Untuk turunan kedua
kk
H
saat
k k
. Syarat batasnya adalah
0, 0 ,
0.
T Q
x q
m T
Untuk menentukan kontrol optimum k ,
hanya perlu memecahkan masalah nilai awal yang terdiri dari persamaan adjoin 23 dan
syarat batas. Persamaan adjoin yang kedua bebas terhadap
pilihan fungsi permintaan G. Dari persamaan 19 dan 20 didapat
2 2
,
t Q
Hm e
24 dengan syarat batas
2
T
. Persamaan ini kemudian diintegralkan sehingga diperoleh
2
1 ,
t t T
e e
25 Bukti lihat Lampiran 6
Akibatnya untuk
t T
maka
2
.
3.4.1 Fungsi Permintaan Hukum Pangkat
Fungsi permintaan G merupakan fungsi tak naik tak negatif dari harga relatif premi.
Oleh karena itu terdapat parameter yang sesuai yang didefinisikan untuk semua premi
positif dengan bentuk
1
1
,
a
G b k
26 dengan
1 1
, a b
:
1
a
konstan dan satuan
1
b
adalah per unit waktu. Walaupun G didefinisikan untuk semua
k , persamaan
26 akan menjadi parameter yang tidak realistik karena k menjadi besar. Jika strategi
optimum tergantung pada generasi new bussiness untuk tarif premi relatif besar maka
hal ini bukan model yang baik untuk fungsi permintaan Emss Haberman 2005.
Hamiltonian untuk fungsi permintaan ini adalah
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 2
1
.
a a
t Q
p p
Q a
a t
Q p
p Q
H F
f e
m qm
q b k qkb k
m m
e m
qm q b k
qb k m
m
Dengan melakukan turunan pertama dan kedua fungsi H diperoleh
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1 2
1 1
1 1 1
1 1
1 2
2 1
1 1 1
1 1
1 1
2 2
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
1 1
1 1
.
a a
k p
a p
a a
kk p
a a
p a
p
H a
q b k a q b k
m q b k
a k m a
H a
a q b k
a a q b k
m a a
q b k a a q b k
m a q b k
a a k m
Misalkan ekstremum dari H pada titik interior
i
k
, dengan
0,
i
k
. Oleh karena itu strategi optimum diberikan oleh
k
H
:
1
1 1
1 2
1 1 1
2 1 1
1 1
1 2
1 1
27 1
a p
p i
p
qb k a km
a a k m
a a
k a
m
yang memberikan
hasil maksimum
jika
kk
H
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
2 2
1 1
1 1
1 1
1 2
1 2
2 1
1 1
1 1 1
2 1
1
1 1
1 1
1 1
a kk
p i
a p
i p
a i
a i
H a qb k
a a km
a a qb k
a a m
a m
a qb k a
a a qb k
Akibatnya terdapat maksimum interior dari H jika
1
dan
i
k
. Selanjutnya dari 25 dan 27 maka
1
1 a
. Pengali Lagrange ditentukan oleh
1
1 2
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1
p a
t p
a m m e
b a
a
28 Bukti lihat Lampiran 7
menggunakan persamaan 25 dengan syarat batas
1
T
. Hal
ini mirip
dengan persamaan Bernoulli tetapi tak homogen
sehingga secara umum tidak mempunyai solusi analitik.
Kemudian dilakukan penondimensionalan pada
premi rata-rata
pasar untuk
penyederhanaan persamaan
sehingga diperoleh
solusi numerik
dengan menggunakan
nilai awal.
Skala yang
digunakan adalah
1 2
1 1
1 1
1
ˆ 1
p
b b
p t
T s
T K b
b T m
p M s
Substitusikan skala
tersebut ke
dalam persamaan 28 sehingga diperoleh persamaan
adjoint nondimensional yaitu
1
ˆ 1 1
1 1
1 1
[ ].
1
a s
a M s d
M s e K
ds a
a
29 Bukti lihat Lampiran 8.
Dari persamaan 25 diperoleh
ˆ 1 ˆ
1 ˆ
K s
s
e e
K
Bukti lihat Lampiran 9. dan strategi optimum
1 1
1 2
1 1
1 1
i p
a k
a m
a p
a p
M s
1 1
30 1
i
a k
a M s
Saat 0,
s
sehingga
i
k
tidak terdefinisi. Dalam hal ini hanya bisa
ditemukan sifat batas secara numerik dengan mensubstitusikan ekspansi deret Taylor untuk
dan ω saat
s
sehingga persamaan aljabarnya
ˆ
. M
e
Bukti lihat Lampiran 10.
Diberikan akar numerik dari persamaan ini, kemudian dapat diintegralkan persamaan 29
secara numerik
dengan nilai
awal
. s
s
Jika dimisalkan
1
maka orde utama
ˆ 1 s
e K
dan persamaan aljabar untuk :
1
ˆ 1 ˆ 1
1 1
1
1 1
0. 1
s a
s
a M s e
M s e K
a a K
31 Secara umum, solusi persamaan ini hanya bisa
ditentukan secara numerik. Untuk lebih sederhana, dimisalkan
p
adalah konstan sehingga
1 M
. Untuk menetapkan bentuk parameter, dimisalkan
bahwa asuransi menetapkan preminya 80 terhadap premi pasar sehingga exposure
asuransi akan meningkat sebesar 40 setelah satu tahun. Jadi, dipilih
1
2 a
dan diperoleh
1
0.256 b
dari persamaan 26. Lama rata- rata polis ditetapkan selama satu tahun dan
perencanaan horizon selama 10 tahun. Excess return diambil sebesar 6 dan rasio premi
sebesar 0.67.
Tabel 1 Nilai Parameter Fungsi Permintaan Hukum Pangkat
Waktu Horizon T 10 tahun
Pertumbuhan permintaan a
1
2 Parameter Permintaan b
1
0.256 per tahun Penurunan Kekayaan α
0.06 per tahun Rasio break-even
terhadap premi rata- rata γ
0.67 Lama rata-rata polis
τ =
-1
1 per tahun Berikut diberikan hasil simulasi untuk
fungsi permintaan hukum pangkat dengan menggunakan parameter pada Tabel 1.
0.2 0.4
0.6 0.8
1.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2 0.0
s i
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
0.0 0.5
1.0 1.5
2.0 2.5
3.0
s ii
Gambar 4 Strategi optimum untuk fungsi permintaan hukum pangkat G dengan parameter pada Tabel 1
Gambar 4 menunjukkan solusi numerik dari
persamaan 29
dan 31
untuk perbandingan dengan data pada Tabel 1.
Strategi dimulai dari
1 s
bersesuaian dengan
t
sampai
s
bersesuaian dengan
t T
. Dari persamaan 15, persamaan state untuk exposure adalah
1 1
1 1
1
. 32
a a
dq n
q dt q G k
q dt q b k
K b q dt dq q b k
K dt
Hal ini bisa dilihat Gambar 4 ii bahwa strategi optimum
i
k
selalu di atas
1
1 a
K
sehingga exposure
menurun secara
eksponensial dengan waktu t meningkat. Jadi parameter ini menetapkan strategi optimum
yang menjelaskan strategi keluar dari pasar.
numerik pendekatan
numerik pendekatan
1
1 a
K
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
0.0 0.5
1.0 1.5
2.0 2.5
3.0
s
ki
i
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
0.0 0.5
1.0 1.5
2.0 2.5
3.0
s
ki
ii
0.0 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
0.0 0.5
1.0 1.5
2.0 2.5
3.0
s
ki
iii Gambar 5 Sensitifitas strategi optimum terhadap model
parameter untuk fungsi permintaan hukum pangkat G
Kontrol optimum adalah fungsi dari parameter
γ, K, a
1
, ε, dan
ˆ
. Gambar 5 menunjukkan kontrol optimum yang berbeda
jika salah satu parameter bervariasi sedangkan sisanya diambil dari Tabel 1. Kontrol
optimum menunjukkan untuk γ = 0.1 sampai
dengan 0.9 dengan langkah 0.2 pada Gambar 5 i, K = 1 sampai dengan 4 dengan langkah
1 pada Gambar 5 ii, dan a
1
= 2 sampai dengan 10 dengan langkah 2 pada Gambar 5
iii. Dengan meningkatkan
γ, premi relatif optimum meningkat dan perusahaan asuransi
melakukan repricing. Untuk K, strategi optimum tidak terpengaruh oleh K. Jika K
cukup kecil sesuai dengan lama polis maka persamaan 32 menunjukkan bahwa exposure
bisa tumbuh secara eksponensial tetapi premi relatif optimum masih besar dibandingkan
premi rata-rata pasar. Pada saat lama rata-rata waktu polis lebih panjang dari perencanaan
horizon T maka sangat sedikit pemegang polis meninggalkan
asuransi dengan
premi berapapun yang ditetapkan: nasabah terus
membayar tingkat premi yang ditetapkan saat awal polis. Keterbatasan model ini adalah
lama rata-rata waktu polis bebas terhadap tingkat premi.
Dari Gambar 5 iii bisa dilihat bahwa parameter
pertumbuhan permintaan
1
a
meningkat, premi optimum menurun di bawah premi rata-rata pasar. Untuk kisaran parameter
dikaji pada premi relatif optimum di atas
1
1
0.5
a
K
sehingga strategi premi menuju ke penarikan dari pasar. Hal ini jelas bahwa
strategi premi sangat bergantung pada parameter permintaan. Diketahui bahwa untuk
parameter yang dipilih menetapkan premi relatif optimum
i
k
, yang berarti bahwa
p
sehingga tidak ada strategi yang loss- leading.
3.4.2 Fungsi Permintaan Linear
