstrim fungsi f, jika diketahui f ('x)x3x2 4x4. 16.Tentukan titik potong grafik fungsi f(x)x37x6 terhadap sumbu x 17.Tentukan titik potong kurva x2y33y2 1 terhadap sumbu y. 18.Diketahui bahwa 12 + 22 + 32 + … + n2 ₌ n n( 1 2)( n1)

6 . Carilah banyaknya suku pada deret 12 _{+ 2}2 _{+ 3}2 _{+ … + n}2_{, jika jumlahnya 285.}

19.Diketahui bahwa 2.3 + 4.6 + 6.9 + … + (2n)(3n) = n(n+1)(2n+1). Carilah banyaknya suku pada deret 2.3 + 4.6 + 6.9 + … + (2n)(3n), jika jumlahnya 2310

20.Diketahui sebuah kotak ABCD.EFGH mempunyai alas berbentuk jajar genjang dan sisi tegaknya tegak lurus dengan alas kotak. Sisi tegaknya tegak lurus dengan alas kotak dengan tinggi kotak sama dengan x cm, AB = (9 – x) cm, BC = (2 + x), dan DAB =

6

 _{. Tentukan luas permukaan kotak tersebut,} jika volume kotak adalah 70 cm3_.

1.2.2. Persamaan Nilai Mutlak

Penyelesaian persamaan nilai mutlak dicari dengan menggunakan sifat: a

x a

x    . Contoh: Carilah selesaian persamaan x2 2 Penyelesaian:

2 2  

x  x22  x22

Latihan 1.2.2.:

Tentukan akar persamaan di bawah ini. 1. 3x 6

2. 3x7 5

3. 9

5 1 2x _ 4. x2x4 2 5. x25x5 1

6.

2 1 3

6 _

 

x x

7. x1 3x2 8. 3x4 4x6 9. 2x1 x3 10 10. (x1)2 2x130

1.3. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah hubungan antar kuantitas yang dihubungkan dengan tanda <, >, , dan .

Contoh:

f. x2 3x50 g. 2x2 33x 5 h. log(x23x)1

i. x23x 1x

Selesaian Pertidaksamaan: a

x disebut selesaian dari f(x)0, jika f(a)0. (untuk tanda pertidaksamaan yang lainnya serupa)

Contoh:

d. x2 merupakan selesaian dari persamaan x23x40, sebab 0

4 2 . 3 22  

e. x0 merupakan selesaian dari persamaan 2x2 33x 2, sebab 2

3 202  3.0 

f. x1 merupakan selesaian dari persamaan log(x2 3x)1, sebab 1

) 1 . 3 1

log( 2  

1.3.1. Pertidaksamaan Polinomial A. Persamaan Linear

Sifat yang digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear adalah: 1. Jika ab, maka acbc

2. Jika ab dan c0, maka acbc 3. Jika ab dan c0, maka acbc

(untuk tanda pertidaksamaan yang lainnya serupa)

Contoh:

Carilah himpunan selesaian dari pertidaksamaan:

c. 3x69 b. 3x945x c. x332xx6 Penyelesaian:

c. 3x69 6 9 6 6

3x    (sifat 1) 15

3x

15 . 3 1 3 . 3

1 _{x (sifat 2)}

Jadi himpunan selesaiannya adalah {xR:x5} dalam bentuk interval adalah



,5



Catatan:

} :

{ : ] ,

[a b  xR a xb } :

{ : ] ,

(a b  xR a xb } :

{ : ) ,

[a   xR ax } : { : ) ,

( a  xR xa (untuk yang lainnya serupa) d. 3x945x

9 4 5

3x x  (sifat 1) 5

 x

5 2 

 x

) 5 ( 2 1 ) 2 ( 2

1 _{  }

 x (sifat 3)

2 5  x

Jadi himpunan selesaiannya adalah ] 2 5 , ( .

e. x332xx6 berarti x332x dan 32xx6 x

x332  x2x33  3x6  x2 6

2

3 xx  36 x2x  3x3  x1

Jadi himpunan selesaiannya adalah [-1, 2)

Latihan 1.3.1. A

Tentukan himpunan selesaian dari pertidaksamaan di bawah ini. 1. 2x132x

2. 2x132x 3. 3(x1)2(3x)3 4. 3(2x)2(1x)3 5.

4 2 3 3

1

2x _  x

6.

4 2 3 6 1 3

1 x

x _{ }  7. 1x x132x 8.

3 2 3 1 2

1x _{ x }  x

B. Pertidaksamaan Non Linear

Langkah yang digunakan untuk mencari selesaian pertidaksamaan non linear adalah sebagai berikut:

1. Ubahlah bentuk pertidaksamaan sehingga salah satu ruas adalah 0 2. Cari pengenol dari ruas yang tak nol

3. Buat garis bilangan dan tempatkan pengenol yang diperoleh dari langkah 2 4. Beri tanda positif atau negatif pada garis bilangan yang bersesuaian dengan

nilai ruas tak nol

5. Cari daerah yang bersesuaian dengan pertidaksamaan

Contoh:

Tentukan himpunan selesaian pertidaksamaan: c. (x1)2 0

d. (x1)4 0 e. (x1)3 0

f. (x1)5 0

g. (x1)2(x2)3 0 h. x4 4

Penyelesaian: c. (x1)2 0

Langkah 1 sudah terpenuhi

Langkah 2: pengenol dari (x1)2 adalah selesaian persamaan (x1)2 = 0, yaitu x1

Langkah 3 & 4: Tanda dari (x1)2:

Jadi himpunan selesaiannya adalah {xR:x1} d. (x1)4 0

Pengenol dari (x1)4 adalah x 1. Tanda dari (x1)4:

Jadi himpunan selesaiannya adalah {xR:x1} e. (x1)3 0

Pengenol dari (x1)3 adalah x1. Tanda dari (x1)3:

Jadi himpunan selesaiannya adalah {xR:x1} 1

+ +

1

+ +

1

f. (x1)5 0

Pengenol dari (x1)5 adalah x 1. Tanda dari (x1)5:

Jadi himpunan selesaiannya adalah {xR:x1}

g. (x1)2(x2)3 0

Pengenol dari (x1)2(x2)3 adalah x1 atau 2. Tanda dari (x1)2(x2)3:

Jadi himpunan selesaiannya adalah {xR:x2} h. x4 16  x2 160

 x216 = (x24)(x24)(x2)(x2)(x24)  0. Pengenol dari x216 adalah x 2 atau 2.

Tanda dari x2 16:

Jadi himpunan selesaiannya adalah {xR:x2atau x2}

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:

a. Tanda di kanan dan kiri x a saling berlawanan, jika xa akar )

( )

(xa ng x dengan n bilangan gasal.

b. Tanda di kanan dan kiri xa sama, jika x a akar (xa)ng(x) dengan n bilangan genap.

1

– +

1

– +

2 –

-2

– +

2 +

Latihan 1.3.1. B:

Tentukan himpunan selesaian pertidaksamaan di bawah ini. 1. (x4)2 0

2. (x4)4 0 3. (x1)30 4. (x4)7 0 5. (x4)(x1)0 6. (x4)(1x)0 7. (x4)3(x1)2 0

8. (x2)3(x1)2(x1)3 0 9. 4x2x0

10. x2 3x0

11. x2 9x80 12. 6x217x100 13. 5x2 13x180 14. 10x29x220 15. 6x2 11x40 16. x36x2 11x60 17. 5x34x2 3x20 18. x3x210x80 19. 7x37x28x160 20. x34x2 x6  0

C. Pertidaksamaan Pecah Rasional

Bentuk umum pertidaksamaan pecah rasional adalah: 0

) (

) ( _

x q

x

p _{, dengan p(x) dan q(x) polinomial.}

Penyelesaian pertidaksamaan pecah rasional serupa dengan penyelesaian pertidaksamaan polinomial, bedanya adalah:

a. pengenol yang dicari adalah pengenol dari pembilang dan penyebut dari ruas tak nol setelah salah satu ruas dinolkan

b. pengenol dari penyebut tidak masuk dalam himpunan selesaian Contoh: Carilah himpunan selesaian dari 11

x

x _.

Penyelesaian: 1 1_  x

x _ 1_10 x

x

 1 0 x x x

x _ 2 1_0 x

Pengenol dari 2x1 adalah 2 1 

x dan pengenol dari x adalah x = 0. Tanda dari x x 1 2  :

Jadi himpunan selesaiannya adalah {xR:x0atau x2}

Latihan 1.3.1. C:

Carilah himpunan selesaian dari pertidaksamaan di bawah ini.

1. 0 2 ) 2 )( 1 ( _    x x x 2. 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 1

( 2 3 _

   x x x

3. 1 2 x 4. 11

x

5. 0

1 1

2_ 

 x

x

6. 127 x x

7. 1₂

2 7 2 1 x x  8. 0 12 4 27 6 2 2      x x x x 9. 0 8 11 3 3 5 2 2 2      x x x x 10. 0 9 27 2 3    x x 11. 2 1 1_   x x 12. 1 2 3 2 7 3 5       x x x x 13. 9 3 3 1 9 2

2_  _x  _{x }

x x 14. 1 3 1 6 4 1 3 9 2      x x x 15. 2 1 2 1

1 _

     x x x x

Tentukan nilai x agar bentuk di bawah ini mempunyai nilai. 16. 3 x

17. 3 2 1   x x 18. x 19. 1 1 1    x x 20. xlogx 21. xlog(2x)

22. x1log(1x) 23. xlog(1 x1) 0

– +

½ +

Selesaikan masalah di bawah ini. 24.Tentukan semua nilai

x

1 , jika 1  x < 2 25.Tentukan semua nilai

x

1_{, jika –1  x < 2}

26.Tentukan semua nilai 1₂

x , jika –1  x < 2 27.Tentukan semua nilai

1 1



x , jika 1  x < 2

28.Diketahui bahwa grafik fungsi f naik pada absis x = xo, jika f ('x_o)0. Tentukan semua nilai x sehingga grafik fungsi f naik, jika

a. f ('x) x2 2x b. (' ) 11

x x x f

29.Diketahui bahwa grafik fungsi f turun pada absis x = xo, jika f ('x_o)0. Tentukan semua nilai x sehingga grafik fungsi f turun, jika:

a. f ('x) x22x1 b. (' ) 11

x x x f

30.Diketahui bahwa grafik fungsi f cekung ke atas pada absis x = xo, jika 0

) (' ' x_o 

f . Tentukan semua nilai x sehingga grafik fungsi f cekung ke atas, jika

a. f' ('x) x22x3

b. 1

2 1 )

('

' 

  

x x x f

31.Diketahui bahwa grafik fungsi f cekung ke bawah pada absis x = xo, jika 0

) (' ' x 

f . Tentukan semua nilai x sehingga grafik fungsi f cekung ke bawah, jika:

a. f' ('x) x22x3 b. ' (' ) 11

x x x f

1.3.2. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak dicari dengan menggunakan sifat: a

x a a

x     . a x a x a

x      Contoh: Carilah selesaian pertidaksamaan

a. x2 2 b. x2 1 Penyelesaian:

a. x2 2  2x22  0x4 Jadi selesaiannya adalah 0 x4

b. x2 1  x21 atau x21  x3 atau x3 Jadi selesaiannya adalah x3 atau x 3

Latihan 1.3.2.:

Tentukan himpunan selesaian pertidaksamaan di bawah ini. 1. 3x 6

2. 3x7 5

3. 9

5 1 2x _ 4. x2x4 2

5. x25x5 1 6.

2 1 3

6 _

 

x x

7. x13x2 8. 3x4 4x6 Tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini benar. 9. Jika x2 0,0001, maka 4 0,0001

2 4

2

  

 x x

10.Jika x2 min{,12}, maka   2 1 1 x

11.Jika }

2 3 , 1 min{ 4

 

 

Contoh:

Tentukan himpunan selesaian pertidaksamaan:

c.

(

x



1

)

2



0

d.

(

x



1

)

4



0

e.

(

x



1

)

3



0

f.

(

x



1

)

5



0

g.

(

x



1

)

2

(

x



2

)

3



0

h.

x

4



4

Penyelesaian:

c.

(

x



1

)

2



0

Langkah 1 sudah terpenuhi

Langkah 2: pengenol dari

(

x



1

)

2

adalah selesaian persamaan

(

x



1

)

2

= 0,

yaitu

x



1

Langkah 3 & 4:

Tanda dari

(

x



1

)

2

:

Jadi himpunan selesaiannya adalah

{

x



R

:

x



1

}

d.

(

x



1

)

4



0

Pengenol dari

(

x



1

)

4

adalah

x



1

.

Tanda dari

(

x



1

)

4

:

Jadi himpunan selesaiannya adalah

{

x



R

:

x



1

}

e.

(

x



1

)

3



0

Pengenol dari

(

x



1

)

3

adalah

x



1

.

Tanda dari

(

x



1

)

3

:

Jadi himpunan selesaiannya adalah

{

x



R

:

x



1

}

1

+

+

1

+

+

1

f.

(

x



1

)

5



0

Pengenol dari

(

x



1

)

5

adalah

x



1

.

Tanda dari

(

x



1

)

5

:

Jadi himpunan selesaiannya adalah

{

x



R

:

x



1

}

g.

(

x



1

)

2

(

x



2

)

3



0

Pengenol dari

(

x



1

)

2

(

x



2

)

3

adalah

x



1

atau 2.

Tanda dari

(

x



1

)

2

(

x



2

)

3

:

Jadi himpunan selesaiannya adalah

{

x



R

:

x



2

}

h.

x

4



16



x

2



16



0



x

2



16

=

(

x

2



4

)(

x

2



4

)



(

x



2

)(

x



2

)(

x

2



4

)

 0.

Pengenol dari

x

2



16

adalah

x





2

atau 2.

Tanda dari

x

2



16

:

Jadi himpunan selesaiannya adalah

{

x



R

:

x





2

atau

x



2

}

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:

a.

Tanda di kanan dan kiri

x



a

saling berlawanan, jika

x



a

akar

)

(

)

(

x



a

n

g

x

dengan n bilangan gasal.

b.

Tanda di kanan dan kiri

x



a

sama, jika

x



a

akar

(

x



a

)

n

g

(

x

)

dengan n

1

–

+

1

–

+

2

–

-2

–

+

2

+

Latihan 1.3.1. B:

Tentukan himpunan selesaian pertidaksamaan di bawah ini.

1.

(

x



4

)

2



0

2.

(

x



4

)

4



0

3.

(

x



1

)

3



0

4.

(

x



4

)

7



0

5.

(

x



4

)(

x



1

)



0

6.

(

x



4

)(

1



x

)



0

7.

(

x



4

)

3

(

x



1

)

2



0

8.

(

x



2

)

3

(

x



1

)

2

(

x



1

)

3



0

9.

4

x

2



x



0

10.

x

2



3

x



0

11.

x

2



9

x



8



0

12.



6

x

2



17

x



10



0

13.

5

x

2



13

x



18



0

14.

10

x

2



9

x



22



0

15.

6

x

2



11

x



4



0

16.

x

3



6

x

2



11

x



6



0

17.

5

x

3



4

x

2



3

x



2



0

18.

x

3



x

2



10

x



8



0

19.

7

x

3



7

x

2



8

x



16



0

20.

x

3



4

x

2



x



6

 0

C. Pertidaksamaan Pecah Rasional

Bentuk umum pertidaksamaan pecah rasional adalah:

0

)

(

)

(

_

x

q

x

p

_{, dengan}

_p

₍

_x

_{) dan}

_q

₍

_x

_{) polinomial.}

Penyelesaian pertidaksamaan pecah rasional serupa dengan penyelesaian

pertidaksamaan polinomial, bedanya adalah:

a.

pengenol yang dicari adalah pengenol dari pembilang dan penyebut dari ruas

tak nol setelah salah satu ruas dinolkan

b.

pengenol dari penyebut tidak masuk dalam himpunan selesaian

Contoh: Carilah himpunan selesaian dari



1





1

x

x

_.

Penyelesaian:

1

1

_

_



x

x

_



1

_

₁

_

₀

x

x





1





0

x

x

x

x

_

2



1

_

₀

x

Pengenol dari

2

x



1

adalah

2

1



x

dan pengenol dari

x

adalah

x

= 0.

Tanda dari

x

x

1

2



:

Jadi himpunan selesaiannya adalah

{

x



R

:

x



0

atau

x



2

}

Latihan 1.3.1. C:

Carilah himpunan selesaian dari pertidaksamaan di bawah ini.

1.

0

2

)

2

)(

1

(

_







x

x

x

2.

0

)

2

(

)

2

(

)

1

(

2 3

_







x

x

x

3.

1



2

x

4.

1



1

x

5.

0

1

1

2

_





x

x

6.



12



7

x

x

7.

1

₂

2

7

2

1

x

x





8.

0

12

4

27

6

2 2











x

x

x

x

9.

0

8

11

3

3

5

2

2 2











x

x

x

x

10.

0

9

27

2 3







x

x

11.

2

1

1

_





x

x

12.

1

2

3

2

7

3

5













x

x

x

x

13.

9

3

3

1

9

2

2

_



_x

_



_x

_

x

x

14.

1

3

1

6

4

1

3

9

2











x

x

x

15.

2

1

2

1

1

_

_











x

x

x

x

Tentukan nilai

x

agar bentuk di bawah ini mempunyai nilai.

16.

3

x

17.

3

2

1





x

x

18.

x

19.

1

1

1







x

x

20.

x

log

x

21.

x

log(

2



x

)

22.

x1

log(

1



x

)

23.

x

log(

1



x



1

)

0

–

+

½

+

Selesaikan masalah di bawah ini.

24.

Tentukan semua nilai

x

1 , jika 1 

x

< 2

25.

Tentukan semua nilai

x

1

_{, jika –1 }

_x

_{< 2}

26.

Tentukan semua nilai

1

₂

x

, jika –1 

x

< 2

27.

Tentukan semua nilai

1

1



x

, jika 1 

x

< 2

28.

Diketahui bahwa grafik fungsi

f

naik pada absis

x = x

o, jika

f

('

x

_o

)



0

.

Tentukan semua nilai

x

sehingga grafik fungsi

f

naik, jika

a.

f

('

x

)



x

2



2

x

b.

('

)





1



1

x

x

x

f

29.

Diketahui bahwa grafik fungsi

f

turun pada absis

x = x

o, jika

f

('

x

_o

)



0

.

Tentukan semua nilai

x

sehingga grafik fungsi

f

turun, jika:

a.

f

('

x

)



x

2



2

x



1

b.

('

)





1



1

x

x

x

f

30.

Diketahui bahwa grafik fungsi

f

cekung ke atas pada absis

x = x

o, jika

0

)

('

'

x

_o



f

. Tentukan semua nilai

x

sehingga grafik fungsi

f

cekung ke atas,

jika

a.

f

'

('

x

)



x

2



2

x



3

b.

1

2

1

)

('

'









x

x

x

f

31.

Diketahui bahwa grafik fungsi

f

cekung ke bawah pada absis

x = x

o, jika

0

)

('

'

x



f

. Tentukan semua nilai

x

sehingga grafik fungsi

f

cekung ke

bawah, jika:

a.

f

'

('

x

)



x

2



2

x



3

b.

'

('

)





1



1

x

x

x

f

1.3.2.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak dicari dengan menggunakan sifat:

a

x

a

a

x











.

a

x

a

x

a

x













Contoh: Carilah selesaian pertidaksamaan

a.

x



2



2

b.

x



2



1

Penyelesaian:

a.

x



2



2





2



x



2



2



0



x



4

Jadi selesaiannya adalah

0



x



4

b.

x



2



1



x



2





1

atau

x



2



1



x





3

atau

x



3

Jadi selesaiannya adalah

x





3

atau

x



3

Latihan 1.3.2.:

Tentukan himpunan selesaian pertidaksamaan di bawah ini.

1.



3

x



6

2.

3

x



7



5

3.

9

5

1

2

x



_

4.

x

2



x



4



2

5.

x

2



5

x



5



1

6.

2

1

3

6

_





x

x

7.

x



1



3

x



2

8.

3

x



4



4

x



6

Tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini benar.

9.

Jika

x



2



0

,

0001

, maka

4

0

,

0001

2

4

2









x

x

10.

Jika

x



2



min{

,1

2



}

, maka







2

1

1

x

11.

Jika

}

2

3

,

1

min{

4







