Prosedur yang dijelaskan di atas dapat diekspresikan dalam bentuk iterasi
2
1 [
4 ] 2
y x b x
b x a x c x
a x
dan
2 1
1 [
4 ],
0. 2
n n
d y y
x b x
b x a x
c x n
a x d x
Agnew R.P. 1960 Berikut
diberikan beberapa
definisi mengenai dasar dari kontrol optimum.
2.8 Masalah Kontrol Optimum
Definisi 2.8.1 Masalah Kontrol Optimum Masalah kontrol optimum adalah memilih
peubah kontrol ut di antara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang
membawa sistem dari state awal
x t
pada waktu t
kepada state akhir
x T
pada waktu akhir T, sedemikian sehingga memberikan
nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional
objektif. Fungsional
objektif adalah fungsi dari beberapa fungsi lainnya
untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu permasalahan.
Tu 1983
2.9 State Sistem Dinamik dan Peubah
Kontrol
Definisi 2.9.1
State Sistem Dinamik dan Peubah Kontrol
State atau keadaan sistem dinamik adalah koleksi dari
1 2
, ,...,
n
x t x t x t
x t
yang apabila diberikan suatu nilai pada waktu
t t
, maka nilainya akan dapat ditentukan pada
t t
melalui pilihan vektor peubah kontrol
1 2
, ,...,
n
u t u t u t
u t
. Vektor
x t
disebut vektor peubah state sedangkan
i
x t
disebut peubah state untuk
1 ,
i n t
t T
. Ruang state adalah ruang dimensi n yang memuat koordinat
i
x t
di mana
1 i n
. State suatu sistem kontinu pada waktu t
dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial
yaitu
[ , , ] x t
f x t u t t
sedangkan state
suatu sitem
diskret dinyatakan dalam sistem persamaan beda
yaitu
1 [ , , ]
x k f x k u k k
. Sistem ini juga dapat berbentuk deterministik dan
stokastik. Peubah kontrol adalah peubah yang
memengaruhi suatu sistem dilambangkan dengan
i
u t
dengan
1 ,
i n t
t T
. Secara umum, kendala peubah kontrol
dinyatakan dengan persyaratan bahwa peubah kontrol harus dipilih dari kumpulan kontrol-
kontrol yang admissible, yang dilambangkan
u t
, artinya kontrol
i
u t u t
. Apabila kontrol
u t
hanya fungsi dari t, maka disebut kontrol open-loop dan apabila
kontrol
u t
juga merupakan fungsi dari peubah state
x t
yaitu
[ , ] u t
u x t t
, maka disebut kontrol closed-loop .
Tu 1983
2.10 Reachability,
Controllability, dan
Observability
Definisi 2.10.1
Reachability, Controllability, dan
Observability
Suatu keadaan
1
x
dikatakan dapat dicapai reachable dari sebarang keadaan
x
pada waktu
t
jika kontrol
1
u T u T
dapat ditemukan
sedemikian sehingga
1 1
1
, ,
x u x t x
untuk waktu
1
t t
. Koleksi dari semua
1
x
tersebut disebut reachable state
pada waktu t.
Istilah controllability
merujuk pada
kenyataan bahwa beberapa state terminal
1
x
dapat dicapai dari state awal
x
dengan pilihan
kontrol
u t
yang tepat,
1
u T u T
. Jadi,
controllability merupakan syarat perlu untuk adanya suatu
solusi. Observability adalah kemampuan untuk
menentukan state awal
x
dari observasi data dan output. Output menyatakan hubungan
antara peubah state dengan peubah kontrol, misalnya
[ , , ] y t
g x t u t t
. Tu 1983
2.11
Fungsional Objektif Definisi 2.11.1 Fungsional Objektif
Peubah kontrol
u t
harus dipilih dalam rangka
memaksimumkan atau
meminimumkan fungsional objektif
[ ] J u t
, yaitu
[ ] , ,
,
T t
J u t f x t u t t dt
dengan
f
adalah fungsi bernilai real.
Secara umum, terdapat tiga alternatif untuk
menyajikan formulasi
fungsional objektif, yaitu:
1. Formulasi Bolza
Formulasi fungsional objektif bentuk Bolza merupakan formulasi yang lebih umum.
[ ] [ , ]
, , ,
T t
J u t S x T T
f x t u t t dt
dengan
f
dan S adalah fungsi kontinu yang dapat diturunkan. Fungsi
[ , ] S x T T
dikenal dengan fungsi ‘scrap value’ pada waktu
terminal T . 2.
Formulasi Lagrange Formulasi Lagrange adalah bentuk khusus
dari formulasi Bolza dengan
[ , ] S x T T
, yaitu
[ ] , ,
.
T t
J u t f x t u t t dt
3. Formulasi Mayer
Formulasi Mayer juga merupakan bentuk khusus
dari formulasi
Bolza, dengan
, ,
T t
f x t u t t dt
, yaitu
[ ] [ , ].
J u t S x T T
Dengan mendefinisikan kembali peubah- peubahnya,
maka ketiga
Bolza dapat
dikonversikan menjadi formulasi Mayer dengan mendefinisikan peubah tambahan
1 n
x t
sebagai
1
, ,
t n
t
x t
f x u dt
,
1 n
x t
akan menghasilkan
1
[ , ]
n
J x
t S x T T
. Tu 1983
2.12 Formulasi Masalah Kontrol Optimum
