verteks ke verteks yang lainnya. Ini adalah kasus khusus dari kontrol ‘bang-bang’.
Syarat cukup
mencakup ,
, ,
, , , H x t u t
p t t H x t u t
p t t
. Vektor p disebut juga vektor adjoin yang
memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah
atau vektor adjoin merupakan ‘shadow price’
dari vektor atau peubah x , menunjukkan jumlah kenaikanpenurunan untuk setiap
kenaikanpenurunan dalam nilai x pada waktu
t yang
berkontribusi terhadap
fungsional objektif optimum J. Sedangkan
p
sebagai tingkat kenaikan apresiasi untuk
p
, atau penurunan depresiasi untuk
p
dalam nilai dari tiap unit modal. Nilai dari suatu
dH H
dt t
. Syarat perlu
untuk masalah kontrol optimum adalah
x
p H
,
u
H
,
p
x H
. Syarat batas diberikan oleh persamaa
n
[ ]
t T t T
x t
t t t t
S p
x H t
S t
Apabila scrap S=0, maka persamaan menjadi
t T t T
t t t t
p t x t
H t t
Khususnya jika waktu awal
t
dan
x t
telah ditentukan, sedangkan T dan
x T
belum ditentukan, maka syarat batas menjadi
p T x T
H T T
.
Bukti : lihat Tu 1983, hal 114-118.
Tu 1983
2.14 Kontrol Optimum Linear
Definisi 2.14.1 Kontrol Optimum Linear
Masalah kontrol optimum linear adalah masalah kontrol optimum dengan fungsi
Hamiltonian merupakan fungsi linear dari peubah kontrol. Sifat linear tersebut dapat
muncul pada Hamiltonian karena fungsi objektif dan atau fungsi kendala merupakan
fungsi linear dari peubah kontrol. Secara umum, fungsi Hamiltonian dalam
bentuk linear dapat dituliskan dalam bentuk berikut :
, , , ,
H x p t
x p t u t
dengan
, , x p t
menyatakan kumpulan
koefisien dari
u t
yang disebut sebagai switching function dan
, , x p t
merupakan kumpulan koefisien yang tidak memuat
u t
. Secara umum, untuk kontrol yang tidak
bounded, kontrol ekstremum tidak ada. Jika kontrol terbatas maka kontrol ekstremum
tersebut akan terdapat pada batas-batasnya.
Misalkan u berbatas, untuk semua i,
i i
i
m u
M
,
dengan
i
m
dan
i
M
berturut- turut
merupakan nilai
minimum dan
maksimum yang dapat dicapai oleh
i
u
. Apabila
i
m
dan
i
M
merupakan konstanta maka dapat ditulis sebagai
1 1
i
u
. Dengan
menerapkan prinsip
maksimum Pontryagin pada masalah tersebut diperoleh
kontrol optimum
i
u berikut
1 jika
1 jika
i i
i
u
Jadi, jika
u t
muncul linear dalam fungsi Hamiltonian dan tiap komponen
i
u
terbatas, maka kontrol optimum
i
u t tak kontinu :
loncat dari nilai minimum ke nilai maksimum atau sebaliknya sebagai respons terhadap
perubahan tanda dari
i
. Dengan kata lain,
, , x p t
disebut sebagai switching function dan kontrol
i
u disebut sebagai kontrol
‘bang- bang
’. Tu 1983
III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Formulasi Model
Exposure adalah kemungkinan kerugian- kerugian yang bisa terjadi atas suatu risiko
disebabkan oleh keadaan lingkungan sekitar. Misalnya pada asuransi kendaraan, exposure
adalah tahun kendaraan, tariff premi adalah rupiah per tahun kendaraan. Pada waktu t, q
adalah exposure, p adalah tarif premi per unit exposure,
p
adalah tarif premi rata-rata pasar per unit exposure,
π adalah rata-rata
klaim atau tingkat break-even per unit exposure, w adalah kekayaan perusahaan
asuransi. Berdasarkan model dari Taylor
1986, proses berikut adalah deskripsi dari sebuah pasar asuransi
dq q g p p dt
1
dw w dt
q p dt
2 Penurunan rumus lihat Lampiran 1
dengan fungsi
permintaan adalah
, exp
f p p g
, g adalah parameter fungsi permintaan dan
α adalah excess return yaitu biaya yang dikeluarkan perusahaan asuransi
kepada pemegang saham. Premi rata-rata pasar diasumsikan sebagai proses acak positif
dengan rata-rata terbatas pada waktu t dan sebaran tidak ditentukan.
Diketahui bahwa tarif premi ditentukan pada waktu t sehingga semua premi memiliki
satuan per unit waktu per unit exposure. Dengan formulasi ini, w adalah refleksi yang
akurat untuk kekayaan perusahaan pada waktu t karena setiap pemegang polis membayar
premi p per unit exposure untuk setiap t.
Prinsip pada asumsi model ini adalah semua pemegang polis baik yang baru
maupun yang lama diharuskan membayar tarif premi p yang berlaku. Gambar 1 menunjukkan
bagaimana polis mempengaruhi pendapatan premi perusahaan asuransi pada kondisi
diskret.
Gambar 1 Pengaruh polis pada pendapatan premi perusahaan asuransi
Pada Gambar 1 exposure sebagai fungsi dari waktu dengan pemegang polis membayar
premi pt yang saat ini berlaku untuk jangka waktu rata-rata polis yang dinotasikan dengan
τ
m
. Garis tebal menyatakan jangka waktu polis dengan tanggal mulai yang sama. Tarif
pendapatan premi yang diakui pada waktu t dari semua polis yang berlaku adalah pt qt.
Perubahan kekayaan
pada waktu
t disebabkan oleh pendapatan premi yang
dinotasikan oleh pq dt pada persamaan 2. Asumsi ini menarik karena artinya semua
proses acak adalah Markov. Hal ini masuk akal sepanjang tingkat premi tidak berubah
secara drastis selama jangka waktu polis. 3.1.1 Parameter
Fungsi permintaan memerlukan parameter sebagai variabel bantu untuk menyelesaikan
suatu permasalahan. Taylor 1986 mengambil dua bentuk parameter
g p p
untuk fungsi permintaan yaitu
1. Parameter
untuk fungsi
permintaan eksponensial berbentuk
1 .
g p p a
p p
3 Bentuk tersebut diperoleh dari
1 1
,
1
a p p p
a p p g p p
a p p
f p p e
e e
e g p p
a p p
2. Parameter
untuk fungsi
permintaan elastisitas harga konstan berbentuk
log .
g p p a
p p
4 Bentuk tersebut diperoleh dari
, log
log log
a a
g p p a
g p p
f p p p p
e p p
e p p
g p p a
p p
dengan a konstan yang menjelaskan berapa banyak exposure yang ditingkatkan oleh
perubahan premi relatif. Bentuk persamaan 3 telah dijelaskan oleh Taylor 1986 sedangkan
bentuk persamaan 4 mengacu pada Lilien Koetler 1983.
3.2 Strategi Premi
