Regresi Linear dengan LSM
Modul 3:
Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil
A. Pendahuluan Metode Kuadrat Terkecil
Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama
Least-Squares Method, adalah salah satu metode
‘pendekatan’ yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk: (a). regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik- titik data diskretnya (dalam pemodelan), dan (b). analisis sesatan pengukuran (dalam validasi model).
Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode- metode pendekatan sesatan terdistribusi (“distributed error”
approximation methods), berdasarkan karakterisik kerjanya
yang melakukan pengurangan sesatan menyeluruh (global
error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan
keseluruhan (whole approximation interval) sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode ini berbeda dengan metode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui pendekatan melalui deret ‘Taylor’, karena metode asimptotis memiliki karakteristik kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode kuadrat terkecil ini juga memainkan peranan penting dalam teori statistik, karena metode ini seringkali digunakan dalam penyelesaian problem-problem yang melibatkan kumpulan data yang tersusun secara acak, seperti dalam sesatan-sesatan percobaan. Namun demikian, hal-hal yang berhubungan dengan teori statistik tidak akan dibahas secara khusus dalam modul ini.
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
B. Persamaan dan Model sebagai obyek regresi
Seperti telah dijelaskan di atas, dalam dunia keteknikan metode kuadrat terkecil ini digunakan untuk melakukan regresi dan atau pencocokan kurva yang diharapkan dapat membentuk persamaan matematis tertentu. Secara empiris, persamaan- persamaan matematis tertentu yang sering digunakan di antaranya adalah:
=
- (a). Persamaan ‘garis lurus’ (linier): y a x b
2 (b). Persamaan parabolis (kuadratis): y p x q x r
= + + (c). Persamaan polinomial (secara umum):
2
k n
1
1
− −
L L
y c c x c x c x c x
= + +
1
2 3 k n
∞ k
1
− c x
=
∑ k k
1
=
2 b x c x d
(d). Persamaan eksponensial: y a e =
a x b x
- 2
(e). Persamaan asimptotis: y =
- c x d
C. Regresi Sederhana untuk Persamaan Linier
Bentuk umum dari persamaan linier, dapat dituliskan sebagai berikut:
=
- y a x b
dengan:
a = kelandaian (slope) kurva garis lurus b = perpotongan (intercept) kurva dengan ‘ordinat’
atau sumbu tegak
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian harga- harga tetapan a dan b berdasarkan deretan data yang ada (jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah). Sebagai contoh, di bawah ini diberikan 1 set data (x-y) sebanyak 7 buah:
Tabel 1. Set data regresi linier.
x y
-3 -0.22
- 2
0.67
- 1
1.55
1.99
1
2.55
2
3.25
3
4.11 Hasil pengaluran kurva (plotting) titik-titik tersebut di atas dapat dilihat pada Gb. 1 di bawah ini.
5 y = 0.6841x + 1.9850
4.11
4
3.25
3
2.55 intercept
1.99
2
1.55 slope
1
0.67
- 0.22 <
- 5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5 Gambar 1. Kurva regresi linier, dengan N = 7.
Persamaan sebaran (S atau distribusi) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
2 S y a x b = − −
( ) ∑
Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung a dan b adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap tetapan a dan b (dalam hal ini, a dan b dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan- persamaan berikut: d S
( a ). ; dan = d a d S
( b ). .
= d b
Untuk lebih jelasnya, kronologis penurunan kedua persamaan di atas adalah sebagai berikut: d
2 (a). y a x b , sehingga akan terbentuk
− − = ∑
( ) [ ]
d a persamaan berikut:
y a x b ( x ) , atau
− − − = ∑ ( )
a x b x x y (A)
- 2
=
∑ ∑ ∑
d
2 (b). y a x b , sehingga kemudian
− − = ∑ ( )
[ ]
d b terbentuk persamaan berikut:
y a x b (
1 ) , atau − − − =
∑ ( )
- a x N b y (B)
=
∑ ∑
Kedua persamaan (A) dan (B) seperti di atas adalah suatu sistem persamaan aljabar linier (SPAL), bila disusun-ulang
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - sebagai berikut:
2
a x y
x x ∑
∑ ∑
(C) ⋅ =
b y x N
∑ ∑
yang identik dengan persamaan matriks A x b . Solusi
⋅ =
[ ] [ ] [ ]
SPAL tersebut relatif sangat mudah dilakukan dengan metode analitis. Dengan menggunakan aturan Cramer, solusi konstanta- konstanta a dan b adalah:
x y x
∑ ∑ det
y N
∑
a ; dan
=
2
x x
∑ ∑ det
x N
∑
2
x x y
∑ ∑ det
x y
∑ ∑
b
=
2
x x
∑ ∑ det
x N
∑
Karena hanya membentuk persamaan matriks berorder 2, maka determinan-determinan matriks di atas dapat langsung dihitung, dengan rincian sebagai berikut:
2
x x
∑ ∑
2
2 det x N x
= ⋅ − ∑ ( ) ∑
[ ]
x N ∑
x y x
∑ ∑ det x y N x y
= ⋅ − ⋅
[ ∑ ∑ ∑ ]
y N
∑
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - dan
2 x x y
∑ ∑
2 det x y x x y
= ⋅ − ⋅ ∑ ∑ ∑ ∑
[ ] x y
∑ ∑ sehingga, diperoleh solusi harga-harga a dan b:
x y N x y
⋅ − ⋅
[ ∑ ∑ ∑ ] a = 0,684143; dan
=
2
2
x N x
⋅ − ∑ ( ) ∑
[ ]
2
x y x x y
⋅ − ⋅ ∑ ∑ ∑ ∑
[ ] b
= 1,985000 =
2
2
x N x
⋅ − ∑ ( ) ∑
[ ] Tugas di rumah:
Coba buat program dalam FORTRAN untuk mencari harga- harga a dan b dari satu set data berikut:
No. x y
1 -1.0
5.00
2
1.0
9.00
3
3.0
13.00
4
5.0
17.00
5
7.0
21.00
6
9.0
25.00
7
11.0
29.00 D. Regresi Persamaan Parabola
Persamaan Parabola atau Persamaan Kuadrat mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut:
2
y p x q x r
= + + Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian harga- harga tetapan p, q dan r berdasarkan set data yang diberikan (ingat: jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah !).
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:
2
2 S y p x q x r
= − − − ∑ ( )
Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung p, q dan r adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap tetapan p q dan r (dalam hal ini, p, q dan r dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan- persamaan minimisasi berikut: d S
( a ). ; = d p d S
( b ). ; dan = d q d S
( c ). .
= d
r
Tahapan penurunan ketiga persamaan-persamaan di atas terhadap p, q, dan r adalah sebagai berikut:
2 d
2
(a). y p x q x r , yang membentuk ∑ − − − =
( )
d p persamaan berikut:
2
2
y p x q x r ( x ) , atau
− − − − = ∑
( )
4
3
2
2
p x q x r x x y (E)
- =
∑ ∑ ∑ ∑
2 d
2
(b). y p x q x r , yang membentuk: − − − =
∑
( )
d
q
2
y p x q x r ( x ) , atau
− − − − = ∑
( ) Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
3
2
p x q x r x x y (F)
- =
∑ ∑ ∑ ∑
2 d
2
(c). y p x q x r , dan dihasilkan − − − =
∑
( )
d r
2
y p x q x r (
1 ) , atau − − − − =
∑
( )
2
p x q x r N y (G)
- =
∑ ∑ ∑ Seperti halnya pada regresi persamaan linier, ketiga persamaan (E), (F), dan (G) di atas juga membentuk suatu sistem persamaan aljabar linier (SPAL) dengan oreder 3, bila disusun-ulang sebagai berikut:
4
3
2
2
x x x p x y
∑ ∑ ∑ ∑
3
2
x x x q x y (H)
⋅ = ∑ ∑ ∑ ∑
2
x x N r y
∑ ∑ ∑
Solusi SPAL di atas dapat dilakukan melalui 2 cara, yaitu: (a).
analitis (aljabar) dan (b). numeris. Berbagai solusi SPAL
(dengan menggunakan metode numeris) telah dijelaskan pada modul-modul pelajaran terdahulu. Sebagai catatan, determinan dari matriks bujur-sangkar dengan rank 3 dapat dihitung sebagai berikut:
a a a
11
12 13 a ⋅ a ⋅ a a ⋅ a ⋅ a a ⋅ a ⋅ + + a −
11
22
33
12
23
31
13
21
32 det a a a =
21
22
23 a ⋅ a ⋅ a − a ⋅ a ⋅ a − a ⋅ a ⋅ a
31
22
13
32
23
11
33
21
12 a a a
31
32
33
Dengan menggunakan metode analitis, sebenarnya SPAL di atas masih relatif mudah diselesaikan, yaitu dengan menggunakan aturan Cramer untuk mencari solusi konstanta atau parameter-parameter p, q dan r.
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
N x x x x x x x N x x x x x N x x x x x x x x
2
2
( ) ( ) ( )
Berdasarkan catatan tentang determinan matriks berorder 3 seperti di atas, maka determinan-determinan matriks di atas berturut-turut adalah sebagai berikut:
4 det det
3
2
3
2
4
4
3
2
3
2
2
N x x x x x x x x y x x y x x x y x x x r
=
3
2
3
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
− ∑ − ⋅ ⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
⋅
∑∑ ∑ ∑
det ∑ ⋅ −
4
3
2
2
3
2
4
2
3
2
2
3
2
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
2
3
2
2
4
3
2
3
2
;
N x x x x x x x x N x y x x y x x x y x p
=
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
2 det det
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
3
; dan
4 det det
2
2
3
2
4
2
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
3
2
2
N x x x x x x x x N y x x y x x x y x x q
=
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
- ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
4.0 Pasangan data (x-y) dari kurva di atas dapat diberikan
2
2
2
4
3
2
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ y x y x x x y x x y x x x y x x x y x x y x x y x x x y x x x
∑ − ⋅ ⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
3
∑ − ⋅ ⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ − ⋅
( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ⋅
dan
det
4
2
2
2
3
2
det Tugas di rumah:
2.0
0.0
6.00 -4.0 -2.0
4.00
2.00
0.00
Coba buat program dalam FORTRAN untuk mencari harga- harga p, q dan r berdasarkan kurva di bawah ini:
4
2
3
2
3
2
2
4
2
3
4
3
2
2
2
2
2
det N x y x y x x y x x y x x
N y x x x y x N x y x x y x x x y x
3
2
2
2
2
2
3
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑ ∑ ∑ ∑ − ⋅ ∑ − ⋅ ⋅
( ) ∑ ∑ ∑ ⋅ ⋅ − ⋅ ∑
2
2
- ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ∑ −
∑ ∑ ⋅ ∑ ∑ − ⋅ ⋅
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
N y x x y x x y x x y x x N x x y x y x x N y x x y x x x y x x
2
3
4
2
2
3
2
- ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
- -6.00 -4.00 -2.00
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - ( )
No. x y
1 -3.0
4.00 2 -2.2 -0.16 3 -0.9 -4.19 4 -0.1 -4.99 5 1.2 -3.56
6
2.5
1.25 E. Regresi Persamaan Kubus (polinomial order 3)
Persamaan Kubus atau Persamaan polinomial order 3 mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut:
3
2
y c x c x c x c
= + + +
3
2
1 Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian harga- harga parameter c sampai dengan c berdasarkan set data
3
yang diberikan (ingat: pasangan data x-y selalu berjumlah N buah !). Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:
2
3
2 S y c x c x c x c
= − − − − ∑
3
2
1
( )
Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung parameter-parameter c sampai dengan c adalah minimisasi
3
turunan persamaan di atas, masing-masing terhadap setiap parameter (dalam hal ini, c sampai dengan c dianggap
3
sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan-persamaan minimisasi berikut:
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
- ∑
, membentuk:
∑ − − − −
3 = −
3
2
2
1
2
) (
( )
c x c x c x c y c
, atau ∑ ∑ ∑
− − − −
∑
2 =
3
3
2
2
1
2
x c x c x c x c y
= ∑
( )
1
c x c x c x c y c
− − − −
∑
1 =
3
3
2
2
2
y x x c x c x c x c
d d
( )
3 (J) (c).
5
2
4
1
3
2
2
d d
3 (I) (b).
, dihasilkan:
Tahapan penurunan ketiga persamaan-persamaan di atas terhadap c sampai dengan c
3
2
2
1
2
d d
( )
adalah sebagai berikut: (a).
3
c S c S c S c S
3 =
=
1 = = =
2
3
). a (
). b ( ; d d
). c ( ; d d
; dan d d
d d (d).
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
3
6
∑ − − − −
2
5
1
4
3
3
y x x c x c x c x c
= ∑
, atau ∑ ∑ ∑
x c x c x c x c y
3 = −
∑
3
2
2
1
3
) (
( )
, membentuk persamaan berikut:
c x c x c x c y c
− − − −
- ∑
- ∑
2
N x x x x x x x x x x x x x x x
y y x y x y x c c c c
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
⋅
=
1
∑ ∑ ∑ ∑
Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) yang terbentuk dari persamaan-persamaan (I), (J), (K), dan (L) adalah sebagai berikut:
3 (L)
3
2
2
3
2
N y c x c x c x c
3
dari suatu persamaan polinomial, dari order 3 (n = 3) sampai dengan order 7 (n = 7). Artinya, program tersebut dapat menangani sembarang polinomial dari order 3 sampai 7 bahkan lebih tinggi lagi.
n
Buat program dalam FORTRAN untuk mencari harga-harga konstanta dari c sampai c
Tugas Kelompok:
6 (M)
5
4
5
3
4
3
2
4
3
2
3
2
1
= + ∑
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - ( )
= ∑
3 (K) (d).
4
2
3
1
2
y x x c x c x c x c
, atau ∑ ∑ ∑
d d
x c x c x c x c y
∑ − − − −
3 = −
3
2
2
1
) (
( )
2
, atau ∑ ∑ ∑
( )
c x c x c x c y
∑ − − − −
3 = −
3
2
2
1
) 1 (
, dihasilkan:
1
c x c x c x c y c
− − − −
∑
3 =
3
2
2
Gunakan subroutine EGAUSS untuk solusi SPAL yang terbentuk, dan buat program yang membaca data dari file ASCII (text file, dengan ekstensi *.dta).
F. Regresi Multilinier
Beberapa persamaan aljabar dapat membentuk suatu ‘relasi linier’ atau yang sejenisnya, antara beberapa variabel bebas (independent variables) dengan sebuah variabel terikat (dependent variable). Relasi tersebut seringkali dijumpai dalam dunia keteknikan, termasuk hasil logaritmik dari persamaan- persamaan analisis adimensional ataupun relasi analogi bilangan-bilangan tak berdimensi.
Bentuk umum dari persamaan multilinier seperti di atas dapat disederhanakan dalam relasi fungsi matematis berikut:
y ( u , v , w ) c u k v k w = + +
1
2
3 Bila persamaan multilinier tersebut memiliki jumlah variabel
bebas yang lebih besar lagi, maka secara sistematis dapat dituliskan sebagai berikut: L
L
y ( x , x , , x ) c x c x c x c x
= + + + +
1 2 n
1
1
2
2
3 3 n n Persamaan sebaran (S) yang menyatakan ‘sesatan terdistribusi’ dari persamaan multilinier tersebut dapat dinyatakan sebagai:
2 L
S y c x c x c x c x
= −
1 1 −
2 2 −
3 3 − − ∑ (
n n )
Menarik untuk dicatat, bahwa jumlah konstanta atau parameter (c sampai dengan c ) yang dimiliki suatu persamaan multilinier
1 n
sekurang-kurangnya sama dengan jumlah variabel bebasnya.
Seperti biasanya, persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung konstanta-konstanta c sampai dengan c , adalah
1 n
minimisasi turunan persamaan di atas terhadap masing-masing konstanta (dalam hal ini, semua konstanta dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan- persamaan berikut:
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
3
, membentuk persamaan berikut:
L
− − − − − n n x c x c x c x c y c
2 = ∑
1
1
2
2
3
2
2
[ ] d d
( )
(O) (b).
1 L
1
2
2
1
( ) ( )
3
3
2
1 L
1
2
2
2
2
3
2
3
2
3
y x x x c x x c x c x x c
n n
∑ ∑ ∑ ∑
= + ∑dan, setelah disusun-ulang menjadi:
L
− − − − − x x c x c x c x c y n n
1 = ⋅ ∑
1
2
2
2
1
(P)
n c S c S c S c S
3
2
[ ] d d
( )
) dapat disajikan sebagai berikut: (a).
n
sampai dengan c
1
M Tahapan diferensiasi persamaan-persamaan di atas terhadap masing-masing parameternya (dari c
= =
2
1 = =
2
3
). a (
). b ( ; d d
). c ( ; d d
; d d
d d (d).
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
3
2
3
2
1
1
y x x x c x x c x x c x c
n n
∑ ∑ ∑ ∑
= + + ∑dan, setelah disusun-ulang menjadi:
L
− − − − − x x c x c x c x c y n n
1 = ⋅ ∑
1
2
1
3
3
1
( ) ( )
, membentuk persamaan berikut:
L
− − − − − n n x c x c x c x c y c
1 = ∑
1
1
1
2
2
3
1
1 L
(Q) M (d).
( )
[ ] d d
2
3
3
2
2
1 = ∑
3
− − − − − n n n x c x c x c x c y c
L
, membentuk persamaan berikut:
( ) ( )
3
3
2
2
(R) Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) yang terbentuk dari persamaan-persamaan (O), (P), (Q), dan (R) adalah sebagai berikut:
1 = ⋅ ∑
− − − − − n n n x x c x c x c x c y
L
dan, setelah disusun-ulang menjadi:
3
3
y x x c x x c x x c x x c
n n n n n n( ) ( )
( )
[ ] d d
2
3
3
2
2
1
1
3 = ∑
− − − − − n n x c x c x c x c y c
L
, membentuk persamaan berikut:
3
2
3
3
2
2
1
1 = ⋅ ∑
− − − − − x x c x c x c x c y n n
L
dan, setelah disusun-ulang menjadi:
∑ ∑ ∑ ∑
= + ∑
y x x x c x c x x c x x c
n n3
3
2
∑ ∑ ∑ ∑
= + ∑2
2
3
3
2
3
1
2
3
2
2
1
2
1
1
3
1
2
1
2
1
(S)
3
2
3
3
3
2
2
1
1 L
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - (c).
∑ ∑ ∑ ∑
=
⋅
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ y x y x y x y x c c c c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n n
M M L M O M M M L L L
3
2
1
3
2
1
2
G. Soal-soal Latihan
1. Vargaftik (1975) memperkenalkan suatu data kapasitas
Data tentang laju reaksi pada berbagai konsentrasi (C) dan
( )
t (detik) 0,2 0,5 1,0 1,5 2,0
C (mol/L.detik) 0,75 0,55 0,21 0,13 0,04
adalah ) exp( t k C − = , yang sebenarnya ‘nonlinier’ pada parameter k. Dengan data yang diberikan di bawah ini, tentukan nilai terbaik untuk k. Kembangkan juga prosedur hitungan saudara untuk ‘nilai nonlinier’ dari k.!
( 1 ) = = t C . Bentuk terintegrasi dari model tersebut
dengan
C k dt dC − =
2. Suatu model yang paling umum untuk pengungkapan laju reaksi kimia order satu tak-berdimensi adalah
2 T c T b a T C p
(T) sebagai fungsi dari temperatur dalam persamaan kuadrat:
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
p
Lakukanlah pencocokan kurva (curve fitting), bila diinginkan persamaan C
150 1,426 160 1,447 170 1,469 180 1,492 190 1,516 200 1,541 210 1,567 220 1,596 230 1,627 240 1,661 250 1,696 260 1,732 270 1,770 280 1,808 290 1,848 300 1,888
T C p
adalah kapasitas panas zat yang dinyatakan dalam kJ/kg·K):
p
panas untuk metilsikloheksana, sebagai berikut (T adalah suhu absolut dalam K; dan C
- = !
Laju reaksi C T
0,0360 0,8 300
1,01 0,8 400
7,45 0,8 500
0,0231 0,4300
0,649 0,4 400
4,79 0,4 500
0,0135 0,2300
0,378 0,2 400
2,80 0,2 500
3. Dari tabel data laju reaksi seperti disajikan di atas, diinginkan untuk melakukan validasi data menjadi persamaan model nonlinier:
C a / T
− Laju reaksi K e
=
- 1 ,
3 C dengan cara menghitung harga-harga parameter K dan a.
Coba Anda fikirkan dengan baik, kemudian berikan pendapat Anda tentang bagaimana caranya melakukan pencocokan data seperti di atas ?
4. Gilliland dan Sherwood (1934) mendapatkan data tentang perpindahan massa untuk berbagai cairan yang jatuh bebas pada dinding kolom terbasahi (wetted-wall column). Data tersebut dapat dilihat pada tabel data yang diberikan di bawah ini sehingga dapat digunakan untuk melakukan validasi model nonlinier berikut:
B B
2
3 Re
Sh = B Sc
1 Dari persamaan yang ‘nonlinier’ seperti di atas, fikirkanlah
dengan baik dan kemudian carilah cara yang paling mudah untuk melakukan pencocokan data seperti di atas (maksudnya: menghitung parameter-parameter B sampai
1
sedemikian rupa sehingga didapat korelasi yang sesuai)?
B
3 Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
1,80
51,6 6,620 1,875
50,7 8,700 1,875
32,3 4,250
Sh Re Sc
43,7 10,800 0,60
21,5 5,290 0,60
24,2 3,120 1,80
88,0 14,400Tabel Data Perpindahan Massa dari Gilliland dan Sherwood.
= N Sh Sh n i i pred
− ∑ − =
2 exp 3 dev. std.
Jika dari hasil-hasil penelitian Gilliland dan Sherwood di atas diperoleh suatu korelasi empiris berikut:
1
1
2
[ ]
Cobalah lakukan suatu perbandingan, mana yang terbaik antara hasil penelitian (experiment) dan hasil perhitungan (prediction) jika deviasi baku didefinisikan seperti di bawah ?
=
, 789 436 , Re 0336 , Sc Sh
1,86
56,0 8,570 1,86
26,1 2,900 2,16
41,3 4,950 2,16
92,8 14,800 2,17
54,2 7,480 2,17
65,5 9,170 2,26
38,2 4,720 2,26
93,0 16,300 1,83
70,6 13,000 1,83
42,9 7,700 1,61
19,8 2,330 1,61
H. Daftar Pustaka
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 -
Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”, John
Wiley & Sons, Toronto, pp. 44-48, 1978.Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical
Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo, pp. 49-51, 1983.
Hanna, O.T., Sandall, O.C., “Computational Methods in Chemical
Engineering”, Prentice-Hall International Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, pp. 121-149, 1995.
Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A., dan Vetterling, W.T.,
“Numerical Recipes”, Cambridge Univ. Press, 1986.