Secara umum, terdapat tiga alternatif untuk
menyajikan formulasi
fungsional objektif, yaitu:
1. Formulasi Bolza
Formulasi fungsional objektif bentuk Bolza merupakan formulasi yang lebih umum.
[ ] [ , ]
, , ,
T t
J u t S x T T
f x t u t t dt
dengan
f
dan S adalah fungsi kontinu yang dapat diturunkan. Fungsi
[ , ] S x T T
dikenal dengan fungsi ‘scrap value’ pada waktu
terminal T . 2.
Formulasi Lagrange Formulasi Lagrange adalah bentuk khusus
dari formulasi Bolza dengan
[ , ] S x T T
, yaitu
[ ] , ,
.
T t
J u t f x t u t t dt
3. Formulasi Mayer
Formulasi Mayer juga merupakan bentuk khusus
dari formulasi
Bolza, dengan
, ,
T t
f x t u t t dt
, yaitu
[ ] [ , ].
J u t S x T T
Dengan mendefinisikan kembali peubah- peubahnya,
maka ketiga
Bolza dapat
dikonversikan menjadi formulasi Mayer dengan mendefinisikan peubah tambahan
1 n
x t
sebagai
1
, ,
t n
t
x t
f x u dt
,
1 n
x t
akan menghasilkan
1
[ , ]
n
J x
t S x T T
. Tu 1983
2.12 Formulasi Masalah Kontrol Optimum
Definisi 2.12.1 Formulasi Masalah Kontrol Optimum
Misalkan U menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sesepenggal
piecewise. Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan fungsi kontrol ut di
antara fungsi admissible ut yang membawa sistem dari state awal x
kepada state akhir terminal x
T
yang memenuhi kondisi akhir terminal, melalui
, , x t
f x t u t t
sehingga fungsional
J mencapai
nilai maksimum. Dengan perkataan lain, masalah
kontrol optimum adalah memaksimumkan fungsional objektif
max [ ] ,
, ,
T u t
U t
J u t S x T T
f x t u t t
terhadap kendala , , ;
, .
n
x t f x t u t t x t
x x t R
Tu 1983 Berikut adalah syarat perlu kontrol
optimum
2.13 Prinsip Maksimum Pontryagin
Teorema 2.13.1
Prinsip Maksimum
Pontryagin
Misalkan ut
sebagai kontrol
admissible yang
membawa state awal
, x t
t
kepada target state terminal
, x T T
, dengan
x T
dan
T
secara umum tidak ditentukan. Misalkan
x t merupakan
trajektori atau lintasan dari sistem yang berkaitan dengan ut. Supaya kontrol ut
merupakan kontrol optimum adalah perlu terdapat fungsi vektor
p t , sedemikian
sehingga 1.
p t dan x t merupakan solusi dari
sistem kanonik
, ,
, H
x t x t u t
p t t p
, ,
, H
p t x t u t
p t t x
dengan fungsi Hamiltonian H diberikan oleh
, , , , ,
, , H x u p t
f x t u t t p f x t u t t
2.
, ,
, , , ,
H x t u t p t t
H x t u t p t t
. 3. Semua syarat batas terpenuhi.
, ,
, , , ,
H x t u t p t t H x t u t p t t
disebut
Prinsip Maksimum
Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh
u
H
dan
uu
H
. Jika
u U
dan
U
himpunan tertutup, maka
u
H
tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari H diberikan oleh
bagian dalam himpunan U. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah
u, dan
U
tertutup, maka kontrol optimum adalah
max
u
untuk masalah memaksimumkan dan
min
u
untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear
dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum
u
adalah kontrol bagian dan loncat dari satu
verteks ke verteks yang lainnya. Ini adalah kasus khusus dari kontrol ‘bang-bang’.
Syarat cukup
mencakup ,
, ,
, , , H x t u t
p t t H x t u t
p t t
. Vektor p disebut juga vektor adjoin yang
memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah
atau vektor adjoin merupakan ‘shadow price’
dari vektor atau peubah x , menunjukkan jumlah kenaikanpenurunan untuk setiap
kenaikanpenurunan dalam nilai x pada waktu
t yang
berkontribusi terhadap
fungsional objektif optimum J. Sedangkan
p
sebagai tingkat kenaikan apresiasi untuk
p
, atau penurunan depresiasi untuk
p
dalam nilai dari tiap unit modal. Nilai dari suatu
dH H
dt t
. Syarat perlu
untuk masalah kontrol optimum adalah
x
p H
,
u
H
,
p
x H
. Syarat batas diberikan oleh persamaa
n
[ ]
t T t T
x t
t t t t
S p
x H t
S t
Apabila scrap S=0, maka persamaan menjadi
t T t T
t t t t
p t x t
H t t
Khususnya jika waktu awal
t
dan
x t
telah ditentukan, sedangkan T dan
x T
belum ditentukan, maka syarat batas menjadi
p T x T
H T T
.
Bukti : lihat Tu 1983, hal 114-118.
Tu 1983
2.14 Kontrol Optimum Linear
