Penerapan Socially Optimal Choice Function dalam Strategi Dominan
PENERAPAN SOCIALLY OPTIMAL CHOICE FUNCTION
DALAM STRATEGI DOMINAN
LINA YASMINA MAHBUBAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penerapan Socially
Optimal Choice Function dalam Strategi Dominan adalah sebenarnya karya saya
dengan arahan dari pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2013
Lina Yasmina Mahbubah
NIM G54070035
ABSTRAK
LINA YASMINA MAHBUBAH. Penerapan Socially Optimal Choice Function
dalam Strategi Dominan. Dibimbing oleh SISWANDI dan RETNO BUDIARTI.
Permasalahan yang tidak mungkin dihindari oleh setiap orang adalah
membuat keputusan. Alternatif pilihan yang ada dapat dibandingkan satu sama
lain saat pengambilan keputusan. Hubungan yang mungkin terbentuk saat
membandingkan dua alternatif yaitu hubungan preference dan indifference.
Socially optimal choice function (SOCF) ialah analisis yang menggabungkan
beberapa preferensi atau kepentingan individu untuk mendapatkan keputusan
kolektif. Tujuan karya ilmiah ini ialah menerapkan SOCF dalam strategi dominan.
Ada sekumpulan n mahasiswa yang melamar beasiswa. Setiap mahasiswa
memiliki pembimbing yang berbeda dan ada satu beasiswa per mahasiswa,
sehingga jumlah pelamar beasiswa, pembimbing dan beasiswa sama. Urutan
peringkat beasiswa akan ditetapkan oleh juri yang terdiri dari seluruh
pembimbing. True ranking sudah ditentukan dan diketahui oleh seluruh
pembimbing. Preferensi pembimbing dipengaruhi oleh true ranking. Hasil SOCF
yang optimal ialah beasiswa yang diterima sesuai dengan true ranking. Telah
dibuktikan jika n =3 maka SOCF tidak dapat diimplemetasikan dalam strategi
dominan.
Kata kunci: preferensi, SOCF, strategi dominan, true ranking
ABSTRACT
LINA YASMINA MAHBUBAH. Application of Socially Optimal Choice
Function in Dominant Strategies. Supervised by SISWANDI and RETNO
BUDIARTI.
Unavoidable problems by any person are making a decision. There are
alternative option that can be compared one to the others in making a decision.
Relationship that may be established when comparing two alternatives is namely
preference and indifference relations. Socially optimal choice function (SOCF) is
analysis to combine some individual preferences or interests to get a collective
decision. The purpose of this manuscript is to apply the SOCF in dominant
strategies. Supposed n students apply for scholarship. Each student has different
supervisors and there is one scholarship per student. So the number of applicants,
supervisors and scholarships is similiar. The ranking of students will be
determined by a jury consist of all supervisors. True ranking of students has been
determined by all supervisors. Supervisors’s preference is influenced by true
ranking. The outcome of SOCF is the accepted scholarship appropriate by true
ranking. It has been proven that if n = 3 then the SOCF cannot be implemented in
dominant strategies.
Keywords: preference, SOCF, dominant strategy, true ranking
PENERAPAN SOCIALLY OPTIMAL CHOICE FUNCTION
DALAM STRATEGI DOMINAN
LINA YASMINA MAHBUBAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penerapan Socially Optimal Choice Function dalam Strategi
Dominan
Nama
: Lina Yasmina Mahbubah
NIM
: G54070035
Disetujui oleh
Drs Siswandi, MSi
Pembimbing I
Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Dra Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak.
Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Keluargaku tersayang : Bapak dan Mamah (terima kasih atas kasih
sayang, kesabaran, kepercayaan, dukungan dan doa yang tiada hentihentinya), kakakku Mba Sovi dan Mas Fauzi (terima kasih atas kasih
sayang, motivasi, dukungan serta doanya) dan adik-adikku Husna, Maya
dan Nabila (terima kasih atas motivasi, dukungan dan doanya).
2. Drs Siswandi, MSi dan Ir Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing
(terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi dan bantuan
selama penulisan karya ilmiah ini).
3. Teduh Wulandari Masoed, MSi selaku dosen penguji (terima kasih atas
semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi dan sarannya).
4. Hari Agung, MSi selaku dosen Departemen Ilmu Komputer (terima
kasih atas ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, bantuan dan sarannya).
5. Segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu
yang telah diberikan).
6. Seluruh staf Departemen Matematika (terima kasih atas motivasi dan
bantuannya).
7. Teman-teman Matematika angkatan 44 (terima kasih atas semangat,
motivasi dan kebersamaannya).
8. Teman-teman seperjuangan : Jubed, Rodiah, Dian, Aslimah, Yulinda,
Nohi, Mb Sri, Age, Kokom, Destia, Aini, Pita, Endang, Mb Eva, Dewi,
Ovi, Ita, Siska, Devina (terima kasih atas semangat, motivasi, dukungan,
inspirasi dan kebersamaannya).
9. Adik-adik kelasku : Tika, Orin, Indah, Ifah, Fathia, Nada, Fikri, Tudrika,
Opi, Afifah, Maryam, Biti dan Yuyun (terima kasih atas semangat,
dukungan dan kebersamaannya)
Penulis menyadari bahwa penulisan karya ilmiah ini masih memiliki
kekurangan, oleh karena itu dibutuhkan saran dan kritik yang membangun dari
pembaca. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Agustus 2013
Lina Yasmina Mahbubah
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
PEMBAHASAN
5
Implementasi dalam Strategi Dominan
7
SIMPULAN
11
Simpulan
11
DAFTAR PUSTAKA
11
LAMPIRAN
12
RIWAYAT HIDUP
28
DAFTAR TABEL
1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan
N={a,b,c}
2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan
N={a,b,c}
3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan
N={a,b,c}
4 Bagian yang relevan dari mekanisme ��
6
8
8
9
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Fungsi preferensi
N={a,b,c,d}
Fungsi preferensi
N={a,b,c,d}
Fungsi preferensi
N={a,b,c,d}
Fungsi preferensi
N={a,b,c,d}
bagi agen a yang moderately selfish dengan
12
bagi agen b yang moderately selfish dengan
16
bagi agen c yang moderately selfish dengan
20
bagi agen d yang moderately selfish dengan
24
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Permasalahan yang tidak mungkin dihindari oleh setiap orang adalah
membuat keputusan, diantaranya adalah membuat keputusan untuk memilih
sekolah, mencari pekerjaan, membeli barang, memilih pakaian dan lain-lain.
Dalam pengambilan keputusan, alternatif pilihan yang ada dapat dibandingkan
satu sama lain. Hubungan yang mungkin terbentuk saat membandingkan dua
alternatif yaitu hubungan preference dan indifference. Dua alternatif disebut
memiliki hubungan preference jika salah satu dari dua alternatif tersebut memiliki
nilai yang lebih dari alternatif lainnya. Alternatif pilihan disebut indifference jika
dua alternatif tersebut setara atau sama dengan alasan tertentu.
Socially optimal choice function merupakan analisis yang menggabungkan
beberapa preferensi individu dan kepentingan atau kesejahteraan untuk
mendapatkan keputusan kolektif. Beberapa agen memutuskan masalah
kepentingan kolektif. Agen merupakan sekumpulan orang atau berupa organisasi
yang membuat pilihan diantara satu atau beberapa objek. Objek dalam social
choice function disebut alternatif dan kumpulan alternatif diasumsikan sebagai
himpunan. Permasalahan social choice muncul ketika sekumpulan agen diminta
memilih satu pilihan dari himpunan alternatif.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstuksi dari karya ilmiah Amoros et al.
(2002) yang berjudul “The Scholarship Assignment Problem”. Karya ilmiah ini
membahas sistem penetapan urutan beasiswa. Penetapan urutan beasiswa
memiliki tujuan sosial. Tujuan sosial yang digunakan adalah untuk menetapkan
beasiswa pertama diberikan kepada mahasiswa terbaik pertama, beasiswa terbaik
kedua kepada mahasiswa terbaik kedua dan seterusnya. Asumsi yang digunakan
adalah setiap mahasiswa memiliki pembimbing yang berbeda dan ada satu
beasiswa per mahasiswa, sehingga jumlah mahasiswa, pembimbing dan beasiswa
sama. Urutan peringkat beasiswa akan ditetapkan oleh juri yang terdiri dari
seluruh pembimbing. Hasil urutan peringkat penerima beasiswa (true ranking)
sudah ditentukan dan diketahui oleh seluruh pembimbing. Preferensi pembimbing
dipengaruhi oleh true ranking.
Karya ilmiah ini mencoba membuat prosedur agar beasiswa yang diterima
sesuai dengan true ranking meskipun pembimbing mendahulukan mahasiwa yang
lebih disukai untuk mendapatkan beasiswa terbaik. Karya ilmiah ini ini fokus
pada masalah implementasi khusus dengan karakteristik sebagai berikut :
1. Himpunan alternatif adalah himpunan suluruh kemugkinan peringkat
(permutasi) yang diberikan oleh kumpulan agen. Setiap peringkat
diartikan sebagai penyerahan beasiswa.
2. Aturan pilihan sosial adalah hasil pemetaan himpunan peringkat/ranking.
Dalam hal ini disebut aturan fungsi pilihan sosial yang optimal/ socially
optimal choice function (SOCF).
3. True ranking diamati oleh semua penentu. Himpunan semua penentu
disebut dengan himpunan agen.
4. Preferensi adalah sebuah kondisi yang memenuhi hal berikut ini :
2
(1)
Setiap pembimbing ingin perwakilan mahasiswanya mendapatkan
beasiswa yang paling baik.
(2) Setiap pembimbing menginginkan sisa beasiswa lainnya diberikan
sesuai dengan true ranking.
Mekanisme yang digunakan untuk penerapan SOCF yaitu mekanisme dalam
strategi dominan.
Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah menerapkan socially optimal
choice function dalam strategi dominan.
LANDASAN TEORI
Dalam menyelesaikan karya ilmiah ini digunakan beberapa definisi sebagai
berikut.
Definisi 1(Himpunan Ganda Cartesian)
Misalkan � himpunan sembarang. Himpunan ganda Cartesian pada �
didefinisikan sebagai � × �= { , : ,
�}.
(Kurtz 1992)
Definisi 2 (Relasi)
Misalkan � himpunan sembarang. Relasi pada � didefinisikan sebagai
himpunan bagian dari himpunan ganda Cartesian � × � , ditulis ⊆ � × �.
(Kurtz 1992)
Definisi 3 (Relasi preferensi)
Misalkan � himpunan sembarang. Relasi ∶ � → � , didefinisikan strict
preference merupakan sebuah relasi ≻ ∶ ≻ ↔
≽ bukan ≽ . Relasi ≽
memenuhi tiga kondisi :
Complete : ∀ ,
�, jika ≽ atau ≽ atau keduanya,
Transitive : ∀ , ,
�, jika ≽ dan ≽ maka ≽ ,
Reflexive : ∀
�, x ≽ x.
(Crosetto 2009)
Definisi 4 (Preferensi agen yang selfish)
Misalkan N merupakan himpunan dari n mahasiswa yang melamar
beasiswa, Π merupakan himpunan seluruh kemungkinan peringkat mahasiswa di
N, � Π dan
, � merupakan posisi mahasiswa i dalam peringkat �.
Misalkan ℜ menyatakan kelas dari relasi-relasi preferensi yang didefinisikan atas
yang memenuhi sifat complete, transitive dan reflexive.
3
Sebuah fungsi preferensi dari agen i yaitu, ≽i : Π → ℜ dengan agen bersikap
�
selfish jika ∀πt Π dan ∀π, �
dengan � < � maka � ≻ �.
(Amoros et.al 2002)
Definisi 5 (Preferensi agen yang unprejudiced)
Sebuah fungsi preferensi dari agen i, yaitu ≽i : Π → ℜ. Suatu agen
didefinisikan bersikap unprejudiced dengan agen lain jika ∀�
, dan ∀�, �
, memenuhi tiga kondisi berikut :
(1) � ≠ � ,
(2)
�, � =
∶ �= � ,
�
�
(3) ∀ ,
�, � , jika
<
maka � < � ,
�
sehingga � ≻ �.
(Amoros et.al 2002)
Definisi 6 (Total linear order)
Misalkan himpunan individu, = 1, … , . Setiap individu memiliki total
linear preorder di himpunan alternatif yang feasible, � = {1, … , �} sehingga
individu tesebut dapat menentukan pilihan mereka. Himpunan linear preorder �
dinotasikan sebagai � . Sebuah total linear preorder untuk agen i, ≻
(�)
merupakan antisymmetric, transitive dan total, yaitu ∀
: , ≻ memenuhi :
(1) antisymmetric : ∀ ,
� ∶ jika ≻ dan ≻ maka = ,
(2) transitive : ∀ , ,
�: jika ≻ dan ≻ maka ≻ ,
(3) total : ∀ ,
� ∶ ≻ atau ≻ .
(Lindeneg 2001)
Definisi 7 (Preference profil)
Sebuah preference profil ≻1 , … , ≻
yaitu pemetaan dari
ke (�) .
(Lindeneg 2001)
Definisi 8 (Social welfare function)
Social welfare function adalah sebuah pemetaan
∶ (�) ↷ (�) dengan
≻1 , … , ≻ = ≻
(�) merupakan kumpulan preferensi ke dalam total
linear preorder �.
(Lindeneg 2001)
Definisi 9 (Social choice function)
Social choice function merupakan analisis yang menggabungkan preferensi
individu dan kepentingan atau kesejahteraan untuk mendapatkan keputusan
kolektif. Misalkan � suatu himpunan,
�, sebuah social choice function
adalah aturan ∶ (�) ↷ � yang memetakan elemen ≻1 , … , ≻
� ke
beberapa preferensi individu dalam (�) .
(Lindeneg 2001)
4
Definisi 10 (Mekanisme)
Sebuah mekanisme Γ merupakan pasangan berurut , , dengan =
�
adalah rekomendasi urutan penerima beasiswa dari agen i, dan ∶ ⟶
adalah fungsi hasil.
(Amoros et.al 2002)
Definisi 11 (Strategi Dominan)
Strategi dominan adalah sebuah strategi terbaik yang terlepas dari strategi
yang dipilih orang lain.
(Salvatore 2006)
Definisi 12 (State of the world)
Misalkan Ϝ
menunjukkan kelas fungsi preferensi yang moderately
selfish. Profil dalam fungsi preferensi dinotasikan dengan ≽ Ϝ . State of the
world adalah daftar fungsi-fungsi preferensi dan urutan true ranking yang diamati
oleh seluruh agen, dinotasikan (≽, � ) Ϝ × . Misalkan � adalah kelas
dari state of the world. Profil relasi preferensi dapat diterima, jika terdapat
beberapa state of the world ( ≽, � ) � sehingga ≽� sesuai dengan relasi
preferensi.
(Amoros et.al 2002)
Definisi 13 (Implementasi SOCF dalam strategi dominan)
Sebuah mekanisme � dan sebuah state of the world ≽, �
� , dengan
�
� �, ≽
menunjukkan himpunan strategi dominan yang mengimplementasikan
SOCF dari � ≽, � .
(Amoros et.al 2002)
Definisi 14 (Mekanisme yang memenuhi kesetimbangan strategi dominan)
Misalkan � = ,
merupakan sebuah mekanisme. Dikatakan bahwa
merupakan kesetimbangan strategi dominan dari � yang memenuhi state of
the world
≽, �
�
jika ∀
,
dan
maka
−
−
�
( , −)≽
( , − ).
(Amoros et.al 2002)
5
PEMBAHASAN
Misalkan N merupakan himpunan dari n mahasiswa yang melamar beasiswa.
Alternatif sosial � merupakan peringkat penerima beasiswa dari unsur N ,
Misalkan Π merupakan himpunan semua kemungkinan peringkat penerima
beasiswa dalam N . Untuk semua � Π dan
, didefinisikan � sebagai
posisi siswa dalam peringkat �.
Setiap siswa
memiliki pembimbing yang berbeda. Peringkat
beasiswa diputuskan oleh kumpulan pembimbing mahasiswa. Agen
menunjukkan mahasiswa dan pembimbingnya. Asumsi yang digunakan bahwa
terdapat true ranking mahasiswa, �
, yang diketahui oleh semua agen.
Alternatif sosial yang optimal adalah pemberian beasiswa kepada mahasiswa
diterima sesuai dengan true ranking. Untuk mendapatkan penerimaan beasiswa
dengan socially optimal choice function (SOCF), keputusan tersebut dibuat oleh
agen.
Sebuah mekanisme � merupakan pasangan berurut , , dengan =
�
adalah daftar rekomendasi urutan penerima beasiswa dari agen i (untuk
tiap agen merekomendasikan satu), dan
∶ ⟶ adalah fungsi hasil. Daftar
rekomendasi dinyatakan dengan
. Untuk semua agen
dan semua daftar
rekomendasi
, misalkan
menyatakan rekomendasi dari agen dan
merupakan semua rekomendasi dari agen selain agen .
−
− =×
\{ }
Misalkan ℜ menyatakan kelas dari relasi-relasi preferensi yang
didefinisikan atas
yang memenuhi sifat complete, transitive dan reflexive.
Setiap agen
mempunyai fungsi preferensi ≽ : → ℜ, yang masing-masing
�
berhubungan dengan true ranking �
. Relasi preferensi ≽
ℜ , dengan
�
�
≻ menyatakan relasi strict preferensi yang berkaitan dengan ≽ . Sebagai
contoh misalkan = , maka =
, , ,
. Sebuah fungsi relasi yang
�
mungkin untuk agen a adalah
,
≻
,
jika � = ,
dan
�
, ≻
, jika � = , .
Ada dua asumsi yang digunakan untuk fungsi preferensi bagi agen. Asumsi
pertama bahwa agen bersikap selfish dalam penetapan urutan beasiswa, yaitu
ketika membandingkan dua hasil urutan penerimaan beasiswa, tiap agen memilih
salah satu, sehingga agen tersebut berada dalam posisi lebih baik. Oleh karena
itu, didefinisikan agen i mempunyai fungsi preferensi, ≽ : → ℜ dengan agen
�
bersikap selfish jika ∀�
dan ∀�, �
dengan � < � , maka � ≻ �.
Asumsi kedua, jika diberikan posisi yang sudah ditentukan untuk suatu agen,
seluruh agen harus dibuat sedekat mungkin dengan true ranking, yaitu dengan
mendefinisikan
�, � =
∶ �= � .
�, � adalah himpunan agen
yang mendapat posisi yang sama dalam peringkat � dan �. Misalkan agen i
mempunyai fungsi preferensi, ≽ : → ℜ dan didefinisikan agen bersikap
unprejudiced dengan agen lain, jika ∀�
, dan ∀�, �
, memenuhi tiga
kondisi berikut :
1. � ≠ �,
2.
�, � =
∶ � = � ,
�
�
maka � < � ,
<
3. ∀ ,
�, � , jika
6
�
sehingga � ≻ �.
Fungsi preferensi bersifat moderately selfish ketika memenuhi dua asumsi di atas
yaitu preferensi yang selfish dan unprejudiced. Untuk memperjelas akan diberikan
contoh.
Contoh 1 : Misalkan = { , , , }. Himpunan peringkat yang mungkin
adalah sebagai berikut :
Π = {(a,b,c,d), (a,b,d,c), (a,c,b,d), (a,c,d,b), (a,d,b,c), (a,d,c,b), (b,c,d,a),
(b,c,a,d), (b,d,a,c), (b,d,c,a), (b,a,d,c), (b,a,c,d), (c,d,a,b), (c,d,b,a),
(c,a,b,d), (c,a,d,b), (c,b,a,d), (c,b,d,a), (d,a,b,c), (d,a,c,b), (d,b,a,c),
(d,b,c,a), (d,c,a,b), (d,c,b,a)}.
Andaikan fungsi preferensi agen d adalah ≽ : → ℜ merupakan moderately
selfish, lebih lengkap dapat dilihat pada tabel di Lampiran 4. Agen d bersikap
�
selfish ditunjukkan dengan , , , ≻
, , , , pada Lampiran 4 kolom
kedua ( � = ( , , , ) ) baris kedua belas , , ,
dan baris ketiga belas
, , , . Begitu pula untuk baris pertama
, , ,
dan baris kedua
, , ,
memenuhi kondisi selfish. Dapat diperhatikan juga untuk kolomkolom lain dengan � yang berbeda.
Agen d juga memiliki preferensi yang unprejudiced. Misalkan � =
( , , , ) , � = , , , dan � = , , , . Agen d memenuhi tiga kondisi
preferensi yang unprejudiced. Pertama � ≠ � , kedua ada
�, � =
�
�
∶
=
yaitu
�, � = { , } dan ketiga ∀ ,
�, � , jika
�
�
�
�
�
maka
<
<
, memenuhi � ≻ �. Posisi b < c dalam � dan �
�
sehingga , , , ≻ ( , , , ). Akan tetapi, kondisi moderately selfish tidak
�
�
cukup kuat menetapkan , , , ≻ ( , , , ) atau , , , ≻ ( , , , )
karena urutan posisi dan berbeda. Fungsi preferensi bagi agen a, b dan c yang
moderately selfish dengan N={a,b,c,d} dapat dilihat pada Lampiran 1, Lampiran
2 dan Lampiran 3.
Moderate selfishness merupakan pembatas yang jelas pada domain/daerah
fungsi preferensi yang dapat diterima. Untuk kasus tiga agen terdapat fungsi
preferensi yang unik bagi tiap agen yang memenuhi kondisi ini.
Contoh 2 : Misalkan N = {a,b,c}. Himpunan urutan peringkat yang mungkin
adalah Π= {(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)}. Tabel 1 menunjukkan
fungsi preferensi terhadap agen a yang bersifat moderate selfishness. Tiap kolom
menggambarkan strict preferensi yang berkaitan dengan true ranking yang
berbeda.
Tabel 1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c}
( , , )
≽
(a,b,c)
(a,c,b)
(b,a,c)
(c,a,b)
(b,c,a)
(c,b,a)
( , , )
≽
(a,b,c)
(a,c,b)
(b,a,c)
(c,a,b)
(b,c,a)
(c,b,a)
( , , )
≽
(a,b,c)
(a,c,b)
(b,a,c)
(c,a,b)
(b,c,a)
(c,b,a)
≽
( , , )
(a,c,b)
(a,b,c)
(c,a,b)
(b,a,c)
(c,b,a)
(b,c,a)
≽
( , , )
(a,c,b)
(a,b,c)
(c,a,b)
(b,a,c)
(c,b,a)
(b,c,a)
≽
( , , )
(a,c,b)
(a,b,c)
(c,a,b)
(b,a,c)
(c,b,a)
(b,c,a)
7
Dapat dilihat Tabel 1, untuk kolom pertama (� = ( , , )), baris pertama
dan kedua (a,b,c) dan (a,c,b), agen a memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga
�
memenuhi moderately selfish akibatnya , , ≻
, , . Begitu pula di baris
ketiga dan keempat, agen a juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga
�
memenuhi moderately selfish yaitu
, , ≻
, , . Selanjutnya baris
kelima dan keenam, agen a juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga
�
memenuhi moderately selfish akibatnya
, , ≻ ( , , ) . Begitupun
seterusnya untuk kolom kedua dan ketiga.
Untuk kolom keempat (� = ( , , )), baris pertama dan kedua (a,c,b) dan
(a,b,c) agen a selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish
�
akibatnya , , ≻
, , . Begitu pula di baris ketiga dan keempat, agen a
juga memenuhi kondisi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately
�
selfish yaitu , , ≻
, , . Selanjutnya baris kelima dan keenam, agen a
juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish
�
yaitu , , ≻ ( , , ). Akan tetapi, kondisi moderately selfish tidak cukup
�
�
kuat untuk menetapkan , , ≻
, ,
atau , , ≻
, ,
karena
posisi a dan b berbeda.
Misalkan Ϝ menunjukkan kelas fungsi preferensi yang moderately selfish.
Profil dalam fungsi preferensi dinotasikan dengan ≽ Ϝ . State of the world
adalah daftar fungsi-fungsi preferensi dan urutan true ranking yang diamati oleh
seluruh agen, dinotasikan ( ≽, � ) Ϝ × . Misalkan � adalah kelas dari
state of the world. Profil relasi preferensi dapat diterima, jika terdapat beberapa
state of the world (≽, � ) � sehingga ≽� sesuai dengan relasi preferensi.
Selanjutnya himpunan profil relasi preferensi yang dapat diterima dinotasikan
dengan R.
Jika diberikan state of the world dan mekanisme maka agen-agen harus
membuat keputusan tentang rekomendasi urutan penerima beasiswa. Hal ini
mengikuti standar prosedur teori implementasi melalui konsep kesetimbangan
dalam teori game. Contoh 1 dan contoh 2 di atas mengikuti konsep tersebut.
Pada karya ilmiah ini kesetimbangan strategi dominan yang akan dibahas.
Misalkan � = ,
merupakan sebuah mekanisme. Dikatakan bahwa
merupakan kesetimbangan strategi dominan dari � yang memenuhi state of the
world
≽, �
�
jika
∀
,
dan
maka
−
−
�
( , −)≽
( , − ) . Selanjutnya kesetimbangan tersebut dilambangkan
dengan � �, ≽� .
Selanjutnya untuk mengimplementasikan SOCF dinotasikan fungsi � ∶
� → yang menghubungkan state of the world dari penerima beasiswa sesuai
dengan true ranking, yaitu ∀(≽, � )
� berlaku � ≽, � = � . Sebuah
mekanisme � = , mengimplementasikan SOCF pada kesetimbangan strategi
dominan yaitu jika ∀ ≽, �
� maka � �, ≽�
= � .
Implementasi dalam Strategi Dominan
Implementasi dalam strategi dominan diasumsikan dengan n ≥ 3. Seperti
yang telah dibahas sebelumnya bahwa moderate selfishness merupakan pembatas
yang jelas dalam domain preferensi. Dalam contoh 2, ketika tidak ada pembatas
daerah maka terdapat 6! = 720 relasi preferensi yang berbeda-beda atas Π, hanya
8
dua dari keseluruhan kemungkinan relasi preferensi, yang sesuai dengan kondisi
moderate selfishness untuk agen a yaitu ≽ , , = ≽ , , = ≽ , , dan
≽ , , = ≽ , , = ≽ , , , sebagaimana yang terdapat pada Tabel 1.
Teorema
Jika n = 3 maka SOCF tidak dapat diimplementasikan dalam strategi
dominan.
Bukti :
Kondisi moderate selfish bagi agen a sebagaimana sebelumnya pada Tabel 1,
untuk kondisi moderate selfish bagi agen b dan c dapat dilihat di Tabel 2 dan
Tabel 3 berikut. Tiap kolom pada Tabel 2 dan Tabel 3 menggambarkan strict
preferensi yang berkaitan dengan true ranking yang berbeda.
Tabel 2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c}
( , , )
≽
(b,a,c)
(b,c,a)
(a,b,c)
(c,b,a)
(a,c,b)
(c,a,b)
( , , )
( , , )
≽
(b,a,c)
(b,c,a)
(a,b,c)
(c,b,a)
(a,c,b)
(c,a,b)
≽
(b,a,c)
(b,c,a)
(a,b,c)
(c,b,a)
(a,c,b)
(c,a,b)
≽
( , , )
(b,c,a)
(b,a,c)
(c,b,a)
(a,b,c)
(c,a,b)
(a,c,b)
≽
( , , )
≽
(b,c,a)
(b,a,c)
(c,b,a)
(a,b,c)
(c,a,b)
(a,c,b)
( , , )
(b,c,a)
(b,a,c)
(c,b,a)
(a,b,c)
(c,a,b)
(a,c,b)
Tabel 3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan N={a,b,c}
( , , )
≽
(c,a,b)
(c,b,a)
(a,c,b)
(b,c,a)
(a,b,c)
(b,a,c)
( , , )
( , , )
≽
(c,a,b)
(c,b,a)
(a,c,b)
(b,c,a)
(a,b,c)
(b,a,c)
≽
(c,a,b)
(c,b,a)
(a,c,b)
(b,c,a)
(a,b,c)
(b,a,c)
≽
( , , )
(c,b,a)
(c,a,b)
(b,c,a)
(a,c,b)
(b,a,c)
(a,b,c)
≽
( , , )
≽
(c,b,a)
(c,a,b)
(b,c,a)
(a,c,b)
(b,a,c)
(a,b,c)
( , , )
(c,b,a)
(c,a,b)
(b,c,a)
(a,c,b)
(b,a,c)
(a,b,c)
Misalkan N = {a,b,c}. Andaikan ≽ , ≽ , ≽
�
menjadi fungsi
preferensi yang moderate selfish bagi agen a, b dan c berturut-turut. Ada dua
relasi preferensi yang sesuai dengan moderate selfishness bagi agen a, b, dan c
yaitu :
untuk agen a : ≽1 ≡ ≽
untuk agen b : ≽1 ≡≽
untuk agen c : ≽1 ≡ ≽
, ,
, ,
, ,
=≽
=≽
=≽
, ,
, ,
, ,
=≽
= ≽
=≽
, ,
, ,
, ,
dan ≽2 ≡ ≽
dan ≽2 ≡ ≽
,
dan ≽2 ≡ ≽
, ,
,
,
=≽
,
=≽
,
=≽
, ,
,
.,
, ,
,
=≽
( , , )
,
=≽
,
, ,
.
=≽
Himpunan profil yang dapat diterima dari relasi-relasi preferensi tidak
memiliki struktur hasil kali Cartesian, karena ditentukan dengan true ranking
(misalnya ≽1 , ≽2 , ≽1 ℜ, tetapi (≽1 , ≽2 , ≽1 )
). ℜ merupakan kelas dari
relasi-relasi preferensi yang didefinisikan atas Π yang memenuhi sifat complete,
transitive dan reflexive dan R adalah himpunan profil relasi preferensi yang dapat
diterima.
9
Andaikan didefinisikan terdapat sebuah mekanisme �� = ,
yang
mengimplementasikan � dalam strategi dominan. Misalkan 1
merupakan
strategi dominan untuk agen i maka relasi preferensi bagi i adalah ≽1 , begitu pula
untuk 2
maka relasi preferensi bagi i adalah ≽2 . Selanjutnya, ��
mengimplementasikan � dalam strategi dominan, bagian yang relevan pada ��
ditunjukkan dalam Tabel 4.
Tabel 4 Bagian yang relevan dari mekanisme ��
1 1
1
Pemain a
(a,b,c)
(a,c,b)
2
Pemain b dan c
2 1
?
(c,a,b)
1 2
(b,a,c)
?
2 2
(b,c,a)
(c,b,a)
Dapat dilihat bahwa ( 1 , 1 , 1 )
bersesuaian dengan profil relasi preferensi
1
1
1
(≽ , ≽ , ≽ ) ℜ sehingga dapat ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
=≽
=≽
=≽
sehingga bagian yang relevan untuk 1 , 1 , 1 adalah (a,b,c). Begitu pula untuk
2 1 1
, , bersesuaian dengan profil relasi preferensi ≽2 , ≽1 , ≽1 sehingga dapat
ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
sehingga bagian yang relevan untuk 2 , 1 , 1 adalah (a,c,b). Kemudian untuk
2 2 1
, ,
bersesuaian dengan profil relasi preferensi ≽2 , ≽2 , ≽1 , sehingga dapat
ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
sehingga bagian yang relevan untuk 2 , 2 , 1 adalah (c,a,b). Kemudian untuk
1 1 2
, , bersesuaian dengan profil relasi preferensi ≽1 , ≽1 , ≽2 , sehingga dapat
ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
1
=≽
=≽
=≽
sehingga bagian yang relevan untuk 1 , 1 , 2 adalah (b,a,c). Kemudian untuk
1 2 2
, ,
bersesuaian dengan profil preferensi ≽1 , ≽2 , ≽2 , sehingga dapat ditulis
sebgai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
2
10
sehingga bagian yang relevan untuk 1 , 2 , 2 adalah (b,c,a). Selanjutnya untuk
2 2 2
, , bersesuaian dengan profil preferensi ≽2 , ≽2 , ≽2 , sehingga dapat ditulis
sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
=≽
=≽
=≽
sehingga bagian yang relevan untuk 2 , 2 , 2 adalah (c,b,a). Profil strategi
( 1, 2, 1)
yang bersesuaian dengan profil preferensi (≽1 , ≽2 , ≽1 ) ℜ
dapat ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
dapat terlihat bahwa tidak ada bagian yang relevan untuk 1 , 2 , 1 . Begitu pula
untuk 2 , 1 , 2 yang bersesuaian dengan profil preferensi ≽2 , ≽1 , ≽2 , dapat
ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
dapat dilihat bahwa tidak ada bagian yang relevan untuk 2 , 1 , 2 , sehingga
mekanisme tidak dapat diimplementasikan dalam strategi dominan.
Profil strategi ( 1 , 2 , 1 )
dan ( 2 , 1 , 2 )
masing-masing
1
bersesuaian
dengan
profil
relasi
preferensi
(≽ , ≽2 , ≽1 ) ℜ
1
2
2
dan (≽ , ≽ , ≽ ) ℜ . Akan tetapi, profil tersebut tidak bersesuaian dengan
beberapa kemungkinan true ranking, yaitu (≽1a , ≽2b , ≽1c ) R dan (≽2 , ≽1 , ≽2 )
. Untuk ( 1 , 2 , 1 ) dapat diperinci dengan pernyataan berikut :
2 2 1
Pernyataan 1. Dapat dilihat bahwa
, ,
� �� , ≽ , ,
dan ( 2 , 2 , 1 ) = , , , sehingga ( 1 , 2 , 1 )
, , , , ,
; selain
( , , )
1 2 1
2 2 1
itu, ( , , ) ≻
( , , ) , hal tersebut kontradiksi.
1 1 1
Pernyataan 2. Dapat dilihat bahwa
, ,
dan
� �� , ≽ , ,
1 1 1
1 2 1
( , , ) = , , , sehingga ( , , )
, , , , ,
; selain itu,
( , , )
1 2 1
1 1 1
( , , )≻
( , , ) , hal tersebut kontradiksi.
1 2 2
Pernyataan 3. Dapat dilihat bahwa
, ,
� �� , ≽ , ,
dan
1 2 2
1 2 1
( , , ) = , , , sehingga ( , , )
, , , , ,
; selain itu,
( , , )
1 2 1
1 2 2
( , , )≻
( , , ) , hal tersebut kontradiksi.
Pernyataan 1, 2, dan 3 menunjukkan hasil fungsi yang kontradiksi dengan
definisi.
2
11
SIMPULAN
Simpulan
SOCF merupakan salah satu cara yang digunakan untuk membuat prosedur
urutan penerima beasiswa. SOCF tidak dapat diimplementasikan dalam strategi
dominan, jika n = 3.
DAFTAR PUSTAKA
Amoros P, Luis C, Benardo M. 2002. The Scholarship Assignment Problem.
Games and Economic Behavior 38: 1-18.
Crosetto P. 2009. Preference, W.A.R.P, Consumer Choice [Internet]. [diunduh
2013 Feb 5]. Tersedia pada: http://paolocrosetto.files.wordpress.com/2010/10/
pset1_solution_handout.pdf.
Lindeneg K. 2001. Social Choice and Game Theory in Allocation Mechanism.
[Internet]. [diunduh 2012 Apr 17]. Tersedia pada: http://www.econ.ku.dk/
Research/Publications/Forskningsregister/Lindenegnote.pdf.
Kurtz DC. 1992. Foundations of Abstract Mathematics. New York (US): Mac
Graw Hill.
Salvatore D. 2006. Schaum’s Outlines : Mikroekonomi. Ed ke-4. Sitompul R dan
Munandar H, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Schaum’s
Outlines: Microeconomics.
12
Lampiran 1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan
N={a,b,c,d}
( , , , )
≽
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
13
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(lanjutan)
( , , , )
≽
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
( , , , )
( , , , )
( , , , )
≽
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
≽
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
≽
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
( , , , )
≽
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
≽
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
( , , , )
14
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(lanjutan)
( , , , )
≽
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,d,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,d)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,d,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,d)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , ,
≽
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,d,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,d)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
)
( , , , )
≽
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,d,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,d)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
15
Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(lanjutan)
( , , , )
≽
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
( , ,
)
≽
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
16
Lampiran 2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan
N={a,b,c,d}
( , , , )
≽
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
17
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(lanjutan)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(c,b,a,d)
18
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,c,b,d)
(a,d,b,c)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,c,d,b)
(a,d,c,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,c,b,d)
(a,d,b,c)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,c,d,b)
(a,d,c,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,c,b,d)
(a,d,b,c)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,c,d,b)
(a,d,c,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,c,b,d)
(a,d,b,c)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,c,d,b)
(a,d,c,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(lanjutan)
( , , , )
≽
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,d)
( , , , )
≽
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,d)
( , , , )
≽
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,d)
( , , , )
≽
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,d)
19
Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(Lanjutan)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
20
Lampiran 3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan
N={a,b,c,d}
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
21
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan
(lanjutan)
( , , , )
≽
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
( , , , )
≽
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,d,a)
( , , , )
≽
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
( , , , )
≽
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,d,a)
( , , , )
≽
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
( , , , )
≽
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,d,a)
N={a,b,c,d}
( , , , )
≽
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
( , , , )
≽
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,d,a)
22
(b,c,a,d)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan
(lanjutan)
( , , , )
≽
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
( , , , )
≽
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
( , , , )
≽
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
N={a,b,c,d}
( , , , )
≽
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
23
Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan
(lanjutan)
( , , , )
≽
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
( , , , )
≽
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b
DALAM STRATEGI DOMINAN
LINA YASMINA MAHBUBAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penerapan Socially
Optimal Choice Function dalam Strategi Dominan adalah sebenarnya karya saya
dengan arahan dari pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2013
Lina Yasmina Mahbubah
NIM G54070035
ABSTRAK
LINA YASMINA MAHBUBAH. Penerapan Socially Optimal Choice Function
dalam Strategi Dominan. Dibimbing oleh SISWANDI dan RETNO BUDIARTI.
Permasalahan yang tidak mungkin dihindari oleh setiap orang adalah
membuat keputusan. Alternatif pilihan yang ada dapat dibandingkan satu sama
lain saat pengambilan keputusan. Hubungan yang mungkin terbentuk saat
membandingkan dua alternatif yaitu hubungan preference dan indifference.
Socially optimal choice function (SOCF) ialah analisis yang menggabungkan
beberapa preferensi atau kepentingan individu untuk mendapatkan keputusan
kolektif. Tujuan karya ilmiah ini ialah menerapkan SOCF dalam strategi dominan.
Ada sekumpulan n mahasiswa yang melamar beasiswa. Setiap mahasiswa
memiliki pembimbing yang berbeda dan ada satu beasiswa per mahasiswa,
sehingga jumlah pelamar beasiswa, pembimbing dan beasiswa sama. Urutan
peringkat beasiswa akan ditetapkan oleh juri yang terdiri dari seluruh
pembimbing. True ranking sudah ditentukan dan diketahui oleh seluruh
pembimbing. Preferensi pembimbing dipengaruhi oleh true ranking. Hasil SOCF
yang optimal ialah beasiswa yang diterima sesuai dengan true ranking. Telah
dibuktikan jika n =3 maka SOCF tidak dapat diimplemetasikan dalam strategi
dominan.
Kata kunci: preferensi, SOCF, strategi dominan, true ranking
ABSTRACT
LINA YASMINA MAHBUBAH. Application of Socially Optimal Choice
Function in Dominant Strategies. Supervised by SISWANDI and RETNO
BUDIARTI.
Unavoidable problems by any person are making a decision. There are
alternative option that can be compared one to the others in making a decision.
Relationship that may be established when comparing two alternatives is namely
preference and indifference relations. Socially optimal choice function (SOCF) is
analysis to combine some individual preferences or interests to get a collective
decision. The purpose of this manuscript is to apply the SOCF in dominant
strategies. Supposed n students apply for scholarship. Each student has different
supervisors and there is one scholarship per student. So the number of applicants,
supervisors and scholarships is similiar. The ranking of students will be
determined by a jury consist of all supervisors. True ranking of students has been
determined by all supervisors. Supervisors’s preference is influenced by true
ranking. The outcome of SOCF is the accepted scholarship appropriate by true
ranking. It has been proven that if n = 3 then the SOCF cannot be implemented in
dominant strategies.
Keywords: preference, SOCF, dominant strategy, true ranking
PENERAPAN SOCIALLY OPTIMAL CHOICE FUNCTION
DALAM STRATEGI DOMINAN
LINA YASMINA MAHBUBAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penerapan Socially Optimal Choice Function dalam Strategi
Dominan
Nama
: Lina Yasmina Mahbubah
NIM
: G54070035
Disetujui oleh
Drs Siswandi, MSi
Pembimbing I
Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Dra Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak.
Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Keluargaku tersayang : Bapak dan Mamah (terima kasih atas kasih
sayang, kesabaran, kepercayaan, dukungan dan doa yang tiada hentihentinya), kakakku Mba Sovi dan Mas Fauzi (terima kasih atas kasih
sayang, motivasi, dukungan serta doanya) dan adik-adikku Husna, Maya
dan Nabila (terima kasih atas motivasi, dukungan dan doanya).
2. Drs Siswandi, MSi dan Ir Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing
(terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi dan bantuan
selama penulisan karya ilmiah ini).
3. Teduh Wulandari Masoed, MSi selaku dosen penguji (terima kasih atas
semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi dan sarannya).
4. Hari Agung, MSi selaku dosen Departemen Ilmu Komputer (terima
kasih atas ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, bantuan dan sarannya).
5. Segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu
yang telah diberikan).
6. Seluruh staf Departemen Matematika (terima kasih atas motivasi dan
bantuannya).
7. Teman-teman Matematika angkatan 44 (terima kasih atas semangat,
motivasi dan kebersamaannya).
8. Teman-teman seperjuangan : Jubed, Rodiah, Dian, Aslimah, Yulinda,
Nohi, Mb Sri, Age, Kokom, Destia, Aini, Pita, Endang, Mb Eva, Dewi,
Ovi, Ita, Siska, Devina (terima kasih atas semangat, motivasi, dukungan,
inspirasi dan kebersamaannya).
9. Adik-adik kelasku : Tika, Orin, Indah, Ifah, Fathia, Nada, Fikri, Tudrika,
Opi, Afifah, Maryam, Biti dan Yuyun (terima kasih atas semangat,
dukungan dan kebersamaannya)
Penulis menyadari bahwa penulisan karya ilmiah ini masih memiliki
kekurangan, oleh karena itu dibutuhkan saran dan kritik yang membangun dari
pembaca. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Agustus 2013
Lina Yasmina Mahbubah
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
PEMBAHASAN
5
Implementasi dalam Strategi Dominan
7
SIMPULAN
11
Simpulan
11
DAFTAR PUSTAKA
11
LAMPIRAN
12
RIWAYAT HIDUP
28
DAFTAR TABEL
1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan
N={a,b,c}
2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan
N={a,b,c}
3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan
N={a,b,c}
4 Bagian yang relevan dari mekanisme ��
6
8
8
9
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Fungsi preferensi
N={a,b,c,d}
Fungsi preferensi
N={a,b,c,d}
Fungsi preferensi
N={a,b,c,d}
Fungsi preferensi
N={a,b,c,d}
bagi agen a yang moderately selfish dengan
12
bagi agen b yang moderately selfish dengan
16
bagi agen c yang moderately selfish dengan
20
bagi agen d yang moderately selfish dengan
24
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Permasalahan yang tidak mungkin dihindari oleh setiap orang adalah
membuat keputusan, diantaranya adalah membuat keputusan untuk memilih
sekolah, mencari pekerjaan, membeli barang, memilih pakaian dan lain-lain.
Dalam pengambilan keputusan, alternatif pilihan yang ada dapat dibandingkan
satu sama lain. Hubungan yang mungkin terbentuk saat membandingkan dua
alternatif yaitu hubungan preference dan indifference. Dua alternatif disebut
memiliki hubungan preference jika salah satu dari dua alternatif tersebut memiliki
nilai yang lebih dari alternatif lainnya. Alternatif pilihan disebut indifference jika
dua alternatif tersebut setara atau sama dengan alasan tertentu.
Socially optimal choice function merupakan analisis yang menggabungkan
beberapa preferensi individu dan kepentingan atau kesejahteraan untuk
mendapatkan keputusan kolektif. Beberapa agen memutuskan masalah
kepentingan kolektif. Agen merupakan sekumpulan orang atau berupa organisasi
yang membuat pilihan diantara satu atau beberapa objek. Objek dalam social
choice function disebut alternatif dan kumpulan alternatif diasumsikan sebagai
himpunan. Permasalahan social choice muncul ketika sekumpulan agen diminta
memilih satu pilihan dari himpunan alternatif.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstuksi dari karya ilmiah Amoros et al.
(2002) yang berjudul “The Scholarship Assignment Problem”. Karya ilmiah ini
membahas sistem penetapan urutan beasiswa. Penetapan urutan beasiswa
memiliki tujuan sosial. Tujuan sosial yang digunakan adalah untuk menetapkan
beasiswa pertama diberikan kepada mahasiswa terbaik pertama, beasiswa terbaik
kedua kepada mahasiswa terbaik kedua dan seterusnya. Asumsi yang digunakan
adalah setiap mahasiswa memiliki pembimbing yang berbeda dan ada satu
beasiswa per mahasiswa, sehingga jumlah mahasiswa, pembimbing dan beasiswa
sama. Urutan peringkat beasiswa akan ditetapkan oleh juri yang terdiri dari
seluruh pembimbing. Hasil urutan peringkat penerima beasiswa (true ranking)
sudah ditentukan dan diketahui oleh seluruh pembimbing. Preferensi pembimbing
dipengaruhi oleh true ranking.
Karya ilmiah ini mencoba membuat prosedur agar beasiswa yang diterima
sesuai dengan true ranking meskipun pembimbing mendahulukan mahasiwa yang
lebih disukai untuk mendapatkan beasiswa terbaik. Karya ilmiah ini ini fokus
pada masalah implementasi khusus dengan karakteristik sebagai berikut :
1. Himpunan alternatif adalah himpunan suluruh kemugkinan peringkat
(permutasi) yang diberikan oleh kumpulan agen. Setiap peringkat
diartikan sebagai penyerahan beasiswa.
2. Aturan pilihan sosial adalah hasil pemetaan himpunan peringkat/ranking.
Dalam hal ini disebut aturan fungsi pilihan sosial yang optimal/ socially
optimal choice function (SOCF).
3. True ranking diamati oleh semua penentu. Himpunan semua penentu
disebut dengan himpunan agen.
4. Preferensi adalah sebuah kondisi yang memenuhi hal berikut ini :
2
(1)
Setiap pembimbing ingin perwakilan mahasiswanya mendapatkan
beasiswa yang paling baik.
(2) Setiap pembimbing menginginkan sisa beasiswa lainnya diberikan
sesuai dengan true ranking.
Mekanisme yang digunakan untuk penerapan SOCF yaitu mekanisme dalam
strategi dominan.
Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah menerapkan socially optimal
choice function dalam strategi dominan.
LANDASAN TEORI
Dalam menyelesaikan karya ilmiah ini digunakan beberapa definisi sebagai
berikut.
Definisi 1(Himpunan Ganda Cartesian)
Misalkan � himpunan sembarang. Himpunan ganda Cartesian pada �
didefinisikan sebagai � × �= { , : ,
�}.
(Kurtz 1992)
Definisi 2 (Relasi)
Misalkan � himpunan sembarang. Relasi pada � didefinisikan sebagai
himpunan bagian dari himpunan ganda Cartesian � × � , ditulis ⊆ � × �.
(Kurtz 1992)
Definisi 3 (Relasi preferensi)
Misalkan � himpunan sembarang. Relasi ∶ � → � , didefinisikan strict
preference merupakan sebuah relasi ≻ ∶ ≻ ↔
≽ bukan ≽ . Relasi ≽
memenuhi tiga kondisi :
Complete : ∀ ,
�, jika ≽ atau ≽ atau keduanya,
Transitive : ∀ , ,
�, jika ≽ dan ≽ maka ≽ ,
Reflexive : ∀
�, x ≽ x.
(Crosetto 2009)
Definisi 4 (Preferensi agen yang selfish)
Misalkan N merupakan himpunan dari n mahasiswa yang melamar
beasiswa, Π merupakan himpunan seluruh kemungkinan peringkat mahasiswa di
N, � Π dan
, � merupakan posisi mahasiswa i dalam peringkat �.
Misalkan ℜ menyatakan kelas dari relasi-relasi preferensi yang didefinisikan atas
yang memenuhi sifat complete, transitive dan reflexive.
3
Sebuah fungsi preferensi dari agen i yaitu, ≽i : Π → ℜ dengan agen bersikap
�
selfish jika ∀πt Π dan ∀π, �
dengan � < � maka � ≻ �.
(Amoros et.al 2002)
Definisi 5 (Preferensi agen yang unprejudiced)
Sebuah fungsi preferensi dari agen i, yaitu ≽i : Π → ℜ. Suatu agen
didefinisikan bersikap unprejudiced dengan agen lain jika ∀�
, dan ∀�, �
, memenuhi tiga kondisi berikut :
(1) � ≠ � ,
(2)
�, � =
∶ �= � ,
�
�
(3) ∀ ,
�, � , jika
<
maka � < � ,
�
sehingga � ≻ �.
(Amoros et.al 2002)
Definisi 6 (Total linear order)
Misalkan himpunan individu, = 1, … , . Setiap individu memiliki total
linear preorder di himpunan alternatif yang feasible, � = {1, … , �} sehingga
individu tesebut dapat menentukan pilihan mereka. Himpunan linear preorder �
dinotasikan sebagai � . Sebuah total linear preorder untuk agen i, ≻
(�)
merupakan antisymmetric, transitive dan total, yaitu ∀
: , ≻ memenuhi :
(1) antisymmetric : ∀ ,
� ∶ jika ≻ dan ≻ maka = ,
(2) transitive : ∀ , ,
�: jika ≻ dan ≻ maka ≻ ,
(3) total : ∀ ,
� ∶ ≻ atau ≻ .
(Lindeneg 2001)
Definisi 7 (Preference profil)
Sebuah preference profil ≻1 , … , ≻
yaitu pemetaan dari
ke (�) .
(Lindeneg 2001)
Definisi 8 (Social welfare function)
Social welfare function adalah sebuah pemetaan
∶ (�) ↷ (�) dengan
≻1 , … , ≻ = ≻
(�) merupakan kumpulan preferensi ke dalam total
linear preorder �.
(Lindeneg 2001)
Definisi 9 (Social choice function)
Social choice function merupakan analisis yang menggabungkan preferensi
individu dan kepentingan atau kesejahteraan untuk mendapatkan keputusan
kolektif. Misalkan � suatu himpunan,
�, sebuah social choice function
adalah aturan ∶ (�) ↷ � yang memetakan elemen ≻1 , … , ≻
� ke
beberapa preferensi individu dalam (�) .
(Lindeneg 2001)
4
Definisi 10 (Mekanisme)
Sebuah mekanisme Γ merupakan pasangan berurut , , dengan =
�
adalah rekomendasi urutan penerima beasiswa dari agen i, dan ∶ ⟶
adalah fungsi hasil.
(Amoros et.al 2002)
Definisi 11 (Strategi Dominan)
Strategi dominan adalah sebuah strategi terbaik yang terlepas dari strategi
yang dipilih orang lain.
(Salvatore 2006)
Definisi 12 (State of the world)
Misalkan Ϝ
menunjukkan kelas fungsi preferensi yang moderately
selfish. Profil dalam fungsi preferensi dinotasikan dengan ≽ Ϝ . State of the
world adalah daftar fungsi-fungsi preferensi dan urutan true ranking yang diamati
oleh seluruh agen, dinotasikan (≽, � ) Ϝ × . Misalkan � adalah kelas
dari state of the world. Profil relasi preferensi dapat diterima, jika terdapat
beberapa state of the world ( ≽, � ) � sehingga ≽� sesuai dengan relasi
preferensi.
(Amoros et.al 2002)
Definisi 13 (Implementasi SOCF dalam strategi dominan)
Sebuah mekanisme � dan sebuah state of the world ≽, �
� , dengan
�
� �, ≽
menunjukkan himpunan strategi dominan yang mengimplementasikan
SOCF dari � ≽, � .
(Amoros et.al 2002)
Definisi 14 (Mekanisme yang memenuhi kesetimbangan strategi dominan)
Misalkan � = ,
merupakan sebuah mekanisme. Dikatakan bahwa
merupakan kesetimbangan strategi dominan dari � yang memenuhi state of
the world
≽, �
�
jika ∀
,
dan
maka
−
−
�
( , −)≽
( , − ).
(Amoros et.al 2002)
5
PEMBAHASAN
Misalkan N merupakan himpunan dari n mahasiswa yang melamar beasiswa.
Alternatif sosial � merupakan peringkat penerima beasiswa dari unsur N ,
Misalkan Π merupakan himpunan semua kemungkinan peringkat penerima
beasiswa dalam N . Untuk semua � Π dan
, didefinisikan � sebagai
posisi siswa dalam peringkat �.
Setiap siswa
memiliki pembimbing yang berbeda. Peringkat
beasiswa diputuskan oleh kumpulan pembimbing mahasiswa. Agen
menunjukkan mahasiswa dan pembimbingnya. Asumsi yang digunakan bahwa
terdapat true ranking mahasiswa, �
, yang diketahui oleh semua agen.
Alternatif sosial yang optimal adalah pemberian beasiswa kepada mahasiswa
diterima sesuai dengan true ranking. Untuk mendapatkan penerimaan beasiswa
dengan socially optimal choice function (SOCF), keputusan tersebut dibuat oleh
agen.
Sebuah mekanisme � merupakan pasangan berurut , , dengan =
�
adalah daftar rekomendasi urutan penerima beasiswa dari agen i (untuk
tiap agen merekomendasikan satu), dan
∶ ⟶ adalah fungsi hasil. Daftar
rekomendasi dinyatakan dengan
. Untuk semua agen
dan semua daftar
rekomendasi
, misalkan
menyatakan rekomendasi dari agen dan
merupakan semua rekomendasi dari agen selain agen .
−
− =×
\{ }
Misalkan ℜ menyatakan kelas dari relasi-relasi preferensi yang
didefinisikan atas
yang memenuhi sifat complete, transitive dan reflexive.
Setiap agen
mempunyai fungsi preferensi ≽ : → ℜ, yang masing-masing
�
berhubungan dengan true ranking �
. Relasi preferensi ≽
ℜ , dengan
�
�
≻ menyatakan relasi strict preferensi yang berkaitan dengan ≽ . Sebagai
contoh misalkan = , maka =
, , ,
. Sebuah fungsi relasi yang
�
mungkin untuk agen a adalah
,
≻
,
jika � = ,
dan
�
, ≻
, jika � = , .
Ada dua asumsi yang digunakan untuk fungsi preferensi bagi agen. Asumsi
pertama bahwa agen bersikap selfish dalam penetapan urutan beasiswa, yaitu
ketika membandingkan dua hasil urutan penerimaan beasiswa, tiap agen memilih
salah satu, sehingga agen tersebut berada dalam posisi lebih baik. Oleh karena
itu, didefinisikan agen i mempunyai fungsi preferensi, ≽ : → ℜ dengan agen
�
bersikap selfish jika ∀�
dan ∀�, �
dengan � < � , maka � ≻ �.
Asumsi kedua, jika diberikan posisi yang sudah ditentukan untuk suatu agen,
seluruh agen harus dibuat sedekat mungkin dengan true ranking, yaitu dengan
mendefinisikan
�, � =
∶ �= � .
�, � adalah himpunan agen
yang mendapat posisi yang sama dalam peringkat � dan �. Misalkan agen i
mempunyai fungsi preferensi, ≽ : → ℜ dan didefinisikan agen bersikap
unprejudiced dengan agen lain, jika ∀�
, dan ∀�, �
, memenuhi tiga
kondisi berikut :
1. � ≠ �,
2.
�, � =
∶ � = � ,
�
�
maka � < � ,
<
3. ∀ ,
�, � , jika
6
�
sehingga � ≻ �.
Fungsi preferensi bersifat moderately selfish ketika memenuhi dua asumsi di atas
yaitu preferensi yang selfish dan unprejudiced. Untuk memperjelas akan diberikan
contoh.
Contoh 1 : Misalkan = { , , , }. Himpunan peringkat yang mungkin
adalah sebagai berikut :
Π = {(a,b,c,d), (a,b,d,c), (a,c,b,d), (a,c,d,b), (a,d,b,c), (a,d,c,b), (b,c,d,a),
(b,c,a,d), (b,d,a,c), (b,d,c,a), (b,a,d,c), (b,a,c,d), (c,d,a,b), (c,d,b,a),
(c,a,b,d), (c,a,d,b), (c,b,a,d), (c,b,d,a), (d,a,b,c), (d,a,c,b), (d,b,a,c),
(d,b,c,a), (d,c,a,b), (d,c,b,a)}.
Andaikan fungsi preferensi agen d adalah ≽ : → ℜ merupakan moderately
selfish, lebih lengkap dapat dilihat pada tabel di Lampiran 4. Agen d bersikap
�
selfish ditunjukkan dengan , , , ≻
, , , , pada Lampiran 4 kolom
kedua ( � = ( , , , ) ) baris kedua belas , , ,
dan baris ketiga belas
, , , . Begitu pula untuk baris pertama
, , ,
dan baris kedua
, , ,
memenuhi kondisi selfish. Dapat diperhatikan juga untuk kolomkolom lain dengan � yang berbeda.
Agen d juga memiliki preferensi yang unprejudiced. Misalkan � =
( , , , ) , � = , , , dan � = , , , . Agen d memenuhi tiga kondisi
preferensi yang unprejudiced. Pertama � ≠ � , kedua ada
�, � =
�
�
∶
=
yaitu
�, � = { , } dan ketiga ∀ ,
�, � , jika
�
�
�
�
�
maka
<
<
, memenuhi � ≻ �. Posisi b < c dalam � dan �
�
sehingga , , , ≻ ( , , , ). Akan tetapi, kondisi moderately selfish tidak
�
�
cukup kuat menetapkan , , , ≻ ( , , , ) atau , , , ≻ ( , , , )
karena urutan posisi dan berbeda. Fungsi preferensi bagi agen a, b dan c yang
moderately selfish dengan N={a,b,c,d} dapat dilihat pada Lampiran 1, Lampiran
2 dan Lampiran 3.
Moderate selfishness merupakan pembatas yang jelas pada domain/daerah
fungsi preferensi yang dapat diterima. Untuk kasus tiga agen terdapat fungsi
preferensi yang unik bagi tiap agen yang memenuhi kondisi ini.
Contoh 2 : Misalkan N = {a,b,c}. Himpunan urutan peringkat yang mungkin
adalah Π= {(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)}. Tabel 1 menunjukkan
fungsi preferensi terhadap agen a yang bersifat moderate selfishness. Tiap kolom
menggambarkan strict preferensi yang berkaitan dengan true ranking yang
berbeda.
Tabel 1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c}
( , , )
≽
(a,b,c)
(a,c,b)
(b,a,c)
(c,a,b)
(b,c,a)
(c,b,a)
( , , )
≽
(a,b,c)
(a,c,b)
(b,a,c)
(c,a,b)
(b,c,a)
(c,b,a)
( , , )
≽
(a,b,c)
(a,c,b)
(b,a,c)
(c,a,b)
(b,c,a)
(c,b,a)
≽
( , , )
(a,c,b)
(a,b,c)
(c,a,b)
(b,a,c)
(c,b,a)
(b,c,a)
≽
( , , )
(a,c,b)
(a,b,c)
(c,a,b)
(b,a,c)
(c,b,a)
(b,c,a)
≽
( , , )
(a,c,b)
(a,b,c)
(c,a,b)
(b,a,c)
(c,b,a)
(b,c,a)
7
Dapat dilihat Tabel 1, untuk kolom pertama (� = ( , , )), baris pertama
dan kedua (a,b,c) dan (a,c,b), agen a memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga
�
memenuhi moderately selfish akibatnya , , ≻
, , . Begitu pula di baris
ketiga dan keempat, agen a juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga
�
memenuhi moderately selfish yaitu
, , ≻
, , . Selanjutnya baris
kelima dan keenam, agen a juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga
�
memenuhi moderately selfish akibatnya
, , ≻ ( , , ) . Begitupun
seterusnya untuk kolom kedua dan ketiga.
Untuk kolom keempat (� = ( , , )), baris pertama dan kedua (a,c,b) dan
(a,b,c) agen a selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish
�
akibatnya , , ≻
, , . Begitu pula di baris ketiga dan keempat, agen a
juga memenuhi kondisi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately
�
selfish yaitu , , ≻
, , . Selanjutnya baris kelima dan keenam, agen a
juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish
�
yaitu , , ≻ ( , , ). Akan tetapi, kondisi moderately selfish tidak cukup
�
�
kuat untuk menetapkan , , ≻
, ,
atau , , ≻
, ,
karena
posisi a dan b berbeda.
Misalkan Ϝ menunjukkan kelas fungsi preferensi yang moderately selfish.
Profil dalam fungsi preferensi dinotasikan dengan ≽ Ϝ . State of the world
adalah daftar fungsi-fungsi preferensi dan urutan true ranking yang diamati oleh
seluruh agen, dinotasikan ( ≽, � ) Ϝ × . Misalkan � adalah kelas dari
state of the world. Profil relasi preferensi dapat diterima, jika terdapat beberapa
state of the world (≽, � ) � sehingga ≽� sesuai dengan relasi preferensi.
Selanjutnya himpunan profil relasi preferensi yang dapat diterima dinotasikan
dengan R.
Jika diberikan state of the world dan mekanisme maka agen-agen harus
membuat keputusan tentang rekomendasi urutan penerima beasiswa. Hal ini
mengikuti standar prosedur teori implementasi melalui konsep kesetimbangan
dalam teori game. Contoh 1 dan contoh 2 di atas mengikuti konsep tersebut.
Pada karya ilmiah ini kesetimbangan strategi dominan yang akan dibahas.
Misalkan � = ,
merupakan sebuah mekanisme. Dikatakan bahwa
merupakan kesetimbangan strategi dominan dari � yang memenuhi state of the
world
≽, �
�
jika
∀
,
dan
maka
−
−
�
( , −)≽
( , − ) . Selanjutnya kesetimbangan tersebut dilambangkan
dengan � �, ≽� .
Selanjutnya untuk mengimplementasikan SOCF dinotasikan fungsi � ∶
� → yang menghubungkan state of the world dari penerima beasiswa sesuai
dengan true ranking, yaitu ∀(≽, � )
� berlaku � ≽, � = � . Sebuah
mekanisme � = , mengimplementasikan SOCF pada kesetimbangan strategi
dominan yaitu jika ∀ ≽, �
� maka � �, ≽�
= � .
Implementasi dalam Strategi Dominan
Implementasi dalam strategi dominan diasumsikan dengan n ≥ 3. Seperti
yang telah dibahas sebelumnya bahwa moderate selfishness merupakan pembatas
yang jelas dalam domain preferensi. Dalam contoh 2, ketika tidak ada pembatas
daerah maka terdapat 6! = 720 relasi preferensi yang berbeda-beda atas Π, hanya
8
dua dari keseluruhan kemungkinan relasi preferensi, yang sesuai dengan kondisi
moderate selfishness untuk agen a yaitu ≽ , , = ≽ , , = ≽ , , dan
≽ , , = ≽ , , = ≽ , , , sebagaimana yang terdapat pada Tabel 1.
Teorema
Jika n = 3 maka SOCF tidak dapat diimplementasikan dalam strategi
dominan.
Bukti :
Kondisi moderate selfish bagi agen a sebagaimana sebelumnya pada Tabel 1,
untuk kondisi moderate selfish bagi agen b dan c dapat dilihat di Tabel 2 dan
Tabel 3 berikut. Tiap kolom pada Tabel 2 dan Tabel 3 menggambarkan strict
preferensi yang berkaitan dengan true ranking yang berbeda.
Tabel 2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c}
( , , )
≽
(b,a,c)
(b,c,a)
(a,b,c)
(c,b,a)
(a,c,b)
(c,a,b)
( , , )
( , , )
≽
(b,a,c)
(b,c,a)
(a,b,c)
(c,b,a)
(a,c,b)
(c,a,b)
≽
(b,a,c)
(b,c,a)
(a,b,c)
(c,b,a)
(a,c,b)
(c,a,b)
≽
( , , )
(b,c,a)
(b,a,c)
(c,b,a)
(a,b,c)
(c,a,b)
(a,c,b)
≽
( , , )
≽
(b,c,a)
(b,a,c)
(c,b,a)
(a,b,c)
(c,a,b)
(a,c,b)
( , , )
(b,c,a)
(b,a,c)
(c,b,a)
(a,b,c)
(c,a,b)
(a,c,b)
Tabel 3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan N={a,b,c}
( , , )
≽
(c,a,b)
(c,b,a)
(a,c,b)
(b,c,a)
(a,b,c)
(b,a,c)
( , , )
( , , )
≽
(c,a,b)
(c,b,a)
(a,c,b)
(b,c,a)
(a,b,c)
(b,a,c)
≽
(c,a,b)
(c,b,a)
(a,c,b)
(b,c,a)
(a,b,c)
(b,a,c)
≽
( , , )
(c,b,a)
(c,a,b)
(b,c,a)
(a,c,b)
(b,a,c)
(a,b,c)
≽
( , , )
≽
(c,b,a)
(c,a,b)
(b,c,a)
(a,c,b)
(b,a,c)
(a,b,c)
( , , )
(c,b,a)
(c,a,b)
(b,c,a)
(a,c,b)
(b,a,c)
(a,b,c)
Misalkan N = {a,b,c}. Andaikan ≽ , ≽ , ≽
�
menjadi fungsi
preferensi yang moderate selfish bagi agen a, b dan c berturut-turut. Ada dua
relasi preferensi yang sesuai dengan moderate selfishness bagi agen a, b, dan c
yaitu :
untuk agen a : ≽1 ≡ ≽
untuk agen b : ≽1 ≡≽
untuk agen c : ≽1 ≡ ≽
, ,
, ,
, ,
=≽
=≽
=≽
, ,
, ,
, ,
=≽
= ≽
=≽
, ,
, ,
, ,
dan ≽2 ≡ ≽
dan ≽2 ≡ ≽
,
dan ≽2 ≡ ≽
, ,
,
,
=≽
,
=≽
,
=≽
, ,
,
.,
, ,
,
=≽
( , , )
,
=≽
,
, ,
.
=≽
Himpunan profil yang dapat diterima dari relasi-relasi preferensi tidak
memiliki struktur hasil kali Cartesian, karena ditentukan dengan true ranking
(misalnya ≽1 , ≽2 , ≽1 ℜ, tetapi (≽1 , ≽2 , ≽1 )
). ℜ merupakan kelas dari
relasi-relasi preferensi yang didefinisikan atas Π yang memenuhi sifat complete,
transitive dan reflexive dan R adalah himpunan profil relasi preferensi yang dapat
diterima.
9
Andaikan didefinisikan terdapat sebuah mekanisme �� = ,
yang
mengimplementasikan � dalam strategi dominan. Misalkan 1
merupakan
strategi dominan untuk agen i maka relasi preferensi bagi i adalah ≽1 , begitu pula
untuk 2
maka relasi preferensi bagi i adalah ≽2 . Selanjutnya, ��
mengimplementasikan � dalam strategi dominan, bagian yang relevan pada ��
ditunjukkan dalam Tabel 4.
Tabel 4 Bagian yang relevan dari mekanisme ��
1 1
1
Pemain a
(a,b,c)
(a,c,b)
2
Pemain b dan c
2 1
?
(c,a,b)
1 2
(b,a,c)
?
2 2
(b,c,a)
(c,b,a)
Dapat dilihat bahwa ( 1 , 1 , 1 )
bersesuaian dengan profil relasi preferensi
1
1
1
(≽ , ≽ , ≽ ) ℜ sehingga dapat ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
=≽
=≽
=≽
sehingga bagian yang relevan untuk 1 , 1 , 1 adalah (a,b,c). Begitu pula untuk
2 1 1
, , bersesuaian dengan profil relasi preferensi ≽2 , ≽1 , ≽1 sehingga dapat
ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
sehingga bagian yang relevan untuk 2 , 1 , 1 adalah (a,c,b). Kemudian untuk
2 2 1
, ,
bersesuaian dengan profil relasi preferensi ≽2 , ≽2 , ≽1 , sehingga dapat
ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
sehingga bagian yang relevan untuk 2 , 2 , 1 adalah (c,a,b). Kemudian untuk
1 1 2
, , bersesuaian dengan profil relasi preferensi ≽1 , ≽1 , ≽2 , sehingga dapat
ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
1
=≽
=≽
=≽
sehingga bagian yang relevan untuk 1 , 1 , 2 adalah (b,a,c). Kemudian untuk
1 2 2
, ,
bersesuaian dengan profil preferensi ≽1 , ≽2 , ≽2 , sehingga dapat ditulis
sebgai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
2
10
sehingga bagian yang relevan untuk 1 , 2 , 2 adalah (b,c,a). Selanjutnya untuk
2 2 2
, , bersesuaian dengan profil preferensi ≽2 , ≽2 , ≽2 , sehingga dapat ditulis
sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
=≽
=≽
=≽
sehingga bagian yang relevan untuk 2 , 2 , 2 adalah (c,b,a). Profil strategi
( 1, 2, 1)
yang bersesuaian dengan profil preferensi (≽1 , ≽2 , ≽1 ) ℜ
dapat ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
dapat terlihat bahwa tidak ada bagian yang relevan untuk 1 , 2 , 1 . Begitu pula
untuk 2 , 1 , 2 yang bersesuaian dengan profil preferensi ≽2 , ≽1 , ≽2 , dapat
ditulis sebagai berikut :
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
1
=≽
=≽
=≽
( , , )
( , , )
( , , )
2
=≽
=≽
=≽
dapat dilihat bahwa tidak ada bagian yang relevan untuk 2 , 1 , 2 , sehingga
mekanisme tidak dapat diimplementasikan dalam strategi dominan.
Profil strategi ( 1 , 2 , 1 )
dan ( 2 , 1 , 2 )
masing-masing
1
bersesuaian
dengan
profil
relasi
preferensi
(≽ , ≽2 , ≽1 ) ℜ
1
2
2
dan (≽ , ≽ , ≽ ) ℜ . Akan tetapi, profil tersebut tidak bersesuaian dengan
beberapa kemungkinan true ranking, yaitu (≽1a , ≽2b , ≽1c ) R dan (≽2 , ≽1 , ≽2 )
. Untuk ( 1 , 2 , 1 ) dapat diperinci dengan pernyataan berikut :
2 2 1
Pernyataan 1. Dapat dilihat bahwa
, ,
� �� , ≽ , ,
dan ( 2 , 2 , 1 ) = , , , sehingga ( 1 , 2 , 1 )
, , , , ,
; selain
( , , )
1 2 1
2 2 1
itu, ( , , ) ≻
( , , ) , hal tersebut kontradiksi.
1 1 1
Pernyataan 2. Dapat dilihat bahwa
, ,
dan
� �� , ≽ , ,
1 1 1
1 2 1
( , , ) = , , , sehingga ( , , )
, , , , ,
; selain itu,
( , , )
1 2 1
1 1 1
( , , )≻
( , , ) , hal tersebut kontradiksi.
1 2 2
Pernyataan 3. Dapat dilihat bahwa
, ,
� �� , ≽ , ,
dan
1 2 2
1 2 1
( , , ) = , , , sehingga ( , , )
, , , , ,
; selain itu,
( , , )
1 2 1
1 2 2
( , , )≻
( , , ) , hal tersebut kontradiksi.
Pernyataan 1, 2, dan 3 menunjukkan hasil fungsi yang kontradiksi dengan
definisi.
2
11
SIMPULAN
Simpulan
SOCF merupakan salah satu cara yang digunakan untuk membuat prosedur
urutan penerima beasiswa. SOCF tidak dapat diimplementasikan dalam strategi
dominan, jika n = 3.
DAFTAR PUSTAKA
Amoros P, Luis C, Benardo M. 2002. The Scholarship Assignment Problem.
Games and Economic Behavior 38: 1-18.
Crosetto P. 2009. Preference, W.A.R.P, Consumer Choice [Internet]. [diunduh
2013 Feb 5]. Tersedia pada: http://paolocrosetto.files.wordpress.com/2010/10/
pset1_solution_handout.pdf.
Lindeneg K. 2001. Social Choice and Game Theory in Allocation Mechanism.
[Internet]. [diunduh 2012 Apr 17]. Tersedia pada: http://www.econ.ku.dk/
Research/Publications/Forskningsregister/Lindenegnote.pdf.
Kurtz DC. 1992. Foundations of Abstract Mathematics. New York (US): Mac
Graw Hill.
Salvatore D. 2006. Schaum’s Outlines : Mikroekonomi. Ed ke-4. Sitompul R dan
Munandar H, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Schaum’s
Outlines: Microeconomics.
12
Lampiran 1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan
N={a,b,c,d}
( , , , )
≽
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
13
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,b)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(lanjutan)
( , , , )
≽
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
( , , , )
( , , , )
( , , , )
≽
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
≽
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
≽
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,b,d,a)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
( , , , )
≽
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
≽
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
( , , , )
14
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(b,d,a,c)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,c,d,a)
(b,d,c,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(lanjutan)
( , , , )
≽
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,d,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,d)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,d,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,d)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
( , ,
≽
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,d,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,d)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
)
( , , , )
≽
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,d,b)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,b,a,d)
(c,d,a,b)
(d,b,a,c)
(d,c,a,d)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,c,b,a)
15
Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(lanjutan)
( , , , )
≽
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
( , ,
)
≽
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(b,d,a,c)
(b,c,a,d)
(c,d,a,b)
(c,b,a,d)
(d,c,a,b)
(d,b,a,c)
(b,d,c,a)
(b,c,d,a)
(c,d,b,a)
(c,b,d,a)
(d,c,b,a)
(d,b,c,a)
16
Lampiran 2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan
N={a,b,c,d}
( , , , )
≽
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
( , , , )
≽
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
17
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(lanjutan)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(c,b,a,d)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(c,b,a,d)
18
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,c,b,d)
(a,d,b,c)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,c,d,b)
(a,d,c,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,c,b,d)
(a,d,b,c)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,c,d,b)
(a,d,c,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,c,b,d)
(a,d,b,c)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,c,d,b)
(a,d,c,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
(c,b,d,a)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,c,b,d)
(a,d,b,c)
(c,a,b,d)
(c,d,b,a)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,c,d,b)
(a,d,c,b)
(c,a,d,b)
(c,d,a,b)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(lanjutan)
( , , , )
≽
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,d)
( , , , )
≽
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,d)
( , , , )
≽
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,d)
( , , , )
≽
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,a,b,c)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,c,d,b)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(d,a,c,b)
(d,c,a,d)
19
Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}
(Lanjutan)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(b,d,c,a)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(b,a,c,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(a,b,d,c)
(a,b,c,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(d,b,c,a)
(d,b,a,c)
(a,d,b,c)
(a,c,b,d)
(c,d,b,a)
(c,a,b,d)
(d,c,b,a)
(d,a,b,c)
(a,d,c,b)
(a,d,b,c)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(d,c,a,b)
(d,a,c,b)
20
Lampiran 3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan
N={a,b,c,d}
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
( , , , )
≽
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,c,a)
( , , , )
≽
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,a,c,b)
21
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan
(lanjutan)
( , , , )
≽
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
( , , , )
≽
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,d,a)
( , , , )
≽
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
( , , , )
≽
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,d,a)
( , , , )
≽
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
( , , , )
≽
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,d,a)
N={a,b,c,d}
( , , , )
≽
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,a,c,d)
(b,d,c,a)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,a,d,c)
(b,d,a,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
( , , , )
≽
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(b,c,d,a)
22
(b,c,a,d)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
(b,c,a,d)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,b,c,d)
(a,d,c,b)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,b,d,c)
(a,d,b,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan
(lanjutan)
( , , , )
≽
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
( , , , )
≽
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
( , , , )
≽
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
N={a,b,c,d}
( , , , )
≽
(c,d,a,b)
(c,d,b,a)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,a,c,b)
(d,b,c,a)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,a,b,c)
(d,b,a,c)
23
Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan
(lanjutan)
( , , , )
≽
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b,c,a,d)
(d,c,b,a)
(d,c,a,b)
(a,d,c,b)
(a,b,c,d)
(b,d,c,a)
(b,a,c,d)
(d,b,c,a)
(d,a,c,b)
(a,d,b,c)
(a,b,d,c)
(b,d,a,c)
(b,a,d,c)
(d,b,a,c)
(d,a,b,c)
( , , , )
≽
(c,d,b,a)
(c,d,a,b)
(c,a,d,b)
(c,a,b,d)
(c,b,d,a)
(c,b,a,d)
(a,c,d,b)
(a,c,b,d)
(b,c,d,a)
(b